ATIVIDADE ESTRUTURADA (Forças no Plano e sistema de equilíbrio)

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ATIVIDADE ESTRUTURADA 
 
 
 
 
 
MECÂNICA GERAL 
 
 
TURMA 3020 
 
 
 
 
 
 
 
 
_________________________________________ 
Josimar dos Santos Nunes 
Matrícula – 20130709622-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de janeiro, 25 de setembro de 2014. 
 
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FORÇAS NO PLANO 
 
F é a resul tante das componentes F1 e F2 segundo os e ixos 0y e 0x. 
Entretanto, F2 não representa a componente de F sobre o e ixo 0x, porque F 1 
também tem componente sobre o e i xo 0x. 
 
Neste caso, a componente F1 não atua sobre e e ixo 0x e nem a componente F2 
atua sobre o ei xo 0y. Logo, F1 e F2 são componentes de F sobre os ei xos 
retangulares 0y e 0x, respecti vamente. 
 
 
EQUILÍBRIO DOS SISTEMAS DE FORÇAS 
 
Para que um sistema de forças seja equi l i brado, é necessário e sufi c iente que 
sejam sat is feitas as seguintes condições: 
 
1) A soma das projeções de todas as forças coplanares do sistema, sobre dois 
e ixos quaisquer 0x e 0y deve ser nula. 
 












0F
0F
y
x
 
 
2) A soma dos momentos de todas as forças do sistema em re lação a um 
ponto arbi trár io A, do seu plano, deve ser nula. 
 
Isto é: 


















0M
0F
0F
A
y
x
 
 
As duas primeiras condições são necessárias para que a resultante do si stema 
se anule. A terceira é necessária para que o sistema não se reduza a um 
binário.
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EXEMPLO: 
 
Um corpo de massa 200 kg e mantido em equilíbrio 
sobre um plano inclinado de 30° em relação a 
horizontal mediante um fio que passa por uma polia 
fixa e que sustenta na outra extremidade um corpo 
de massa M. O fio forma com a reta de maior 
declive do plano um ângulo de 45°. 
 
Determinar: 
a) A massa M; 
b) A força exercida pelo corpo contra o plano ( PF ). 
 
Dados do problema 
 Massa do corpo no plano inclinado: m = 200 kg; 
 Ângulo do plano inclinado com a horizontal: 30°; 
 Ângulo da corda com o plano inclinado: 45°. 
 
Esquema do problema 
Em primeiro lugar vamos isolar os corpos e pesquisar as forças que agem sobre cada um e 
como o sistema esta em equilíbrio devemos ter que a somatória de todas as forças seja igual a 
zero. 
 F 0 
 Corpo de massa M 
 T: tensão na corda; 
 PM: peso do corpo suspenso. 
 
Como só existem forças atuando no corpo na direção vertical pela condição de 
equilíbrio temos, em módulo. 
 
0 MPT 
 
 Corpo de massa 200 kg 
 T : tensão na corda, possui o mesmo valor em módulo 
que a tensão que age sobre o bloco anterior; 
 PI : peso do corpo no plano inclinado; 
 N : reação normal do plano sobre o bloco. 
 
Vamos analisar as forças em duas direções, na direção paralela ao plano inclinado (chamada de 
x) e na direção perpendicular a este (chamada de y). 
Devemos achar o ângulo que a força peso forma com as direções perpendiculares (y) e 
paralelas (x) ao plano inclinado. 
 
 
 
 
 
 
 4
O ângulo QÂM e dado no problema como sendo 
30°, o segmento QM (direção onde esta a força 
peso) e perpendicular ao segmento AC , como a 
soma dos ângulos internos de um triângulo deve 
valer 180° então o ângulo MQA ˆ deve ser: 



60MQˆA
9030180MQˆA
1809030MQˆA
 
 
Para determinarmos o valor do ângulo  , vamos ampliar a região em 
vermelho. Já sabemos que o ângulo MQA ˆ vale 60° e o segmento 
QN é perpendicular ao segmento AB (forma um ângulo de 90°). 
Então a soma destes ângulos com o ângulo  procurado deve ser 
180°, assim: 
 



30
9060180
1809060



 
 
Desenhando as forças num sistema de eixos coordenados, 
podemos obter suas componentes, em modulo, ao longo 
das direções x e y. 
 
 Componentes ao longo do eixo x 
 0XN 
  45cosTTX 
  60cosIIX PP 
 
Aplicando a condição de equilíbrio a estas equações temos: 
 
060cos45cos
060cos45cos


I
IX
PT
PTN
 
 
 Componentes ao longo do eixo y 
 NNy  
  45TsenTY 
  60senPP IIY 
 
Aplicando a condição de equilíbrio a estas equações temos: 
 
06045  senPTsenN I 
 
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Solução: 
 
a) Sendo a força peso dada por 
 mgP  
e lembrando da Trigonometria que: 
 
2
360
2
160cos
2
24545cos



sen
sen
 
 
As equações formam um sistema de três 
equações a três incógnitas (N, T e M) 












0
2
3
2
2
0
2
1
2
2
0
mgTN
mgT
MgT
 
 
Isolando o valor da tensão na equação, 
temos: 
 MgT  
E substituindo em: 
 
mgMg
mgMg
2
1
2
2
0
2
1
2
2


 
 
Simplificando o valor de g e o “2” no 
denominador 
2
2
mM
mM


 
 
Substituindo o valor de “m” dado no 
problema (200kg) e sendo 4142,12  , 
obtemos: 
4142,1
200
M 
 
kgM 4,141 
 
b) A força exercida sobre o plano ( PF ) 
será dada pela componente y do bloco 
sobre o plano inclinado 
 
 60senPPF IIYP 
 
Adotando-se o valor de 10 m/s2 para a 
aceleração da gravidade na Terra (já que o 
problema não da este valor), temos: 
 
2
3)10200( PF 
 
Sendo 7321,13  , temos: 
 
NFP 1732