Sérgio Carvalho - Curso de Estatística e Matemática Financeira
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Sérgio Carvalho - Curso de Estatística e Matemática Financeira


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.
.
222
4
4
4 ==
\u23a5\u23a5\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212
\u23a5\u23a5\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212
==
\u2211
\u2211
n
fiXPM
n
fiXPM
S
mC 
 
 Agora resta o principal: analisar esse resultado. Sempre que estivermos usando 
essa fórmula acima \u2013 o índice momento de curtose \u2013 interpretaremos o resultado da 
conta da seguinte forma: 
 
 Se C > 3 \u2192 Distribuição Leptocúrtica; 
 Se C = 3 \u2192 Distribuição Mesocúrtica; 
 Se C < 3 \u2192 Distribuição Platicúrtica. 
 
 Daí, como 0,024 é menor que 3, nossa conclusão é a de que estamos diante de 
uma distribuição platicúrtica Æ Resposta! 
 
 
54. (AFTN-1998) A tabela abaixo apresenta a evolução de preços e quantidades de 
cinco produtos: 
 
Ano 1960 (ano base) 1970 1979 
 Preço 
(po) 
Quant. 
(qo) 
Preço (p1) Preço (p2) 
Produto A 6,5 53 11,2 29,3 
Produto B 12,2 169 15,3 47,2 
Produto C 7,9 27 22,7 42,6 
Produto D 4,0 55 4,9 21,0 
Produto E 15,7 393 26,2 64,7 
Totais \u2211po.qo=9009,7 \u2211p1.qo=14358,3 \u2211p2.qo=37262,0 
 
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Assinale a opção que corresponde aproximadamente ao índice de Laspeyres para 1979 
com base em 1960. 
b) 415,1 b) 413,6 c) 398,6 d) 414,4 e) 416,6 
 
Sol.: Questão de números índices! Das antigas...! Nunca mais caiu nada parecido! Mas 
como a Esaf adora fazer sempre um flash-back (é o novo!), o melhor mesmo é ficar 
atento! 
 Esta questão trabalha com os índices (ditos complexos) de Laspeyres e de 
Paasche. São, na verdade, fórmulas que trabalham com valores de preços de produtos 
e as respectivas quantidades vendidas em diferentes épocas. No caso da tabela acima, 
temos cinco produtos (A, B, C, D e E), e seus preços correspondentes e quantidades 
vendidas nos anos de 1960, 1970 e 1979. Ainda foi dito, na linha superior da tabela, 
que o ano de 1960 é o ano-base, para efeito de aplicação da fórmula. 
 
 Temos que saber que os valores referentes ao ano-base (preço no ano-base e 
quantidade vendida no ano-base) recebem a seguinte nomenclatura: po e qo. E também 
que a cada vez que estivermos aplicando a fórmula do índice, estaremos sempre 
trabalhando com duas épocas distintas \u2013 dois anos diferentes \u2013 um dos quais será 
justamente o ano-base (símbolos po e qo). O outro ano, por sua vez, será dito ano-dado, 
e seus valores de preço e quantidade serão designados por pn e qn. 
 Daí, haverá dois distintos índices de Laspeyres e dois de Paasche. São os 
seguintes: 
 
Æ Índice de Preço de Paasche: \u2211
\u2211=
no
nn
qp
qp
Pa
.
.
 x 100 
 
Æ Índice de Quantidade de Paasche: \u2211
\u2211=
no
nn
pq
pq
Pa
.
.
 x 100 
 
Æ Índice de Preço de Laspeyres: \u2211
\u2211=
oo
on
qp
qp
La
.
.
 x 100 
 
Æ Índice de Quantidade de Laspeyres: \u2211
\u2211=
oo
on
pq
pq
La
.
.
 x 100 
 
 
Vamos aprender um jeito de memorizar estas quatro fórmulas! 
 
1º Passo) As quatro fórmulas começam com somatório sobre somatório! 
 
Æ Preço de Paasche: \u2211
\u2211=
..........
..........
Pa 
 
Æ Quantidade de Paasche: \u2211
\u2211=
...........
...........
Pa 
 
Æ Preço de Laspeyres: \u2211
\u2211=
...........
...........
La 
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Æ Quantidade de Laspeyres: \u2211
\u2211=
...........
...........
La 
 
2º Passo) Índice de preço começa com preço, enquanto índice de quantidade começa 
com quantidade! Teremos: 
 
Æ Preço de Paasche: \u2211
\u2211=
qp
qp
Pa
.
.
 
 
Æ Quantidade de Paasche: \u2211
\u2211=
pq
pq
Pa
.
.
 
 
Æ Preço de Laspeyres: \u2211
\u2211=
qp
qp
La
.
.
 
 
Æ Quantidade de Laspeyres: \u2211
\u2211=
pq
pq
La
.
.
 
 
3ºPasso) Agora, \u201camarraremos\u201d as quatro fórmulas, dando um \u201cnó\u201d (n,o) na 
vertical! 
 
Ficaremos com: 
 
Æ Preço de Paasche: \u2211
\u2211=
qp
qp
Pa
o
n
.
.
 
 
 
 
Æ Quantidade de Paasche: \u2211
\u2211=
pq
pq
Pa
o
n
.
.
 
 
 
Æ Preço de Laspeyres: \u2211
\u2211=
qp
qp
La
o
n
.
.
 
 
 
Æ Quantidade de Laspeyres: \u2211
\u2211=
pq
pq
La
o
n
.
.
 
 
 
4º Passo) Agora só nos resta complementar os dois preços ou quantidades que estão 
faltando em cada fórmula com os índices (o) ou (n). Saibamos que, para cada uma 
destas fórmulas, os índices que estão faltando são iguais, ou seja, estão faltando ou 
dois (o) ou dois (n). Aí, iremos nos lembrar do \u201cbizú do pão-de-ló\u201d. (Essa teoria, se é 
que podemos chamar assim, não existe em livro nenhum...é mais uma das minhas 
invenções malucas!) 
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Do bizú do pão-de-ló, nós só vamos aproveitar o \u201cló\u201d. O \u201cló\u201d traz o \u201cL\u201d de 
Laspeyres e o \u201co\u201d do índice \u201co\u201d. Daí, lembraremos da frase: \u201cLaspeyres é ló!\u201d E se 
Laspeyres é ló, então os dois índices que estão faltando para concluirmos as fórmulas 
de Laspeyres são ambos o próprio \u201co\u201d. Teremos: 
 
Æ Preço de Laspeyres: \u2211
\u2211=
oo
on
qp
qp
La
.
.
 (\u201cLaspeyres é ló\u201d!) 
 
 
Æ Quantidade de Laspeyres: \u2211
\u2211=
oo
on
pq
pq
La
.
.
 (\u201cLaspeyres é ló\u201d!) 
 
 
 
E quanto ao Paasche? Ora, Paasche não é ló! Então, concluímos que \u201cPaasche é 
n\u201d! Teremos: 
 
Æ Preço de Paasche: \u2211
\u2211=
no
nn
qp
qp
Pa
.
.
 (\u201cPaasche é n\u201d!) 
 
 
Æ Quantidade de Paasche: \u2211
\u2211=
no
nn
pq
pq
Pa
.
.
 (\u201cPaasche é n\u201d!) 
 
 
 Por último, é só multiplicar por cem! 
 
 Voltando ao nosso enunciado, vemos que ele pede que calculemos o índice de 
Laspeyres do ano 1979 tendo por base o de 1960. Ou seja, o ano-base é 1960, e o ano-
dado é o de 1979. Mas não foi dito expressamente, em momento algum, se esse índice 
seria de preço ou de quantidade! 
 E nem precisaria, uma vez que somos bons observadores! 
 Só teríamos que dar uma olhada nos dados fornecidos pela questão. Reparemos 
na última linha da tabela que nos foi fornecida, teremos o seguinte: 
 Æ \u2211po.qo=9009,7 e Æ \u2211p1.qo=14358,3 e Æ \u2211p2.qo=37262,0 
 
 Nestes três dados, temos preço antes de quantidade. Conclusão: teremos que 
achar o valor do índice de preço de Laspeyres! 
 Teremos: 
 
136,4
7,009.9
262.37
.
. === \u2211
\u2211
oo
on
qp
qp
La x 100 = 413,6 Æ Resposta! 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. (ANALISTA SERPRO-2001) Uma conta no valor de R$ 1.000,00 deve ser paga em 
um banco na segunda-feira, dia 5. O não pagamento no dia do vencimento implica 
uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de 
permanência de 0,1% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o 
valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 19 do mesmo mês 
considerando que não há nenhum feriado bancário no período. 
a) R$ 1.019,00 d) R$ 1.029,00 
b) R$ 1.020,00 e) R$ 1.030,00 
c) R$ 1.025,00 
 
Sol.: Quem diz que questão de prova não se repete comete um grande equívoco. Esta 
questão acima, que foi de 2001, é quase uma réplica de outra que caiu no segundo 
AFRF de 2002, a qual resolveremos também em outra ocasião. 
 Bem, o enunciado fala de uma conta que deverá ser paga até o dia 5. Caso haja 
qualquer atraso, o devedor arcará com dois encargos, representados por uma multa 
fixa de 2%, e pelos juros simples de 0,1% ao dia útil de atraso! 
 O cálculo da multa fixa é muito fácil. Aquela taxa de 2% incidirá sobre o valor da 
conta, e esse resultado será cobrado, independentemente de quantos dias seja o atraso! 
Por isso essa multa tem o nome de fixa. 
 
 Teremos, portanto: 
 Æ (2/100)