CORRELAÇÃO ENTRE CORRELAÇÃO ENTRECORRELAÇÃO ENTRECORRELAÇÃO ENTRE CORRELAÇÃO ENTRE CORRELAÇÃO ENTRE MÉTODOS NUMÉRICOS E ANALÍTICOS APLICADOS À MÉTODOS NUMÉRICOS E ANALÍTICOS APLICADOS À MÉTODOS NUMÉRI

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A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes 
Anais do 2° COEN – Congresso de Engenharias – Universidade Federal de São João del-Rei – MG 
Anais do 12° CONEMI – Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial 
CORRELAÇÃO ENTRE MÉTODOS NUMÉRICOS E ANALÍTICOS APLICADOS À 
FLAMBAGEM DE COLUNAS ELASTO-PLASTICAS ENGASTADAS 
 
Carlos Aurélio da Silva Carvalho 
(1)
 (carloscarvalhoufsj@hotmail.com), Márcio Eduardo 
Silveira 
(1)
 (msilveira@ufsj.edu.br), André Luis Christoforo
(1)
 (alchristoforo@yahoo.com.br) 
 
 
(1) Universidade Federal de São João Del Rei (UFSJ); Departamento de Engenharia Mecânica - DEMEC 
 
 
RESUMO: O objetivo deste trabalho foi analisar a instabilidade de vigas engastada usando 
métodos analíticos e numéricos. A análise numérico foi feita utilizando um software 
comercial de elementos finitos (RADIOSS) com formulações linear e não-linear e os 
resultados comparadas com métodos analíticos. Foram comparadas as forças e tensões 
críticas de vigas com diferentes tamanhos de forma a analisar a flambagem tanto no regime 
elástico quanto plástico. Os resultados obtidos mostraram uma boa correlação entre os 
métodos analíticos e numéricos para vigas longas com flambagem no regime elástico. 
Porém, para vigas curtas com flambagem no regime elástico, o método analítico apresentou 
uma razoável discrepância em relação ao método numérico, devido à formulação de viga 
adotada. Para as análises no regime plástico, os resultados do método analítico foram bem 
diferentes dos obtidos numericamente via análise não-linear. 
 
PALAVRAS-CHAVE: Flambagem, Simulação Numérica, vigas. 
 
CORRELATION BETWEEN ANALYTICAL AND NUMERICAL METHODS 
APPLIED TO BUCKLING OF COLUMNS ELASTO-PLASTICAS INCLOSED 
 
ABSTRACT: The objective of this study was to analyze the instability of beams using 
analytical and numerical methods. The numerical analysis was done using a commercial 
finite element software (RADIOSS) formulations linear and nonlinear and the results 
compared with analytical methods. We compared the forces and stresses critical beams with 
different sizes in order to analyze both the buckling in the elastic as plastic. The results 
showed a good correlation between the analytical and numerical methods for long beams 
with buckling in the elastic range. However, for short beams with buckling in the elastic 
range, the analytical method presented a reasonable discrepancy regarding the numerical 
method, due to the formulation of beam adopted. For the analyzes in the plastic regime, the 
results of the analytical method were quite different from those obtained numerically via 
nonlinear analysis. 
KEYWORDS: Buckling, Numerical Simulation, Beam. 
 
 
2°COEN – UFSJ 
12° CONEMI 
São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012 
 
A Engenharia transformando ideias em soluções inteligentes 
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1. INTRODUÇÃO 
 
 
Alguns componentes mecânicos e estruturais podem estar sujeitos à esforços de 
compressão durante a sua vida útil. Esta carga pode ser elevada o suficiente para fazer com 
que o componente perda a capacidade de suportar carga e sofra uma deflexão lateral súbita e 
catastrófica, mesmo estando no regime elástico do material. Esta instabilidade lateral 
provocada por forças de compressão é conhecida como flambagem e em geral pode levar a 
falhas e o comprometimento de mecanismos e projetos. Para que não ocorra a flambagem, um 
componente deve ser capaz de suportar uma carga crítica, que é a carga máxima que ela 
suporta estando no limite da flambagem. Após a carga crítica qualquer carga adicional 
provocará a flambagem e portanto a deflexão lateral. 
A utilização de softwares de simulação numérica se torna uma ferramenta para a 
obtenção de resultados de tensões e deslocamentos de componentes estruturais sem a 
necessidade imediata de um protótipo para futuras análises e correções, reduzindo tempo e 
custos. 
O uso de simulação numérica na obtenção da carga crítica de flambagem em 
componentes mecânicos e estruturais vem ganhando espaço dentro da engenharia. 
Queiroz et al (2006) utilizou o método de elementos finitos para analisar a flambagem 
lateral com torção de vigas com almas senoidal, onde foi mostrado uma boa correlação entre o 
modelo de analise numérica e o comportamento real de vigas com alma senoidal sujeitas a 
flexão. Já Cazeli et al (2001) mostra o estudo da análise do estudo de vigas em "I" de aço em 
situação de incêndio, sujeitas a flambagem lateral, no qual os resultados analíticos condizem 
com os numéricos e estando dentro das normas recomendadas para o tema. 
Bortolan (2009), trabalhando com análise numérica de dutos sujeitos a flambagem, 
comparou resultados de analises linear e não-linear, com métodos analíticos de Euler e Hobbs, 
tendo como resultado uma eficácia maior no método numérico para obtenção das cargas 
críticas. Silva (2006) utilizou análise numérica não-linear da flambagem local de perfis de aço 
estrutural submetidos à compressão uniaxial, ao qual obteve uma concordância numérica dos 
modelos de referência e a coerência comportamental indicaram uma correta abordagem que 
torna os resultados condizentes. 
Para previsão de carga crítica de vigas e colunas de seção transversal constante, 
existem métodos analíticos desenvolvidos para este fim (Hibeller, 2010). No método analítico 
obtêm-se a carga crítica de flambagem de vigas podendo considerar diferentes condições de 
 
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12° CONEMI 
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contorno. Porém, esses métodos são limitados pela teoria de viga, aplicada somente em 
estruturas esbeltas. 
Este trabalho visa analisar a instabilidade de vigas bi engastadas e comparar os 
resultados analíticos com os numéricos via análise linear e não linear. A simulação numérica 
foi feita utilizando o software comercial de elementos finitos (RADIOSS) e o analítico 
através das teorias de Euler e Engesser. 
2. METODOLOGIA 
 
 Para este trabalho, foram propostos 12 tamanhos de vigas para serem analisadas 
quanto à carga crítica de flambagem, conforme mostra a Tabela 1. Todas as vigas possuem a 
mesma seção transversal e foram consideradas engastadas em ambas as extremidades. 
 
Tabela 1 – Dimensões das vigas no regime 
Seção 10x10 mm 
Comprimento 
(Simulação Linear) 
1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 60 40 
Comprimento 
(Simulação NãoLinear) 
 - - - - 600 500 400 300 200 100 - - 
 
 
O material usado nas vigas foi um aço, cuja a curva tensão x deformação convencional 
é dada na Figura 1. As propriedades elásticas deste material são mostradas na Tabela 2. 
 
Tabela 2 – Propriedades elástica do material 
E (MPa) ۷ ρ (Kg/m³) 
210000 0,3 7850
 
 
 
 
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Figura 1.Curva tensão x deformação do material 
 
 
2.1 Método Numérico 
 
Desde quando surgiu em 1955, o Método dos elementos Finitos (MEF) vem evoluindo 
motivadocom o intuito de se projetar e trabalhar com estruturas de modelos contínuos. Este 
método se mostra uma excelente ferramenta para se analisar o comportamento dos materiais a 
correção dos cálculos em projetos, sendo assim uma forma de se realizar uma avaliação dos 
projetos (Christoforo, 2007) 
Sendo o MEF uma técnica que trabalha com geração de funções de aproximação, que 
são usadas para interpolar deslocamentos, esforços, tensões e deformações ao longo de todo 
elemento, que é de suma importância para a resolução de vários problemas entre eles os de 
instabilidade estrutural. 
Para esse trabalho, foram realizadas tanto simulações lineares de flambagem (pelo 
método de Lanczos) quanto simulações não-lineares utilizando integração explícita no 
carregamento e formulação robusta o suficiente para tratar com não linearidades materiais e 
geométricas. 
Para a simulação linear, a viga foi considerada engastada na extremidade inferior e 
superior, porém com permissão de deslocamento vertical nesta última (Figura 2). Uma carga 
axial unitária foi aplicada na extremidade superior e os modos e cargas de flambagem 
determinados pelo método de Lanczos (Altair, 2012). Para simulação não linear, as condições 
de contorno foram semelhantes, porém ao invés de carga, foi imposto um deslocamento no 
tempo na extremidade superior. A fim de provocar a instabilidade lateral da viga, uma 
pequena carga lateral (1N) foi aplicada no centro da viga. 
 
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Para ambos os casos, foram utilizados elementos sólidos hexaédricos, com 
interpolação linear e seis graus de liberdade por nó. 
 
 
Figura 2. Condições de contorno e malha para uma viga de 200mm. 
 
 
2.2 Métodos Analíticos 
 
Na teoria clássica de flambagem de colunas, a obtenção da fórmula de Euler (válida 
somente para o regime elástico do material) para colunas se dá partir da equação de deflexão 
de vigas (Hibeller, 2010): 
 
 (1) 
 
Considerando uma pequena inclinação da linha elástica e que todos os deslocamento 
ocorrem por flexão, a equação para a carga crítica de flambagem pode ser obtida a partir do 
desenvolvimento da equação diferencial acima, com as devidas condições de contorno. Desta 
forma, a equação final de Euler pode ser dada como: 
 
 (2) 
 
 
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Dividindo a força crítica pela área da seção transversal, pode-se chegar à tensão crítica 
de flambagem: 
 
 
 (3) 
 
Sendo: 
Pcr = carga axial ou crítica máxima na coluna imediatamente antes de começar a 
flambagem; 
cr = tensão crítica; 
E = módulo de elasticidade do material; 
I = o menor momento de inércia da área da seção transversal; 
L = comprimento da coluna cujas extremidades são presas por pinos; 
K = coeficiente adimensional, fator de comprimento efetivo; 
KL/r = índice de esbeltez efetivo da coluna onde r é o raio de giração. 
 
Para a flambagem inelástica, Engesser propôs uma teoria baseando na hipótese de que 
quando uma viga em um esforça crítico de flambagem é maior que o limite elástico, é 
possível obter uma nova configuração ao qual é controlado pelo módulo tangente Et avaliado 
no ponto que corresponde ao ponto crítico, onde se obtêm substituindo E por Et na equação de 
Euler. 
 (4) 
3. RESULTADOS 
 
3.1 Análise Linear 
 
Nesta etapa do trabalho foi considerado o caso hipotético do material trabalhar sempre 
no regime elástico, ou seja, foi ignorado o limite de escoamento do material. 
De acordo com a Tabela 1, a simulação linear foi feia para 12 comprimentos de vigas 
diferentes e os resultados comparados com os obtidos pelo método analítico de Euler. 
 
 
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 A tabela abaixo mostra os resultados dessas análises com os valores das forças em 
relação ao tamanho das vigas, e a variação em porcentagem do erro, onde mostrou que ao 
diminuir o tamanho das vigas o método analítico se tornou um pouco discrepante em relação 
ao numérico. Este erro ocorre provavelmente devido à formulação de Euler, válida somente 
para vigas esbeltas. 
Tabela 3- Tabela de resultados linear 
Tamanho peça 
(mm) 
Força Crítica (KN) 
(Analítico) 
Força Crítica(KN) 
(Simulação Linear) 
Erro (%) 
40 4316,22 2564,53 40,58 
60 1919,32 1463,43 23,75 
100 690,59 621,68 9,98 
200 172,64 168,42 2,44 
300 76,73 75,99 0,96 
400 43,16 42,96 0,46 
500 27,62 27,56 0,22 
600 19,18 19,15 0,16 
700 14,09 14,07 0,14 
800 10,79 10,78 0,09 
900 8,52 8,52 0,00 
1000 6,90 6,90 0,00 
 
A evolução do erro do método analítico em relação ao método numérico linear pode 
ser melhor visualizado no gráfico da Figura 3. 
 
 
Figura 3 – Gráfico do erro pelo tamanho da peça 
 
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O gráfico da Figura 4 mostra a tensão crítica de flambagem obtida pela análise 
numérica linear e no método analítico de Euler, em função do índice de esbeltez. Observa-se 
que, para um índice de esbeltez menor que 20, a discrepância entre as curvas aumentam 
consideravelmente. 
 
 
Figura 4- Gráfico da tensão x índice de Esbeltz 
 
3.2 Análise Não-Linear 
 Para o caso da simulação não linear, foi imposto o limite de escoamento do material 
em 500MPa, conforme mostra a curva tensão x deformação da Figura 1. A Figura 5 mostra o 
resultado das tensões de Von Mises da simulação numérica não linear de uma viga de 200mm. 
Observa-se pelos valores de tensão que a viga deformou plasticamente em 3 regiões, 
caracterizando em uma flambagem plástica. 
 
 
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Figura 5 – Resultado de tensão na viga de 200mm 
 O gráfico da Figura 6 mostra os resultados da força de reação do engaste obtidos via 
simulação não linear para 6 comprimentos de vigas (de 100 a 600mm), em função do 
deslocamento axial imposto. Observa-se que, no momento em que a força de reação atinge o 
valor da carga crítica de flambagem, a força de reação cai drasticamente para vigas maiores 
que 300mm. Para as vigas mais curtas analisadas (100mm e 200mm), o decaimento da carga 
foi mais lento. 
 Convém salientar que a flambagem para as vigas de 100, 200 e 300 mm ocorreram no 
regime plástico domaterial, enquanto que para as vigas de 400, 500 e 600mm, a flambagem 
ocorreu no regime elástico do material. 
 
 
Figura 6- Gráfico de Força x Deslocamento 
 
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 A Tabela 4 mostra os resultados de carga crítica obtido pela simulação numérica não 
linear e os obtidos analiticamente (Euler para o regime elástico e Engesser para o plástico). 
Pode-se observar que para o regime elástico, os resultados obtidos pelas simulação ficaram 
bem próximo dos obtidos por Euler. O mesmo não aconteceu no regime plástico, onde os 
resultados obtidos pela simulação não-linear foram bastante diferentes dos obtidos por 
Engesser. Pela simulação não linear, observa-se que os resultados de carga crítica tendem a 
estabilizar após o material atingir a tensão de escoamento. 
 
Tabela 4 –Tabela de resultados não-linear 
Tamanho peça 
(mm) 
Força Crítica(KN) 
(Simulação 
Não-Linear) 
Força Crítica(KN) 
(Engesser) 
Força Crítica(KN) 
(Euler) 
100 50,05 3,28 - 
200 49,97 0,82 - 
300 49,88 0,36 - 
400 44,17 - 43,16 
500 29,29 - 27,62 
600 20,83 - 19,18 
 
Os resultados da tabela acima podem ser melhor visualizados no gráfico da Figura 7, 
onde mostra a variação da carga crítica em função do comprimento da peça. 
 
Figura 7 – Gráfico de Força x Tamanho das peças 
 
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4. CONCLUSÕES 
 
A partir dos resultados obtidos por simulação numérica linear e métodos analíticos 
para vigas com comportamento puramente elástico, nota-se que a método analítico apresentou 
certa discrepância em relação ao método numérico para vigas curtas enquanto que, para vigas 
longas, a correlação entre os resultados foi bastante satisfatória. Essa pequena variação entre 
os resultados obtidos para vigas curtas pode ter sido ocasionada pelo modelo de viga adotado 
no método analítico (Euler), que é válido somente para vigas esbeltas. Os resultados obtidos 
pela simulação numérica não-linear também se aproximaram consideravelmente dos 
resultados obtidos pela simulação linear e analítica para cargas críticas situadas dentro do 
regime elástico. 
 Para vigas feitas com material elasto-plástico, os resultados da simulação não linear 
divergiram bastante do método analítico proposto por Engesser. Pela curva tensão x 
deformação adotada neste trabalho, o módulo tangente usado na formulação de Engesser cai 
abruptamente após o escoamento, o que leva a cargas de flambagem com valores muito 
abaixo da carga obtida no regime elástico. O método analítico de Engesser já foi utilizado por 
outros autores com razoável correlação apenas para valores de módulo tangente próximo ao 
do módulo de elasticidade. Para curvas tensão deformação com baixa taxa de encruamento, o 
uso de métodos numéricos não linear é imprescindível, apesar do elevado custo 
computacional. 
 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Altair - HyperMesh
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 2012. 
BARTOLAN, L. N. Análise numérica de dutos sujeitos à flambagem. Dissertação de 
Mestrado em Ciências, (Mecânica Computacional) – Universidade Federal do Paraná, 141 p., 
2009. 
CAZELI, R. REAL, P. M. M. V.; SIVA, V. P.; PILOTO, P. A. G. Análise numérica de vigas 
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O uso de Estruturas Metálicas na Construção Civil” e I Congresso Internacional da 
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2007. 
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SILVA, A. L. R. C. Análise numérica não-linear da flambagem local de perfis de aço 
estrutural submetidos a compressão uniaxial. Dissertação de Doutorado em Engenharia de 
Estruturas- Universidade Federal de Minas Gerais, 228 p., 2006.