Gabarito Física I (2013.1 - Prova Final)

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Prova Final de F´ısica IA - 31/07/2013
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas (valor=5,0 pontos)
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o discursiva 1 (valor=2,5 pontos)
a) valor=0,3 pontos
b) valor= 1,7 pontos
O cilindro desloca-se com o movimento dado pela dinaˆmica de rotac¸a˜o e de translac¸a˜o.
translac¸a˜o :
∑
F⃗ ext =Ma⃗CM
rotac¸a˜o :
∑
τ⃗ ext = Iα⃗
Considerando a direc¸a˜o e sentido do movimento de translac¸a˜o do centro de massa, a rotac¸a˜o
em torno do eixo longitudinal do cilindro no sentido anti-hora´rio como positiva, os torques
calculados em relac¸a˜o centro de massa e que ele na˜o desliza sobre a superf´ıcie temos:
⎧⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎩
Mgsen θ − fat = MaCM
−fatR = −Iα
aCM = αR
→
⎧⎨
⎩
Mgsen θ − fat = MaCM (i)
fat = IaCM/R2 (ii)
A soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es da direita permite obter a acelerac¸a˜o do centro de massa,
aCM =
Mgsen θ
(I/R2 +M)
como I = (1/2)MR2 ∴ aCM =
2
3
gsen θ
c) valor=0,5 ponto
Para obter o valor da for ca de atrito podemos usar a equac¸a˜o (ii) do sistema de equac¸o˜es,
substituindo o valor da aCM obtido do item anterior. Logo,
fat =
IaCM
R2
→ fat =
1
3
Mgsen θ
2
Questa˜o discursiva 2 (valor=2,5 pontos)
a) valor=1,0 ponto
Podemos aplicar o princ´ıpio de conservac¸a˜o da energia mecaˆnica ao sistema rampa esfera, pois
a u´nica forc¸a que realiza trabalho e´ a forc¸a peso. Para as posic¸o˜es inicial (i) e B, temos:
Ei = MgH
EB =Mgh +KR +KT
Sabendo que KR =
1
2
Iω2 e KT =
1
2
Mv2CM e que Ei = EB, temos:
MgH = Mgh +
1
2
Iω2B +
1
2
Mv2CM
Como a esfera rola sem deslizar vCM = ωBR e I = ICM = (2/5)MR2 substituindo estes valores
na igualdade anterior,
MgH = Mgh+
(1
2
.
2
5
MR2
ω2B
R2
+
1
2
.Mω2BR
2
)
ωB =
1
R
√
10
7
g(H − h)
b) valor=1,5 pontos
Analogamente ao item anterior para aconservac¸a˜o de energia mecaˆnica, com H =Hmax e que
hD e´ a altura na posic¸a˜o D, apo´s aplicarmos a condic¸a˜o de que a esfera rola sem deslizar, temos:
Ei = MgHmax
ED = MghD +KR +KT =MghD +
7
10
Mv2CM
Igualando Ei com ED obtemos MgHmax = MghD +
7
10
Mv2CM .
Na altura Hmax temos a condic¸a˜o limite da esfera perder contato com a superf´ıcie da rampa.
Na posic¸a˜o D pela segunda Lei de Newton N⃗ + P⃗ = F⃗R, onde N⃗ e´ forc¸a de contato (normal),
P⃗ o peso da esfera e FR a forc¸a resultante (radial). No limite de perder o contato com a rampa
N⃗ → 0⃗. Logo P⃗ = F⃗R, em mo´dulo, e note que o centro de massa da esfera percorre o arco de
raio R +RCDE .
Mg = FR = Mv
2
CM/R → v
2
CM = (RCDE +R)g
Como o raio de curvatura no trecho CDE, RCDE = 10R, v2CM = 11Rg Substituindo este
u´ltimo resultado na igualdade da conservac¸a˜o de energia,
MgHmax = MghD +
7
10
11MRg
∴ Hmax = hD + 7
11
10
R
Observac¸a˜o: na versa˜o anterior do gabarito foi usado que o centro de massa da esfera percorre o
arco de raio RCDE = 10R, de tal modo a obtermos o resultado Hmax = hD+7R; este resultado
tambe´m sera´ aceito como uma aproximac¸a˜o correta.
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