RLM Teoria dos conjuntos 27.02.16

Prévia do material em texto

Prof. Jhoni www.focusconcursos.com.br 1 
 
 
RLM 
Teoria Dos Conjuntos 
 
 
Teoria dos conjuntos 
A teoria dos conjuntos na matemática denota o estudo de agrupamentos de números ou 
elementos, em que usamos cotidianamente e não percebemos. Quando o professor solicita que se divida 
uma sala de 30 alunos em grupos de 6 integrantes está-se formando subconjuntos de um conjunto 
maior. Muito utilizado também em pesquisas quando nos é informado que 15% gosta do chocolate A e 
20% gosta do chocolate B e 40% gostam das duas marcas e queremos descobrir quantos não gostam 
de chocolates se o total de entrevistados foram 400 pessoas. Como visto, as aplicações são muitas e 
vamos agora fazer a representação de um conjunto: 
Seja um conjunto A qualquer que demonstra os números positivos inteiros menores que 6: 
A = {1,2,3,4,5} representamos o conjunto com as chaves e cada elemento separado por vírgula. 
Outro modo de representação é pelo diagrama de Venn: 
 
 Ou ainda por um modo de formulação matemática: 
𝐴𝐴 = {𝑥𝑥/ 𝑥𝑥 ∈ 𝑁𝑁* 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ≤ 6} 
Pode-se criar qualquer conjunto. Por exemplo: Conjunto de todos os alunos da sala que começam 
com M: 
𝑀𝑀 = {𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀,𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒,𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒,𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀… } 
Existe também um conjunto especial chamado conjunto vazio e denotado por: ∅. 
 
Relações entre conjuntos 
-Conjunto Unitário: 
É chamado conjunto unitário um conjunto com apenas um elemento. 
Exemplo: 
A = {3} é conjunto unitário, pois o único elemento é o 3. 
B = {{2,3,4}} é conjunto unitário também pois o único elemento é o {2,3,4}. 
-Subconjuntos: 
Um conjunto A que está contido em outro conjunto B, ou seja, todos os elementos de A também 
são elementos de B, é chamado de subconjunto de B. 
Exemplos: 
A = {2,3,4} 
 
 
Prof. Jhoni www.focusconcursos.com.br 2 
 
 
RLM 
Teoria Dos Conjuntos 
 
 
B = {2,3,4,6,7,8} 
O conjunto A é um subconjunto do conjunto B e formulamos da seguinte da forma: 
𝐴𝐴 ∁ 𝐵𝐵 (A está contido em B ou ainda A é um subconjunto de B) 
E 
𝐵𝐵 𝐴𝐴 (B não está contido em A) 
Dado: 
A = {3,4,5} 
B = {3,4} 
Então: 
𝐵𝐵 ∁ 𝐴𝐴 (B está contido em A ou ainda B é um subconjunto de A) 
Observação: O conjunto vazio (∅) é SUBCONJUNTO de todos os conjuntos. 
Observação: Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. 
 
-Relação de pertinência: 
Para sabermos se um elemento pertence ou não a um conjunto utilizaremos a simbologia: 
𝑀𝑀 ∈ 𝐴𝐴 (“a” pertence ao conjunto A) 
𝑏𝑏 ∉ 𝐴𝐴 (“b” não pertence ao conjunto A) 
Para identificarmos a pertinência do elemento basta apenas OLHARMOS para o conjunto, se 
estiver no conjunto exatamente como nos pede então pertence, caso contrário, não pertence. 
Exemplo: 
𝐴𝐴 = {2,3,4,7} 2 ∈ 𝐴𝐴 5 ∉ 𝐴𝐴 {2} ∉ 𝐴𝐴 (Pois apenas vemos o 2) 
Agora se o conjunto A = {1,{2},3,4} 
Podemos dizer que {2} ∈ 𝐴𝐴. 
-Conjunto das partes: 
Todos os conjuntos que são subconjuntos de um outro conjunto é chamado de conjunto das 
partes. Por exemplo: 
A = {2,4} 
Então o {2} é um subconjunto. 
{4} é um subconjunto. 
{2,4} é um subconjunto. 
 
 
Prof. Jhoni www.focusconcursos.com.br 3 
 
 
RLM 
Teoria Dos Conjuntos 
 
 
∅ é um subconjunto. 
Portanto o C.P. = {{2},{4},{2,4},∅}. 
O número de elementos do conjunto das partes segue a fórmula: 
𝑛𝑛 𝐶𝐶.𝑃𝑃. = 2𝑛𝑛 Sendo n o número de elementos do conjunto. 
 
Operações entre conjuntos 
-União de conjuntos: Chama-se união de conjuntos, o conjunto de todos os elementos de 
A ou de B, e simbolizado por ∪. 
A formulação correspondente é a seguinte: 
𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥/ 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 𝑀𝑀𝑒𝑒 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵} 
Se temos por exemplo: 
A = {2,3,4} 
B = {3,4,5} 
𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = {2,3,4,5} 
O número 4 não se repete, é contabilizado apenas uma vez. 
 
-Intersecção de conjuntos: Chama-se intersecção de conjuntos, o conjunto dos 
elementos que pertencem a A e a B ao mesmo tempo e simbolizado por ∩. 
Exemplo: Dado o conjunto A = {3,5,6,7} e B = {2,3,5,9,10}. 
Podemos perceber que os elementos 3 e 5 são comuns aos dois, portanto: 
𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {3,5} 
A formulação correspondente é a seguinte: 
𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥/ 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵} 
E ainda podemos relacionar com o diagrama de Venn: 
 
Nesse caso o conjunto A = {a,c}, o conjunto B = {b,c} e o conjunto 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {𝑀𝑀}. 
 
 
 
 
Prof. Jhoni www.focusconcursos.com.br 4 
 
 
RLM 
Teoria Dos Conjuntos 
 
 
Da união e intersecção podemos retirar uma propriedade importante que usaremos nos 
exercícios. 
O número de elementos da união de dois conjuntos é o número de elementos do primeiro somado 
com o número de elementos do segundo e subtraído a intersecção dos dois (pois conta-se apenas uma 
vez). 
𝑛𝑛 (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) = 𝑛𝑛(𝐴𝐴) + 𝑛𝑛(𝐵𝐵) − 𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) 
 
-Diferença entre conjuntos: 
Chama-se diferença de dois conjuntos, o conjunto que representa todos os elementos que estão 
contidos no primeiro conjunto e que não estão contidos no segundo, e representa o conjunto 
complementar. 
Exemplo: 
A = {2,5,7,8} 
B = {2,4,5,6} 
A – B = {7,8} (Tudo que tem em A e não tem em B, é chamado de conjunto complementar de A 
em B) 
B – A = {4,6} (Tudo que tem em B e não tem em A) 
 
A formulação geral é a seguinte: 
𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥/ 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ∉ 𝐵𝐵} 
Exemplo: 
Dado o conjunto A = {3,4,5,6,8} e B = {3,6,5} 
 
 
 
 
Prof. Jhoni www.focusconcursos.com.br 5 
 
 
RLM 
Teoria Dos Conjuntos 
 
 
O conjunto {4,8} é chamado de complementar de A em B ou denotado por A – B. 
 
-Conjuntos iguais: 
Se os elementos dos conjuntos forem os mesmos independentes da ordem, então são iguais. 
Exemplo: 
A = {M,T,R,A} 
B = (R,M,T,A} 
A e B são iguais. 
 
EXERCÍCIOS: 
1) A união entre três conjuntos A, B e C é o conjunto U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. 
Sendo A o conjunto dos números naturais ímpares menores que 10 e maiores que 2, e B o conjunto dos 
números naturais divisores de 10, quais elementos pertencem necessariamente ao conjunto C? 
a) 2, 4, 6, 8 
b) 4, 6, 8 
c) 2, 4, 6, 8, 10 
d) 1, 6, 8, 10 
e) 1, 4, 6, 8 
 
2) Sejam os conjuntos A = {x ∈ Z / – 3 ≤ x < 5}; B = {x ∈ N / x < 3} e C = {x ∈ Z / – 5 ≤ x < 3}. 
Qual dos números a seguir NÃO pertence ao conjunto (A ∩ B) U (A ∩ C)? 
a) 0 
b) – 2 
c) – 4 
d) 2 
e) – 1 
 
3) Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 5},determine o conjunto A – B. 
a) { } 
 
b) {1, 5} 
 
c) {5} 
 
d) {1} 
 
e) {2, 3} 
 
 
Prof. Jhoni www.focusconcursos.com.br 6 
 
 
RLM 
Teoria Dos Conjuntos 
 
 
4) Sejam os conjuntos A = {2, 4, 7, 9, 10, 12, 15}, B = {1, 3, 5, 7, 9, 12, 13} e C = {0, 3, 4, 6, 8, 10, 
11, 15}. O conjunto (A ∩ C) ∪ (B – A) é igual a: 
 
a) {0, 3, 4, 7, 10, 12, 15} 
b) {1, 3, 4, 5, 10, 13, 15} 
c) {2, 3, 4, 9, 10, 11, 12} 
d) {1, 2, 4, 7, 8, 9, 12} 
e) {1, 4, 5, 8, 9, 10, 13} 
 
5) Considere o conjunto A representado pelo diagrama da figura abaixo e o conjunto B = (x é natural / 
x ≠ múltiplo de 3}. Determine o conjunto A-B. 
 
 
 
a) {1950,1962,1974,1986,1998,2010} 
 
b) {1954,1958,1970,1982,1990,2002,2014} 
 
c) {1950,1958,1974,1982,1998,2010} 
 
d) {1950,1962,1978,1986,1998,2006,2010 } 
 
e) {1954,1974,1982,1994,2002,2014} 
 
6) Sejam os conjuntos A = {1, 3, 4, 6, 8, 9}, B = {2, 4,6, 7, 9, 10} e C = {3, 5, 6, 7, 8, 9}. Quantos 
elementos do conjunto B NÃO pertencem ao conjunto (C – A) U (A ∩ B)? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
Prof. Jhoni www.focusconcursos.com.br 7 
 
 
RLM 
Teoria Dos Conjuntos 
 
 
7) Dado os conjuntos A = {x ϵ Z*|-1 < x ≤ 7}, B = { x ϵ N | x ≤ 4 } e C = { x ϵ Z+ | x ≤ 2 } , afirma-
se que 
 
I. (A – B) ∩ (B U C) = Ø. 
 
II. (B – A) ∩ C é um conjunto unitário. 
 
III. (C – A) ∩ C é um subconjunto de B. 
 
Quais estão corretas? 
a) Apenas I. 
 
b) Apenas II. 
 
c) Apenas I e III. 
 
d) Apenas II e III. 
 
e) I, II e III. 
 
8) Para o conjunto Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, se A for um subconjunto de Ω, indique por S(A) 
a soma dos elementos de A e considere S(Ø) = 0. Nesse sentido, julgue o item a seguir. 
 0 < S(A) < 55. 
( ) certo ( ) errado 
 
9) Para o conjunto Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, se A for um subconjunto de Ω, indique por S(A) 
a soma dos elementos de A e considere S(Ø) = 0. Nesse sentido, julgue o item a seguir. 
Se A ⊂ Ω, e se Ω\A é o complementar de A em Ω, então S(Ω\A) = S(Ω) – S(A). 
( ) certo ( ) errado 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
1) B, 2) C, 3) D, 4) B, 5) A, 6) B, 7) E, 8) C, 9) C