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Artigo Científico - ANÁLISE NÃO LINEAR DE TRELIÇAS PLANAS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

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A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes 
Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG 
Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 
ANÁLISE NÃO LINEAR DE TRELIÇAS PLANAS PELO MÉTODO DOS 
ELEMENTOS FINITOS 
 
Júlio Cesar dos Santos 
(1)
 (sanjulio2000@yahoo.com.br), Sérgio Luiz Moni Ribeiro Filho 
(sergiolmrf@gmail.com) 
(2)
, André Luis Christoforo 
(3)
 (alchristoforo@yahoo.com.br), Zélia Maria 
Velloso Missagia
 (4)
 (zmissagia@hotmail.com), Francisco Antonio Rocco Lahr
 (5)
 (frocco@sc.usp.br) 
 
(1 - 4) Universidade Federal de São João del-Rei (UFSJ); Departamento de Engenharia Mecânica 
(5) Universidade de São Paulo (USP), Departamento de Engenharia de Estruturas. 
 
RESUMO: Estruturas treliçada são comumente encontradas na construção civil, em projetos 
mecânicos entre outros. Estas estruturas são idealizadas de maneira que os seus elementos 
componentes estejam sujeitos a açào de esforços normais, apresentando comportamento mecânico 
eficiente pela boa relação entre carregamento suportado e peso. No projeto destas esruturas devem 
ser levados em consideração efeitos de segunda ordem, que permitam quantificar a capacidade de 
carga última da estrutura sem o surgimento do fenômeno da flambagem ou também, avaliar o 
comportamento da estrutura após a ocorrência deste fenômeno. Este trabalho tem por objetivo, 
apresentar um programa desenvolvido nos fundamentos do Método dos Elementos Finitos destinado 
ao estudo do comportamento não linear geométrico de estruturas planas do tipo treliça. Um exemplo 
de cálculo é avaliado por meio do software de maneira a se apresentar as suas potencialidades, 
evidenciando-se a importância deste tipo de análise. 
 
PALAVRAS-CHAVE: treliças, instabilidade, método dos elementos finitos. 
 
ANALYSIS OF NON-LINEAR PLAIN BY FINITE ELEMENT METHOD 
 
ABSTRACT: Truss structures are commonly found in construction, Mechanical design and others. 
These structures are idealized so that their components are subject to normal action efforts, providing 
efficient mechanical behavior for the good relationship between load and weight supported. These 
structure projects should be considered second-order effects, to quantify the ultimate load capacity of 
the structure without the emergence of the phenomenon of buckling and also to evaluate the behavior 
of the structure after the occurrence of this phenomenon. This paper aims to present a program 
developed in the fundamentals of Finite Element Method for the study of geometric nonlinear 
behavior of flat-type truss structures. An example calculation is evaluated by the software in order to 
perform their potential, demonstrating the importance of this type of analysis. 
 
KEYWORDS: trusses, instability, finite element method. 
 
 
2° COEN – UFSJ 
12° CONEMI 
São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 
 
 
A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes 
Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG 
Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial | 2 
 
1 INTRODUÇÃO 
Mesmo sabendo-se que as estruturas civis são projetadas para trabalharem dentro de 
regimes de pequenos deslocamentos e pequenas deformações, pode-se dizer que em alguns 
casos a análise com não linearidade geométrica (NLG) é importante, pois além de permitir um 
estudo mais preciso sobre o comportamento das estruturas uma análise desse tipo permite 
detectar a perda de estabilidade do equilíbrio por aparecimento de ponto de bifurcação ou de 
ponto limite. 
O ponto de bifurcação define um determinado estágio do carregamento a cima do qual 
as soluções equilibradas deixam de ser únicas. O ponto de bifurcação também é chamado de 
carga crítica. 
O ponto limite define um estágio do carregamento que encerra uma sucessão de 
configurações estáveis de equilíbrio, sem o aparecimento de pontos de bifurcação. Em termos 
práticos o ponto limite é a máxima carga que a estrutura suporta em regime estático, pois um 
pequeno incremento além do ponto limite provoca um movimento dinâmico na estrutura. 
O problema da não linearidade geométrica está relacionado com o equilíbrio da 
estrutura, submetida a um estado de carregamentos, na posição deformada. Como a estrutura 
apresenta uma configuração (geometria) inicial no instante de aplicação das cargas, não se 
conhece a posição deformada até que se faça o equilíbrio de forças. Portanto, o equilíbrio na 
posição inicial e na posição deformada são interdependentes e de solução iterativa (problema 
não linear). Para uma análise mais “requintada”, seria ainda possível considerar a mudança de 
posição dos carregamentos. 
Este trabalho objetiva apresentar um programa desenvolvido nos fundamentos do 
Método dos Elementos Finitos para a análise de estruturas plana do tipo treliça considerando-
se a não linearidade geométrica. 
2 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
O Método dos Elementos Finitos (MEF) mostra-se como uma excelente ferramenta de 
cálculo utilizada para analisar o comportamento dos materiais empregados em projetos 
estruturais, assim como o de avaliar o desempenho mecânico dessas estruturas. 
Historicamente, o MEF surgiu em 1955, como evolução da análise matricial de 
modelos reticulados, motivado pelo advento do computador e elaborado com o intuito de se 
projetar estruturas de modelos contínuos. 
O MEF pode ser considerado como uma técnica de gerar funções de aproximação, que 
podem ser utilizadas para interpolar deslocamentos, esforços, tensões e deformações ao longo 
do domínio do elemento. 
Para a resolução aproximada de problemas estruturais segundo o MEF, as funções de 
forma podem ser aplicadas diretamente à sua equação diferencial (Resíduos Ponderados) ou a 
princípios energéticos, tais como o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV). 
O deslocamento em problemas estruturais elásticos é tido como incógnita 
fundamental, obtido por intermédio da resolução de um sistema de equações lineares, assim 
como expressa a equação 1, sendo que a sua construção fica em função da disposição da 
malha, e conseqüentemente, dos nós dos elementos finitos na estrutura, como pode ser visto 
na Figura 1. 
 
2° COEN – UFSJ 
12° CONEMI 
São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 
 
 
A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes 
Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG 
Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial | 3 
 
FIGURA 1. Exemplo de discretização de uma malha de elementos finitos em uma treliça. 
 
[K]{U}={F} (1) 
 
em que: 
[K] - matriz de rigidez da estrutura; 
{U} - vetor dos deslocamentos nodais da estrutura; 
{F} - vetor das forças equivalentes nodais da estrutura. 
 
Com relação ao emprego do MEF na avaliação do desempenho mecânico de estruturas 
alguns trabalhos podem ser citados tais como o de Alvarenga e Antunes (1994), Cheung e 
Lindquist (2004), Christoforo (2007), Góes (2004), Mascia (1991), Rigo (1999) entre outros. 
 
3 CONSIDERAÇÕES SOBRE A ANÁLISE NÃO LINEAR GEOMÉTRICA 
Neste trabalho adotou-se as seguintes hipóteses: 
- Pequenas deformações; 
- Pequenas rotações; 
- Relação carga-deslocamento não linear tanto em regime elástico como plástico. 
Para o caso da não linearidade geométrica, utilizou-se a medida de deformação de 
Green: 
 







 

2
0
2
0
2
2
1
L
LL
G
 (2) 
 
 
2° COEN – UFSJ 
12° CONEMI 
São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes 
Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG 
Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial | 4 
No caso de não consideração da não linearidade geométrica, a deformação utilizada foi a de 
medida linear: 
0
0
0 L
LL
L
L
L




 (3) 
sendo 
L
 é o comprimento atual da barra e 
0L
 o comprimento inicial. 
As duas medidas de deformação se relacionam por: 
 
2
2
1
LLG  
 (4) 
Para pequenas deformações tem-se que 
LG  
. 
Utilizou-se a seguinte expressão para o cálculo dos esforços axiais (
N
) nas barras: 
 
EAN 
 (5) 
 
sendo 
A
 é a área inicial da seção transversal da barra. 
4 ASPECTOS COMPUTACIONAIS 
Aqui são apresentadas algumas das principais características computacionais utilizadas na 
elaboração do programa TNLG, desenvolvido na linguagem Fortran. 
4.1 Sistema de Coordenadas 
O sistema de equações a ser resolvido é do tipo 
    FUK 
 no passo elástico e 
    UK
 no passo não linear, onde 
 K
 é a matriz de rigidez atualizada, 
 U
 o vetor 
dos deslocamentos, 
 F
 o vetor das forças nodais e 
 
 o vetor dos resíduos (diferença entre 
 F
 aplicado e 
 F
 devido aos esforços internos). 
Os vetores são montados de acordo com os sistemas de coordenadas locais de cada 
elemento finito de barra. Os coeficientes da matriz de rigidez local de cada barra representam 
esforços internos necessários para a aplicação de deslocamentos unitários nos graus de 
liberdade locais. Os vetores devem ser representados em um sistema que possibilite a 
compatibilidade de graus de liberdade, chamado de sistema global de coordenadas. 
Portanto, é necessário transformar as equações obtidas de forma independente para 
cada barra em coordenadas locais, em um sistema de equações que represente a estrutura 
como um todo. 
A matriz 
 
 transforma os vetores de um nó do elemento, a matriz que transforma as 
coordenadas dos dois nós é representada por: 
 
2° COEN – UFSJ 
12° CONEMI 
São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 
 
 
A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes 
Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG 
Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial | 5 
 
 




















cossen00
sencos00
00cossen
00sencos
e (6) 
 
O sistema de equações lineares considerando o sistema de coordenadas globais é explicitado 
na equação7. 
 
          FUK e
T
eee
T
e  

     FIUK 

    FUK 
 (7) 
 
Em coordenadas globais, os termos das matrizes de rigidez dos elementos 
    ee
T
e K 
 
correspondentes a graus de liberdade comuns, são somados, obtendo-se assim a matriz de rigidez da 
estrutura 
 K
 em coordenadas globais. 
 
4.2 Matriz de Rigidez 
De acordo com PROENÇA (1997), a matriz de rigidez tangente do elemento 
 eK
 é composta 
pela soma de outras três matrizes: 
 
       LSe KKKK  0
 (8) 
 
sendo 
 0K
 a matriz de rigidez elástica, 
 SK
 a matriz de rigidez geométrica e 
 LK
 a matriz de 
correção das coordenadas, expressas respectivamente pelas equações 9, 10 e 11. 
 
 















0000
0101
0000
0101
0
0
L
AE
K
 
 
(9) 
 
2° COEN – UFSJ 
12° CONEMI 
São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 
 
 
A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes 
Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG 
Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial | 6 
 

















1010
0101
1010
0101
0L
N
K S
 
 
(10) 
 






































2
221
2
221
21
2
121
2
1
2
221
2
221
21
2
121
2
1
3
0
22
2121
22
2121
2
0
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
 
0ˆ0ˆ
ˆˆ2ˆˆ2
0ˆ0ˆ
ˆˆ2ˆˆ2
UUUUUU
UUUUUU
UUUUUU
UUUUUU
L
AE
UU
UUUU
UU
UUUU
L
AE
K L (11) 
 
Da matriz de rigidez elástica e da matriz de correção de coordenadas, tem-se que 
131
ˆ uuU 
 e 
242
ˆ uuU 
, sendo 
u
 o deslocamento em coordenadas locais na barra 
analisada e 
E
 é o módulo de elasticidade atualizado. 
A descrição Lagrangiana total foi utilizada na formulação das matrizes acima. 
A matriz de rigidez tangente 
 TK
 (em coordenadas globais) é obtida pela 
transformação de 
 eK
 segundo a equações (7). 
 
 













44342414
34332313
24232212
14131211
KKKK
KKKK
KKKK
KKKK
KT (12) 
 
4.3 Forças Internas 
O vetor das forças internas do elemento 
 INTeF
 é obtido através da soma de dois 
vetores que representam as contribuições dos esforços internos na barra. Sendo o segundo 
vetor utilizado apenas no caso em que se considera o efeito da não linearidade geométrica. 
 
 
































2
1
2
1
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0
1
0
1
U
U
U
U
L
N
NF INTe (13) 
 
É necessário escrever o vetor das forças internas em coordenadas globais, através da 
seguinte transformação: 
 
 
2° COEN – UFSJ 
12° CONEMI 
São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 
 
 
A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes 
Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG 
Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial | 7 
     INTe
T
e
INT FF 
 (14) 
4.4 Forças Externas 
O vetor das forças externas 
 EXTF
 é montado a partir dos carregamentos aplicados 
nas barras da estrutura. O carregamento de domínio 
 Xq
, uniformemente aplicado no eixo 
axial da barra, deve ser transformado em carregamento nodal, em coordenadas globais. O tipo 
de carregamento mais usual em problemas de treliça é o de cargas concentradas (
1F
,
2F
,
3F
 e 
4F
). 
 
 















4
3
2
1
F
F
F
F
F EXT (15) 
 
4.5 Formulação para o Sistema de Equações 
O algoritmo desenvolvido baseia-se na aplicação de incrementos de carga 
 EXTF
 na 
estrutura. Desta forma, é possível descrever o comportamento estrutural de forma mais 
detalhada, além de diminuir os eventuais erros numéricos de processamento. 
Em cada passo de carga, calcula-se inicialmente uma previsão elástica para o 
carregamento aplicado. 
Em seguida, considerando-se os efeitos não lineares, calcula-se 
 INTF
 e o vetor dos 
resíduos 
 
. 
Na resolução do sistema, optou-se por zerar a linha e a coluna do grau de liberdade 
restrito na matriz de rigidez, fazendo com que o elemento da diagonal da matriz seja unitário e 
nos vetores seja nulo. Assim, impõem-se apoios rígidos com deslocamentos nulos nos graus 
de liberdade desejados. 
 
5 PROBLEMA MODELO E SOLUÇÃO 
A estrutura treliçada do problema modelo(treliça abatida), ver Figura 2, é composta 
por duas barras e uma carga vertical aplicada na coordenada genérica 2, com valor 
KNP 30
, sendo esta dividida em seis incrementos de força 
KNP 5
. As variáveis 
estruturais definidas para esta análise são: 
2/00520 cmKNE 
, 
2/20,0 cmKNY 
, 
2526,6 cmA 
, 
cmL 150
 e 
cmH 10
. 
 
 
2° COEN – UFSJ 
12° CONEMI 
São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 
 
 
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Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial | 8 
 
FIGURA 2. Problema modelo. 
 
A Figura 3 ilustra a evolução dos deslocamentos mediante o aumento progressivo dos 
incrementos de força. 
 
 
FIGURA 3. Relação força x deslocamento. 
 
No terceiro passo de carga ocorreu o salto “snap through”, onde para esse intervalo a 
estrutura encontrava-se em desequilíbrio (mudança brusca de deslocamentos capaz de mudar 
a posição da estrutura inicialmente consebida). O programa necessitou de 38 iterações para 
encontrar o equilibrio na nova configuração. 
6 CONCLUSÕES 
Da estrutura do problema modelo constata-se a importância da análise não linear 
geométrica, uma vez que o fenômeno de salto apenas pode ser avaliado considerando-se 
efeitos de segunda ordem, ou seja, considerando equilíbrio da estrutura na sua configuração 
 
2° COEN – UFSJ 
12° CONEMI 
São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 
 
 
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deslocada. Além da presente aplicação, o programa TNLG permite avaliar o comportamento 
de estruturas que por algum motivo depois de projetadas apresentaram comportamento 
mecânico indesejado, além outras aplicações. 
7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ALVARENGA, R. C. S. S.; ANTUNES, H. M. C. C. Otimização de treliças. In: Congresso 
Ibero Latino-Americano Sobre Métodos Computacionais para Engenharia, 15., Belo 
Horizonte, MG. Anais, pp 1699-1708, 1994. 
CHEUNG, A. B.; LINDQUIST, M.; CALIL, C. J. Calibração de propriedades elásticas de 
uma placa ortótropa utilizando algoritmos genéticos. In: Revista Sul-americana de 
Engenharia Estrutural. Universidade de Passo Fundo. Mato Grosso do Sul. Vol.1, nº 2, pp74-
92, 2004. 
CALLISTER JUNIOR, W. D. Materials science and engineering: an introduction. USA: 
John Wiley & Sons, 2002. 
CHRISTOFORO, A. L, “Influência das irregularidades da forma em peças de madeira na 
determinação do módulo de elasticidade longitudinal”, Tese de Doutorado, EESC – USP, 
2007. 
DANIEL, I. M., ISHAI, O. Engineering mechanics of composites materials. New York: 
Oxford University Press, 2006. 
GÓES, J. L. N. Modelos teóricos para o dimensionamento de pontes com tabuleiro 
multicelular de madeira protendida. In: XXXI Jornadas Sud-americanas de Ingeniería 
Estructural. Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional de Cuyo. Mendonça. Argentina. 
Anais, CD-ROM, 2004. 
MASCIA, N. T.. Considerações a respeito da anisotropia da madeira. Tese (Doutorado) – 
Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. São Carlos, SP, 1991. 
PROENÇA, S. P. B. (1997). Análise não-linear de estruturas. Notas de aula EESC/USP. 
RIGO, E. Métodos de otimização aplicados à análise de estruturas. Dissertação (Mestrado) – 
Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. São Carlos, SP, 1999.

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