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Aula 4 Flexão Simples

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7 Flexão Simples 
Para o estudo das estruturas em concreto armado devemos estudar os esforços 
internos gerados pelas cargas, neste primeiro momento iremos estudar a flexão. 
7.1 Tipo de flexão 
a) Flexão Pura: Quando não há esforço cortante atuando na seção, ou seja só atua 
o momento fletor. Como na região central do exemplo abaixo. 
Figura 1 – Exemplo flexão pura. 
 
 
 
Fonte: Arquivo pessoal. 
b) Flexão Simples: Quando há esforço cortante atuando na seção em conjunto com 
o momento fletor. Como no exemplo abaixo. 
Figura 2 – Exemplo flexão simples. 
 
 
 
Fonte: Arquivo pessoal. 
 
Os elementos usualmente submetidos à flexão simples são as vigas e as lajes. 
b) Flexão Composta: Quando há esforço normal atuando na seção. Como no 
exemplo abaixo. 
Os elementos usualmente submetidos à flexão composta são os pilares. 
7.2 Estádios de deformação 
O procedimento para se caracterizar o desempenho de uma seção de concreto 
consiste em aplicar um carregamento, que se inicia do zero e vai até a ruptura. Às 
diversas fases pelas quais passa a seção de concreto, ao longo desse 
carregamento, dá-se o nome de estádios. Distinguem-se basicamente três fases 
distintas: estádio I, estádio II e estádio III. 
a) Estádio I 
Esta fase corresponde ao início do carregamento. As tensões normais que surgem 
são de baixa magnitude e dessa forma o concreto consegue resistir às tensões de 
tração. Tem-se um diagrama linear de tensões, ao longo da seção transversal da 
peça. Levando-se em consideração a baixa resistência do concreto à tração, se 
comparada com a resistência à compressão, percebe-se a inviabilidade de um 
possível dimensionamento neste estádio. É no estádio I que é feito o cálculo do 
momento de fissuração, que separa o estádio I do estádio II. Conhecido o momento 
de fissuração, é possível calcular a armadura mínima, de modo que esta seja capaz 
de absorver, com adequada segurança, as tensões causadas por um momento fletor 
de mesma magnitude. Portanto, o estádio I termina quando a seção fissura. 
 
 
 
Figura 3 – Comportamento da seção de concreto no estádio I. 
 
Fonte: PINHEIRO (2015). 
b) Estádio II 
Neste nível de carregamento, o concreto não mais resiste à tração e a seção se 
encontra fissurada na região de tração. A contribuição do concreto tracionado deve 
ser desprezada. No entanto, a parte comprimida ainda mantém um diagrama linear 
de tensões, permanecendo válida a lei de Hooke. Basicamente, o estádio II serve 
para a verificação da peça em serviço. Como exemplos, citam-se o estado limite de 
abertura de fissuras e o estado limite de deformações excessivas. Com a evolução 
do carregamento, as fissuras caminham no sentido da borda comprimida, a linha 
neutra também e a tensão na armadura cresce, podendo atingir o escoamento ou 
não. O estádio II termina com o inicio da plastificação do concreto comprimido. 
Figura 4 – Comportamento da seção de concreto no estádio II. 
 
Fonte: PINHEIRO (2015). 
c) Estádio III 
No estádio III, a zona comprimida encontra-se plastificada e o concreto dessa região 
está na iminência da ruptura. Admite-se que o diagrama de tensões seja da forma 
parabólico-retangular, também conhecido como diagrama parábola-retângulo. É no 
estádio III que é feito o dimensionamento estrutural, situação que se denomina 
“cálculo na ruptura” ou “cálculo no estádio III”. 
Figura 5 – Comportamento da seção de concreto no estádio III. 
 
Fonte: PINHEIRO (2015). 
O diagrama parábola-retângulo é formado por um trecho retangular, para 
deformação de compressão variando de 2 ‰ até 3,5 ‰, com tensão de compressão 
σcd = 0,85*fcd, e um trecho no qual a tensão varia segundo uma parábola do 
segundo grau. 
A Norma Brasileira permite, para efeito de cálculo, que se trabalhe com um 
diagrama retangular equivalente com altura do diagrama é igual a 0,8x. A tensão 
limite é σcd = 0,85*fcd. 
Figura 6 - Diagramas parábola-retângulo e retangular equivalente. 
 
Fonte: PINHEIRO (2015). 
 
onde: bw = largura da seção; x = posição da linha neutra a partir da borda 
comprimida; fcd = resistência de cálculo do concreto à compressão; d = altura útil, 
que é a distância da borda mais comprimida ao centro de gravidade da armadura 
tracionada. 
7.3 Equações de Equilíbrio 
Figura 7 - Distribuição de tensões de compressão segundo os diagramas parábola-retângulo e 
retangular simplificado. 
 
Fonte: BASTOS (2015). 
a) Equilíbrio de Forças Normais 
Considerando que na flexão simples não ocorrem forças normais solicitantes, e que 
a força resultante das tensões de compressão no concreto deve estar em equilíbrio 
com a força resultante das tensões de tração pode-se escrever: 
𝑅𝑐𝑐 = 𝑅𝑠𝑡 
 Tomando da Resistência dos Materiais que σ = 
F
A
, a força resultante das tensões 
de compressão no concreto, considerando o diagrama retangular simplificado, pode 
ser escrita como: 
σcd = 
Rcc
Ac
 
Rcc = σcd ∗ 𝐴𝑐 
onde: σcd = máxima tensão de cálculo resistida pela fibra mais comprimida 
(0,85fcd); Ac = área de concreto comprimido. 
 
Considerando a área de concreto comprimido (Ac) correspondente ao diagrama 
retangular simplificado com altura 0,8x fica: 
Rcc = 0,85 ∗ fcd ∗ (0,8𝑥 ∗ 𝑏𝑤) 
Rcc = 0,68 ∗ bw ∗ x ∗ fcd 
e a força resultante das tensões de tração na armadura tracionada: 
σsd = 
Rst
As
 
Rst = σsd ∗ 𝐴𝑠 
Rst = fyd ∗ 𝐴𝑠 
com σsd = tensão de cálculo na armadura tracionada (fyd); As = área de aço da 
armadura tracionada. 
a) Equilíbrio de Momentos Fletores 
Considerando o equilíbrio de momentos fletores na seção, o momento fletor 
solicitante deve ser equilibrado por um momento fletor resistente, proporcionado 
pelo concreto comprimido e pela armadura tracionada. Assumindo valores de 
cálculo, por simplicidade de notação ambos os momentos fletores devem ser iguais 
ao momento fletor de cálculo Md , tal que: 
𝑀𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐 = 𝑀𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀𝑑 
As forças resistentes internas, proporcionadas pelo concreto comprimido e pela 
armadura tracionada, formam um binário oposto ao momento fletor solicitante, 
podendo ser escrito: 
𝑀𝑑 = 𝑅𝑐𝑐 ∗ 𝑍 
𝑀𝑑 = 𝑅𝑠𝑡 ∗ 𝑍 
onde: 
𝑅𝑐𝑐 ∗ 𝑍 = momento interno resistente, proporcionado pelo concreto comprimido; 
𝑅𝑠𝑡 ∗ 𝑍 = o momento interno resistente, proporcionado pela armadura tracionada. 
Com Z = d – 0,4x, temos: 
𝑀𝑑 = 𝑅𝑐𝑐 ∗ 𝑍 
𝑀𝑑 = 0,68 ∗ bw ∗ x ∗ fcd ∗ (d − 0,4x) 
𝑀𝑑 = 𝑅𝑠𝑡 ∗ 𝑍 
𝑀𝑑 = (fyd ∗ 𝐴𝑠) ∗ (𝑑 − 0,4𝑥) 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑 ∗ (𝑑 − 0,4𝑥)
 
7.4 Domínios de deformação 
Ao analisarmos o diagrama tensão deformação da peça de concreto armado, 
podemos observar que o estado limite último de flexão no concreto armado é 
atingido quando: 
a) A deformação de encurtamento (compressão) do concreto (εcu) atinge 3,5 ‰, ou 
0,35% ou 0,0035. Quando excede 3,5 ‰ a ruptura ocorre por esmagamento do 
concreto. 
b) A deformação de alongamento (tração) do aço (εs) atinge 10 ‰ ou 1% ou 0,01. 
Quando excede 10 ‰ a ruptura ocorre por alongamento excessivo do aço. 
As deformações nos materiais componentes das vigas e lajes de concreto armado 
submetidas à flexão simples encontram-se nos domínios de deformação 2, 3 ou 4, 
conforme definidos na NBR 6118 (2014) item 17.2.2. 
 
 
 
 
Figura 8 – Domínios de deformação. 
 
Fonte: Arquivo pessoal. 
Domínio 2: O aço está sob deformação máxima (εs = 10 ‰) e o concreto sob 
deformação (εc < 3,5 ‰), ou seja, sob a deformação de 10 ‰ a tensão na armadura 
corresponde à máxima permitida no aço (fyd), portanto, a armadura tracionada é 
econômica, isto é, a máxima tensão possível no aço pode ser implementadanessa 
armadura, e o concreto não trabalha na sua capacidade máxima, pois a deformação 
estará abaixo ou igual aos 3,5 ‰ . Na questão relativa à segurança, no caso de vir a 
ocorrer a ruptura, ou seja, o colapso da viga, será com “aviso prévio”, porque como a 
armadura continuará escoando além dos 10 ‰, a fissuração na viga será intensa e 
ocorrerá antes de uma possível ruptura por esmagamento do concreto na região 
comprimida. A intensa fissuração será visível e funcionará como um aviso aos 
usuários de que a viga apresenta um problema sério, alertando-os, de modo que 
sejam tomadas medidas visando à evacuação do local, antes que a ruptura venha a 
ocorrer. 
 
 
 
 
 
Posição da linha neutra para o limite entre o domínio 2 e o domínio 3 
Figura 9 – Posição da linha neutra no limite entre o domínio 2 e o domínio 3. 
 
Fonte: Arquivo pessoal. 
0,0035
𝑥23
=
0,01
𝑑 − 𝑥23
 
0,01 ∗ 𝑥23 = 0,0035 ∗ (𝑑 − 𝑥23) 
0,01 ∗ 𝑥23 = 0,0035 ∗ 𝑑 − 0,0035 ∗ 𝑥23 
0,01 ∗ 𝑥23 + 0,0035 ∗ 𝑥23 = 0,0035 ∗ 𝑑 
0,0135 ∗ 𝑥23 = 0,0035 ∗ 𝑑 
𝑥23 =
0,0035 ∗ 𝑑
0,0135
 
𝑥23 = 0,259 ∗ 𝑑 
Quando a posição da linha neutra ultrapassar 0,259*d os materiais da seção de 
concreto armado terão uma deformação de acordo com o domínio 3. 
Domínio 3: A deformação de encurtamento do concreto na fibra mais comprimida 
corresponde a 3,5 ‰. A deformação de alongamento na armadura tracionada varia 
entre εyd (deformação de início de escoamento do aço) e 10 ‰, ou seja εyd ≤ εs ≤ 
10 ‰, o que significa que a armadura escoa certo valor. Isso implica que, assim 
como no domínio 2, a armadura também é econômica no domínio 3. Neste domínio, 
portanto, tanto o concreto comprimido quanto o aço tracionado são aproveitados ao 
máximo, diferentemente do domínio 2, onde o concreto tem deformações de 
encurtamento menores que a máxima (εc < 3,5 ‰). A ruptura no domínio 3 é 
também chamada com “aviso prévio”, pois a armadura, ao escoar, acarretará 
fissuras visíveis na viga, antes que o concreto alcance a ruptura por esmagamento. 
Posição da linha neutra para o limite entre o domínio 3 e o domínio 4 
Figura 10 – Posição da linha neutra no limite entre o domínio 3 e o domínio 4. 
 
Fonte: Arquivo pessoal. 
0,0035
𝑥34
=
𝜀𝑦𝑑
𝑑 − 𝑥34
 
𝜀𝑦𝑑 ∗ 𝑥34 = 0,0035 ∗ (𝑑 − 𝑥34) 
Para o aço CA-50, εyd = 2,07 ‰ logo: 
0,00207 ∗ 𝑥34 = 0,0035 ∗ 𝑑 − 0,0035 ∗ 𝑥34 
0,00207 ∗ 𝑥34 + 0,0035 ∗ 𝑥34 = 0,0035 ∗ 𝑑 
0,00557 ∗ 𝑥34 = 0,0035 ∗ 𝑑 
𝑥34 =
0,0035 ∗ 𝑑
0,00557
 
𝑥34 = 0,628 ∗ 𝑑, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐶𝐴 − 50 
Para o aço CA-50, εyd = 2,48 ‰ logo: 
0,00248 ∗ 𝑥34 = 0,0035 ∗ 𝑑 − 0,0035 ∗ 𝑥34 
0,00248 ∗ 𝑥34 + 0,0035 ∗ 𝑥34 = 0,0035 ∗ 𝑑 
0,00598 ∗ 𝑥34 = 0,0035 ∗ 𝑑 
𝑥34 =
0,0035 ∗ 𝑑
0,00598
 
𝑥34 = 0,585 ∗ 𝑑, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐶𝐴 − 60 
Quando a posição da linha neutra ultrapassar 0,628*d para elementos com aço CA-
50 e 0,585*d para elementos com aço CA-60, os materiais da seção de concreto 
armado terão uma deformação de acordo com o domínio 4. 
Domínio 4: A deformação de encurtamento do concreto na fibra mais comprimida 
está com o valor máximo de 3,5 ‰, e a armadura tracionada não está escoando, 
pois sua deformação é menor que a de início de escoamento (εyd). A armadura 
resulta, portanto, antieconômica, pois não aproveita a máxima capacidade resistente 
do aço. Diz-se então que a armadura está “folgada” e a seção é chamada 
superarmada. 
As vigas não podem ser projetadas à flexão simples no domínio 4, pois além da 
questão econômica, a ruptura, se ocorrer, será do tipo “frágil”, ou “sem aviso prévio”, 
onde o concreto rompe (esmaga) por compressão, causando o colapso da viga 
antes da intensa fissuração provocada pelo aumento do alongamento na armadura 
tracionada. Segundo a NBR 6118 (2014) a “ruptura frágil está associada a posições 
da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão.” 
Como conclusão podemos afirmar que as vigas e lajes devem ser projetadas à 
flexão simples nos domínios 2 ou 3, e não podem ser projetadas no domínio 4. Para 
complementar essa análise, é importante observar que a NBR 6118 (2014) no item 
14.6.4.3 apresenta limites para a posição da linha neutra que visam dotar as vigas e 
lajes de ductilidade, afirmando que quanto menor for a relação x/d (x = posição da 
linha neutra, d = altura útil da viga), maior será a ductilidade. Os limites são: 
𝑥
𝑑
≤ 0,45, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎 
𝑥
𝑑
≤ 0,35, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑓𝑐𝑘 > 50 𝑀𝑃𝑎

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