Gabarito Física I (2013.1 - Segunda Chamada)

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Matema´ticas e da Natureza
Instituto de F´ısica
Prova de Segunda Chamada de F´ısica IA - 07/08/2013
Respostas para provas h´ıbridas
Gabarito das Questo˜es objetivas (valor=5,0 pontos)
Versa˜o A
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o B
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o C
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Versa˜o D
Questa˜o (a) (b) (c) (d) (e)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Questa˜o discursiva 1 (valor=2,5 pontos)
a) valor=0,5 ponto
O diagrama de forc¸as e´ dado pela figura:
b) valor=1,5 pontos
Aplicando a segunda Lei de Newton para cada bloco temos:
Bloco 1


OX : T − fat1 + P1senθ = m1a
OY : N1 − P1 cos θ = 0
Bloco 2


OX : −T − fat2 + P2senθ = m2a
OY : N2 − P2 cos θ = 0
Como o movimento efetivo se da´ ao longo do plano inclinado na direc¸a˜o OX um novo
sistema de eguac¸o˜es pode ser estruturado:


T − fat1 + P1senθ = m1a
−T − fat2 + P2senθ = m2a
→


T −m1a = fat1 − P1senθ
−T −m2a = fat2 − P2senθ


T −m1a = µ1P1 cos θ − P1senθ
−T −m2a = µ2P2 cos θ − P2senθ
A resoluc¸a˜o do sistema acima tendo como inco´gnitas a trac¸a˜o e a acelerac¸a˜o nos da´:
a = gsenθ −
(µ1m1 + µ2m2)
(m1 +m2)
g cos θ,
apo´s a substituic¸a˜o de P1 = m1g e P2 = m2g.
c) valor=0,5 ponto
Para calcular o valor da trac¸a˜o T basta resolver o sistema anterior para T .
T =
m1m2
(m1 +m2)
(µ1 − µ2) g cos θ
2
Questa˜o discursiva 1 (valor=2,5 pontos)
a) valor=1,0 ponto
O carretel desloca-se com o movimento dado pela dinaˆmica de rotac¸a˜o e de translac¸a˜o.
translac¸a˜o :
∑
~F ext = M~aCM
rotac¸a˜o :
∑
~τ ext = I~α
Adotando a translac¸a˜o para a direita como o sentido positivo do movimento do centro de
massa, a rotac¸a˜o em torno do eixo longitudinal do carretel no sentido anti-hora´rio como positiva,
os torques calculados em relac¸a˜o centro de massa e que o carretel na˜o desliza sobre o trilho
temos:


F − fat =MaCM
−FR− fatr = −Iα
aCM = αr
→


F − fat = MaCM (i)
fat +
R
r
F = IaCM/r
2 (ii)
A soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es da direita permite obter a acelerac¸a˜o do centro de massa,
aCM =
F (1 +R/r)
(I/R2 +M)
como I = MR2 ∴ aCM =
F
M
( r +R
r2 +R2
)
r
b) valor=0,5 ponto
O valor da forc¸a de atrito e´ obtido usando, por exemplo, a equac¸a˜o (i) do sistema de equac¸o˜es,
substituindo o valor da aCM obtido do item anterior. Logo,
F − fat = M
F
M
(
r +R
r2 +R2
)
= F − F
(
r +R
r2 +R2
)
∴ fat =
R(R − r)
(r2 +R2)
F > 0 ! R > r (o sentido da forc¸a de atrito usado na figura esta´ correto)
c) valor=1,0 ponto
Para Fmax, na condic¸a˜o de limite de rolamento sem deslizamento, o atrito sera´ ma´ximo, ou
fmax = µeN . Como | ~N | = Mg e fat obtida do item anterior,
µeMg = Fmax
(R(R − r)
r2 +R2
)
→ Fmax = µeMg
( r2 +R2
R(R − r)
)
3