Mecânica Geral II - Dinâmica e Cinemática
166 pág.

Mecânica Geral II - Dinâmica e Cinemática


DisciplinaMecânica Geral13.970 materiais504.874 seguidores
Pré-visualização38 páginas
para o caso em que K = 1/4, e m\u2d9 e´ igual a 1% da massa inicial de combust´\u131vel por
segundo.
4.18 Monte a equac¸a\u2dco diferencial do movimento de uma gota de chuva que cai em meio a`
neblina; recolhendo mais a´gua enquanto cai. Considere que a gota permanece esfe´rica
e que a taxa de recolhimento de a´gua e´ proporcional a` a´rea da sec¸a\u2dco transversal da
gota multiplicada pela velocidade da mesma. Mostre que, se a gota parte do repouso
com tamanho inicial infinitesimal enta\u2dco a acelerac¸a\u2dco e´ constante e igual a g/7.
130 CAPI´TULO 4. DINA\u2c6MICA DE UM SISTEMA DE MUITAS PARTI´CULAS
4.19 Uma corrente de massa uniformemente distribu´\u131da e de comprimento a repousa inici-
almente sobre uma mesa. Uma parte b de seu comprimento pende de uma das bordas
da mesa enquanto a outra parte, de comprimento a\u2212b repousa sobre a ta´bua da mesa.
Se a corrente e´ abandonada, mostre que a velocidade da mesma, quando o u´ltimo elo
abandona a mesa, e´
\u221a
2g(a3 \u2212 b3)/3a2.
4.20 Um foguete, ao viajar na atmosfera, experimenta uma forc¸a de resiste\u2c6ncia linear do
ar \u2212K~v. Encontre a equac¸a\u2dco diferencial do movimento quando todas as outras forc¸as
externas sa\u2dco desprez´\u131veis. Integre a equac¸a\u2dco e mostre que se o foguete parte do repouso,
a velocidade final e´ dada por v = V \u3b1[1 \u2212 (m/m0)1/\u3b1] onde V e´ a velocidade relativa
de exausta\u2dco dos gases, \u3b1 = |m\u2d9/K| = constante, m0 e´ a massa inicial do foguete mais
combust´\u131vel e m e´ a massa final do foguete.
Respostas de Problemas Selecionados
4.1 (a) (2~\u131 +~\uf6be + 3~k )/3
(c) 3~\uf6be + ~k
(d) \u22123~\u131 + 3~k
4.3 Frac¸a\u2dco perdida = (1 + \u3b3)\u22121, s = v
2
0\u3b3
2
2gµ(1+\u3b3)2
4.5 v0; 2v0; 4v0
4.12 Proton: v\u2032x \u2248 v\u2032y \u2248 0, 66v
He´lio: v\u2032x \u2248 0, 09v, v\u2032y \u2248 0, 16v
4.14 \u2248 55\u25e6
4.18 z¨ = g \u2212 3z\u2d92/z
4.20 mv\u2d9 + V m\u2d9+Kv = 0
131
Cap´\u131tulo 5
Meca\u2c6nica dos Corpos R\u131´gidos
Movimento no Plano
Um corpo r´\u131gido pode ser considerado como um sistema de part´\u131culas cujas posic¸o\u2dces relativas
sa\u2dco fixas, ou, em outras palavras, em que a dista\u2c6ncia entre duas part´\u131culas quaisquer e´ cons-
tante. Esta e´ a definic¸a\u2dco de um corpo r´\u131gido ideal. Primeiramente, como ja´ foi mencionado
na definic¸a\u2dco de uma part´\u131cula, na\u2dco existem verdadeiras part´\u131culas na natureza. Em segundo
lugar, os corpos reais na\u2dco sa\u2dco estritamente r´\u131gidos; eles podem ser deformados (esticados,
comprimidos ou curvados) quando submetidos a forc¸as externas. No entanto, por enquanto,
iremos desprezar tais deformac¸o\u2dces.
5.1 Centro de Massa de um Corpo R\u131´gido
Ja´ definimos na Sec¸a\u2dco 4.1 o centro de massa de um sistema de part´\u131culas como sendo o ponto
(xcm, ycm, zcm), tal que
xcm =
\u2211
ximi\u2211
mi
, ycm =
\u2211
yimi\u2211
mi
, zcm =
\u2211
zimi\u2211
mi
(4.1)
Para um corpo r´\u131gido extenso, podemos substituir a somato´ria por uma integral sobre todo
o volume do corpo de modo que
xcm =
\u222b
v \u3c1xdv\u222b
v \u3c1dv
, ycm =
\u222b
v \u3c1ydv\u222b
v \u3c1dv
, zcm =
\u222b
v \u3c1zdv\u222b
v \u3c1dv
(5.1)
onde \u3c1 e´ a densidade e dv o elemento de volume. Se o corpo r´\u131gido tem a forma de uma
casca fina, as equac¸o\u2dces para o centro de massa passam a ser
xcm =
\u222b
s \u3c1xds\u222b
s \u3c1ds
, ycm =
\u222b
s \u3c1yds\u222b
s \u3c1ds
, zcm =
\u222b
s \u3c1zds\u222b
s \u3c1ds
(5.2)
onde ds e´ o elemento de a´rea e \u3c1, a densidade superficial; a integral se estende sobre toda a
superf´\u131cie do corpo.
Analogamente, se o corpo tem a forma de um fio fino, temos
xcm =
\u222b
L \u3c1xdl\u222b
L \u3c1dl
, ycm =
\u222b
L \u3c1ydl\u222b
L \u3c1dl
, zcm =
\u222b
L \u3c1zdl\u222b
L \u3c1dl
(5.3)
132 CAPI´TULO 5. MECA\u2c6NICA DOS CORPOS RI´GIDOS
Neste caso \u3c1 e´ a densidade linear e dl o elemento de comprimento.
Para corpos homoge\u2c6neos e uniformes, os fatores densidade (\u3c1) sa\u2dco constantes em cada
caso, e portanto podem ser cancelados em todas as equac¸o\u2dces acima.
Se o corpo e´ composto, isto e´ se ele e´ constituido de duas ou mais partes cujos centros de
massa sa\u2dco conhecidos, enta\u2dco, e´ claro, da definic¸a\u2dco do centro de massa que podemos escrever
xcm =
x1m1 + x2m2 + . . .
m1 +m2 + . . .
(5.4)
Equac¸o\u2dces semelhantes fornecem ycm e zcm. Aqui (x1, y1, z1) sa\u2dco as coordenadas do centro
de massa do constituinte de massa m1, etc.
Considerac¸o\u2dces de Simetria
Se o corpo possui alguma simetria, pode-se tirar vantagem dessa simetria para a localiza-
c¸a\u2dco do centro de massa. Deste modo, se o corpo possui um plano de simetria, isto e´, se cada
part´\u131cula mi possui uma imagem especular m
\u2032
i relativa a um certo plano, enta\u2dco o centro de
massa encontra-se neste plano. Para provar isto, suponhamos que o plano xy e´ um plano de
simetria. Teremos enta\u2dco
zcm =
\u2211
(zimi + z
\u2032
im
\u2032
i)\u2211
(mi +m\u2032i)
mas mi = m
\u2032
i e zi = \u2212z\u2032i. Enta\u2dco os termos no numerador cancelam-se em pares e zcm = 0;
ou seja o centro de massa encontra-se no plano xy.
De modo ana´logo, se o corpo possui uma linha de simetria, e´ fa´cil mostrar que o centro
de massa e´ um ponto dessa linha. A prova disto fica como exerc´\u131cio.
Hemisfe´rio So´lido
Para encontrar o centro de massa de um hemisfe´rio so´lido homoge\u2c6neo de raio a, no´s
sabemos que, por razo\u2dces de simetria, o centro de massa encontra-se sobre o raio normal a`
superf´\u131cie plana do hemisfe´rio.
Fixamos os eixos coordenados como mostra a Figura 5.1. Temos que o centro de massa
esta´ sobre o eixo z. Para calcular zcm usaremos elementos de volume circulares de espessura
dz e raio
\u221a
a2 \u2212 z2 como mostrado. Enta\u2dco
dv = pi(a2 \u2212 z2)dz
de modo que
zcm =
\u222b a
0 \u3c1piz(a
2 \u2212 z2)dz\u222b a
0 \u3c1pi(a
2 \u2212 z2)dz =
3
8
a (5.5)
Casca Hemisfe´rica
Para uma casca hemisfe´rica de raio a usamos os mesmos eixos do problema anterior (Fig.
5.1). Novamente, pela simetria, o centro de massa esta´ localizado sobre o eixo z. Para
elemento de superf´\u131cie tomamos uma tira circular de largura ad\u3b8. Podemos escrever
ds = 2pi
\u221a
a2 \u2212 z2ad\u3b8
5.1. CENTRO DE MASSA DE UM CORPO RI´GIDO 133
mas \u3b8 = arcsen (z/a) de modo que
d\u3b8 = (a2 \u2212 z2)\u2212 12dz
e portanto ds = 2piadz, logo
zcm =
\u222b a
0 \u3c12piazdz\u222b a
0 \u3c12piadz
=
a
2
(5.6)
\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
\u3b8
z
z
a
O
2a - z 2
Figura 5.1: Coordenadas para o ca´lculo do centro de massa de um hemisfe´rio.
Aro Semicircular
Para encontrarmos o centro de massa de um aro semicircular de raio a, usamos os eixos
mostrados na Figura 5.2. Temos
dl = ad\u3b8
d\u3b8
\u3b8
z
O
a
dl
x
Figura 5.2: Coordenadas para o ca´lculo do centro de massa de um aro semicircular.
e z = a sen \u3b8 logo
zcm =
\u222b pi
0 \u3c1(a sen \u3b8)ad\u3b8\u222b pi
0 \u3c1ad\u3b8
=
2a
pi
(5.7)
La\u2c6mina Semicircular
134 CAPI´TULO 5. MECA\u2c6NICA DOS CORPOS RI´GIDOS
No caso de uma la\u2c6mina semicircular uniforme, o centro de massa esta´ sobre o eixo z (Fig.
5.2). Deixamos como problema a prova de que
zcm =
4a
3pi
(5.8)
5.2 Alguns Teoremas sobre o Equil´\u131brio Esta´tico de um
Corpo R\u131´gido
Como ja´ foi visto (Sec¸a\u2dco 4.1), a acelerac¸a\u2dco do centro de massa de um sistema e´ igual a` soma
vetorial das forc¸as externas dividida pela massa. Em particular, se o sistema e´ um corpo
r´\u131gido e se a soma de todas as forc¸as externas e´ nula
~F1 + ~F2 + . . . = 0 (5.9)
enta\u2dco o centro de massa, se estiver inicialmente em repouso, permanecera´ parado. Desta
forma a Equac¸a\u2dco (5.9) expressa a condic¸a\u2dco de equil´\u131brio translacional de um corpo r´\u131gido.
Analogamente, o anulamento do torque
~r1 × ~F1 +~r2 × ~F2 + . . . = 0 (5.10)
significa que o momentum angular total do corpo na\u2dco varia (Sec¸a\u2dco 4.2). Esta e´ a condic¸a\u2dco
de equil´\u131brio rotacional do corpo r´\u131gido que implica no fato de se o corpo estiver inicialmente
em repouso, na\u2dco comece a girar. As Equac¸o\u2dces (5.9) e (5.10) juntas constituem as condic¸o\u2dces
necessa´rias para o equil´\u131brio completo de um corpo r´\u131gido.
Equil´\u131brio em um Campo Gravitacional Uniforme
Consideremos um corpo r´\u131gido dentro de um campo gravitacional uniforme, digamos, na
superf´\u131cie da Terra. Uma vez que a soma das forc¸as
Sofia
Sofia fez um comentário
bom!
0 aprovações
Carregar mais