Mecânica Geral II - Dinâmica e Cinemática
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Mecânica Geral II - Dinâmica e Cinemática


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a resiste\u2c6ncia do ar e se o solo for
tomado como n´\u131vel, o proje´til atinge o solo a uma dista\u2c6ncia
v20 sen 2\u3b8
g
da origem. Este e´ o
alcance horizontal do proje´til. Mostre tambe´m que o decre´scimo no alcance horizontal
e´ aproximadamente 4v30\u3b3 sen \u3b8 sen 2\u3b8/3g
2 no caso de resiste\u2c6ncia do ar proporcional a`
velocidade (caso linear).
110 CAPI´TULO 3. MOVIMENTO GERAL DE UMA PARTI´CULA
3.9 Part´\u131culas de lama sa\u2dco lanc¸adas da periferia de uma roda que rola sem deslizar. Se
a roda tiver uma velocidade para a frente v0 e se seu raio for b, mostrar que a maior
altura acima do solo que a lama pode atingir e´
b+
v20
2g
+
gb2
2v20
Em que ponto da roda girante ira´ a lama abandona´-la?
3.10 Um canha\u2dco e´ assentado na parte mais baixa de um morro de declive constante \u3c6.
Mostre que o alcance desta arma medida a partir da encosta do morro e´
2v20 cos \u3b8 sen(\u3b8 \u2212 \u3c6)
g cos2 \u3c6
onde \u3b8 e´ o a\u2c6ngulo de elevac¸a\u2dco do canha\u2dco. Mostre tambe´m que o valor ma´ximo do
alcance medido ao longo da encosta e´
v20
g(1 + sen\u3c6)
3.11 Escreva na forma de componentes a equac¸a\u2dco diferencial de movimento de um proje´til
para o caso de resiste\u2c6ncia do ar proporcional ao quadrado da velocidade. Estas equac¸o\u2dces
sa\u2dco separa´veis? Mostre que a componente x da velocidade e´
x\u2d9 = x\u2d90e
\u2212\u3b3S
onde S e´ a dista\u2c6ncia percorrida pelo proje´til ao longo da trajeto´ria.
3.12 As condic¸o\u2dces iniciais para um oscilador isotro´pico bi-dimensional sa\u2dco: x(0) = A,
x\u2d9(0) = 0, y(0) = B y\u2d9(0) = \u3c9C onde \u3c9 e´ a freque\u2c6ncia de oscilac¸a\u2dco. Mostre que o
movimento se da´ inteiramente dentro de um reta\u2c6ngulo de dimenso\u2dces 2A e 2
\u221a
B2 + C2.
Encontre a inclinac¸a\u2dco \u3c6 do eixo da elipse em termos de A, B e C.
3.13 Uma part´\u131cula de massa unita´ria move-se no potencial do oscilador harmo\u2c6nico na\u2dco
isotro´pico tri-dimensional
V = x2 + 4y2 + 9z2
Se a part´\u131cula passa pela origem com velocidade unita´ria na direc¸a\u2dco (1,1,1) no instante
t = 0, determine x, y e z como func¸o\u2dces do tempo.
3.14 Um a´tomo esta situado em uma rede cristalina cu´bica simples. Se a energia potencial
de interac¸a\u2dco entre dois a´tomos quaisquer e´ da forma cr\u2212\u3b1 onde c e \u3b1 sa\u2dco constantes
e r e´ a dista\u2c6ncia entre dois a´tomos, mostre que a energia total de interac¸a\u2dco de um
dado a´tomo com seus seis vizinhos mais pro´ximos e´ aproximadamente o potencial do
oscilador harmo\u2c6nico tri-dimensional
V = A+B
(
x2 + y2 + z2
)
PROBLEMAS 111
onde A e B sa\u2dco constantes. (Nota: Considere que os seis a´tomos vizinhos esta\u2dco fixos
e localizados nos pontos (±d,0,0), (0,±d,0), (0,0,±d), e que o deslocamento (x,y,z)
da posic¸a\u2dco de equil´\u131brio (0,0,0) do a´tomo e´ pequeno se comparado com d). Enta\u2dco
V =
\u2211
cr\u2212\u3b1i onde r1 =
\u221a
(d\u2212 x)2 + y2 + z2 com expressa\u2dco semelhante para r2, r3,
. . . . . ., r6. Use o teorema binomial para obter o resultado desejado.
3.15 Um eletron move-se em um campo de forc¸a composto de um campo ele´trico uniforme ~E
e um campo magne´tico uniforme ~B que faz a\u2c6ngulo reto com ~E. Seja ~E =~\uf6beE e ~B = ~kB.
Considere a posic¸a\u2dco inicial do eletron na origem com velocidade inicial ~v0 = ~\u131 v0 na
direc¸a\u2dco x. Encontre o movimento resultante da part´\u131cula. Mostre que a trajeto´ria do
movimento e´ uma ciclo´ide:
x = a sen\u3c9t+ bt
y = c(1\u2212 cos\u3c9t)
z = 0
Movimento cicloidal de eletrons e´ utilizado no magnetron \u2013 um tubo eletro\u2c6nico usado
para produzir ondas de ra´dio de alta freque\u2c6ncia.
3.16 Uma part´\u131cula foi colocada na superf´\u131cie externa de uma esfera lisa de raio b a uma
dista\u2c6ncia b/2 acima do plano central. Determine em que ponto a part´\u131cula abandona
a superf´\u131cie, depois que ela comec¸a a deslizar para baixo.
3.17 Uma bolinha (conta) desliza em um fio liso dobrado na forma de um aro de raio b. Se
o aro e´ vertical, e se a bolinha estava inicialmente em repouso, em um ponto nivelado
com o centro do aro, encontre a velocidade da bolinha no ponto mais baixo do aro.
Encontre tambe´m a reac¸a\u2dco do aro sobre a bolinha neste ponto.
3.18 No problema acima determine o tempo que a bolinha gasta para atingir o ponto mais
baixo do aro.
3.19 Em uma experie\u2c6ncia de laborato´rio um pe\u2c6ndulo simples e´ usado para se determinar o
valor de g. Se a amplitude de oscilac¸a\u2dco do pe\u2c6ndulo e´ 30\u25e6, encontre o erro cometido ao
se usar a fo´rmula elementar
T = 2pi
\u221a
l
g
3.20 Um pe\u2c6ndulo esfe´rico de 1 metro de comprimento esta´ executando pequenas oscilac¸o\u2dces
em torno de um a\u2c6ngulo co\u2c6nico \u3b80. Se \u3b80 = 30
\u25e6, encontre o per´\u131odo do movimento
co\u2c6nico, o per´\u131odo de oscilac¸a\u2dco de \u3b8 em torno de \u3b80 e o a\u2c6ngulo de precessa\u2dco \u2206\u3c6.
3.21 Prove que as duas ra´\u131zes reais da equac¸a\u2dco f(u) = 0, Equac¸a\u2dco (3.75), que esta\u2dco entre
+1 e \u22121 sa\u2dco iguais no caso de pe\u2c6ndulo co\u2c6nico.
3.22 A corda de um pe\u2c6ndulo esfe´rico de comprimento l esta´ inicialmente fazendo um a\u2c6ngulo
de 90\u25e6 com a vertical. Da´-se a` massa do pe\u2c6ndulo uma velocidade inicial v0 perpendicular
a` corda. Se v20 = gl/2 encontre o ponto mais baixo atingido pela massa do pe\u2c6ndulo
durante seu movimento. (Sugesta\u2dco: A partir das condic¸o\u2dces iniciais u = 0 e´ uma raiz
da equac¸a\u2dco f(u) = 0).
112 CAPI´TULO 3. MOVIMENTO GERAL DE UMA PARTI´CULA
Respostas de problemas selecionados de nu´meros \u131´mpa-
res
3.1 (a), (b), e (e) sa\u2dco conservativas.
3.3 (a) ~F = \u2212(~\u131 yz +~\uf6bexz + ~kxy)
(c) ~F = \u2212kx\u3b1y\u3b2z\u3b3(~\u131\u3b1x\u22121 +~\uf6be \u3b2y\u22121 + ~k \u3b3z\u22121)
3.5
\u221a
v20 \u2212 16m
3.7 F = \u2212mg + 2mgz
rT
3.11 mx¨ = \u2212cx\u2d9S\u2d9, my¨ = \u2212cy\u2d9S\u2d9, mz¨ = \u2212mg \u2212 cz\u2d9S\u2d9
3.13 x = 6\u2212
1
2 sen(
\u221a
2t), y = 24\u2212
1
2 sen(
\u221a
8t), z = 54\u2212
1
2 sen(
\u221a
18t)
3.17 v =
\u221a
2gb, R = 3mg
3.19 T = 4
\u221a
l
g
K(15\u25e6)
Cap´\u131tulo 4
Dina\u2c6mica de um Sistema de Muitas
Part´\u131culas
Ao estudarmos um sistema ou conjunto de muitas part´\u131culas livres, e´ importante que fique-
mos interessados nas caracter´\u131sticas gerais do movimento de tal sistema.
4.1 Centro de Massa e Momentum Linear
Consideremos um sistema constitu´\u131do de n part´\u131culas de massas m1,m2, . . .mn, cujos vetores
posic¸a\u2dco sa\u2dco, respectivamente ~r1,~r2, . . .~rn. Definimos o centro de massa do sistema como o
ponto cujo vetor posic¸a\u2dco ~rcm (Figura 4.1) e´ dado por:
~rcm =
m1~r1 +m2~r2 + . . .mn~rn
m1 +m2 + . . .mn
=
\u2211
mi~ri
m
(4.1)
onde m =
\u2211
mi e´ a massa total do sistema. A definic¸a\u2dco acima e´ certamente equivalente a`s
tre\u2c6s equac¸o\u2dces:
xcm =
\u2211
mixi
m
ycm =
\u2211
miyi
m
zcm =
\u2211
mizi
m
Definimos o momentum linear ~P do sistema como o vetor soma dos momenta individuais
das part´\u131culas
~P =
\u2211
~pi =
\u2211
mi~vi (4.2)
Da Equac¸a\u2dco (4.1), por diferenciac¸a\u2dco em relac¸a\u2dco ao tempo, temos
~P =
\u2211
mi~vi = m~Vcm (4.3)
o que significa que o momentum linear do sistema de part´\u131culas e´ igual ao produto da
velocidade do centro de massa pela massa total do sistema.
Suponha agora que existam forc¸as externas ~F1, ~F2, . . . ~Fi . . . ~Fn agindo nas respectivas
part´\u131culas. Em adic¸a\u2dco suponha, tambe´m, que existam forc¸as internas de interac¸a\u2dco entre (duas
a duas) quaisquer part´\u131culas do sistema. Vamos denotar estas forc¸as por ~Fij, significando as
113
114 CAPI´TULO 4. DINA\u2c6MICA DE UM SISTEMA DE MUITAS PARTI´CULAS
x
m i
ri
centro de massa
O
z
y
rcm
Figura 4.1: Centro de massa de um sistema de part´\u131culas.
forc¸as exercidas na part´\u131cula i pela part´\u131cula j. A equac¸a\u2dco do movimento da part´\u131cula i e´
enta\u2dco
~Fi +
n\u2211
j=1;j 6=i
~Fij = mi~¨ri = ~\u2d9pi (4.4)
onde ~Fi e´ a forc¸a externa total agindo em i. O segundo termo da equac¸a\u2dco acima corresponde
a` soma de todas as forc¸as internas exercidas na part´\u131cula i pelas outras part´\u131culas do sistema.
Somando a expressa\u2dco (4.4) para todas as part´\u131culas, temos
n\u2211
i=1
~Fi +
n\u2211
i=1
n\u2211
j=1;j 6=i
~Fij =
n\u2211
i=1
~\u2d9pi (4.5)
Na somato´ria dupla, acima, para cada forc¸a ~Fij existira´ tambe´m a forc¸a ~Fji e elas sa\u2dco iguais
e opostas
~Fij =
Sofia
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