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# integral_definido._exercicios_resolvidos

DisciplinaCálculo I77.459 materiais1.370.200 seguidores
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```\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
\u2212
\u22c5+
\u2212
+
\u2212
\u22c5
=\u22c5
+\u22c5\u2212++
+\u2212\u2212
\u222b\u222b dx
x
x
x
x
x
dx
xxx
xx

Fazemos a substituição 2
2
2
t
x
x
=
+
\u2212
.
Então

\u21d2+\u22c5=\u22c5\u2212\u21d2\u22c5+\u22c5=\u2212\u21d2+\u22c5=\u2212\u21d2=
+
\u2212 )1(2222)2(2
2
2 222222 txtxttxxtxt
x
x

2
1
4
1
)22(
1
4
1
)22(4
1
224
1
22
22
2
22
2
2
2
2
2
\u2212
+
=
+
\u22c5+
\u2212
+
=
+
\u22c5+\u2212
=
+
\u22c5\u2212\u2212
=
+
\u22c5\u2212
=
tt
t
tt
t
t
t
t
t
x .

Portanto

( ) dtt
t
t
d
t
ddx \u22c5
+
\u2212=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
+
= 2222 1
8
1
42
1
4
.

Determinamos os limites de integração para a variável t :

1
02
020 =
+
\u2212
=\u21d2= nfinfi tx , 022
222 =
+
\u2212
=\u21d2= upsups tx .

Na continuação temos:

( ) ( ) ( )
=\u22c5
\u22c5+\u22c5
\u22c5\u2212\u22c5
=
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u22c5
+
\u2212\u22c5
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+\u2212
+
\u22c5\u22c5+
\u2212\u22c5
=\u2217 \u222b\u222b
0
1
0
1
222
2
4116
8)14(
1
8
22
1
441
14)( dt
t
ttdt
t
t
t
t
t

( ) =\u22c5+\u22c5
\u2212\u22c5
\u22c5\u2212=\u22c5
\u22c5+\u22c5
\u22c5\u2212\u22c5
= \u222b\u222b
1
0
20
1 14
4
2
1
4116
8)14( dt
t
ttdt
t
tt

A função integranda é racional irregular. Dividimos o polinómio do numerador pelo
polinómio do denominador e obtemos:
=\u22c5\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+\u22c5
\u22c5\u22c5+\u22c5\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u22c5\u2212\u22c5\u22c5\u2212=\u22c5\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+\u22c5
\u22c5+\u2212\u22c5\u2212= \u222b\u222b\u222b\u222b
1
0
1
0
1
0
1
0 14
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
14
1
2
1
2
1
2
1 dt
t
dtdttdt
t
t

Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL

21
=+\u22c5
+\u22c5
\u22c5+\u22c5+\u22c5\u22c5\u2212=\u22c5
+\u22c5
\u22c5+\u22c5+\u22c5\u22c5\u2212= \u222b\u222b\u222b\u222b\u222b\u222b
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
)14(
14
1
16
1
4
1
2
1
14
1
4
1
4
1
2
1
td
t
dtdttdt
t
dtdtt

=\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+\u22c5\u22c5+\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u22c5+\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u22c5\u2212=
1
0
1
0
1
0
2
14
16
1
4
1
22
1
tnltt

( )
16
5
16
5
4
1
4
1104114
16
101
4
1
2
0
2
1
2
1 22 nlnl
nlnl =++\u2212=+\u22c5\u2212+\u22c5\u22c5+\u2212\u22c5+\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u22c5\u2212= .

Exercício 35. Calcular a área da região plana
{ }xyxyRyxA \u2265\u2227\u2212\u2264\u2208= 22 2:),( .
A região é limitada pelo gráfico da parábola 22 xy \u2212= orientada em baixo e
pela recta xy = . O esboço da região é apresentado na figura 1.
Os limites de variação (integração) da variável x é o segmento que é a
projecção da região sobre o eixo xO . Portanto para determinar os limites de integração
determinamos as abcissas dos pontos de intersecção da parábola 22 xy \u2212= com a recta
xy = :

\u21d2=\u2212+\u21d2\u2212=\u21d2\u2212=\u2227= 0222 222 xxxxxyxy

12
2
31
2
91
=\u2228\u2212=\u21d2
±\u2212
=
±\u2212
= xxx .

Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL

22
Porque a linha que delimita a região na parte de baixo é dada analiticamente só
por uma função e a linha que delimita a região na parte de cima também é dada
analiticamente só por uma função temos:
( ) =\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212=\u2212\u2212=\u2212\u2212=
\u2212\u2212
\u2212
\u2212\u2212\u2212\u2212
\u222b\u222b\u222b\u222b
1
2
21
2
3
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
23
)2(22 xxxdxxdxxdxdxxxS A
2
9
2
3
3
96
2
)2(
2
1
3
)2(
3
1))2(212(
2233
=+\u2212=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \u2212
\u2212\u2212\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \u2212
\u2212\u2212\u2212\u22c5\u2212\u22c5= .

Exercício 36. Calcular a área da região plana
{ }242:),( 22 \u2212\u2265\u2227+\u2265\u2208= xyxyRyxA .

A região é limitada pelo gráfico da parábola 422 += xy orientada no sentido
positivo do eixo xO e pela recta 2\u2212= xy . O esboço da região é apresentado na
figura 2.

Porque
2
2
142 22 \u2212=\u21d4+= yxxy concluímos que o vértice B da parábola tem as
coordenadas ( )0,2\u2212 e a parábola intersecta o eixo yO nos pontos ( )2,0 \u2212=C e
( )2,0=D .
Determinamos as coordenadas dos pontos de intersecção da parábola
422 += xy com a recta 2\u2212= xy :

\u21d2+=+\u2212\u21d2+=\u2212\u21d2\u2212=\u2227+= 424442)2(242 222 xxxxxxyxy

Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL

23
60062 =\u2228=\u21d2=\u2212 xxxx .
Calculemos a área da região.

método1o

A projecção da região sobre o eixo xO é o segmento [ ]6,2\u2212 .
Porque a linha que delimita a região na parte de baixo é dada analiticamente por
duas funções a área da região representa a soma das áreas das regiões )(BCD e
)(CDE .
A região )(BCD é limitada na parte de baixo pelo ramo 42 +\u2212= xy , na parte
de cima pelo ramo 42 += xy da parábola e a sua projecção sobre o eixo xO é o
segmento [ ]0,2\u2212 . Portanto
( )( ) =++=+\u22c5=+\u2212\u2212+= \u222b\u222b\u222b
\u2212\u2212\u2212
0
2
0
2
0
2
)( )42(424224242 xdxdxxdxxxS BCD
.
3
1644
3
24
3
2)42(
3
2
1
2
1
)42()42()42( 2
30
2
2
3
0
2
1
2
1
0
2
2
1
=\u22c5=\u22c5=\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+\u22c5=
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
+
=++=
\u2212
\u2212
+
\u2212
\u222b x
x
xdx
A região )(CDE é limitada na parte de baixo pela recta 2\u2212= xy , na parte de
cima pelo ramo 42 += xy da parábola e a sua projecção sobre o eixo xO é o
segmento [ ]6,0 . Portanto
( )( ) ( ) =+\u2212+=+\u2212+=\u2212\u2212+= \u222b\u222b\u222b\u222b\u222b 6
0
6
0
6
0
6
0
6
0
)( 242242242 dxdxxdxxdxxxdxxxS CDE
( ) =\u22c5+\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
+
\u22c5=+\u2212++\u22c5=
+
\u222b\u222b\u222b
6
0
6
0
2
6
0
1
2
1
6
0
6
0
6
0
2
1
2
21
2
1
)42(
2
12)42()42(
2
1
x
xxdxdxxxdx
( ) =\u2212\u22c5+\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u2212\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+\u22c5\u2212+\u22c5\u22c5=\u22c5+\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+\u22c5= )06(2
2
0
2
6)402()462(
3
12
2
)42(
3
1 222
3
2
3
6
0
6
0
2
6
0
2
3
x
x
x
( )
3
386
3
561218864
3
1
=\u2212=+\u2212\u2212\u22c5= .
Portanto
18
3
54
3
38
3
16
)()( ==+=+= CDEBCDA SSS .

método2o

Observamos que em relação ao eixo yO a região é limitada à esquerda
pela parábola 2
2
1 2
\u2212= yx , à direita pela recta 2+= yx e a sua projecção sobre o eixo
yO é o segmento [ ]4,2\u2212 . Portanto
Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL

24
=\u22c5\u2212++=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212+=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+\u2212+= \u222b\u222b\u222b\u222b
\u2212\u2212\u2212\u2212
dyyydydyyydyyyS A
4
2
2
4
2
4
2
2
4
2
2
2
1)4()4(
2
142
2
12

181230
3
)2(
3
4
2
1
2
2
2
8
32
1
2
)4( 33224
2
34
2
2
=\u2212=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \u2212
\u2212\u22c5\u2212\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u22c5\u2212\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb +
=
\u2212\u2212
yy
.

Exercício 37. Calcular a área da região plana
{ }222222 4)2(1)1(:),( xyyxyxRyxA \u2265\u2227\u2264\u2212+\u2227\u2265\u2212+\u2208= .

A região é situada fora da circunferência 1)1( 22 =\u2212+ yx , dentro da
circunferência 4)2( 22 =\u2212+ yx e entre os ramos da parábola 2xy = . O esboço da
região é dado na figura 3 e porque as funções que delimitam a região são pares
concluímos que a região é simétrica em relação ao eixo yO . Portanto para determinar a
área AS da região calculemos a área S da metade da região situada á direita do eixo
yO e multiplicamos o resultado obtido por dois.
A metade da região situada á direita do eixo yO é limitada na parte de baixo
pela circunferência 1)1( 22 =\u2212+ yx (mais precisamente pela semicircunferência
211 xy \u2212+= ) e pela parábola 2xy = . Na parte de cima é limitada pela
semicircunferência 242 xy \u2212+= .
Determinamos os pontos de intersecção da parábola com as circunferências:
\u21d4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=\u2228=
=
\u21d4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4```