Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Me´todos Determin´ısticos II 1o Semestre de 2018 Gabarito da AD1 Questa˜o 1: (2,0pts) Encontre os valores de x tal que (x− 3)(x− 1)(x+ 2) > 0. Soluc¸a˜o: Veja a ana´lise do sinal Portanto, para valer a desigualdade −2 < x < 1 ou x > 3. Questa˜o 2: (1,5pts) Se p(x) = (x + 3)(x + k) e o resto da 16 ao ser dividido por x − 1, encontre o valor de k. Soluc¸a˜o: Multiplicando (x+ 3)(x+ k) = x2 + (k + 3)x+ 3k. Vamos dividir por x− 1 x2 + (k + 3)x+ 3k x− 1 x2 + x x (k + 4)x+ 3k → x2 + (k + 3)x+ 3k x− 1 x2 + x x− (k + 4) (k + 4)x+ 3k (k + 4)x+ k + 4 4k + 4 Igualando o resto, temos 4k + 4 = 16⇒ k = 3. Portanto, o k deve ser tomado = 3. Questa˜o 3: (2,0pts) Encontre os pontos na intersec¸a˜o da reta y = x+ 3 e com a elipse x 2 9 + y2 4 = 1. Soluc¸a˜o: Vamos substituir y = x+ 3 em x 2 9 + y2 4 = 1 e resolvendo x2 9 + (x+ 3)2 4 = 1⇔ 13x2 + 54x+ 81 = 36⇔ 13x2 + 54x+ 45 = 0 Obtemos x = −1513 e x = −3 logo y = 2413 e y = 0, respectivamente. Logo os pontos de intersec¸a˜o sa˜o: ( −15 13 , 24 13 ) e (−3, 0). 1 Questa˜o 4: (1,5pts) Ache o domı´nio de f(x) = √ √ x2 − 3x− 4√ 21−√x2 − 4 Soluc¸a˜o: Inicialmente precisamos determinar os valores de x tais que x2− 3x− 4 ≥ 0, mas veja que x2 − 3x − 4 = (x + 1)(x − 4), logo devemos restringir x tal que x ≤ −1 ou x ≥ 4. Ja´ com respeito a denominador veja que √ 21− √ x2 − 4 > 0⇔ √ 21 > √ x2 − 4⇔ x2 − 4 < 21⇔ x > −5 ou x < 5. Ale´m destas duas imposic¸o˜es precisamos garantir que x2−4 ≥ 0⇔ x ≤ −2 ou x ≥ 2. Logo levando em considerac¸a˜o as 3 restric¸o˜es podemos concluir que o domı´nio de f(x) e´ {x ∈ R : x ∈ (−5,−2] ou x ∈ [4, 5)}. Questa˜o 5: (1,5pts) Ache o valor de loga(b) se vale logab [ 2 logab( √ a)− 1 2 log√ab(b) ] = (logab(a)) 2 − (logab(b))2 . Soluc¸a˜o: Vamos utilizar as propriedades do log para tentar manuseando a expresssa˜o chegar em algo que pode ser utilizado, para resolver a questa˜o. logab [ 2 logab( √ a)− 1 2 log√ab(b) ] = (logab(a)) 2 − (logab(b))2 ⇒ logab [ logab(a)− log√ab( √ b) ] = (logab(a)) 2 − (logab(b))2 ⇒ logab [logab(a)− logab(b)] = (logab(a) + logab(b)) (logab(a)− logab(b)) ⇒ logab [ logab (a b )] = logab(ab) logab (a b ) ⇒ logab [ logab (a b )] = 1 · logab (a b ) = logab (a b ) ⇒ logab (a b ) = a b por injetividade ⇒ a b = (ab) a b . Aplicando o log na base a em ambos os lados da igualdade temos loga (a b ) = a b loga(ab)⇒ 1− loga(b) = a b (1 + loga(b))⇒ (a+ b) loga(b) = b− a⇒ loga(b) = b− a b+ a . Questa˜o 6: (1,5pts) Encontre o domı´nio e a imagem, e, se existir, a inversa da func¸a˜o: f(x) = x− 2, x < 2√ 9x− 2, x ∈ [2, 3] (x− 3)2 + 5, x > 3 . Soluc¸a˜o: Para calcular o domı´nio, comece a observar que a 1a e 3a regra na˜o impo˜em nenhuma condic¸a˜o, ao final sa˜o apenas polinoˆmios. Com respeito a √ 9x− 2 temos que 9x− 2 > 0⇒ x > 2/9, mas para esta regra vale x ∈ [2, 3]. Portanto, o domı´nio de f sa˜o todos os reais. 2 Para calcular a imagem de f veja que pela primeira regra: se x < 2 enta˜o y < 0, pela segunda regra se 2 ≤ x ≤ 3 enta˜o 4 ≤ y ≤ 5 e pela terceira regra x > 3 enta˜o y > 5. Portanto, a imagem de f sa˜o os reais menos o intervalo [0, 4]. Observe que nas 3 regras envolvidas na definic¸a˜o da func¸a˜o, todas, nos intervalos de definic¸a˜o, sa˜o injetoras. Portanto, f e´ invert´ıvel. Vamos calcular a regra da inversa em cada para cada caso: x = y − 2⇒ y = x+ 2 x = √ 9y − 2⇒ x2 + 2 = 9y ⇒ y = x 2 + 2 9 . e quando x = (y − 3)2 + 5⇒ (y − 3)2 = x− 5⇒ y − 3 = √x− 5⇒ y = 3 +√x− 5. Logo f−1(x) = x+ 2, x < 0 x2+2 9 , x ∈ [4, 5] 3 + √ x− 5, x > 5 . Nota vou ampliar a discussa˜o desta questa˜o! Daqui ha´ alguns dias subo a discussa˜o. 3
Compartilhar