Mecânica Geral II - Dinâmica e Cinemática
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Mecânica Geral II - Dinâmica e Cinemática


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De acordo com a teoria da relatividade, no entanto, a massa da part´\u131cula varia com a veloci-
dade de um modo que e´ descrito por esta teoria, e tal fato deve ser tomado em considerac¸a\u2dco
quando tratamos coliso\u2dces envolvendo velocidades pro´ximas a` da luz. No entanto, podemos
adiantar que a conservac¸a\u2dco do momentum expressa pela Equac¸a\u2dco (4.28) e´ relativisticamente
correta, considerando que a massa seja uma func¸a\u2dco da velocidade.
Coordenadas do Centro de Massa
Ca´lculos teo´ricos em f´\u131sica nuclear sa\u2dco feitos comumente em termos de quantidades rela-
cionadas a um sistema de coordenadas no qual o centro de massa das part´\u131culas que colidem
esteja parado. Por outro lado, as observac¸o\u2dces experimentais do espalhamento das part´\u131culas
sa\u2dco feitas em termos das coordenadas de laborato´rio. Ha´ portanto o interesse de se fazer
considerac¸o\u2dces breves a` respeito do problema de conversa\u2dco de um sistema de coordenadas
para o outro.
Os vetores velocidade no sistema do laborato´rio e no sistema do centro de massa esta\u2dco
representados na Figura 4.6. Nessa Figura \u3c61 e´ o a\u2c6ngulo de deflexa\u2dco da part´\u131cula incidente,
depois que ela atingiu o alvo e \u3c62 e´ o a\u2c6ngulo que a direc¸a\u2dco do movimento do alvo faz com a
direc¸a\u2dco original do movimento da part´\u131cula incidente. Tanto \u3c61 quanto \u3c62 sa\u2dco medidos no
sistema do laborato´rio. No sistema do centro de massa, uma vez que o centro de massa deve
permanecer sobre a linha que une as duas part´\u131culas, ambas as part´\u131culas aproximam-se do
centro de massa, colidem e afastam-se do mesmo, em sentidos opostos. O a\u2c6ngulo \u3b8 e´ o a\u2c6ngulo
de deflexa\u2dco da part´\u131cula incidente em relac¸a\u2dco a` direc¸a\u2dco original de movimento, medido no
sistema do centro de massa.
4.6. COLISA\u2dcO OBLI´QUA E ESPALHAMENTO 123
m 1 m2
v2
SISTEMA
CENTRO de MASSA
SISTEMA 
LABORATORIO
m 1 m2
m 1
m2
\u3c61
2\u3c6
v1\u2019
v2\u2019
m 1
m2
v2\u2019
v1\u2019
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\u3b8
\u3b8cmv1v1
Figura 4.6: Comparac¸a\u2dco das coordenadas do Laborato´rio e do Centro de Massa.
Da definic¸a\u2dco de centro de massa, vemos que o momentum linear do conjunto no referencial
do centro de massa e´ nulo tanto antes quanto depois da colisa\u2dco. Desta forma, podemos
escrever
~p1 + ~p2 = 0 (4.39)
~p\u20321 + ~p\u20322 = 0 (4.40)
As barras sa\u2dco usadas para indicar que a quantidade em questa\u2dco se refere ao sistema do centro
de massa. O balanc¸o energe´tico corresponde a
p21
2m1
+
p22
2m2
=
p\u203221
2m1
+
p\u203222
2m2
+Q (4.41)
Podemos eliminar p2 e p
\u2032
2 da u´ltima equac¸a\u2dco recorrendo a`s Equac¸o\u2dces (4.39) e (4.40). Desta
forma, a Equac¸a\u2dco (4.41) pode ser escrita como
p21
2µ
=
p\u203221
2µ
+Q (4.42)
As expresso\u2dces (4.39) e (4.40) podem ser escritas como
m1~v1 +m2~v2 = 0 (4.43)
m1~v\u20321 +m2~v\u20322 = 0 (4.44)
A velocidade do centro de massa e´
~vcm =
m1~v1
m1 +m2
(4.45)
enta\u2dco temos
~v1 = ~v1 \u2212 ~vcm = m2~v1
m1 +m2
(4.46)
A relac¸a\u2dco entre os vetores velocidade ~vcm, ~v
\u2032
1 e ~v
\u2032
1 e´ mostrada na Figura 4.7. Dela, vemos
que
v\u20321 sen\u3c61 = v
\u2032
1 sen \u3b8 (4.47)
v\u20321 cos\u3c61 = v
\u2032
1 cos \u3b8 + vcm (4.48)
124 CAPI´TULO 4. DINA\u2c6MICA DE UM SISTEMA DE MUITAS PARTI´CULAS
Dividindo (4.47) por (4.48) encontramos uma equac¸a\u2dco que conecta os a\u2c6ngulos de espalha-
mento nos dois sistemas
tg \u3c61 =
sen \u3b8
\u3b3 + cos \u3b8
(4.49)
onde \u3b3 e´ um para\u2c6metro nume´rico dado por
\u3b3 =
vcm
v\u20321
=
m1v1
v\u20321(m1 +m2)
(4.50)
a u´ltima passagem vem da Equac¸a\u2dco (4.45).
\u3b8 \u3c6
v
vv
cm
1
1
1
\u2019
\u2019
Figura 4.7: Relac¸a\u2dco entre os vetores velocidade no sistema Laborato´rio e no sistema Centro
de Massa.
Podemos agora calcular o valor de v\u20321 em termos da velocidade da part´\u131cula incidente a
partir da Equac¸a\u2dco (4.42). Esta equac¸a\u2dco nos da´ as informac¸o\u2dces necessa´rias para encontrarmos
\u3b3 e enta\u2dco determinarmos a relac¸a\u2dco entre os a\u2c6ngulos de espalhamento. Por exemplo, no caso
de uma colisa\u2dco perfeitamente ela´stica, Q = 0, encontramos \u2014 de (4.42) \u2014 que p1 = p
\u2032
1 ou
v1 = v
\u2032
1 e este resultado junto com a Equac¸a\u2dco (4.46) nos leva ao resultado
\u3b3 =
m1
m2
(4.51)
para a colisa\u2dco ela´stica.
Dois casos especiais para as coliso\u2dces ela´sticas merecem ser considerados. Primeiro, se a
massa m2 da part´\u131cula alvo e´ muito maior do que a massa m1 da part´\u131cula incidente. Neste
caso \u3b3 e´ muito pequeno e tg \u3c61 \u2248 tg \u3b8 ou \u3c61 \u2248 \u3b8. Isto significa que o a\u2c6ngulo de espalhamento
visto no referencial do laborato´rio ou no referencial do centro de massa sa\u2dco praticamente
iguais.
O segundo caso especial e´ o de massas iguais (m1 = m2). Neste caso \u3b3 = 1 e a relac¸a\u2dco
de espalhamento se reduz a
tg \u3c61 =
sen \u3b8
1 + cos \u3b8
= tg
\u3b8
2
\u3c61 =
\u3b8
2
que significa que o a\u2c6ngulo de deflexa\u2dco medido no referencial do laborato´rio e´ exatamente a
metade daquele medido no referencial do centro de massa. Ale´m disto, uma vez que o a\u2c6ngulo
4.7. IMPULSO EM COLISO\u2dcES 125
de deflexa\u2dco da part´\u131cula alvo e´ pi\u2212\u3b8 no referencial do centro de massa, como mostra a Figura
(4.6), temos que o mesmo a\u2c6ngulo medido no referencial do laborato´rio e´ (pi \u2212 \u3b8)/2. Deste
modo as duas part´\u131culas deixam o ponto de impacto em direc¸o\u2dces perpendiculares quando
observadas no sistema do laborato´rio.
No caso geral de coliso\u2dces na\u2dco ela´sticas, deixa-se como um problema a demonstrac¸a\u2dco de
que \u3b3 pode ser expresso como
\u3b3 =
m1
m2
[
1\u2212 Q
T
(
1 +
m1
m2
)]\u2212 1
2
(4.52)
em que T e´ a energia cine´tica da part´\u131cula incidente, medida no referencial do laborato´rio.
4.7 Impulso em Coliso\u2dces
Forc¸as de durac¸a\u2dco temporal extremamente curta, tais como as exercidas por corpos que
colidem, sa\u2dco denominadas forc¸as impulsivas. Se concentramos nossa atenc¸a\u2dco em um dos
corpos, a equac¸a\u2dco diferencial do movimento como sabemos e´
d(m~v)
dt
= ~F (4.53)
ou na forma diferencial
d(m~v) = ~Fdt (4.54)
integrando de t = t1 ate´ t = t2 que e´ o intervalo de tempo durante o qual a forc¸a atuou,
teremos
\u2206(m~v) =
\u222b t2
t1
~Fdt (4.55)
A integral temporal da forc¸a e´ denominada impulso, e e´ denotada pelo s´\u131mbolo p\u2c6. Desta
forma, a equac¸a\u2dco acima pode ainda ser escrita como
\u2206(m~v) = p\u2c6 (4.56)
Em palavras temos: A variac¸a\u2dco no momentum linear de um corpo sujeito a uma forc¸a
impulsiva e´ igual ao impulso desta forc¸a.
Podemos imaginar um impulso ideal produzido por uma forc¸a que tende para infinito
com durac¸a\u2dco que tende para zero de modo que a integral
\u222b ~Fdt seja finita. Tal impulso ideal
produziria uma mudanc¸a instanta\u2c6nea do momentum e da velocidade do corpo sem produzir
qualquer deslocamento.
Relac¸a\u2dco entre Impulso e o Coeficiente de Restituic¸a\u2dco
Apliquemos o conceito de impulso ao caso de uma colisa\u2dco frontal de dois corpos esfe´ricos
(tratados na Sec¸a\u2dco 4.5). Iremos dividir o impulso em duas partes denominadas impulsos
de compressa\u2dco p\u2c6c e impulso de restituic¸a\u2dco p\u2c6r. Vamos considerar apenas as componentes ao
longo da direc¸a\u2dco que une os centros das esferas. Podemos escrever, para p\u2c6c
m1v0 \u2212m1v1 = p\u2c6c (4.57)
m2v0 \u2212m2v2 = \u2212p\u2c6c (4.58)
126 CAPI´TULO 4. DINA\u2c6MICA DE UM SISTEMA DE MUITAS PARTI´CULAS
onde v0 e´ a velocidade
Sofia
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