AD1 metdet II 2018.1 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
1o Semestre de 2018
Gabarito da AD1
Questa˜o 1: (2,0pts) Encontre os valores de x tal que (x− 3)(x− 1)(x+ 2) > 0.
Soluc¸a˜o: Veja a ana´lise do sinal
Portanto, para valer a desigualdade −2 < x < 1 ou x > 3.
Questa˜o 2: (1,5pts) Se p(x) = (x + 3)(x + k) e o resto da 16 ao ser dividido por x − 1, encontre o
valor de k.
Soluc¸a˜o: Multiplicando (x+ 3)(x+ k) = x2 + (k + 3)x+ 3k. Vamos dividir por x− 1
x2 + (k + 3)x+ 3k x− 1
x2 + x x
(k + 4)x+ 3k
→
x2 + (k + 3)x+ 3k x− 1
x2 + x x− (k + 4)
(k + 4)x+ 3k
(k + 4)x+ k + 4
4k + 4
Igualando o resto, temos 4k + 4 = 16⇒ k = 3. Portanto, o k deve ser tomado = 3.
Questa˜o 3: (2,0pts) Encontre os pontos na intersec¸a˜o da reta y = x+ 3 e com a elipse x
2
9 +
y2
4 = 1.
Soluc¸a˜o: Vamos substituir y = x+ 3 em x
2
9 +
y2
4 = 1 e resolvendo
x2
9
+
(x+ 3)2
4
= 1⇔ 13x2 + 54x+ 81 = 36⇔ 13x2 + 54x+ 45 = 0
Obtemos x = −1513 e x = −3 logo y = 2413 e y = 0, respectivamente. Logo os pontos de intersec¸a˜o
sa˜o: (
−15
13
,
24
13
)
e (−3, 0).
1
Questa˜o 4: (1,5pts) Ache o domı´nio de
f(x) =
√ √
x2 − 3x− 4√
21−√x2 − 4
Soluc¸a˜o: Inicialmente precisamos determinar os valores de x tais que x2− 3x− 4 ≥ 0, mas veja que
x2 − 3x − 4 = (x + 1)(x − 4), logo devemos restringir x tal que x ≤ −1 ou x ≥ 4. Ja´ com respeito a
denominador veja que
√
21−
√
x2 − 4 > 0⇔
√
21 >
√
x2 − 4⇔ x2 − 4 < 21⇔ x > −5 ou x < 5.
Ale´m destas duas imposic¸o˜es precisamos garantir que x2−4 ≥ 0⇔ x ≤ −2 ou x ≥ 2. Logo levando
em considerac¸a˜o as 3 restric¸o˜es podemos concluir que o domı´nio de f(x) e´ {x ∈ R : x ∈ (−5,−2] ou x ∈ [4, 5)}.
Questa˜o 5: (1,5pts) Ache o valor de loga(b) se vale
logab
[
2 logab(
√
a)− 1
2
log√ab(b)
]
= (logab(a))
2 − (logab(b))2 .
Soluc¸a˜o: Vamos utilizar as propriedades do log para tentar manuseando a expresssa˜o chegar em
algo que pode ser utilizado, para resolver a questa˜o.
logab
[
2 logab(
√
a)− 1
2
log√ab(b)
]
= (logab(a))
2 − (logab(b))2 ⇒
logab
[
logab(a)− log√ab(
√
b)
]
= (logab(a))
2 − (logab(b))2 ⇒
logab [logab(a)− logab(b)] = (logab(a) + logab(b)) (logab(a)− logab(b)) ⇒
logab
[
logab
(a
b
)]
= logab(ab) logab
(a
b
)
⇒
logab
[
logab
(a
b
)]
= 1 · logab
(a
b
)
= logab
(a
b
)
⇒
logab
(a
b
)
=
a
b
por injetividade
⇒ a
b
= (ab)
a
b .
Aplicando o log na base a em ambos os lados da igualdade temos
loga
(a
b
)
=
a
b
loga(ab)⇒ 1− loga(b) =
a
b
(1 + loga(b))⇒ (a+ b) loga(b) = b− a⇒ loga(b) =
b− a
b+ a
.
Questa˜o 6: (1,5pts) Encontre o domı´nio e a imagem, e, se existir, a inversa da func¸a˜o:
f(x) =

x− 2, x < 2√
9x− 2, x ∈ [2, 3]
(x− 3)2 + 5, x > 3
.
Soluc¸a˜o: Para calcular o domı´nio, comece a observar que a 1a e 3a regra na˜o impo˜em nenhuma
condic¸a˜o, ao final sa˜o apenas polinoˆmios. Com respeito a
√
9x− 2 temos que 9x− 2 > 0⇒ x > 2/9,
mas para esta regra vale x ∈ [2, 3]. Portanto, o domı´nio de f sa˜o todos os reais.
2
Para calcular a imagem de f veja que pela primeira regra: se x < 2 enta˜o y < 0, pela segunda
regra se 2 ≤ x ≤ 3 enta˜o 4 ≤ y ≤ 5 e pela terceira regra x > 3 enta˜o y > 5. Portanto, a imagem de
f sa˜o os reais menos o intervalo [0, 4]. Observe que nas 3 regras envolvidas na definic¸a˜o da func¸a˜o,
todas, nos intervalos de definic¸a˜o, sa˜o injetoras. Portanto, f e´ invert´ıvel.
Vamos calcular a regra da inversa em cada para cada caso:
x = y − 2⇒ y = x+ 2
x =
√
9y − 2⇒ x2 + 2 = 9y ⇒ y = x
2 + 2
9
.
e quando
x = (y − 3)2 + 5⇒ (y − 3)2 = x− 5⇒ y − 3 = √x− 5⇒ y = 3 +√x− 5.
Logo
f−1(x) =

x+ 2, x < 0
x2+2
9 , x ∈ [4, 5]
3 +
√
x− 5, x > 5
.
Nota vou ampliar a discussa˜o desta questa˜o! Daqui ha´ alguns dias subo a discussa˜o.
3