GABARITO AD2 - MÉTODOS DETERMINÍSTICOS II - 2018_1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
1o Semestre de 2018
Gabarito da Avaliac¸a˜o a Distaˆncia 2 - AD2
Questa˜o 1 [3,0 pts] Responda as seguintes questo˜es a respeito da func¸a˜o f(x) = x3 − 3x2 + 3
(a) Determine o domı´nio de f ;
(b) Calcule os limites de x→ ±∞ e depois discuta sobre as assintotas da func¸a˜o.
(c) Calcule e estude o sinal de f ′(x);
(d) Calcule e estude o sinal de f ′′(x);
(e) Junte todas estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico de f .
Soluc¸a˜o: (a) Sendo um polinoˆmio o seu domı´nio sa˜o todos os reais.
(b) Observe que nos lim
x→±∞x
3− 3x2+3 que domina e´ o termo de maior grau, no caso, x3 que vai para
+∞ quando x → +∞ e o mesmo termo vai para −∞ quando x → −∞. Portanto, esta func¸a˜o na˜o
tem assintotas horizontais. Como na˜o existe nenhuma evideˆncia pontos problemas tambe´m na˜o deve
possuir assintotas verticais.
(c) Ao derivar f(x) = x3−3x2+3 obtemos f ′(x) = 3x2−6x. Fazendo 3x(x−2) = 0, obtemos x = 0 e
x = 2. Portanto, os pontos cr´ıticos de f(x) sa˜o 0 e 2. Ale´m disso, como f ′ se trata de um polinoˆmio de
grau dois com o coeficiente do termo de graus 2 positivo, segue que f ′(x) < 0 se 0 < x < 0 e positivo
nos outros pontos.
(d) Ao derivar f ′(x) = 3x2− 6x obtemos f ′′(x) = 6(x− 1). O sinal de f ′′ acompanho o sinal de x− 1.
Observe ainda que em f ′′(0) = −6 < 0. Portanto, pelo crite´rio da segunda derivada podemos afirmar
que x = 0 e´ de ma´ximo local. Analisando o sinal de f ′ percebemos que ele troca de um sinal positivo
antes de x = 0 para um negativo depois de x = 0, segue, novamente que o ponto deve ser um ma´ximo
local.
(e) Avaliando f(0) = 3 e f(2) = −1. A func¸a˜o vem crescente em (−∞, 0), entre (0, 2) se torna
decrescente e novamente se torna crescente em (2,+∞). Ale´m disso, a concavidade e´ voltada para
baixo em (−∞, 0) e para cima em (0,+∞). Estas informac¸o˜es sa˜o o suficiente para fazermos os esboc¸os
Figure 1: Esboc¸o do gra´fico de f(x) = x
3 − 3x2 + 3
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Questa˜o 2 [2,0 pts] Uma companhia aluga oˆnibus com capacidade para 50 passageiros para grupos
de no mı´nimo 35 pessoas. Se o grupo conte´m 35, cada um dos passageiros pagara´ R$60, 00. Para
grupos maiores, a companhia reduz R$1, 00 de cada passageiro que excede os 35. Por exemplo, se o
grupo tem 37 = 35 + 2 pessoas, enta˜o cada um do grupo pagara´ R$58, 00. Determine o tamanho do
grupo com o qual a companhia de oˆnibus ganhara´ mais.
Soluc¸a˜o: Seja R a receita da companhia. Enta˜o:
R = ( No de pessoa do grupo ) · ( valor pago por pessoa ) .
Lo´gico que voceˆ pode chamar de x o nu´mero de pessoas no grupo, mas e´ mais conveniente x
representar o nu´mero de pessoas que excede 35. Enta˜o
No de pessoa do grupo = 35 + x
valor pago por pessoa = 60− x
R(x) = (35 + x)(60− x)
Queremos encontra o ma´ximo de R(x) com 1 ≤ x ≤ 15, pois 35+15 = 50 que e´ a capacidade ma´xima
dos oˆnibus.
R′(x) = 1(60− x) + (−1)(35 + x) = 25− 2x = 0⇔ x = 12, 5.
Ale´m disso, R′′(12, 5) = −2 < 0, e portanto, 12, 5 e´ um ponto de ma´ximo local e
R(0) = 2100, R(12, 5) = 2256, 25 e R(15) = 2250.
Agora x representa o nu´mero de pessoas, enta˜o ou e´ 12 ou 13, e calculando obtemos R(12) = 2256 =
R(13). Portanto, a receita da companhia sera´ maior quando o grupo contiver 35 + 12 = 47 ou
35 + 13 = 48 pessoas.
Questa˜o 3: [3,0 pts] Encontre as derivadas das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = (2x3 − 4x2)(5x2 + x) b) g(x) =
(
2x+ 1
3x− 1
)4
.
Soluc¸a˜o: a) derivando utilizando a regra do produto obtemos
f ′(x) = (2x3 − 4x2)′(5x2 + x) + (2x3 − 4x2)(5x2 + x)′
= (6x2 − 8x)(5x2 + x) + (2x3 − 4x2)(10x+ 1)
= 2x2
(
25x2 − 36x− 6)
b) Regra da cadeia seguida da regra do quociente.
g′(x) = 4
(
2x+ 1
3x− 1
)3 [2x+ 1
3x− 1
]′
= −20(2x+ 1)
3
(3x− 1)5
Questa˜o 4: [2,0 pts] (a) Para cada constante positiva b, a func¸a˜o f(t) = te−bt nos da´ a quantidade
de uma determinada substancia presente no sangue em func¸a˜o do tempo t ≥ 0. Encontre o ma´ximo e
o minimo global de f(t) quando t ≥ 0.
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(b) Encontre o valor de b admitindo que o ma´ximo ocorre em t = 10.
Soluc¸a˜o: (a) Vamos iniciar derivando
f ′(t) = e−bt − bte−bt
Igualando e−bt − bte−bt = 0⇒ t = 1b . Portanto, em t = 1b temos um ponto cr´ıtico.
Derivando mais uma vez obtemos
f ′′(t) = b2te−bt − 2be−bt
e avaliando em t = 1b temos f
′(1b ) = − be < 0. Portanto, t = 1b e´ um ponto de ma´ximo local.
Veja ainda que f(0) = 0 e f(t) > 0 para todo t > 0, portanto, t = 0 e´ ponto de mı´nimo global.
(b) Para obtermos um ma´ximo basta fazermos t = 1b = 10⇔ b = 110 .
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