matematica gestores 4

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Matemática 
para gestores
Alessandro Ferreira Alves
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Sumário
CAPÍTULO 4 – Amortização de empréstimos .....................................................................05
Introdução ....................................................................................................................05
4.1 Conceitos Introdutórios .............................................................................................05
4.2 Sistema de Amortização Constante (SAC) ....................................................................07
4.3 Sistema Francês de Amortização Constante (PRICE) ......................................................13
4.4 Sistema de Amortização Misto (SAM) ..........................................................................17
4.5 Sistema de Amortização Americano (SAA) ...................................................................19
Síntese ..........................................................................................................................22
Referências Bibliográficas ................................................................................................23
Capítulo 4 
Introdução
Você certamente já ouviu falar do termo “financiamento”, certo? Você já pensou em financiar um 
veículo ou um imóvel? Saberia descrever os principais tipos de sistemas de amortização envolvi-
dos em empréstimos e/ou financiamentos? 
A disponibilidade de recursos é, sem dúvida, um fator decisivo para a execução de um investi-
mento como, por exemplo, a construção da casa própria, a aquisição de um equipamento indus-
trial, a compra de um veículo etc. 
É interessante observarmos que, independentemente do modo de pagamento, quase sempre é 
necessário termos recursos disponíveis. Na falta deles, temos de recorrer aos empréstimos ou 
financiamentos. 
Quando falamos de forma específica sobre os empréstimos a curto ou médio prazo, esses são 
geralmente saudados em até 12 meses. No que se refere às organizações, os empréstimos po-
dem ser entendidos como operações de crédito feitas com o intuito de suprir o capital de giro. 
Já os empréstimos a longo prazo, ou financiamentos, devem ser tratados com cuidado especial, 
já que apresentam algumas peculiaridades relacionadas à restituição do principal (capital finan-
ciado) e dos encargos financeiros envolvidos. 
Vale destacar que um sistema de amortização difere de outro, em linhas gerais, pela forma de 
dedução das parcelas do empréstimo, sendo que tal dedução pode ser constante, variável ou 
até mesma única. Esse processo é sempre composto por duas partes: os juros e a própria amor-
tização. 
O objetivo geral deste capítulo é o de apresentar a você a definição e discutir os principais siste-
mas de amortização e empréstimos. Para tanto, abordaremos os seguintes temas:
•	 Aspectos Introdutórios dos Sistemas de Amortização;
•	 Sistemas de Amortização de empréstimos;
•	 Principais sistemas de amortização praticados no mercado brasileiro.
4.1 Conceitos Introdutórios
Para tratarmos dos cálculos envolvendo os sistemas de amortização, primeiramente vamos apre-
sentar a você alguns conceitos introdutórios que serão o alicerce para o estudo do tema. Acom-
panhe a seguir:
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Amortização de empréstimos
06 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
Prazo de
Amortização
Saldo
Devedor IOF
Prazo de
Carência
Prazo
Total Planilha
Credor Devedor Taxade Juros Prestação
Amortização 
Figura 1 – Conceitos Fundamentais da Teoria da Amortização.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Cada um desses conceitos pode ser interpretado da seguinte maneira:
•	 Credor: é aquele que oferece o empréstimo ou financiamento.
•	 Devedor (ou Mutuário): é aquele que recebe o empréstimo ou financiamento.
•	 Taxa	de	Juros: é a taxa contratada e assegurada no contrato assinado pelas duas partes. 
•	 Prestação: é a soma da amortização acrescida dos juros e outros encargos financeiros 
pagos em um dado período. Note que esta é a prestação do financiamento.
•	 Amortização: é constituída pelas parcelas de devolução do principal (capital	
emprestado). Note que aqui temos a prestação da amortização, que é uma parte da 
prestação do financiamento.
•	 Prazo	de	Amortização: é o intervalo de tempo durante o qual serão pagas as prestações 
de amortizações.
•	 Saldo	Devedor: representa o estado da dívida (débito) em determinado período.
•	 IOF: representa o imposto sobre operações financeiras.
•	 Prazo	 de	 Carência: é o período compreendido entre a liberação do empréstimo ou 
financiamento e o pagamento da primeira prestação de amortização.
•	 Prazo	 Total: é o prazo que representa a soma do prazo de carência e do prazo de 
amortização.
•	 Planilha: é o quadro no qual são colocados os valores referentes ao empréstimo ou 
financiamento, constituído de várias colunas que apresentam, após cada pagamento, a 
parcela de juros pagos, a amortização, a prestação, os encargos financeiros (IOF, aval, 
comissões, taxa de abertura de crédito etc.) e o saldo devedor.
Com relação aos sistemas de amortização praticados no Brasil, os principais tipos aplicados no 
mercado financeiro brasileiro são o Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema Francês 
de Amortização (PRICE), Sistema de Amortização Misto (SAM) e o Sistema de Amortização Ame-
ricano (SAA).
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Amortização significa o ato de saldarmos determinada dívida por pagamentos periódi-
cos, de modo que cada prestação corresponda à soma do reembolso do capital ou do 
pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que 
os juros são sempre calculados sobre o saldo devedor.
NÓS QUEREMOS SABER!
Sistema de
Amortização
Constante (SAC) ou
Sistema Hamburguês
Sistema de
Amortização
Constante (SAC) ou
Sistema Hamburguês
Sistema de
Amortização
Constante (SAC) ou
Sistema Hamburguês
Sistema de
Amortização
Constante (SAC) ou
Sistema Hamburguês
Figura 2 – Principais Sistemas de Amortização praticados no mercado financeiro brasileiro.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Após a exposição das informações básicas acerca do tema, estudaremos agora os principais 
sistemas de amortização praticados no âmbito do mercado brasileiro. Vamos lá?
4.2 Sistema de Amortização Constante (SAC)
Tal sistema é conhecido no meio empresarial como Sistema Hamburguês de Amortização, muito 
utilizado a partir do ano de 1971 pelo Sistema Financeiro de Habitação (SFH). Cabe ressaltar 
que, nos dias atuais, esse sistema é muito empregado para financiamentos a longo prazo e, em 
particular, para o financiamento de imóveis. 
A sua característica principal, como evidenciado pelo próprio nome, é que as parcelas de amor-
tização devem ser mantidas iguais. Além disso, as parcelas de amortização são determinadas 
pelo quociente envolvendo o principal pelo número de amortizações acordadas, e os juros são 
calculados em cada período pela multiplicação direta da taxa de juros contratada pelo saldo 
devedor do período anterior. Sendo assim, os juros são decrescentes.
08 Laureate- International Universities
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Sistema Francês de Amortização ou
Sistema PRICE ou Sistema de
Prestação Constante
Sistema de Amortização Misto
Sistema de Amortização Americano
Figura 3 – Principais características do SAC.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Com relação aos cálculos algébricos, devemos montar a planilha do financiamento (quadro de 
valores) a partir das etapas apresentadas na sequência. Acompanhe abaixo.
Primeira	Etapa: o valor	da	amortização (A) é dado por A	= , onde PV = principal (valor 
do empréstimo ou do financiamento) e n = número de amortizações.
Segunda	Etapa: o saldo	devedor de cada período t (Pt) é dado por Pt = Pt–1	–	A	=	A	x	(n	–	t).
Terceira	Etapa: o valor	dos	juros de cada período t (Jt) é dado por Jt= i	x	Pt–1, onde i	=	taxa	
de	juros.
Quarta	Etapa: o valor da prestação do financiamento para cada período t (PMTt) é dado pela 
expressão PMTt	=	A	+	Jt.
Agora, vamos acompanhar um exemplo prático de tais cálculos? 
Pergunta	Contextualizada: Renato é um dos integrantes do comitê gestor da empresa AFA Lo-
gística Ltda., que, por conta do momento conturbado da economia, precisa melhorar seu fluxo 
de caixa, ou seja, precisa de mais capital de giro. 
Após várias reuniões estratégicas e análises das metas que a empresa programou para os próxi-
mos três anos, Renato e os outros membros do comitê decidem pedir um empréstimo no valor de 
R$ 100.000,00, liberado pelo banco no ato da assinatura do contrato, pelo SAC. 
A taxa de juros cobrada pelo banco é 6% ao mês e o principal será amortizado em cinco parce-
las mensais. Sendo assim, qual a planilha da operação de crédito em questão? Qual é o custo 
efetivo (mensal) do empréstimo?
Solução: temos que PV = R$ 100.000,00, n = 5 meses e i = 6% ao mês = 0,06 ao mês. Dessa 
forma, primeiramente vamos montar a planilha da operação de crédito: 
Primeira	Etapa: o cálculo da amortização mensal será feito pela fórmula (I). Sendo assim, temos 
que A = 
5
000.100 = 20.000, logo A = R$ 20.000,00/mês.
09
Segunda	Etapa: o saldo devedor, após o pagamento de cada prestação mensal, é caracterizado 
como:
•	 Saldo devedor ao final do primeiro mês: P1 = 100.000 – 20.000 = 80.000;
•	 Saldo devedor ao final do segundo mês: P2 = 80.000 – 20.000 = 60.000;
•	 Saldo devedor ao final do terceiro mês: P3 = 60.000 – 20.000 = 40.000;
•	 Saldo devedor ao final do quarto mês: P4 = 40.000 – 20.000 = 20.000;
•	 Saldo devedor ao final do quinto mês: P5 = 20.000 – 20.000 = 0.
Terceira	Etapa: para os juros de cada mês, temos os valores associados a seguir:
•	 Juros do primeiro mês: J1 = 0,06 x 100.000 = 6.000;
•	 Juros do segundo mês: J2 = 0,06 x 80.000 = 4.800;
•	 Juros do terceiro mês: J3 = 0,06 x 60.000 = 3.600;
•	 Juros do quarto mês: J4 = 0,06 x 40.000 = 2.400;
•	 Juros do quinto mês: J5 = 0,06 x 20.000 = 1.200.
Quarta	Etapa: logo, o valor da prestação para cada mês é dado por:
•	 Prestação ao final do primeiro mês: PMT1 = 20.000 + 6.000 = 26.0000;
•	 Prestação ao final do segundo mês: PMT2 = 20.000 + 4.800 = 24.800;
•	 Prestação ao final do terceiro mês: PMT3 = 20.000 + 3.600 = 23.600;
•	 Prestação ao final do quarto mês: PMT4 = 20.000 + 2.400 = 22.400;
•	 Prestação ao final do quinto mês: PMT5 = 20.000 + 1.200 = 21.200.
A partir dos cálculos apresentados anteriormente, podemos construir a planilha da operação de 
crédito. Veja:
Mês Pi A Ji PMTi
0 100.000
1 80.000 20.000 6.000 26.000
2 60.000 20.000 4.800 24.800
3 40.000 20.000 3.600 23.600
4 20.000 20.000 2.400 22.400
5 0 20.000 1.200 21.200
TOTAL 100.000 18.000 118.000
Tabela 1 – Planilha da operação de crédito.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
10 Laureate- International Universities
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O que é a taxa interna de retorno? A taxa interna de retorno, denotada por IRR ou TIR, 
é a taxa necessária para zerar o valor presente líquido. Em operações envolvendo juros 
compostos e financiamentos, é a taxa acordada na operação.
NÓS QUEREMOS SABER!
Para determinarmos o custo efetivo mensal dessa operação, vamos utilizar a HP 12C para conhe-
cermos a taxa interna de retorno (IRR), que representa tal custo. Primeiramente, vamos montar o 
diagrama de fluxo de caixa a partir da planilha de valores: 
26.000
100.000
24.800
23.600
22.400
21.200
1 42 3 5 (meses)
Figura 4 – Diagrama de fluxo de caixa da operação.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Sendo assim, o custo efetivo mensal (taxa interna de retorno) pode ser encontrado na HP 12C:
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
100000 <CHS><g><CF0> -100.000,00 Valor do Empréstimo. 
26000 <g><CFj> 26.000,00 Valor do primeiro pagamento.
24800 <g><CFj> 24.800,00 Valor do segundo pagamento.
23600 <g><CFj> 23.600,00 Valor do terceiro pagamento.
22400 <g><CFj> 22.400,00 Valor do quarto pagamento.
21200 <g><CFj> 21.200,00 Valor do quinto pagamento.
<f><IRR> 6,00 Custo efetivo mensal (em %).
Quadro 1 – Sequência de passos na HP 12C para a resolução da situação proposta.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
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Vejamos mais um exemplo ilustrativo envolvendo o sistema SAC de amortização.
Exemplo: Sabrina solicita um empréstimo no valor de R$ 100.000,00, liberado pelo banco no 
ato da assinatura do contrato, pelo SAC, sob uma taxa de 6% ao mês e com cinco parcelas 
mensais de amortização. 
Além disso, o banco concede quatro meses de carência e os juros devem ser pagos mensalmente. 
A taxa de abertura de crédito, de 0,5% sobre o valor financiado, é paga no ato, assim como o 
IOF, de 3,5%. 
Com base nessas informações, devemos construir a planilha do financiamento e calcular o custo 
efetivo (anual) desse empréstimo.
Solução: veja a tabela a seguir:
Mês Pt A Jt TAC IOF PMTt
0 100.000 *500 **3.500 4.000
1 100.000 6.000 6.000
2 100.000 6.000 6.000
3 100.000 6.000 6.000
4 80.000 20.000 6.000 26.000
5 60.000 20.000 4.800 24.800
6 40.000 20.000 3.600 23.600
7 20.000 20.000 2.400 22.400
8 0 20.000 1.200 21.200
TOTAL 100.000 36.000 500 3.500 140.000
* Taxa	de	abertura	de	crédito = TAC = 0,5% de 100.000 = 500; ** IOF = 3,5 DE 100.000 = 3.500.
Tabela 2 – Planilha do empréstimo apresentado no exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Para determinarmos o custo efetivo do empréstimo, devemos observar o diagrama de fluxo de 
caixa da operação, apresentado a seguir:
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26.000
6.000
4.000
100.000
24.800
23.600
22.400
21.200
10 42 3 8 (meses)5 6 7
Figura 5 – Diagrama de fluxo de caixa do empréstimo apresentado no exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Dessa forma, o valor do custo efetivo do empréstimo é dado pela taxa interna de retorno do fluxo 
de caixa, que acabamos de apresentar. Assim, tal cálculo é mostrado abaixo: 
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
100000 <ENTER> 4000 <– > 
96000 <CHS><g>
<CF0>
-96.000,00 Valor emprestado.
6000 <g><CFj> 6.000,00 Valor dos fluxos do primeiro grupo.
3 <g><Nj> 3,00
Número de vezes que este valor se 
repete.
26000 <g><CFj> 26.000,00 Valor do fluxo do segundo grupo.
24800 <g><CFj> 24.800,00 Valor do fluxo do terceiro grupo.
23600 <g><CFj> 23.600,00 Valor do fluxo do quarto grupo.
22400 <g><CFj> 22.400,00 Valor do fluxo do quinto grupo.
21200 <g><CFj> 21.200,00 Valor do fluxo do sexto grupo.
<f><IRR> 6,84 Custo efetivo mensal (em %).
100 <÷> 1 <+> 1,07 1 + a taxa mensal (forma unitária). 
12 <yx> 1 <–> 100 <x> 121,28 Custo efetivo anual (em %).
Quadro 2 – Cálculo do custo efetivo do empréstimo apresentado no exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
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Para adquirir um pouco mais de conhecimento sobre o SAC, pesquise em Alexandre 
Neto e José Nicolau Assaf . Matemática Financeira e suas Aplicações. 7ª Ed. São Paulo: 
Editora Atlas, 2006, p. 341. Aqui você irá visualizar uma série de novas situações de 
problemas simulados e resolvidos envolvendo o sistema SAC no mercado financeiro 
brasileiro e gestão de negócios.
NÃO DEIXE DE LER...
4.3 Sistema Francês de Amortização Constante 
(PRICE)
Esse é o sistema de amortização que, no Brasil, é usado principalmente para financiamentos de 
carros e motos, sendo conhecido também como Tabela PRICE ou Sistema de Prestação Constante.
No Sistema PRICE, as prestações são iguais, periódicas e sucessivas. Os juros, por incidirem so-
bre o saldo devedor, são decrescentes e as parcelas de amortização assumem valores crescentes, 
sendo que, independentemente do período, a soma dessas duas parcelas permanecesempre 
igual ao valor da prestação. 
Salientamos ainda que, com a HP 12C, os cálculos envolvendo tal sistema se tornam bem dire-
tos. Podemos obter de modo simples as parcelas de capital (amortização) e as de juros corres-
pondentes a cada prestação, o saldo devedor após cada pagamento, a soma das parcelas de 
juros consecutivas e o valor das amortizações acumuladas até certo período.
As parcelas do �nanciamento
são iguais, periódicas e sucessivas.
Os juros são decrescentes.
As parcelas de amortização
assumem valores crescentes.
Figura 6 – Principais características do SAC.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Além disso, é interessante descrevermos duas propriedades fundamentais do Sistema PRICE, que 
são:
1. quando a taxa de juros for anual, com pagamento mensal, semestral ou trimestral, usa-se 
a taxa proporcional ao período de pagamento;
2. quando a taxa de juros for mensal, com pagamento semestral, trimestral ou anual, usa-se 
a taxa equivalente ao período de pagamento.
14 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
Vamos exemplificar essa questão? 
Pergunta	Contextualizada: Tiago realiza um empréstimo no valor de R$ 70.000,00, pelo Siste-
ma	PRICE, que deve ser liquidado em cinco prestações mensais, sendo que a primeira prestação 
vence um mês após a data do contrato. A taxa de juros cobrada pelo banco é de 36% ao ano.
Sendo assim, qual é o valor das prestações do empréstimo realizado por Tiago? Qual o valor 
das parcelas de amortização? Qual o valor das parcelas de juros de cada prestação? Qual é o 
saldo devedor descrito após cada pagamento? E a planilha, como ficaria?
Solução: vamos utilizar a HP 12C para resolvermos essa situação através da função amarela 
AMORT, que permite o desdobramento das prestações iguais (PMT) em amortizações e juros. 
Com essa função, também poderemos calcular o total de juros e amortizações entre duas pres-
tações. Além disso, observe que a taxa de juros é 36% ao ano. Logo, devemos usar nos cálculos 
a taxa de 3% ao mês, que é a proporcional ao período de pagamento (mensal). 
Dessa maneira, podemos resolver o problema seguindo os passos descritos abaixo. Acompanhe:
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
70000 <CHS><PV> 70.000,00 Valor emprestado a Tiago.
5 <n> 5,00 Número de prestações mensais.
3 <i> 3,00
Taxa de juros mensal (usamos a taxa proporcio-
nal ao período). (Ver observação acima).
<PMT> 15.284,82
Valor das prestações mensais que serão pagas 
por Tiago.
1 <f><AMORT> 2.100,00 Juros referentes à primeira prestação.
<x <>y> 13.184,82 Amortização referente à primeira prestação.
RCL <PV> -56.815,18
Saldo devedor após o pagamento da primeira 
prestação. 
1 <f><AMORT> 1.704,46 Juros referentes à segunda prestação .
<x <>y> 13.580,36 Amortização referente à segunda prestação.
RCL <PV> -43.234,82
Saldo devedor após o pagamento da segunda 
prestação.
1 <f><AMORT> 1.297,04 Juros referentes à terceira prestação.
<x <>y> 13.987,78 Amortização referente à terceira prestação.
RCL <PV> -29.247,04
Saldo devedor após o pagamento da terceira 
prestação .
1 <f><AMORT> 877,41 Juros referentes à quarta prestação.
<x <>y> 14.407,41 Amortização referente à quarta prestação.
RCL <PV> -14.839,63
Saldo devedor após o pagamento da quarta 
prestação.
1 <f><AMORT> 445,19 Juros referentes à quinta prestação.
15
<x <>y> 14.839,63 Amortização referente à quinta prestação.
RCL <PV> -0,00 Saldo devedor. 
Quadro 3 – Sequência de passos na HP 12C para a resolução da situação proposta.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Agora, vamos construir a planilha do empréstimo: 
Mês Pt A Jt PMTt
0 70.000
1 56.815,18 13.184,82 2.100 15.284,82
2 43.234,82 13.580,36 1.704,46 15.284,82
3 29.247,04 13.987,78 1.297,04 15.284,82
4 14.839,63 14.407,41 877,41 15.284,82
5 0,00 14.839,63 445,19 15.284,82
TOTAL 70.000,00 6.424,10 76.424,10
Tabela 3 – Planilha associada à situação descrita – empréstimo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Vejamos mais dois exemplos ilustrativos envolvendo o sistema PRICE de financiamento.
Exemplo: Alfredo realiza um empréstimo no valor de R$ 90.000,00, pelo Sistema PRICE, a uma 
taxa de juros de 3,5% ao mês, que deve ser liquidado em quatro prestações trimestrais. Qual a 
planilha associada ao empréstimo de Alfredo?
Solução: temos que PV = 90.000,00, n = 4 trimestres e i = 3,5% ao mês = 0,035. A partir da 
teoria envolvendo taxas equivalentes no regime composto, obtemos como equivalente trimestral 
a taxa de 10,87%. Dessa forma, veja a seguir a planilha do empréstimo.
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
90000 <CHS><PV> -90.000,00 Valor emprestado.
4 <n> 4,00 Número de prestações trimestrais.
10.87 <i> 10,87
Taxa de juros trimestral (usamos a taxa equiva-
lente composta). 
<PMT> 28.928,89 Valor das prestações trimestrais.
1 <f><AMORT> 9.783,00 Juros referentes à primeira prestação.
<x <>y> 19.145,89 Amortização referente à primeira prestação.
RCL <PV> -70.854,11
Saldo devedor após o pagamento da primeira 
prestação.
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1 <f><AMORT> 7.701,84 Juros referentes à segunda prestação.
<x <>y> 21.227,05 Amortização referente à segunda prestação.
RCL <PV> -49.627,06
Saldo devedor após o pagamento da segunda 
prestação. 
1 <f><AMORT> 5.394,46 Juros referentes à terceira prestação. 
<x <>y> 23.534,43 Amortização referente à terceira prestação.
RCL <PV> -26.092,62
Saldo devedor após o pagamento da terceira 
prestação. 
1 <f><AMORT> 2.836,27 Juros referentes à quarta prestação. 
<x <>y> 26.902,62 Amortização referente à quarta prestação.
RCL <PV> -0,00 Saldo devedor. 
Quadro 4 – Planilha via HP 12C do empréstimo descrito no exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Exemplo: um empréstimo no valor de R$ 120.000,00 será pago pelo sistema de amortização 
francês em seis prestações mensais postecipadas. Se a taxa de juros da operação é de 5% ao 
mês, qual é o valor das prestações mensais iguais desse empréstimo? 
Solução: do enunciado, temos que PV = 120000, i = 5% ao mês e n = 6. Sendo assim, acom-
panhe a seguir a resolução do problema:
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
120000 <CHS><PV> -120.000,00 Valor do empréstimo. 
6<n> 6,00 Número de prestações mensais.
5<i> 5,00 Taxa de juros mensal.
<PMT> 23.642,10 Valor das prestações mensais iguais do empréstimo. 
Quadro 5 – Cálculo das prestações mensais com auxílio da HP 12C.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Para adquirir um pouco mais de conhecimento acerca do PRICE, pesquise em Hazzan 
e Pompeu. Matemática Financeira. 6ª Ed. São Paulo: Saraiva, 2007. Aqui você irá visu-
alizar uma série de novas situações de problemas simulados e resolvidos envolvendo o 
sistema PRICE no mercado financeiro brasileiro e gestão de negócios.
NÃO DEIXE DE LER...
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4.4 Sistema de Amortização Misto (SAM)
Trata-se de um sistema criado para operações de financiamento envolvendo a habitação. Sua 
nomenclatura é justificável, pois tal sistema é considerado a média aritmética entre o Sistema 
PRICE e o Sistema SAC. Isto é, para cada um dos valores de seu plano de pagamentos, devemos 
adicionar aqueles obtidos pelo Sistema PRICE e pelo Sistema SAC e efetuar a divisão por dois 
(média aritmética). Salientamos que uma das desvantagens do SAM é que suas prestações iniciais 
são ligeiramente mais altas do que as do Sistema PRICE, entretanto, após a metade do período, 
o mutuário sentirá uma queda substancial no comprometimento de sua renda com o pagamento 
das prestações.
Pergunta	Contextualizada: Bruno realiza um empréstimo no valor de R$ 90.000,00, para pa-
gar em 12 prestações mensais, com juros efetivos de 6% ao mês utilizando o Sistema Misto de 
Amortização.Qual foi o valor de cada uma das parcelas pagas por Bruno? Qual o valor das 
prestações de amortização?
Solução: já sabemos que no sistema SAM as prestações devem ser consideradas como a média 
aritmética envolvendo as parcelas do SAC e do PRICE. Sendo assim, devemos calcular as pres-
tações via SAC e PRICE, para, então, calcularmos a média aritmética entre os valores obtidos.
Cálculo	das	Prestações	via	PRICE: conforme fizemos anteriormente, vamos determinar tais pres-
tações utilizando a HP 12C. Acompanhe abaixo.
Função	(Tecla) Visor Descrição
<f><REG> 0,00 Limpa os registradores.
90000 <CHS><PV> 90.000,00 Valor financiado.
12<n> 12,00 Número de prestações. 
6<i> 6,00 Taxa mensal de juros.
<PMT> 10.734,932 Valor da prestação.
Quadro 6 – Calculo das prestações com a HP 12C.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Cálculo	das	Prestações	via	SAC: para o cálculo das prestações via SAC, vamos utilizar as fór-
mulas características discutidas anteriormente, obtendo, assim, a planilha a seguir.
Mês Saldo	Devedor Amortização Juros Prestação
0 90.000,00 -------- -------- --------
1 82.500,00 7.500,00 5.400,00 12.900,00
2 75.000,00 7.500,00 4.950,00 12.450,00
3 67.500,00 7.500,00 4.500,00 12.000,00
4 60.000,00 7.500,00 4.050,00 11.550,00
5 52.500,00 7.500,00 3.600,00 11.100,00
6 45.000,00 7.500,00 3.150,00 10.650,00
18 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
7 37.500,00 7.500,00 2.700,00 10.200,00
8 30.000,00 7.500,00 2.250,00 9.750,00
9 22.500,00 7.500,00 1.800,00 9.300,00
10 15.000,00 7.500,00 1.350,00 8.850,00
11 7.500,00 7.500,00 900,00 8.400,00
12 0 7.500,00 450,00 7.950,00
TOTAL ------ 90.000,00 ------ ------
Tabela 4 – Calculo das prestações via SAC.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Após a soma dos valores no sistema SAC e no PRICE, devemos realizar a divisão por dois (média 
aritmética), caracterizando, assim, os valores das prestações no sistema SAM, como mostramos 
na tabela a seguir.
Mês Prestação	(SAC) Prestação	(PRICE) Prestação
0 -------- -------- --------
1 12.900,00 10.734,932 11.817,47
2 12.450,00 10.734,932 11.592,47
3 12.000,00 10.734,932 11.367,47
4 11.550,00 10.734,932 11.142,47
5 11.100,00 10.734,932 10.917,47
6 10.650,00 10.734,932 10.692,47
7 10.200,00 10.734,932 10.467,47
8 9.750,00 10.734,932 10.242,47
9 9.300,00 10.734,932 10.017,47
10 8.850,00 10.734,932 9.792,47
11 8.400,00 10.734,932 9.567,47
12 7.950,00 10.734,932 9.342,47
Tabela 5 – Calculo das prestações da situação no sistema SAM.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Agora, passamos ao cálculo do esquema de amortização do financiamento. No sistema SAM, 
os juros são calculados mensalmente sobre o valor do saldo devedor do período anterior, e a 
amortização é calculada pela diferença entre os valores da prestação e dos juros. 
Note que tal processo é semelhante ao que fizemos no sistema PRICE. Além disso, observe que 
no sistema SAM a prestação é decrescente, como acontece no sistema SAC. Os valores dos juros 
e das prestações de amortização são mostrados a seguir. 
19
Mês Saldo	Devedor Prestação Juros	(6%	ao	mês) Amortização
0 90.000,00 -------- -------- --------
1 83.582,53 11.817,47 5.400,00 6.417,47
2 77.005,01 11.592,47 5.014,95 6.577,52
3 70.257,84 11.367,47 4.620,30 6.747,17
4 63.330,84 11.142,47 4.215,47 6.927,00
5 56.213,22 10.917,47 3.799,85 7.117,62
6 48.893,55 10.692,47 3.372,79 7.319,68
7 41.359,69 10.467,47 2.933,61 7.533,86
8 33.598,80 10.242,47 2,481,58 7.760,89
9 25.597,26 10.017,47 2.015,93 8.001,54
10 17.340,62 9.792,47 1.525,84 8.256,63
11 8.813,59 9.567,47 1.040,44 8.527,03
12 (0,06) 9.342,47 528,82 8.813,65
TOTAL ------ 90.000,00 ------ 90.000,00
Tabela 6 – Valores dos juros e amortizações no SAM.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Gustavo Loyola é sócio-diretor da Tendências Consultoria Integrada e ex-presidente do 
Banco Central. Atua diretamente no mercado financeiro brasileiro, especificamente em 
consultorias da bolsa de valores e de investimentos empresariais.
VOCÊ O CONHECE?
4.5 Sistema de Amortização Americano (SAA)
Esse sistema é comumente utilizado em financiamentos internacionais. É um tipo de pagamento 
de empréstimos que se caracteriza pelo pagamento apenas dos juros da dívida (juros sendo pa-
gos periodicamente), deixando o valor da dívida constante, sendo que tal valor pode ser pago de 
uma só vez. Dependendo do contrato firmado entre as partes, os juros são capitalizados e pagos 
junto ao valor principal. 
Vejamos um exemplo de tal sistema de amortização.
20 Laureate- International Universities
Matemática para gestores
Exemplo: Carla faz um empréstimo no valor de R$ 50.000,00, que será pago através do sistema 
americano no prazo de 10 meses, a juros mensais de 3% ao mês. Vejamos os cálculos associados 
a essa situação a seguir. 
Solução: deve ser observado que no modelo de amortização americana, a quitação do emprés-
timo ocorrerá no último mês, então, nos meses anteriores, Carla irá pagar somente o valor dos 
juros, ou seja, Juros = 3% de R$50.000,00 = R$1.500,00. Acompanhe a planilha.
Mês	 Saldo	Devedor Amortização Juros	(3%	a.s.)	 Prestação
0 50.000,00 -------- -------- --------
1 50.000,00 -------- 1.500,00 1.500,00
2 50.000,00 -------- 1.500,00 1.500,00
3 50.000,00 -------- 1.500,00 1.500,00
4 50.000,00 -------- 1.500,00 1.500,00
5 50.000,00 -------- 1.500,00 1.500,00
6 50.000,00 -------- 1.500,00 1.500,00
7 50.000,00 -------- 1.500,00 1.500,00
8 50.000,00 -------- 1.500,00 1.500,00
9 50.000,00 -------- 1.500,00 1.500,00
10 ----------- 50.000,00 1.500,00 51.500,00
TOTAL ------ 50.000,00 15.000,00 65.000,00
Figura 7 – Valores dos juros e amortizações no SAA do exemplo.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
NÃO DEIXE DE VER...
Indicamos o filme Inside Job (Trabalho Interno). Trata-se de um documentário dirigido 
por Charles Ferguson, lançado em 2010, que faz uma análise profunda dos fatores que 
levaram à crise financeira de 2008. O diretor realizou uma abrangente pesquisa e o 
filme apresenta entrevistas com grandes políticos, empresários, jornalistas e consultores 
do mercado financeiro.
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De forma resumida, com relação aos sistemas de amortização apresentados nesta Unidade, po-
demos observar suas especificidades por meio da Figura 8.
Sistema Prestação	de	
Amortização
Juros Prestação	do		
Financiamento
Utilização
SAC
Constantes 
ou Iguais
Decrescentes
Periódica, Sucessiva e 
Decrescente em PA
Financiamentos 
Imobiliários
PRICE Crescentes Decrescentes
Iguais, Periódicas 
e Sucessivas
Financiamentos de 
Motos e Veículos
SAM Crescentes Decrescentes
Prestações Iniciais 
maiores
Empréstimos 
Pessoais
SAA
Paga no último 
período
Pagos periodi-
camente
Iguais exceto no último 
período (acrescenta-se 
a amortização)
Operações 
Internacionais
Figura 8 – Comparativo entre os sistemas de amortização.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
22 Laureate- International Universities
Síntese
Vimos neste capítulo que é de fundamental importância o entendimento dos sistemas de amorti-
zação, já que a todo momento estamos sujeitos a realizar um financiamento. 
Ao pedirmos um empréstimo, é importante pagá-lo o mais rápido possível, de forma a minimizar 
os custos envolvidos. Além disso, vimos que a forma de devolução do principal acrescido dos 
juros é chamada de Sistema de Amortização. 
Com base no conteúdo deste capítulo, podemos afirmar que:
•	 Temos vários conceitos importantes para o entendimento dos sistemas de amortização, 
tais como credor, devedor, taxa, amortização e planilha.
•	 Os principais sistemas de amortização praticados no Brasil são o SAC, o PRICE e o SAM.
•	 O Sistema de Amortização Constante (SAC) apresenta parcelas de amortização constantese juros decrescentes. Assim, as parcelas são decrescentes em progressão aritmética. 
•	 O sistema SAC é amplamente utilizado no financiamento imobiliário brasileiro e é 
conhecido, também, como Sistema Hamburguês.
•	 O Sistema de Amortização Francês, ou Tabela PRICE, apresenta parcelas iguais, periódicas 
e sucessivas. Além disso, os juros são decrescentes e as amortizações são crescentes. A 
soma dessas duas parcelas permanece sempre igual ao valor da prestação.
•	 No sistema PRICE, quando a taxa de juros é anual, com pagamento mensal, semestral ou 
trimestral, usa-se a taxa proporcional ao período de pagamento. Quando a taxa de juros 
é mensal, com pagamento semestral, trimestral ou anual, usa-se a taxa equivalente ao 
período de pagamento.
•	 O Sistema de Amortização Misto (SAM) é uma mistura entre o SAC e o PRICE. A prestação 
é a média aritmética desses dois sistemas.
•	 No contexto histórico, podemos dizer que o Sistema de Amortização Misto (SAM) foi 
desenvolvido para as operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação.
•	 O Sistema Americano de Amortização (SAA) é um tipo de quitação de empréstimo que 
favorece aqueles que desejam pagar o valor principal através de uma única parcela.
•	 No SAA, os juros são pagos periodicamente ou, dependendo do contrato firmado entre as 
partes, os juros são capitalizados e pagos junto ao valor principal.
•	 O SAA é muito utilizado em financiamentos de cunho internacional.
Síntese
23
Referências
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática	financeira	com	HP	12C	e	Excel. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2006.
HAZZAN, Samuel; POMPEU, José Nicolau. Matemática	Financeira. 6ª Ed. São Paulo: Saraiva, 
2007. 
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática	financeira:	objetiva	e	aplicada. 8ª Ed. São Paulo: 
Saraiva, 2009.
PUCCINI, Ernesto Coutinho. Matemática	financeira	e	análise	de	investimentos. Florianó-
polis: Departamento de Ciências da Administração/UFSC; [Brasília]: CAPES: UAB, 2011. 
SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática	financeira:	aplicações	à	análise	de	investimen-
tos. 3ª Ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2002.
Bibliográficas