A Efetividade do Modelo Analítico Frente ao Modelo Numérico no Estudo de Tubos de Parede Fina de Seção Vazada Aberta Submetidos a Torção

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A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes 
Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG 
Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial | 1 
 
 
A Efetividade do Modelo Analítico Frente ao Modelo Numérico no Estudo de Tubos de 
Parede Fina de Seção Vazada Aberta Submetidos a Torção 
 
Thiago Luiz Lara Olveira lara.thiago@gmail.com, Frederico Ozanan Neves fred@ufsj.edu.br, Durval 
Uchoas Braga durval@ufsj.edu.br, André Luis Christoforo alchristoforo@gmail.com, Marcos Estevão 
Assumpção meassumpcao@gmail.com, Danillo Pereira Coelho meassumpcao@gmail.com 
Universidade Federal de São João del Rei UFSJ; DEMEC 
Resumo 
 Elementos estruturais são a base de muitos projetos de engenharia, dessa forma deve-se sempre 
estar atentno às solicitações que estes elementos devem suportar. Nos projetos de estruturas devemos 
sempre estar atentos quanto a determinação das tensões e os deslocamentos provocados por elas. Temos 
que o cálculo de tensões cisalhantes dependem muito do modelo matemático utilizado, sendo que muitas 
vezes a seção transversal é determinante nesses cálculos. 
 De modo geral a literatura pouco aborda o problema de seções celulares, que são muito utilizadas, 
visto que problemas desse teor são complexos e acabam por gerar a necessidade de auxílio de uma 
ferramenta numérica. 
 O objetivo deste trabalho é apresentar o Método da Analogia de Membrana na resolução de 
problemas modelo, junto do emprego do Método de Elementos Finitos afim de verificar as diferenças nos 
resultados encontrados, procurando assim evidenciar as diferenças presentes nos dois métodos. 
 Os resultados mostram que no caso da viga vazada de seção fechada os valores são bem próximos, o 
que não acontece para a seção aberta. 
 
Palavras-chave: analogia de membrana, torção, seção celular. 
 
The Effectiveness of Analytical Model and Numerical Study on Thin Wall Tubes of Section 
Leaked Undergoing Open Twist 
Abstract 
 Structural elements are the basis of many engineering projects, so one should always pay attention to 
requests that these elements must endure. In design of structures must always be aware of the determination 
of stresses and displacements caused by them. We calculate the shear stress depend heavily on the 
mathematical model used. 
 Generally, the literature often addresses the problem of cell sections, which are widely used, since 
problems of this content are complex and ultimately generate the need for help of a numerical tool. 
 The aim of this paper is to present the Method of Analogy Membrane in problem solving model, with 
the use of finite element method in order to verify the differences in results, checking the differences in these 
two methods. 
 Results show that in the case of hollow beam section closed the values are very close, which is not 
true for the open section. 
 
Keywords: membrane analogy, torsion, cell section. 
 
2° COEN – UFSJ 
12° CONEMI 
São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 
 
I Jornada Brasileira de Pesquisa Euro-Latino-Americano 
18 a 19 de novembro de 2010 
ISBN: xxxx-xxx 
 
 
 
 
Introdução 
 
Elementos estruturais são a base de muitos projetos de engenharia, dessa forma deve-se sempre 
estar atento às solicitações que estes elementos devem suportar. Na atualidade existem inúmeros 
estudos que visam o aperfeiçoamento desses elementos de acordo com o tipo de carga solicitada, de 
forma que as forças torçoras estão entre as mais importantes solicitações em projetos. 
 O torque é uma força que tende a torcer o membro em torno de seu eixo principal, esse tipo de 
esforço é muito comum em engenharia em diversos projetos estruturais, como exemplo principal 
observamos eixos de acionamento usados em carro e maquinaria, devemos, no entanto não olvidar que 
também é utilizado em estruturas do tipo grelha, pórticos tridimensionais, dentre outros. 
 Nos projetos de estruturas devemos sempre estar atentos à determinação das tensões e os 
deslocamentos por serem dois fatores importantes na determinação das dimensões dessas estruturas. 
Como foi dito, muitas vezes vemos que as estruturas são submetidas a momentos torçores o que torna 
importante o aperfeiçoamento dos estudos que envolvam esse tipo de força. 
Com base nesses argumentos é de enorme interesse a determinação das tensões máximas que 
serão aplicadas na estrutura, visto que, a escolha do material está intimamente relacionada à tensão 
admissível do projeto, a qual não deve ser excedida. 
Temos que os cálculos das tensões cisalhantes dependem muito do modelo matemático 
utilizado, em problemas típicos de barras sempre prestamos muita atenção na seção transversal da 
mesma, o que inclui os casos em que a geometria da seção é fechada ou aberta. 
Na literatura de Mecânica dos Materiais onde podemos citar autores como Beer (1982), Hibeller 
(2004) e Timoshenko (1980), os textos que abordam esse assunto apresentam formulações para 
problemas de torção em seções circulares cheias ou vazadas bem como seções não circulares fechadas, 
entretanto essas literaturas não abordam o problema de seções celulares apesar de serem amplamente 
utilizadas. 
Sabemos que problemas desse teor, quando em três dimensões, acabam por possuir uma 
complexidade excessiva na determinação das tensões e deslocamentos gerando assim a necessidade de 
auxílio uma ferramenta numérica. Dentre vários métodos que podemos utilizar temos que o Método de 
Elementos Finitos, muito presente na maioria dos programas computacionais, e que é de enorme ajuda 
para esses casos. 
O objetivo desse trabalho é apresentar o Método da Analogia da Membrana na resolução de um 
problema envolvendo seção circular juntamente com o emprego do Método dos Elementos Finitos, de 
maneira a se verificar as diferenças nos resultados encontrados por ambas as metodologias de cálculo, 
dessa forma evidenciando suas diferenças. 
 
Seção vazada de parede fina 
 
No estudo de barras submetidas à carga torçora, de seção circular ou em forma de anéis, utiliza-
se da hipótese básica de que a seção plana antes da deformação permanece plana depois da 
deformação. Esta hipótese não se aplica para outros tipos de seção transversal. 
 
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Barras com seções diferentes das seções circulares sofrem, além das rotações das suas seções, 
deformações axiais chamadas de “empenamento”, o que faz com que as seções transversais não 
permanecem planas depois de deformadas. 
Nas nossas análises utilizaremos uma barra de seção vazada de parede fina, como mostra a 
Figura 2.1. A seção é determinada por uma linha fechada, chamada linha de esqueleto, que passa pelos 
pontos intermediários das espessuras t. 
Sejam duas ordenadas associadas a esta barra, uma ordenada x na direção axial da barra e outra 
 que percorre a linha de esqueleto da seção transversal da barra. Na posição x, desta barra, está 
atuando o momento torçor . 
Devemos então fazer algumas hipóteses, a primeira delas é que a tensão de cisalhamento é 
uniformemente distribuída na espessura e dirigida paralelamente às bordas da seção. A segunda de que 
a seção transversal é constante ao longo da ordenada x, assim sendo, apesar da espessura da parede t = 
t(s) podendo variar com a ordenada s, ela não necessariamente deve variarcom a ordenada x, assim 
como ilustra a Figura 1. 
 
FIGURA 1. Barra com seção vazada de parede fina. 
 
Tensões de Cisalhamento 
 
Iniciando o estudo sobre as tensões de cisalhamento, tomemos a Figura 2 que mostra um 
elemento retirado da barra da Figura 1. A tensão de cisalhamento pode variar ao longo da espessura t(s), 
logo a tensão de cisalhamento, que atua na seção transversal na espessura é . Já nas faces 
perpendiculares a seção transversal as tensões e não variam com a ordenada x e pelo Teorema de 
Cauchy elas têm o sentido indicado na Figura 2. 
 
 
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Figura 2. Elemento infinitesimal retirado desta barra. 
 
Para o equilíbrio das forças, na direção x, exige-se que: 
 
 
 
 
 
A equação 2 exprime o fato de que o produto entre a tensão de cisalhamento e a espessura é 
constante ao longo de toda a barra, ou seja, constante na direção x e na direção s. Assim, podemos 
escrever a seguinte relação: 
 
 
 
Dessa forma para podermos relacionar o momento torçor , que atua na seção transversal de 
posição x, com a tensão de cisalhamento , consideramos a seção mostrada na Figura 3. 
 
Figura 3. a) Seção vazada de parede fina retirada da barra em 2; b) Área delimitada pela linha de 
esqueleto. 
 
Consideremos o elemento infinitesimal da seção transversal t(s)ds da Figura 3a. A força 
resultante infinitesimal que atua, neste elemento, é τt(s)ds e o momento infinitesimal, em relação a um 
ponto arbitrário O, é t(s)nds. Sendo n a distância da tangente à linha de esqueleto, neste elemento 
infinitesimal, até o pólo. A soma dos elementos infinitesimais é igual ao momento . Assim, temos: 
 
 
 
A área infinitesimal do triângulo hachurado na Figura 3.a é expresso por: 
 
 
 
 
 
 
Das equações 3 e 4 podemos escrever: 
 
 ∮ 
 
 
 
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Utilizando da condição 3, a equação 6 pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 
 
sendo a área delimitada pela linha de esqueleto e está mostrada na Figura 3b. 
 
Assim, escrevemos que a tensão de cisalhamento em um ponto genérico, da seção transversal, é 
dada por: 
 
 
 
 
 
 
Da equação 9 observamos que a tensão de cisalhamento máxima ocorre em tmin, então: 
 
 
 
 
 
 
Das equações gerais para torção temos: 
 
 
 
 
 
Comparando-se as equações 10 e 11, podemos determinar o módulo de resistência à torção de 
uma seção vazada de parede fina pela seguinte equação: 
 
 
 
O módulo de resistência à torção é necessário para o cálculo da tensão de cisalhamento em seções 
vazadas. 
 
Deformação 
 
A determinação da rotação em uma seção vazada qualquer, devido ao momento torçor, é 
bastante difícil. A razão, desta dificuldade, é o fato da distorção γ variar com a espessura t, pois como 
vimos anteriormente à tensão de cisalhamento varia com esta espessura, essa variação de distorção faz 
com que as seções não permaneçam planas após a deformação. 
 Para contornar este problema utilizamos o Princípio da Conservação da Energia onde o trabalho 
realizado da barra, pelo momento torçor , na rotação é igual a energia de deformação armazenada 
na barra. Assim, pode-se escrever a seguinte equação: 
 
 
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De acordo com Hibbeler (2004) para a determinação do trabalho T, consideremos a barra da 
Figura 4, de comprimento L engastada em uma das extremidades, sendo deformada de uma rotação , 
por um momento torçor . 
 
 
Figura 4. Barra engastada, sendo deformada de uma rotação φ. 
 
A deformação cresce linearmente com o aumento do momento torçor Mt, pois neste caso 
consideramos que a relação entre tensão e deformação é linear elástica. A Figura 5 mostra um gráfico 
que relaciona o momento torçor aplicado e a deformação resultante. 
 
 
Figura 5. Gráfico que relaciona Momento torçor aplicado X Deformação resultante. 
 
O trabalho T, executado pelo momento torçor Mt no deslocamento é igual ao valor da área 
abaixo da reta. Assim: 
 
 
 
 
 
 
Para a determinação da energia de deformação armazenada na barra, consideremos o elemento 
infinitesimal retirado na barra da Figura 4 isolado na Figura 6. 
 
 
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Figura 6. Elemento infinitesimal retirado da Barra da Figura 4. 
 
Podemos calcular a energia de deformação U armazenada no elemento infinitesimal da Figura 6, 
pelo trabalho realizado da força de cisalhamento τ na deformação γdx do elemento. Tendo em vista que 
a deformação, também, cresce linearmentecom a tensão τ, a energia de deformação calculada, no 
elemento infinitesimal, é: 
 
 
 
 
 
 
Podemos obter a energia total pela integração nas variáveis s e x: 
 
 
 
 
∫∮ 
 
 
 
 
A Lei de Hooke nos fornece a seguinte equação: 
 
 
 
 
 
 
Levando-se o valor de γ, dado pela equação 16, na equação 15, obtém-se: 
 
 
 
 
∫∮
 
 
 
 
 
 
Com τ e t não dependem da variável x, a equação 17 se reduz a: 
 
 
 
 
∮ 
 
 
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Levando-se o valor de τ, dado pela equação 9, na equação 18, tem-se: 
 
 
 
 
∮(
 
 
)
 
 
 
Com Mt, e A independem da variável s, a seguinte equação para U é obtida: 
 
 
 
 
 
∮
 
 
 
 
Das equações 12, 13 e 14, escreve-se: 
 
 
 
 
 
 
∮
 
 
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
Rearranjando-se a equação 23 chega-se ao momento de inércia da seção transversal, expresso 
pela equação 24. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a espessura t for constante com a variável s, a equação 24 se reduz a: 
 
 
 
 
 
sendo o perímetro medido na linha do esqueleto. 
 
Dessa forma temos o momento de inércia à torção, necessário para o cálculo do deslocamento 
angular para vigas de seção fechada de parede fina. 
 
Analogia de Membrana 
 
Visto que a análise matemática do problema de barras, de seção não circular, submetidas à torção é 
relativamente difícil, uma técnica que pode ser usada com eficiência é a “analogia de membrana”. A 
analogia de membrana é realizada a partir da observação de que a equação diferencial do equilíbrio de 
uma membrana tem a mesma forma que a equação diferencial básica da torção, quando se utiliza a 
Teoria da Elasticidade. Esta observação foi feita por “Prandtl” em 1903. 
 
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Como foi tratado por Timoshenko (1980) podemos a partir de um ensaio de membrana, 
determinar as características geométricas à torção de qualquer seção transversal. O procedimento pode 
ser feito através de ensaio de laboratório como, também, imaginar um ensaio sendo realizado. Aqui será 
tratado, somente, do último procedimento. 
Para a analogia de membrana de uma seção vazada temos que uma caixa de pressão com uma 
membrana cortada e colada, nesta caixa, como uma seção vazada. A Figura 7 mostra a caixa com a 
membrana em duas vistas. É importante salientar que algumas figuras foram adaptadas do material 
elaborado por Libardi (1998). 
 
 
FIGURA 7. Caixa com a membrana em duas vistas. 
 
A placa interna deve ser guiada verticalmente e ela corresponde ao vazio da seção transversal. 
Ao se colocar uma pressão p dentro da caixa, a tampa guiada se levantará de uma altura h e ela ficará 
em equilíbrio. 
Para este ensaio imaginário, várias considerações devem ser feitas, a primeira delas é que a 
placa guiada não possui peso, segundo a altura é tão pequena que o ângulo de inclinação da 
membrana é aproximadamente ou . Em terceiro, a protensão da membrana 
k(força/comprimento) é constante durante o seu estiramento e por fim as espessuras são pequenas. 
Consideramos agora uma membrana em equilíbrio isolada da caixa de pressão, como mostra a 
Figura 8. 
 
 
 
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 FIGURA 8. Membrana isolada e em equilíbrio. 
 
Para um trecho infinitesimal ds da membrana a sua contribuição para as forças verticais é: 
 
 
 
 
 
 
O equilíbrio da placa na direção vertical exige: 
 
 ∮ 
 
 
 
 
sendo A é a área da placa, que pode ser confundida com a área delimitada pela linha de esqueleto. 
Tendo em vista que k e h não dependem da variável s da equação 27, se obtém que: 
 
 ∮
 
 
 
 
 
 
 
Levando-se o valor da integral de linha, dado pela equação 27 na equação 23, obtém-se a 
seguinte equação para o momento de inércia a torção: 
 
 
 
 
 
 
Chamando-se o volume deslocado da placa de: 
 
 
 
A equação 29 se transforma em: 
 
 
 
 
 
 
Para se obter a equação da tensão de cisalhamento, deve-se, inicialmente, tomar a equação que 
relaciona o ângulo β com a altura h e espessura t. Para ângulos pequenos, pode-se escrever a seguinte 
equação:Levando-se o valor da espessura t dado pela equação 32 na equação 9, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Observa-se na equação 33 que a tensão de cisalhamento é proporcional a inclinação da 
membrana. Assim pode-se escrever que: 
 
 
 
 
 
 
Comparando-se a equação 11 com a equação 34, determina-se o módulo de resistência a torção 
da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analogia de membrana para seção aberta 
 
Seguindo-se o procedimento já descrito para a utilização da Analogia de Membrana, 
consideremos então uma membrana cortada no formato da seção e colada em uma caixa de pressão, 
conforme mostra a Figura 9. 
 
 
 
FIGURA 9. Seção cheia de parede fina com ramificações. 
 
Para que se calcule o volume deslocado da membrana, é necessário que se determine a equação 
de deformação desta membrana, o que não é possível de forma direta. O que se fará é aproximar a curva 
de deformação por uma parábola do 2° grau, que para pequenas espessuras é uma aproximação precisa. 
Seja então, um elemento infinitesimal deformado, desta membrana, sendo representado na 
Figura 10 por uma parábola do 2º grau. O eixo vertical y representa a deformação, enquanto que o eixo 
 
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horizontal x representa a posição ao longo da espessura. A origem, deste sistema de eixos, é colocada 
em uma das bordas da membrana. 
 
 
 
FIGURA 10. Elemento infinitesimal deformado representado por uma parábola de 2° grau. 
 
A expressão geral da parábola da Figura 10 é do tipo , a qual devemos impor 
determinadas condições: 
 
{
 
 
 
 
 (
 
 
) (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
sendo f a deformação máxima da membrana. 
Das condições 37, 38 e 39 determinam-se as constantes a, b e c. 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Levando-se os valores das constantes a, b e c, dados pela relação 40, 41 e 42 na equação 
 , obtemos a equação para a parábola: 
 
 
 
 
 
 
O ângulo de inclinação na borda da membrana β é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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E o valor da área localizada abaixo da membrana é: 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 
A integração da equação 45 nos limites de integração apresentados produz: 
 
 
 
 
 
 
Seja ainda uma membrana representada na Figura 10 sendo solicitada ela pressão p e pela força 
de proteção. O equilíbrio de um trecho infinitesimal ds, dessa membrana, fornece: 
 
 
 
Levando-se o valor de , dado pela equação 44 na equação 47 determina-se o valor da 
deformação máxima da membrana . Assim, têm-se: 
 
 
 
 
 
 
A substituição do valor de , dado pela equação 48 na equação 44, determina o seguinte valor 
para a inclinação : 
 
 
 
 
 
 
Mas o volume deslocado do elemento infinitesimal da membrana é: 
 
 
 
 
 
 
A integração na variável s, da equação 50, fornece: 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
Levando-se o valor do volume deslocado V, dado pela equação 51, na equação 31, obtém-se o 
valor do momento de inércia à torção. Assim: 
 
 
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∫ 
 
 
 
Analogamente, podemos obter o valor do módulo de resistência à torção, utilizando a equação 
35 e 36. Logo: 
 
 
 
 
∫O valor de max, utilizado para a determinação do na equação 52 foi obtido utilizando-se tmax. 
Esta inclinação é a maior encontrada na seção. 
 Das equações 36, 49 e 51 determina-se a equação da tensão de cisalhamento em um ponto 
genérico. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 Observa-se na equação 54 que a máxima tensão de cisalhamento devido ao momento torçor, 
em barras de seção aberta de parede fina é no trecho de espessura máxima. A Figura 11 mostra a 
distribuição da tensão de cisalhamento ao longo da espessura da parede. 
 
 
FIGURA 11. Diagrama da distribuição da tensão de cisalhamento ao longo da espessura da parede. 
 
Seção Constituída por Retângulos 
Este tipo de seção é um caso particular da seção tratada, a qual utilizaremos em nosso 
problemas. Temos então uma seção constituída de retângulos como mostra a Figura 12. 
 
 
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Figura 12. Diagrama da distribuição da tensão de cisalhamento ao longo da espessura da parede. 
 
Para a determinação do momento de inércia à torção e do módulo de resistência à torção 
utilizaremos as equações 52 e 53 respectivamente. No caso da seção ser constituída de retângulos a 
integração daquelas equações pode ser feitas por trecho, o que faz com que a espessura seja constante 
com s em cada trecho. Assim, as equações 52 e 53 se transformam, respectivamente em: 
 
 
 
∑ 
 
 (55) 
 
 
 
 
∑ 
 
 
 
 
Onde é o número de retângulos da seção transversal. Deve-se observar nas equações 54 e 55, 
que para qualquer retângulo bi > hi. 
 
Método dos elementos finitos 
 
O Método dos Elementos Finitos (MEF) mostra-se como uma excelente ferramenta de cálculo 
utilizada para analisar o comportamento dos materiais empregados em projetos estruturais, assim como 
o de avaliar o desempenho mecânico dessas estruturas. 
Historicamente, o MEF surgiu em 1955, como evolução da análise matricial de modelos 
reticulados, motivado pelo advento do computador e elaborado com o intuito de se projetar estruturas 
de modelos contínuos. 
O MEF pode ser considerado como uma técnica de gerar funções de aproximação, que podem 
ser utilizadas para interpolar deslocamentos, esforços, tensões e deformações ao longo do domínio do 
elemento. 
Para a resolução aproximada de problemas estruturais segundo o MEF, as funções de forma 
podem ser aplicadas diretamente à sua equação diferencial (Resíduos Ponderados) ou a princípios 
energéticos, tais como o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV). 
O deslocamento em problemas estruturais elásticos é tido como incógnita fundamental, obtido 
por intermédio da resolução de um sistema de equações lineares, assim como expressa a equação 56, 
 
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sendo que a sua construção fica em função da disposição da malha, e conseqüentemente, dos nós dos 
elementos finitos na estrutura, como pode ser visto na Figura 13. 
 
 
Figura 13. Exemplo de discretização de uma malha de elementos finitos em uma treliça. 
 
[K]{U}={F} (56) 
em que: 
[K] - matriz de rigidez da estrutura; 
{U} - vetor dos deslocamentos nodais da estrutura; 
{F} - vetor das forças equivalentes nodais da estrutura. 
 
Com relação ao emprego do MEF na avaliação do desempenho mecânico de estruturas e na 
determinação de propriedades elásticas de materiais, alguns trabalhos podem ser citados tais como o de 
Alvarenga e Antunes (1994), Cheung e Lindquist (2004), Christoforo (2007), Góes (2004), Mascia (1991), 
Rigo (1999) entre outros. 
 
PROBLEMAS MODELO 
 
Para este estudo dois modelos de problemas foram idealizados (ver Figura 14), ambos de tubos 
vazados, o primeiro deles é de parede fechada já o segundo é de parede aberta e ambos estão sobre a 
ação de um momento torçor, onde foram calculados o módulo de resistência a torção e o momento de 
inércia a torção. 
 
 
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Figura 14. Problemas modelo: A e B. 
 
Resolução dos problemas modelo 
 
Na resolução destes problemas utilizamos o método de elementos finitos e o método analítico, 
ambos foram discutidos anteriormente. Dessa forma utilizaremos para a resolução algébrica tanto a o 
método de analogia da membrana quanto o método da torção geral. 
O MEF pode ser considerado como uma técnica de gerar funções de aproximação, que podem 
ser utilizadas para interpolar deslocamentos, esforços, tensões e deformações ao longo do domínio do 
elemento. 
Solução dos Problemas Modelos Segundo Metodologias Analíticas 
 
Problema A – Resolução Algébrica 
Momento de resistência a torção, 
 
Momento de inércia a torção, 
 
 
Problema B – Resolução Algébrica 
Momento de resistência a torção, 
 
Momento de inércia a torção, 
 
 
Resolução Numérica do problema Modelo 
O projeto de vigas submetidas à torção geralmente é desenvolvido com o emprego de 
ferramentas numéricas, dentre elas, destaca-se o método dos elementos finitos, no nosso caso 
utilizamos o software Ansys para a resolução dos problemas. É importante salientar que as tensões que 
se desenvolvem no domínio do sólido são basicamente função da sua geometria. Entretanto, como a 
simulação numérica requer o valor do módulo de elasticidade longitudinal (E) e transversal (G), aqui 
foram adotados os seguintes valores: E = 20000 kN/cm2 e G = 7400 kN/cm2. 
Os valores aproximados encontrados das tensões cisalhantes (T) na simulação numérica para as 
seções aberta e fechada respectivamente na região azul claro foram Ta=3,43MPa e Tf=1,29MPa e para a 
 
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região amarela foram Ta=1,65MPa e Tf=1,24MPa enquanto que as calculadas analiticamente para as 
seções aberta e fechada foram respectivamente T=15,08MPa e T=1,00MPa. 
As figuras 15.a e 15.b mostram as tensões cisalhantes desenvolvidas nas duas seções, o que 
permite uma análise mais detalhada do problema. 
 
 
Figura 15 – Tensões de cisalahamento devido à torção. 
Figura 15.a. Seção fechada. Figura 15.b. Seção aberta. 
 
Conclusões 
 
A análise dos resultados nos permite concluir queno caso da viga vazada de seção fechada o 
método numérico apresentou uma pequena variação em relação ao analítico, comprovando assim a sua 
eficácia, ao passo que, na seção vazada aberta, a discrepância foi grande. Apesar de o valor analítico ter 
sido bem maior, sua aplicação em algum projeto seria possível, pois essa diferença poderia ser utilizada 
como um fator de segurança no dimensionamento desse projeto. 
Vale ressaltar que os resultados para o campo das tensões de cisalhamento apresentados nas 
figuras 6.1.a e 6.1.b independem da escolha dos materiais, dependendo apenas da geometria da seção 
transversal do tubo. 
 
Referências 
Beer, F. P.; Johnston, JR. E. R. Resistência dos Materiais. São Paulo: Makron Books do Brasil, 
Editora Ltda./Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1982. 
 
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ortótropa utilizando algoritmos genéticos. In: Revista Sul-americana de Engenharia Estrutural. 
Universidade de Passo Fundo. Mato Grosso do Sul. Vol.1, nº 2, pp74-92, 2004. 
Christoforo, A. L, “Influência das irregularidades da forma em peças de madeira na determinação 
do módulo de elasticidade longitudinal”, Tese de Doutorado, EESC – USP, 2007. 
Góes, J. L. N.. Modelos teóricos para o dimensionamento de pontes com tabuleiro multicelular 
de madeira protendida. In: XXXI Jornadas Sud-americanas de Ingeniería Estructural. Facultad de 
Ingeniería. Universidad Nacional de Cuyo. Mendonça. Argentina. Anais, CD-ROM, 2004. 
Hibbeler, R.C., Resistência dos Materiais. São Paulo/SP: Editora Prentice Hall, 2004. 
Libardi (1998), W. Notas de aula do curso de resistência dos materiais 2. Universidade Federal de 
São Carlos (UFSCAR). Centro de ciências exatas e de tecnologia. 
Mascia, N. T.. Considerações a respeito da anisotropia da madeira. Tese (Doutorado) – Escola de 
Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. São Carlos, SP, 1991. 
Rigo, E. Métodos de otimização aplicados à análise de estruturas. Dissertação (Mestrado) – 
Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. São Carlos, SP, 1999. 
Timoshenko, S. P., Goodier, J. N. “Teoria da Elasticidade”. Rio de Janeiro/RJ: Editora Guanabara 
Dois S.A. 1980.