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A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial ANÁLISE NÃO LINEAR DE TRELIÇAS PLANAS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Júlio Cesar dos Santos (1) (sanjulio2000@yahoo.com.br), Sérgio Luiz Moni Ribeiro Filho (sergiolmrf@gmail.com) (2) , André Luis Christoforo (3) (alchristoforo@yahoo.com.br), Zélia Maria Velloso Missagia (4) (zmissagia@hotmail.com), Francisco Antonio Rocco Lahr (5) (frocco@sc.usp.br) (1 - 4) Universidade Federal de São João del-Rei (UFSJ); Departamento de Engenharia Mecânica (5) Universidade de São Paulo (USP), Departamento de Engenharia de Estruturas. RESUMO: Estruturas treliçada são comumente encontradas na construção civil, em projetos mecânicos entre outros. Estas estruturas são idealizadas de maneira que os seus elementos componentes estejam sujeitos a açào de esforços normais, apresentando comportamento mecânico eficiente pela boa relação entre carregamento suportado e peso. No projeto destas esruturas devem ser levados em consideração efeitos de segunda ordem, que permitam quantificar a capacidade de carga última da estrutura sem o surgimento do fenômeno da flambagem ou também, avaliar o comportamento da estrutura após a ocorrência deste fenômeno. Este trabalho tem por objetivo, apresentar um programa desenvolvido nos fundamentos do Método dos Elementos Finitos destinado ao estudo do comportamento não linear geométrico de estruturas planas do tipo treliça. Um exemplo de cálculo é avaliado por meio do software de maneira a se apresentar as suas potencialidades, evidenciando-se a importância deste tipo de análise. PALAVRAS-CHAVE: treliças, instabilidade, método dos elementos finitos. ANALYSIS OF NON-LINEAR PLAIN BY FINITE ELEMENT METHOD ABSTRACT: Truss structures are commonly found in construction, Mechanical design and others. These structures are idealized so that their components are subject to normal action efforts, providing efficient mechanical behavior for the good relationship between load and weight supported. These structure projects should be considered second-order effects, to quantify the ultimate load capacity of the structure without the emergence of the phenomenon of buckling and also to evaluate the behavior of the structure after the occurrence of this phenomenon. This paper aims to present a program developed in the fundamentals of Finite Element Method for the study of geometric nonlinear behavior of flat-type truss structures. An example calculation is evaluated by the software in order to perform their potential, demonstrating the importance of this type of analysis. KEYWORDS: trusses, instability, finite element method. 2° COEN – UFSJ 12° CONEMI São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial | 2 1 INTRODUÇÃO Mesmo sabendo-se que as estruturas civis são projetadas para trabalharem dentro de regimes de pequenos deslocamentos e pequenas deformações, pode-se dizer que em alguns casos a análise com não linearidade geométrica (NLG) é importante, pois além de permitir um estudo mais preciso sobre o comportamento das estruturas uma análise desse tipo permite detectar a perda de estabilidade do equilíbrio por aparecimento de ponto de bifurcação ou de ponto limite. O ponto de bifurcação define um determinado estágio do carregamento a cima do qual as soluções equilibradas deixam de ser únicas. O ponto de bifurcação também é chamado de carga crítica. O ponto limite define um estágio do carregamento que encerra uma sucessão de configurações estáveis de equilíbrio, sem o aparecimento de pontos de bifurcação. Em termos práticos o ponto limite é a máxima carga que a estrutura suporta em regime estático, pois um pequeno incremento além do ponto limite provoca um movimento dinâmico na estrutura. O problema da não linearidade geométrica está relacionado com o equilíbrio da estrutura, submetida a um estado de carregamentos, na posição deformada. Como a estrutura apresenta uma configuração (geometria) inicial no instante de aplicação das cargas, não se conhece a posição deformada até que se faça o equilíbrio de forças. Portanto, o equilíbrio na posição inicial e na posição deformada são interdependentes e de solução iterativa (problema não linear). Para uma análise mais “requintada”, seria ainda possível considerar a mudança de posição dos carregamentos. Este trabalho objetiva apresentar um programa desenvolvido nos fundamentos do Método dos Elementos Finitos para a análise de estruturas plana do tipo treliça considerando- se a não linearidade geométrica. 2 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS O Método dos Elementos Finitos (MEF) mostra-se como uma excelente ferramenta de cálculo utilizada para analisar o comportamento dos materiais empregados em projetos estruturais, assim como o de avaliar o desempenho mecânico dessas estruturas. Historicamente, o MEF surgiu em 1955, como evolução da análise matricial de modelos reticulados, motivado pelo advento do computador e elaborado com o intuito de se projetar estruturas de modelos contínuos. O MEF pode ser considerado como uma técnica de gerar funções de aproximação, que podem ser utilizadas para interpolar deslocamentos, esforços, tensões e deformações ao longo do domínio do elemento. Para a resolução aproximada de problemas estruturais segundo o MEF, as funções de forma podem ser aplicadas diretamente à sua equação diferencial (Resíduos Ponderados) ou a princípios energéticos, tais como o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV). O deslocamento em problemas estruturais elásticos é tido como incógnita fundamental, obtido por intermédio da resolução de um sistema de equações lineares, assim como expressa a equação 1, sendo que a sua construção fica em função da disposição da malha, e conseqüentemente, dos nós dos elementos finitos na estrutura, como pode ser visto na Figura 1. 2° COEN – UFSJ 12° CONEMI São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial | 3 FIGURA 1. Exemplo de discretização de uma malha de elementos finitos em uma treliça. [K]{U}={F} (1) em que: [K] - matriz de rigidez da estrutura; {U} - vetor dos deslocamentos nodais da estrutura; {F} - vetor das forças equivalentes nodais da estrutura. Com relação ao emprego do MEF na avaliação do desempenho mecânico de estruturas alguns trabalhos podem ser citados tais como o de Alvarenga e Antunes (1994), Cheung e Lindquist (2004), Christoforo (2007), Góes (2004), Mascia (1991), Rigo (1999) entre outros. 3 CONSIDERAÇÕES SOBRE A ANÁLISE NÃO LINEAR GEOMÉTRICA Neste trabalho adotou-se as seguintes hipóteses: - Pequenas deformações; - Pequenas rotações; - Relação carga-deslocamento não linear tanto em regime elástico como plástico. Para o caso da não linearidade geométrica, utilizou-se a medida de deformação de Green: 2 0 2 0 2 2 1 L LL G (2) 2° COEN – UFSJ 12° CONEMI São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial | 4 No caso de não consideração da não linearidade geométrica, a deformação utilizada foi a de medida linear: 0 0 0 L LL L L L (3) sendo L é o comprimento atual da barra e 0L o comprimento inicial. As duas medidas de deformação se relacionam por: 2 2 1 LLG (4) Para pequenas deformações tem-se que LG . Utilizou-se a seguinte expressão para o cálculo dos esforços axiais ( N ) nas barras: EAN (5) sendo A é a área inicial da seção transversal da barra. 4 ASPECTOS COMPUTACIONAIS Aqui são apresentadas algumas das principais características computacionais utilizadas na elaboração do programa TNLG, desenvolvido na linguagem Fortran. 4.1 Sistema de Coordenadas O sistema de equações a ser resolvido é do tipo FUK no passo elástico e UK no passo não linear, onde K é a matriz de rigidez atualizada, U o vetor dos deslocamentos, F o vetor das forças nodais e o vetor dos resíduos (diferença entre F aplicado e F devido aos esforços internos). Os vetores são montados de acordo com os sistemas de coordenadas locais de cada elemento finito de barra. Os coeficientes da matriz de rigidez local de cada barra representam esforços internos necessários para a aplicação de deslocamentos unitários nos graus de liberdade locais. Os vetores devem ser representados em um sistema que possibilite a compatibilidade de graus de liberdade, chamado de sistema global de coordenadas. Portanto, é necessário transformar as equações obtidas de forma independente para cada barra em coordenadas locais, em um sistema de equações que represente a estrutura como um todo. A matriz transforma os vetores de um nó do elemento, a matriz que transforma as coordenadas dos dois nós é representada por: 2° COEN – UFSJ 12° CONEMI São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial | 5 cossen00 sencos00 00cossen 00sencos e (6) O sistema de equações lineares considerando o sistema de coordenadas globais é explicitado na equação7. FUK e T eee T e FIUK FUK (7) Em coordenadas globais, os termos das matrizes de rigidez dos elementos ee T e K correspondentes a graus de liberdade comuns, são somados, obtendo-se assim a matriz de rigidez da estrutura K em coordenadas globais. 4.2 Matriz de Rigidez De acordo com PROENÇA (1997), a matriz de rigidez tangente do elemento eK é composta pela soma de outras três matrizes: LSe KKKK 0 (8) sendo 0K a matriz de rigidez elástica, SK a matriz de rigidez geométrica e LK a matriz de correção das coordenadas, expressas respectivamente pelas equações 9, 10 e 11. 0000 0101 0000 0101 0 0 L AE K (9) 2° COEN – UFSJ 12° CONEMI São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial | 6 1010 0101 1010 0101 0L N K S (10) 2 221 2 221 21 2 121 2 1 2 221 2 221 21 2 121 2 1 3 0 22 2121 22 2121 2 0 ˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆ 0ˆ0ˆ ˆˆ2ˆˆ2 0ˆ0ˆ ˆˆ2ˆˆ2 UUUUUU UUUUUU UUUUUU UUUUUU L AE UU UUUU UU UUUU L AE K L (11) Da matriz de rigidez elástica e da matriz de correção de coordenadas, tem-se que 131 ˆ uuU e 242 ˆ uuU , sendo u o deslocamento em coordenadas locais na barra analisada e E é o módulo de elasticidade atualizado. A descrição Lagrangiana total foi utilizada na formulação das matrizes acima. A matriz de rigidez tangente TK (em coordenadas globais) é obtida pela transformação de eK segundo a equações (7). 44342414 34332313 24232212 14131211 KKKK KKKK KKKK KKKK KT (12) 4.3 Forças Internas O vetor das forças internas do elemento INTeF é obtido através da soma de dois vetores que representam as contribuições dos esforços internos na barra. Sendo o segundo vetor utilizado apenas no caso em que se considera o efeito da não linearidade geométrica. 2 1 2 1 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 1 0 1 U U U U L N NF INTe (13) É necessário escrever o vetor das forças internas em coordenadas globais, através da seguinte transformação: 2° COEN – UFSJ 12° CONEMI São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial | 7 INTe T e INT FF (14) 4.4 Forças Externas O vetor das forças externas EXTF é montado a partir dos carregamentos aplicados nas barras da estrutura. O carregamento de domínio Xq , uniformemente aplicado no eixo axial da barra, deve ser transformado em carregamento nodal, em coordenadas globais. O tipo de carregamento mais usual em problemas de treliça é o de cargas concentradas ( 1F , 2F , 3F e 4F ). 4 3 2 1 F F F F F EXT (15) 4.5 Formulação para o Sistema de Equações O algoritmo desenvolvido baseia-se na aplicação de incrementos de carga EXTF na estrutura. Desta forma, é possível descrever o comportamento estrutural de forma mais detalhada, além de diminuir os eventuais erros numéricos de processamento. Em cada passo de carga, calcula-se inicialmente uma previsão elástica para o carregamento aplicado. Em seguida, considerando-se os efeitos não lineares, calcula-se INTF e o vetor dos resíduos . Na resolução do sistema, optou-se por zerar a linha e a coluna do grau de liberdade restrito na matriz de rigidez, fazendo com que o elemento da diagonal da matriz seja unitário e nos vetores seja nulo. Assim, impõem-se apoios rígidos com deslocamentos nulos nos graus de liberdade desejados. 5 PROBLEMA MODELO E SOLUÇÃO A estrutura treliçada do problema modelo(treliça abatida), ver Figura 2, é composta por duas barras e uma carga vertical aplicada na coordenada genérica 2, com valor KNP 30 , sendo esta dividida em seis incrementos de força KNP 5 . As variáveis estruturais definidas para esta análise são: 2/00520 cmKNE , 2/20,0 cmKNY , 2526,6 cmA , cmL 150 e cmH 10 . 2° COEN – UFSJ 12° CONEMI São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial | 8 FIGURA 2. Problema modelo. A Figura 3 ilustra a evolução dos deslocamentos mediante o aumento progressivo dos incrementos de força. FIGURA 3. Relação força x deslocamento. No terceiro passo de carga ocorreu o salto “snap through”, onde para esse intervalo a estrutura encontrava-se em desequilíbrio (mudança brusca de deslocamentos capaz de mudar a posição da estrutura inicialmente consebida). O programa necessitou de 38 iterações para encontrar o equilibrio na nova configuração. 6 CONCLUSÕES Da estrutura do problema modelo constata-se a importância da análise não linear geométrica, uma vez que o fenômeno de salto apenas pode ser avaliado considerando-se efeitos de segunda ordem, ou seja, considerando equilíbrio da estrutura na sua configuração 2° COEN – UFSJ 12° CONEMI São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial | 9 deslocada. Além da presente aplicação, o programa TNLG permite avaliar o comportamento de estruturas que por algum motivo depois de projetadas apresentaram comportamento mecânico indesejado, além outras aplicações. 7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALVARENGA, R. C. S. S.; ANTUNES, H. M. C. C. Otimização de treliças. In: Congresso Ibero Latino-Americano Sobre Métodos Computacionais para Engenharia, 15., Belo Horizonte, MG. Anais, pp 1699-1708, 1994. CHEUNG, A. B.; LINDQUIST, M.; CALIL, C. J. Calibração de propriedades elásticas de uma placa ortótropa utilizando algoritmos genéticos. In: Revista Sul-americana de Engenharia Estrutural. Universidade de Passo Fundo. Mato Grosso do Sul. Vol.1, nº 2, pp74- 92, 2004. CALLISTER JUNIOR, W. D. Materials science and engineering: an introduction. USA: John Wiley & Sons, 2002. CHRISTOFORO, A. L, “Influência das irregularidades da forma em peças de madeira na determinação do módulo de elasticidade longitudinal”, Tese de Doutorado, EESC – USP, 2007. DANIEL, I. 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