POTENCIAL ELÉTRICO NO INTERIOR DE UM CANAL: SOLUÇÃO NUMÉRICA BIDIMENSIONAL

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A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes 
Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG 
Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 
POTENCIAL ELÉTRICO NO INTERIOR DE UM CANAL: SOLUÇÃO NUMÉRICA 
BIDIMENSIONAL 
 
Jezrael Rossetti Dutra
(1)
 (jezrael.eng.mec@gmail.com), Jorge Andrés Julca Avila
(2)
 
(avila_jaj@ufsj.edu.br), Sérgio Luiz Moni Ribeiro Filho
(1)
 (sergiomrf@gmail.com), André Luís 
Cerávolo de Carvalho
(1) 
(ceravoloandre@gmail.com), Samuel Sander de Carvalho
(1)
 
(sandercomputacao@yahoo.com.br), André Luis Christoforo
(1) 
(alchristoforo@yahoo.com.br) 
 
 (1) Universidade Federal de São João del-Rei (UFSJ); Departamento de Engenharia Mecânica 
(2) Universidade Federal de São João del-Rei (UFSJ); Departamento de Matemática e Estatística 
 
RESUMO: Os métodos numéricos são utilizados para dar soluções aproximadas a problemas, cuja 
solução analítica é complexa ou impossível de ser encontrada. Este trabalho tem finalidade de 
apresentar e aplicar o Método das Diferenças Finitas na resolução de EDPs, em particular, a 
equação de Poisson para descobrir o valor do potencial elétrico dentro de um canal. Para encontrar 
a solução numérica, foi desenvolvido um código computacional na linguagem Matlab que utiliza o 
método de diferenças finitas na discretização da Equação de Poisson e o método gradiente 
conjugado ou o método quasi-minimal residual para resolver o sistema algébrico linear. Tomando 
em consideração as condições de contorno de tipo Dirichlet, a discretização, permitiu a obtenção de 
valores em posições conhecidas dentro do canal e também verificar qual método iterativo convergiu 
ao resultado mais rapidamente. Esses, por sua vez, foram analisados e interpretados, permitindo-nos 
concluir que à medida que formos refinando a malha, a intensidade do potencial tenderá a aumentar 
e que o método gradiente conjugado converge mais rapidamente. 
PALAVRAS-CHAVE: equação de Poisson, diferenças finitas, potencial elétrico, Dirichlet. 
 
 
ELECTRIC POTENTIAL WITHIN A CHANNEL: TWO-DIMENSIONAL 
NUMERICAL SOLUTION 
 
ABSTRACT: The numerical methods are used to give approximate solutions to problems, whose 
analytical solution is complex or impossible to find. This work intends to introduce and apply the 
finite-difference methods in solving PDE’s, in particular, the Poisson equation to find the value of the 
electrical potential within a channel. To find the numerical solution, a computer code was developed 
in Matlab language using the finite difference method in the discretization of the Poisson equation 
and the conjugate gradient method or the quasi-minimal residual method for solving the linear 
algebraic system. Taking into account the boundary conditions of Dirichlet type, discretization, 
afforded values at known positions within the channel and also check which iterative method 
converged to result faster. These, in turn, were analyzed and interpreted, allowing us to conclude that 
as we refine the mesh, the intensity of potential tends to increase and that the conjugate gradient 
method converges more quickly. 
KEYWORDS: Poisson equation, finite difference, electric potential, Dirichlet. 
 
 
 
 
 
 
2° COEN – UFSJ 
12° CONEMI 
São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 
De acordo com Barbosa et al. (2008) os métodos numéricos são utilizados para dar 
soluções aproximadas a problemas, cuja solução analítica é complexa ou impossível de ser 
encontrada e que, com a evolução dos computadores, muitos dos métodos que eram ditos 
impraticáveis ganharam força e tornaram populares. Também salientando a evolução dos 
computadores, Cláudio e Marins (1994) afirmam esse fato é que tornou eficiente a resolução 
de Equações Diferenciais Parciais (EDPs), oriundas de problemas de engenharia. Tais 
equações são utilizadas para estudar uma vasta gama de fenômenos da natureza, nas mais 
diversas áreas de aplicação. Para a resolução computacional, é necessário discretizar o 
domínio, com a criação de uma malha de pontos. Em situações reais, a malha a ser utilizada é 
bastante refinada. Este trabalho tem como objetivo, apresentar e aplicar o Método das 
Diferenças Finitas na resolução de EDPs, em particular, a equação de Poisson, com condições 
de Dirichlet para descobrir o potencial elétrico dentro de um quadrado unitário. 
 
2. ASPECTOS TEÓRICOS 
 
2.1.Equações Diferenciais Parciais 
 
Cláudio e Marins (1994) em fenômenos cujos modelos não podem ser descritos por 
relações que envolvam apenas uma variável independente temos de utilizar EDPs. Guedes et 
al. (2005) EDPs podem ser classificadas em três categorias básicas: Elípticas (Chapra e 
Canale (2008) em engenharia são usadas tipicamente para caracterizar problemas de contorno 
estacionários), Parabólicas e Hiperbólicas. Cláudio e Marins (2008) as EDPs lineares de 
segunda ordem são do tipo mais comum em problemas de ciência e engenharia. Dentre elas 
está à equação de Poisson, que em n-dimensões está dada por 
f 
 (1) 
Onde a função escalar 
2( ) ( )x C   
e 
( )f f x
 uma função quadrado integrável, 
2
2
1
n
i ix

 


 é o operador laplaciano, n um conjunto aberto e 
1( ,..., )nx x x
. 
Em 2D a Equação (1) é dada por 
 
2 2
2 2
,f x y
x y
  
 
 
 (2) 
 Onde 
( , )x y 
é uma função potencial. 
 
2.2.Discretização 
 
De acordo com Guedes et al. (2005) para tratar computacionalmente um problema 
diferencial é necessário expressar de forma adequada a região (domínio) onde o problema será 
resolvido. Ainda segundo o mesmo, como usualmente não é possível obter soluções 
numéricas sobre o domínio, uma região contínua, devido à infinidade de pontos envolvida, 
inicialmente o domínio é discretizado, isto é, substituído por um conjunto finito de pontos 
representativos. Somente nesses pontos é que as soluções serão obtidas. Consoante diz 
Rodrigues (2007) a discretização é um fator fundamental, visto que os pontos precisam ser 
 
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12° CONEMI 
São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 
 
 
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pequenos o suficiente para minimizar o erro associado ao método. Consoante diz Benetti e 
Christoforo (2009) o Método das Diferenças Finitas destaca-se em razão da simplicidade na 
forma como os operadores diferenciais presentes nas equações diferenciais são aproximados. 
 
2.3.Condições de contorno 
 
Segundo Weisstein (2010) há três tipos de contorno que são comumente utilizados 
para solução de EDPs: Dirichlet, Neuman e Robin. Destas a condição de contorno de 
Dirichlet é a que especifica o valor da função no contorno. 
 
2.4.Função Delta de Dirac 
 
Kreyszig (1993) afirma que o fenômeno de um impulso natural, tal como a ação de 
forças ou voltagens em curtos intervalos de tempo surgem em várias aplicações, podem ser 
modelados pela função delta de Dirac. 
Já Duffy (1998) apresenta-nos uma forma popular de visualizarmos 
unidimensionalmente a função delta em um pulso retangular muito estreito, ver Figura 1 e 
Equação 2, onde 
0 
é um número muito pequeno e 
0a
. 
 
 
FIGURA 1 - Função Delta de Dirac. 
1 , 0 2
( ) lim
0, 2
t a
t a
t a
  
   
  
 
 (3) 
Adaptando, podemos entender que 

 pode ser comparado com o dx e a com o 
0t
. 
Esse mesmo pensamento pode ser levado a um problema bidimensional, conforme 
será feito no decorrer deste trabalho. 
 
2.5.Método Iterativo 
 
White (2003) define que o termo método iterativo se refere às técnicas que utilizam 
aproximações sucessivas para obter, a cada passo, soluções mais acuradas para o sistema de 
equações lineares. 
Conforme Ferreira (2006), os métodos iterativos consistem basicamente na geração de 
uma sequência de soluções aproximadas do sistema de equações. Esses métodos partem de 
uma estimativa inicial para a solução da equação e realiza, então, sucessivas aproximações até 
que a convergência seja alcançada. 
 
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2.5.1. Método do gradiente conjugado (CGS) 
 
O método do gradiente conjugado é o mais proeminente método iterativo para resolver 
sistemas esparsos de equações lineares, que são demasiadamente grandes para serem 
manuseados por métodos diretos, tais como a decomposição de Cholesky. No contexto 
matemático, o método gradiente conjugado é um algoritmo para solução numérica de 
equações lineares (EDPs), ou seja, aqueles cuja matriz é simétrica e definida como positiva 
(SHEWCHUK, 1994). 
 
2.5.2. Método do Resíduo Mínimo (QMR) 
 
Segundo Freund e Nachtigal (1991) o método quasi-minimal residual é um algoritmo para 
solução numérica do comportamento irregular de convergência, uma decomposição LU 
(decomposição de uma matriz de A x A em um produto de uma matriz triangular inferior L e 
uma matriz triangular superior U) implícita do sistema reduzido tridiagonal inexistente, o que 
resulta numa falha para resolução de sistemas de equações lineares. 
A principal função do algoritmo do método quasi-minimal residual (QMR) é resolver o 
sistema reduzido tridiagonal pelo critério de mínimos quadrados, similar à abordagem seguida 
no método generalizado mínimo residual (GMRES). Uma vez a base construída para o 
subespaço Krylov é bi-ortogonal, em vez de ortogonal como na GMRES, a solução obtida é 
vista como uma solução quasi-mínimo residual. (BARRETT et al., 1994). 
 
3. O PROBLEMA 
 
Considere 

 um canal. Do ponto de vista matemático esse canal é um quadrado 
unitário dado pela Equação (4). O problema consiste em encontrar numericamente o potencial 
elétrico dentro de 

 utilizando a Equação de Poisson com termo fonte a “função” delta de 
Dirac, Equação (5), e submetido às condições de contorno de Dirichlet homogêneas, Equação 
(6). Onde 
( , )x y 
 é o potencial elétrico dentro do canal, 

 é a “função” delta de Dirac e 
0( , )ox y
 é um ponto dentro de 

. Ilustração do problema apresentado na Figura 2. 
Canal ou domínio do problema: 
  2, : 0 1,0 1x y x y     
 (4) 
Equação de Poisson 
  0 0, ( ) ( ), ( , )x y x x y y x y        (5) 
Condições de contorno de Dirichlet homogêneas 
1 2 3 4
0   
   
   
 (6) 
Note que a Eq. (6), também, pode expressar-se como 
4
1
0, i
i



   
 (7) 
A Equação (5) já está adimensionalizada, de tal forma que o fator 
0
 é absorvido por 
esta normalização. 
 
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FIGURA 2 - Domínio do problema. 
 
4. MATERIAIS E MÉTODOS 
 
Para a resolução deste problema foi desenvolvido um código computacional utilizando-se 
o software Matlab. 
Para obter a solução numérica transformamos o problema continuo num problema 
discreto, para isso, usamos um método numérico, que em nosso caso foi o Método de 
Diferenças Finitas. A equação de Poisson é uma equação diferencial parcial linear de segunda 
ordem e de tipo elíptico. Ao transformar-se a equação de Poisson, numa equação discreta 
percebemos que a equação resultante é um sistema de equações algébricas lineares, e que 
agora o custo computacional, se reduz, ao tipo de matriz e à quantidade de zeros que a matriz 
associada ao sistema, contenha. 
Como o domínio 

 é um quadrado unitário discretizou-se com uma malha regular, onde, 
os tamanhos de passos 
x
 e 
y
são iguais. Desse modo, as incógnitas serão os pontos 
interiores da placa. O fato de 
x y  
foi para que a Equação (5) tenha uma formulação 
discreta mais simples, como se mostra na Equação (11). Na Figura 3-a podemos visualizar um 
elemento de malha e na Figura 3-b os nós que são utilizados na Eq. (11). 
 
a b 
FIGURA 3 - a) Elemento de malha; b) Nós utilizados na equação discretizada. 
 
 
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4.1.Diferenças centradas 
O potencial elétrico e o termo fonte avaliados no ponto 
( , )i ix y
serão denotados, 
respectivamente, por 
, ,( , ) , ( , )i i i j i j i jx y f x y f  
 (8) 
Aproximemos, 
, ,i j i j 
 (9) 
2 2
1, , 1, , 1 , , 1
2 2 2 2
, ,
2 2
,
i j i j i j i j i j i j
i j i j
x x y y
               
    
      
 (10) 
Substituindo equações (8) - (10) em Eq. (5) e tomado o tamanho de passo 
y x  
, 
, 1, 1, , 1 , 1
,2
4 i j i j i j i j i j
i jf
x
        


 (11) 
Onde, 
, 0( ) ( )i j i o jf x x y y   
 (12) 
Ou, equivalentemente, 
2
,
1
( , ) (0,0)
0 ( , ) (0,0)
i j
se i j
f x
se i j

 
 
 
 (13) 
Note que (0, 0) é o nó computacional que corresponde ao ponto físico 
0 0( , )x y
. 
Utilizando a Equação (11) para cada um dos nós internos do domínio computacional Ω 
e para os nós do contorno 

, geramos um sistema de equações algébricas lineares, cuja, 
dimensão é a mesma ao número de nós internos, número este que varia conforme refinamos a 
malha. A partir de então, este sistema é resolvido através dos métodos iterativos CGS e QMR 
e comparadas às velocidades de convergência. 
 
5. RESULTADOS E CONCLUSÕES 
 
Para a análise dos resultados utilizamos, principalmente, duas malhas: a primeira de 
60x60 nós e a segunda de 120x120 nós. O ponto 
0 0( , )x y
 foi escolhido em um ponto da placa 
próximo a (0.75,0.25) . Estes resultados numéricos são mostrados nas Figuras 4 A e C. 
Analisando os gráficos notamos que ao refinarmos a malha há um salto na intensidade do 
potencial elétrico. Tal fato é condizente com o esperado, pois, ao nos aproximarmos do ponto 
0 0( , )x y
 fazemos com que a função delta de Dirac assuma valores cada vez maiores. Notamos 
também ao analisarmos a Figura 4 que a convergência é alcançada mais rapidamente via 
método CGS o que faz com que este método seja o mais adequado na solução deste tipo de 
problema quando comparado ao QMR e que independente do método, quantomais 
refinarmos a malha, maior será o tempo para alcançarmos a convergência. 
 
 
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FIGURA 4 – Potencial elétrico em um canal. Malha 60x60 A) Método CGS, B) Método 
QMR; Malha 120x120 C) Método CGS, D) Método QMR. 
A) 
B) 
C) 
D) 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
BARBOSA, M.; FONTES JÚNIOR, E.F.; VERA-TUDELA, C.A.R.; TELLES, J.C.F.. O 
Método de Elementos de Contorno e a Visualização Científica aliados à resolução de 
problemas da Mecânica Computacional. In: CONGRESSO NACIONAL DE MATEMÁTICA 
APLICADA E COMPUTACIONAL , XXXI., 2008, Belém. Anais... Disponível em: 
<http://www.sbmac.org.br/eventos/cnmac/xxxi_cnmac/PDF/20.pdf>. Acesso em: 9 nov. 
2010. 
BARRETT, R.; BERRY, M.; CHAN, T. F.; DEMMEL, J.; DONATO, J.; DONGARRA, 
J.; EIJKHOUT, V.; POZO, R.; ROMINE, C.; AND VAN DER VORST, H. Templates for the 
Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, 2nd ed. Philadelphia, PA: 
SIAM, 1994. Disponível em: <http://www.netlib.org/linalg/html_templates/Templates.html>. 
BENETTI, D.; CHRISTOFORO, A.L.. Aplicação do Método das Diferenças Finitas na 
resolução de Equações Diferenciais Parciais Elípticas referente à determinação das 
temperaturas em pontos interiores de uma chapa. In: CONGRESSO NACIONAL DE 
MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL, XXXII., 2009, Cuiabá. Anais... 
Disponível em: <http://www.sbmac.org.br/eventos/cnmac/xxxii_cnmac/pdf/641.pdf>. Acesso 
em: 9 nov. 2010. 
CHAPRA, S.C.; CANALE, R.P.. Numerical methods for engineers. 5. ed. McGraw-Hill, 
2008. 
CLÁUDIO, D.M.; MARINS, J.M.. Cálculo numérico computacional: teoria e prática. 2. 
ed. São Paulo: Atlas, 1994. 
DUFFY, D.G. Advanced engineering mathematics. CRC Press, 1998. 
FERREIRA, R.R.. Caracterização de desempenho de uma aplicação paralela do método 
dos elementos finitos em ambientes heterogêneos de PCs. 2006. Dissertação (Mestrado) - 
Brasília: UnB, 2006. 
FREUND, R.; NACHTIGAL, N. "QMR: A Quasi-Minimal Residual Method for Non-
Hermitian Linear Systems." Numer. Math. n.60, pp.315-339, 1991. 
GUEDES, M.J.M.; ROBAINA, D.T.; DRUMMOND, L.M.A.; KISCHINHEVSKY, M.; S. 
FILHO, O.T.. Solução numérica de equações diferenciais parciais parabólicas usando o 
método Hopscotch com refinamento não-uniforme. In: CONGRESSO NACIONAL DE 
MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL , XXVIII., 2005, Santo Amaro. 
Anais... Disponível em: 
<http://www.sbmac.org.br/eventos/cnmac/cd_xxviii_cnmac/resumos%20estendidos/diogo_ro 
baina_ST15.pdf>. Acesso em: 8 nov. 2010. 
KREYSZIG, E.. Advanced engineering mathematics. 7. Ed. New York: John Wiley & 
Sons, 1993. 
RODRIGUES FILHO, B.A.. Estudo da convergência no método de elementos finitos 
aplicado a dispositivos eletromagnéticos não lineares. 2007. Dissertação (Mestrado) – São 
Paulo: Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, 2007. 
SHEWCHUK, J. R. An Introduction to the Conjugate Gradient Method without the 
Agonizing Pain. Pittsburgh: Carnegie Mellon University, 1994. 
WEISSTEIN, E.W. Boundary Conditions. In: MathWorld – A Wolfram Web Resouce. 
Disponível em: <http://mathworld.wolfram.com/BoundaryConditions.html>. Acesso em: 8 
nov. 2010. 
WHITE, R. E. Computational Modeling with Methods and Analysis. North Carolina: CRC 
Press, 2003.