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ESTATÍSTICA
- Anotações de Aula -
72 h/Aula
Professor Emerson Giovani Rabello
Disciplina: Estatística
Cursos: Administração de Empresas
Ciências Contábeis
1º Semestre
2007
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SUMÁRIO
6UNIDADE 01: REVISÃO DA MATEMÁTICA ELEMENTAR	
1.	Conjuntos Numéricos	6
2.	Números E Arredondamento	6
3.	Frações	7
4.	Razões	7
5.	Porcentagem	8
6.	Média Aritmética	8
7.	Coeficientes Binomias	9
UNIDADE 02: NÚMEROS ÍNDICES	11
1.	Números Índices: Noção Intuitiva	11
2.	Definição De Números Índices	11
3.	Números Índices Relativos De Preços	12
4.	Elos De Relativos	12
5.	Índices Agregativos	13
6.	Índices De Custo De Vida	13
7.	Deflacionamento	14
UNIDADE 03: A NATUREZA DA ESTATÍSTICA	16
1.	Método Científico	16
2.	Método Experimental	16
3.	Método Estatístico	16
4.	Definição De Estatística	16
5.	Etapas Do Método Estatístico	16
UNIDADE 04: POPULAÇÃO E AMOSTRA	17
1.	Variável	17
2.	População	17
3.	Amostra	17
4.	Amostragem	17
5.	Técnicas De Amostragem	18
UNIDADE 05: SÉRIES ESTATÍSTICAS	21
1.	Tabelas Estatísticas	21
2.	Séries Estatísticas	21
3.	Dados Absolutos E Dados Relativos	23
UNIDADE 06: GRÁFICOS ESTATÍSTICOS	25
1.	Gráfico Estatístico	25
2.	Tipos De Gráficos Estatísticos	25
UNIDADE 07: DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA	29
1.	Distribuição De Frequência	29
2.	Elementos De Uma Distribuição De Frequência	29
3.	Determinação Do Número De Classes E Intervalo	30
4.	Tipos De Frequências	30
5.	Representação Gráfica De Uma Distribuição	31
6.	Formas Das Curvas De Frequência	32
UNIDADE 08: MEDIDAS DE POSIÇÃO	34
1.	Introdução	34
2.	Média ((X )	34
3.	Moda ( Mo )	35
4.	Mediana ( Md )	37
5.	Separatrizes	39
UNIDADE 09: MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE	42
1.	Definição De Dispersão	42
2.	Amplitude Total (At)	42
3.	Variância ( S2 )	43
4.	Desvio Padrão ( S )	43
5.	Coeficiente De Variação ( Cv )	44
UNIDADE 10: MEDIDAS DE ASSIMETRIA E MEDIDAS DE CURTOSE	46
1.	Medidas De Assimetria	46
2.	Medidas De Curtose	47
UNIDADE 11: PROBABILIDADE	49
1.	Experimento Aleatório	49
2.	Espaço Amostral ( S )	49
3.	Ponto Amostral	49
4.	Evento ( E )	49
5.	Probabilidade ( P )	49
6.	Eventos Complementares	51
7.	Eventos Independentes	51
8.	Eventos Mutuamente Exclusivos	51
UNIDADE 12: DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E DISTRIBUIÇÃO NORMAL	53
1.	Distribuição De Probabilidade: Noção Intuitiva	53
2.	Definição De Distribuição De Probabilidade	54
3.	Distribuição Binomial	54
4.	Distribuição Normal	55
UNIDADE 13: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO	57
1.	Correlação	57
2.	Regressão	58
3.	Interpolação E Extrapolação	58
UNIDADE 14: NOÇÕES BÁSICAS DE EXCEL	60
1.	Introdução	60
2.	Recursos	60
3.	Funções	61
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PLANEJAMENTO DAS AULAS
AULAS
CARGA HORÁRIA
DESCRIÇÃO
AULA 01
02
UNIDADE 01: REVISÃO DA MATEMÁTICA ELEMENTAR
Números e Arredondamento; Frações; Razões e Porcentagem
AULA 02
02
UNIDADE 01: REVISÃO DA MATEMÁTICA ELEMENTAR
Porcentagem; Média Aritmética e Coeficientes Binomiais
AULA 03
02
UNIDADE 02: NÚMEROS ÍNDICES
Noção Intuitiva; Definição de N.º Índice e Índices Relativos de Preços
AULA 04
02
UNIDADE 02: NÚMEROS ÍNDICES
Elos de Base Móvel; Relativos em Cadeia; Índices Agregativos Simples e Ponderados
AULA 05
02
UNIDADE 02: NÚMEROS ÍNDICES
Índices de Custo de Vida e Deflacionamento
AULA 06
02
UNIDADE 03: A NATUREZA DA ESTATÍSTICA
Métodos Científico, Experimental e Estatístico; Definição e Etapas do Met. Estatístico
AULA 07
02
UNIDADE 03: A NATUREZA DA ESTATÍSTICA
Exercício sobre o Método Estatístico
AULA 08
02
UNIDADE 04: POPULAÇÃO E AMOSTRA
Definição de Variável, População, Amostra e Amostragem
AULA 09
02
UNIDADE 04: POPULAÇÃO E AMOSTRA
Amostragem Aleatória Simples; Amostragem Estratificada e Amostragem Sistemática
AULA 10
02
UNIDADE 04: POPULAÇÃO E AMOSTRA
Exercícios sobre Amostragem
AULA 11
02
UNIDADE 05: SÉRIES ESTATÍSTICAS
Tabelas; Séries Estatísticas; Valores Absolutos e Valores Relativos
AULA 12
02
UNIDADE 06: GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
Gráficos Estatísticos e Principais tipos de Gráficos
AULA 13
02
EXERCÍCIOS EM SALA (UNIDADE 05 E UNIDADE 06)
AULA 14
02
UNIDADE 07: DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Definição Distribuição de Freqüência.; Elementos de uma Distribuição de Freqüência
AULA 15
02
UNIDADE 07: DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Determinação do Nº de Classes e Intervalo e Tipos de Freqüências
AULA 16
02
UNIDADE 07: DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Representação Gráfica e Formas das Curvas de Freqüência
AULA 17
02
EXERCÍCIOS (Prazo Limite para Entrega das Listas de Exercícios 01 a 07)
AULA 18
02
AVALIAÇÃO INTERMEDIÁRIA (Valor 30 Pontos)
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AULAS
CARGA HORÁRIA
DESCRIÇÃO
AULA 19
02
UNIDADE 08: MEDIDAS DE POSIÇÃO
Cálculo da Média para Dados Não Agrupados e Agrupados Com e Sem Intervalos
AULA 20
02
UNIDADE 08: MEDIDAS DE POSIÇÃO
Cálculo da Moda para Dados Não Agrupados e Agrupados Com e Sem Intervalos
AULA 21
02
UNIDADE 08: MEDIDAS DE POSIÇÃO
Cálculo da Mediana para Dados Não Agrupados e Agrupados Com e Sem Intervalos
AULA 22
02
UNIDADE 08: MEDIDAS DE POSIÇÃO
Separatrizes (Quartil e Porcentil) e Exercícios
AULA 23
02
UNIDADE 09: MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
Definição de Dispersão; Amplitude Total; Variância e Desvio Padrão
AULA 24
02
UNIDADE 09: MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
Coeficiente de Variação e Exercícios
AULA 25
02
UNIDADE 10: MEDIDAS DE ASSIMETRIA E MEDIDAS DE CURTOSE
Simetria; Assimetria; Coeficiente de Assimetria e Curtose
AULA 26
02
UNIDADE 10: MEDIDAS DE ASSIMETRIA E MEDIDAS DE CURTOSE
Exercícios
AULA 27
02
UNIDADE 11: PROBABILIDADE
Definição: Experimento Aleatório; Espaço Amostral; Ponto Amostral e Eventos
AULA 28
02
UNIDADE 11: PROBABILIDADE
Definição de Probabilidade; Eventos Complementares, Independentes e Mutuamente Exclusivos
AULA 29
02
UNIDADE 11: PROBABILIDADE
Exercícios
AULA 30
02
UNIDADE 12: DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Definição de Distribuição de Probabilidade e Distribuição Binomial
AULA 31
02
UNIDADE 12: DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Definição de Distribuição Normal; Distribuição Normal Reduzida e Exercícios
AULA 32
02
UNIDADE 13: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
Definição de Correlação; Tipos de Correlação e Cálculo do Coeficiente de Correlação
AULA 33
02
UNIDADE 13: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
Regressão Linear e Interpolação e Extrapolação
AULA 34
02
UNIDADE 14: NOÇÕES BÁSICAS DE EXCEL
Funções Estatísticas
AULA 35
02
EXERCÍCIOS (Prazo Limite para Entrega das Listas de Exercícios 08 a 13)
AULA 36
02
PROVA FINAL (Valor 30 Pontos)
TOTAL
72 HORAS / AULA
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UNIDADE 01: REVISÃO DA MATEMÁTICA ELEMENTAR
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Naturais: ( = { 0, 1, 2, 3, 4 ...........}
Inteiros: ( = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ......}
Racionais: Q = { x = p/q , onde “p” e “q” ( ( e “q” ( 0 }
Reais: R = { números racionais e números irracionais }
NÚMEROS E ARREDONDAMENTO
Os Números resultam de uma mensuração que pode ser exata, quando assume uma forma de contagem (valores discretos) ou aproximada, quando provem de uma escala contínua.
Muitas vezes é necessário ou conveniente suprimir unidades inferiores às de determinada ordem. De acordo com a resolução 866/66 da Fundação IBGE, o arredondamento deve ser feito da seguinte maneira:
Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o último algarismo a permanecer.
Exemplo: 53,24 ( 53,2
Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 6, 7, 8, ou 9, aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer.
Exemplo: 42,87 ( 42,9
Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5 seguido de qualquer algarismo diferente de zero, aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer.
Exemplos: 2,352 ( 2,4
25,6501 ( 25,7
76,250002 ( 76,3
Quando o último algarismo a ser abandonadoé 5 (seguido ou não de zeros), o último algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar.
Exemplos: 24,75 ( 24,8
12,65 ( 12,6
24,7500 ( 24,8
24,6500 ( 24,6
OBS: Não se deve fazer arredondamentos sucessivos
O Erro é a diferença entre o valor real da medida e o valor considerado.
Exemplo: Um funcionário da prefeitura mede uma rua com o objetivo de numerar as casas em relação às medidas obtidas. O portão da casa do Sr. Antônio está a 21,5 m do início da rua (pelo lado direito). O funcionário dá o nº 21 à residência em questão, cometendo um erro de 0,5 m.
Exemplo: Um operário mede o comprimento de uma sala para a colocação de um piso. A medida obtida é de 3,5 m, mas o operário anota apenas 3 m, cometendo um erro de 0,5 m.
Se a largura da sala for de 2,3 m, tem-se:
Área Real: 3,5 * 2,3 = 8,05 m2.
Área Operário: 3 * 2,3 = 6,9 m2.
Erro na Área: 8,05 – 6,9 = 1,15 m2.
FRAÇÕES
Fração é um número pertencente ao conjunto do números racionais (Q) na forma: x = p/q , sendo “p” e “q” ( ( e “q” ( 0.
Fração Própria: é aquela cujo numerador é menor que o denominador. 
Exemplo: 
Fração Imprópria: é aquela cujo numerador é maior (ou igual) que o denominador. 
Exemplo: 
Fração Aparente: é uma fração Imprópria cujo numerador é um múltiplo do denominador. 
Exemplo: 
Para simplificar frações basta obter uma fração equivalente, dividindo-se o numerador e o denominador por um mesmo número.
Exemplo: 
Para se comparar frações deve-se reduzir as frações a um mesmo denominador (cálculo do m.m.c.), e em seguida, comparar os numeradores. A maior fração será a que possuir o maior numerador.
Exemplo: Comparar 
Operações com Fração:
Soma: 
Multiplicação: 
Divisão: 
Frações Decimais: são frações cujos denominadores são potências de 10.
Exemplos: 
RAZÕES
Razão é quociente dos números que expressam as grandezas.
Exemplo: Um automóvel percorre 36 km com 4 litros de álcool. Qual a razão entre a distância percorrida e o consumo de combustível?
PORCENTAGEM
Porcentagem é uma fração cujo o denominador é igual a 100.
Exemplos: 
Os problemas de porcentagem podem ser resolvidos com a aplicação de uma Regra de Três Simples.
Exemplo: Em uma classe de 40 alunos, 32 foram aprovados. Qual o percentual de aprovação?
Exemplo: Ao comprar um livro, obtive um desconto de $3,00. Qual o preço do livro, sabendo que a taxa de desconto foi de 5%?
Exemplo: Uma pessoa pagou $20,00 por uma diária em uma pousada, com 15% de desconto. Qual foi o desconto?
MÉDIA ARITMÉTICA
Média Aritmética Simples de um conjunto de valores é o quociente da soma desses valores pelo número total deles.
Média Aritmética Ponderada de um conjunto de valores é o quociente da soma dos produtos dos valores pelo respectivos pesos e a soma dos pesos.
Exemplo: Calcule a média do seguinte conjunto de valores: 2, 3, 4, 5, 6.
Exemplo: Sabendo que um aluno obteve as notas 7, 6, 5 e 8 e que essas notas têm, respectivamente, os pesos 2, 2, 3 e 3, calcule a média:
COEFICIENTES BINOMIAS
Fatorial de um número (n!) é o produto de todos os números naturais de n até 1
Exemplos: 2! = 2 x 1 = 2
3! = 3 x 2 x 1 = 6
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
0! = 1 (por definição)
1! = 1 (por definição)
Coeficiente Binomial de um número n sobre k, ou simplesmente, binomial de n sobre k é definido por:
Exemplos:
LISTA DE EXERCÍCIOS 01:
Arredonde os números a seguir, deixando-os com uma casa decimal:
a. 2,38 b. 24,65 c. 0,351 d. 4,24
e. 6,829 f. 5,550 g. 2,97 h. 89,99
Arredonde os números a seguir, deixando-os com duas casas decimais:
a. 46,727 b. 253,651 c. 28,255 d. 37,842
e. 299,951 f. 45,237 g. 120,4500 h. 123,842
Arredonde os números a seguir, com a precisão de uma unidade:
a. 26,6 b. 67,5 c. 128,5
d. 49,98 e. 68,2 f. 39,49
Que fração da semana corresponde 1 dia?
Que fração do mês de fevereiro corresponde uma semana?
Simplifique:
a. 3 / 8 b. 15 / 30 c. 121 / 11
d. 96 / 144 e. 34 / 6 f. 360 / 600
Escreva em ordem crescente:
a. 
 b. 
Efetue:
a. 
 b. 
 c. 
d. 
 e. 
 f. 
Represente na forma decimal:
a. 
 b. 
 c. 
 d. 
Represente na forma de fração:
a. 0,7 b. 0,12 c. 12,75 d. 0,018
Em uma classe de 60 alunos faltaram 15. Qual a taxa de freqüência?
Em SP colheram-se 1300000 sacas de café. Se 25% dessa produção destina-se ao consumo interno, qual a quantidade de sacas consumida internamente?
Um nota promissória, cujo valor de face era de $50000,00, foi paga com um desconto de $2500,00. Qual a taxa de desconto?
40% dos alunos de uma escola são meninos. O total de alunos e alunas é de 2500. Quantos são os alunos e alunas da escola?
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UNIDADE 02: NÚMEROS ÍNDICES
NÚMEROS ÍNDICES: NOÇÃO INTUITIVA
Exemplo: Considere a tabela pertinente à intenção de votos em 6 cidades. Investigue a incidência de votos em branco.
Tabela 01: Intenção de Votos (Dados Absolutos)
Cidade
Candidato X
Candidato Y
Votos Brancos
Votos Nulos
População Entrevistada
A
39544
30279
980
11549
82352
B
48872
19897
787
6210
45766
C
8139
4903
177
1324
14543
D
16263
8659
464
2997
28383
E
746
899
45
216
1906
F
3149
3120
93
517
6879
Em uma primeira análise, a cidade A apresenta o maior nº de votos em branco. Entretanto, utilizando os valores relativos (%) pode-se fazer uma análise mais detalhada:
Tabela 02: Intenção de Votos (Dados Relativos)
Cidade
Votos Brancos
População Entrevistada
Votos Brancos (%)
A
980
82352
1,2
B
787
45766
1,7
C
177
14543
1,2
D
464
28383
1,6
E
45
1906
2,4
F
93
6879
1,4
A cidade que apresenta um maior índice de votos brancos é a cidade E.
Como visto no exemplo, muitas vezes é necessário analisar um conjunto de dados por meio de um indicador (índice).
DEFINIÇÃO DE NÚMEROS ÍNDICES
Número Índice é a relação entre dois estados de uma variável (ou grupo de variáveis), suscetível de variação no tempo ou espaço.
O Índice representa a variação de um fenômeno em relação a um estado anterior ou de referência.
Exemplo: 
Tabela 03: Nº de Matrículas na Escola XX
Anos
1989
1990
1991
1992
1993
1994
Nº Matrículas
1050
1150
1200
1400
1560
1700
Índice (%)
100
109,5
114,3
133,3
148,6
161,9
Considerando o ano de 1989 como referencial, percebe-se um aumento progressivo das matrículas ao longo dos anos: 9,5% ( 14,3% ( 33,3% ( 48,6% ( 61,9%.
NÚMEROS ÍNDICES RELATIVOS DE PREÇOS
Números Índices Relativos de Preços representam a variação no preço de um bem em relação a um determinado período de tempo.
Da mesma forma, pode-se utilizar o mesmo raciocínio para quantidades, valores, etc.
 
Exemplo: Sabendo que o preço de um produto era de $50 em 1994 ede $60 em 1995, determine o relativo de preço em 1995, considerando como base o ano de 1994.
ELOS DE RELATIVOS
Relativos de Base Móvel: vários relativos formam elos quando cada um deles é calculado tomando como base o ano anterior.
Exemplo: O preço de um produto apresentou no período de 1991 a 1994, respectivamente, os preços $240, $300, $360 e $540. Calcule os elos de relativos (Base Móvel).
Relativos em Cadeia: são relativos de base-fixa, ou seja, todos os relativos do elo são calculados tomando-se uma mesma época de referência.
Exemplo: No exemplo anterior, calcule os relativos em cadeia, considerando o ano de 1991 como base.
ÍNDICES AGREGATIVOS
Índices Agregativos representam a variação de preços de um conjunto de bens.
Índice Agregativo Simples: calculado pela média aritmética simples dos relativos.
Exemplo: 
Tabela 04: Relativos de Preços (1993 – 1994)
Bens
RELATIVOS DE PREÇOS (%)
1993
1994
A
100
150
B
100
125
C
100
160
Índice Agregativo Ponderado: calculado com coeficientes de ponderação (q) atribuídos à cada item, dependendo da importância de cada um (média aritmética ponderada).
Fórmula de Laspeyres ou Método da Época-Base: 
Exemplo: 
Tabela 04: Preços de Bens Produzidos (1993 – 1994)
Bens
PREÇOS ($)
1993
1994
P
q
P
q
A
20
4
28
3
B
40
3
56
3
C
15
8
30
12
ÍNDICES DE CUSTO DE VIDA
Índices de Custo de Vida (ICV) ou Índices de Preços ao Consumidor (IPC)são Números Índices que procuram medir a variação dos preços de um conjunto de bens e serviços, necessários à vida de um consumidor padrão (família padrão).
É evidente que devem ser considerados preços de bens ou serviços consumidos em alimentação, vestuário, transporte, saúde, educação, serviços públicos e lazer.
Sua metodologia de cálculo inclui a listagem de bens e serviços consumidos e respectivas porcentagens de gastos. Aplica-se a fórmula de Laspeyres para cada grupo e finalmente calcula-se a média ponderada dos preços vs. Porcentagens de todos os grupos.
Exemplos: 
IPC (Índice de Preços ao Consumidor):
Família com renda bruta entre 1 e 8 salários mínimos.
Coleta de preços feita pelo IBGE em 10 regiões metropolitanas
Período de pesquisa: dia 16 ao dia 15 do mês subsequente.
ICB (Índice da Cesta Básica):
Família com renda bruta entre 1 e 2 salários mínimos.
IGP (Índice Geral de Preços):
Calculado pela FGV pela média ponderada dos seguintes índices: Índice de Preços por Atacado (60%); Índice de Custo de Vida (30%) e Índice da construção Civil (10%), na cidade do Rio de Janeiro.
DEFLACIONAMENTO
Problema: Sabendo-se que um assalariado, em 1º de maio de 2004, ganhava X reais por mês, qual deveria ser o seu salário em 1º de maio de 2005 para que ele pudesse comprar os mesmos bens e serviços que no ano de 2004?
Este problema trata da conversão dos Salários Nominais em Salários Reais (Poder Real de Compra).
Para se calcular os Salários Reais (SR), divide-se os Salários Nominais da época em questão (ST) pelo Índice de Preços (IPT) da mesma época:
Assim, se o salário de um administrador em dezembro de 2006 era de $1071 e o IGP era de 101,24%, o poder aquisitivo desse Administrador em 2006 é:
Comparando os salários ST = 1071 e SR = 1058, constata-se uma redução no poder de compra (DEFLACIONAMENTO).
LISTA DE EXERCÍCIOS 02:
Considere a tabela:
Tabela 01: Quantidade de Bens Produzidos (1991 – 1994)
Bens
Anos
1991
1992
1993
1994
Veículos (mil unidades)
1128,0
1165,2
780,9
859,3
Cimento (milhões de t)
24,9
27,2
26,1
25,4
Aço (milhões de t)
13,9
15,2
13,1
12,9
Petróleo (milhões de m3)
9,6
10,6
12,4
15,1
Considerando o ano de 1991 como referência, calcule os relativos em cadeia para cada tipo de bem.
Represente graficamente os índices calculados anteriormente.
Considere a tabela:
Tabela 02: Faturamento de uma Empresa (1991 – 1994)
Ano
FATURAMENTO
( $ )
IP1990 = 100
91
180000
140,8
92
220000
291,1
93
430000
362,5
94
480000
410,3
Qual a evolução do faturamento real da empresa?
Represente graficamente a evolução (Base: Ano 1990).
Considerando o ano de 1991 como referência, calcule a evolução do faturamento real da empresa.
Represente graficamente a evolução (Base: Ano 1991).
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UNIDADE 03: A NATUREZA DA ESTATÍSTICA
MÉTODO CIENTÍFICO
O Método científico é caracterizado pelo conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a um fim que se deseja.
MÉTODO EXPERIMENTAL
O Método Experimental consiste em manter constantes todas as causas (fatores), exceto uma, e variar esta causa de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos, caso existam.
MÉTODO ESTATÍSTICO
Na impossibilidade de se manter constante todas as causas de um determinado fenômeno a ser estudado, admite-se a variação de todas as causas, buscando-se registrar essas variações para se constatar as influências dessas causas sobre o fenômeno.
DEFINIÇÃO DE ESTATÍSTICA
Estatística é a parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados, para auxiliar no processo de tomada de decisão.
ETAPAS DO MÉTODO ESTATÍSTICO
Planejamento: definição do assunto e característica a ser estudada.
Coleta de Dados: obtenção dos dados para descrição do fenômeno a ser estudado
Crítica dos Dados: verificação dos dados coletados, eliminando possíveis fontes de erros.
Apuração dos Dados: cálculos e processamento dos dados.
Exposição ou Apresentação dos Dados: síntese e organização dos dados
Análise dos Resultados: avaliação e dos dados e obtenção de conclusões, a partir das amostras analisadas.
LISTA DE EXERCÍCIOS 03:
Ler o Capítulo 1: A Natureza da Estatística do livro: Estatística Fácil (Antônio Arnot Crespo).
Resolver os exercícios propostos no capítulo.
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UNIDADE 04: POPULAÇÃO E AMOSTRA
VARIÁVEL
Variável é o conjunto dos resultados possíveis de um determinado fenômeno.
Exemplos: 
Para o fenômeno “sexo”, são dois os resultados possíveis: masculino e feminino.
Para o fenômeno “nº de filhos” há um número de resultados possíveis, expressos pelo números naturais: 0, 1, 2, 3, .....n
Para o fenômeno “estatura” há infinitos resultados possíveis.
Os exemplos anteriores mostram que as variáveis podem ser:
QUALITATIVAS: quando seus valores são expressos por atributos (Exemplos: cor da pele, sexo, etc.).
QUANTITATIVAS: quando seus valores são expressos por números (Exemplos: altura, volume, etc.).
Uma variável QUANTITATIVA pode ser:
CONTÍNUA: quando a variável pode assumir qualquer valor entre dois limites.
DISCRETA: quando a variável só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável.
Exemplos: 
Nº de alunos de uma escola: DISCRETA, pois só pode receber valores inteiros positivos (Não existe 2,5 alunos).
Peso de alunos: CONTÍNUA, pois um aluno pode pesar 72 kg, como 72,5 kg ou diversos valores dependendo da precisão da balança.
POPULAÇÃO
População é o conjunto de entidades portadoras de, pelo menos, uma característica comum.
Exemplo: 
Os estudantes constituem uma população, pois apresentam uma característica comum (ocupação).
As mulheres da empresa, pois possuem uma caraterística comum (sexo).
AMOSTRA
Amostra é um sub-conjunto finito da população. Em geral, é necessário garantir que a amostra seja representativa da população.
AMOSTRAGEM
Amostragem é a técnica utilizada para se recolher amostras representativas de uma dada população.
Exemplo: 
Exame de sangue.
Tempero da comida.
Escolha de passageiros para revista de bagagem em aeroportos.
A amostragem é necessária por questões relacionadasa:
Economia.
Tempo.
Operacionalidade.
Em geral, recomenda-se que o nº de elementos de uma amostra (n) não seja inferior a 10 % da população (N).
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
AMOSTRAGEM CASUAL ou ALEATÓRIA SIMPLES
Este tipo de amostragem é equivalente a um sorteio, e é recomendada quando se tem uma população homogênea.
Normalmente são adotados sorteios simples, mas quando o número de elementos da população é muito grande, pode-se utilizar uma Tabela de Números Aleatórios.
Exemplo: Considerando a Tabela de Números Aleatórios, obtenha uma seqüência de 7 amostras de uma população de 100 elementos.
6
1
6
2
7
7
5
5
6
7
0
4
7
1
3
3
9
0
3
0
5
6
3
4
3
5
1
7
6
0
8
5
4
5
4
3
0
9
6
1
6
1
3
1
2
1
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0
9
6
8
1
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6
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0
7
0
8
0
7
5
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6
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0
0
1
9
0
3
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2
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0
6
6
0
2
1
1
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0
3
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0
4
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5
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6
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0
6
4
4
6
6
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0
7
1
5
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2
2
9
0
1
9
0
8
5
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7
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2
9
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0
5
2
0
0
8
4
1
6
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8
5
2
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0
7
2
4
6
3
2
1
8
0
1
8
4
7
1
3
3
5
1
6
2
9
0
8
1
5
0
6
2
3
6
9
7
9
8
8
7
6
7
5
7
6
4
5
3
7
1
6
8
2
8
9
5
5
9
0
2
2
7
5
5
3
5
7
6
2
8
2
4
0
0
3
4
6
6
4
8
8
5
6
3
8
9
9
7
8
1
5
9
2
3
2
1
1
3
6
4
0
7
5
2
4
9
4
8
7
0
0
4
4
1
5
5
9
5
7
2
7
9
7
0
5
3
0
9
5
1
7
7
7
2
0
0
0
1
8
2
9
5
2
0
2
2
2
2
9
7
7
9
7
8
1
3
4
4
6
7
4
9
6
9
9
6
1
2
7
6
4
0
0
4
9
1
9
5
3
6
6
8
8
6
0
8
1
6
3
1
4
2
0
2
8
1
2
0
5
7
4
4
5
5
4
5
8
1
0
0
6
1
3
7
3
4
0
8
4
2
3
0
Por um sorteio simples, escolheu-se a linha 10 da Tabela de Números Aleatórios. Desta linha, podem ser retirados números de 2 dígitos para representar a seqüência das amostras:
n = { 71, 59, 22, 90, 19, 08, 54 }
AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA
Neste tipo de amostragem a população é dividida proporcionalmente em sub-conjuntos (estratos).
Exemplo: Considere uma empresa com 90 funcionários, sendo 54 homens e 36 mulheres. Deseja-se recolher uma amostra de 10% dos funcionários para uma pesquisa interna sobre um determinado assunto. Obtenha um Plano de Amostragem Estratificada pelo sexo dos funcionários.
Sexo
População
10 %
Amostra
M
54
5
F
36
4
TOTAL
90
9
AMOSTRAGEM PROPORCIONAL UNIFORME
Neste tipo de amostragem a população é dividida proporcionalmente em sub-conjuntos (estratos) com o mesmo número de elementos.
Exemplo: 
Professores: P1, P2, .........Pn
Servidores: S1, S2, .........Sn
Alunos: A1, A2, .........An
AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
Este é um tipo de amostragem aleatória, na qual os elementos da população se encontram ordenados.
Exemplo: Uma empresa mantém em seus arquivos o registro de antigos clientes. Dentre um total de 10000 fichas, pode-se tirar de forma sistemática uma ficha a cada 10, totalizando uma amostra de 1000 fichas (10%).
Para garantir a mesma probabilidade de retirada de cada ficha, deverá ser feito um sorteio entre as 10 primeiras fichas.
Intervalo de Seleção: 
Suponha que a primeira ficha sorteada foi a de número 4. Assim, as fichas que irão compor a amostra são:
n = { 4, 14, 24, 34, 44, 54, 64, ............9984, 9994 }
LISTA DE EXERCÍCIOS 04:
Classifique as variáveis em qualitativa ou quantitativa (contínua ou discreta):
Cor dos Cabelos
Nº de filhos
Resultado da jogada de um dado
Nº de hóspedes em um hotel
Diâmetro de peças produzidas em uma máquina
Você fará uma pesquisa para conhecer a preferência de lazer de adolescentes. A população é composta por 68 meninas e 49 meninos. Na impossibilidade de entrevistar todos, faça um levantamento por amostragem em 12 % dos adolescentes. Obtenha os componentes proporcionais estratificados por sexo da amostra.
Foi realizada uma pesquisa sobre quem irá à viagem de formatura em diversas escolas da cidade X. A população envolvida na pesquisa é apresentada a seguir. Baseando-se nesses dados, estratifique uma amostra proporcional com 300 alunos.
Escola
População
A
350
B
540
C
480
D
260
E
280
F
410
TOTAL
2310
Com o objetivo de se verificar qual o tipo de refeição de refeição deveria ser servido em um evento, selecionou-se uma amostra de 250 pessoas, sorteados entre 2000. Que tipo de amostragem foi utilizada?
Um grupo de hotéis-fazenda promove acampamentos com atividades monitoradas de lazer para jovens, conforme mostrado a seguir. Elabore um Plano de Amostragem contendo 120 jovens, determinando o nº de jovens do sexo masculino e feminino de cada acampamento.
Acampamento
N º de Jovens
Masculino
Feminino
A
129
102
B
97
109
C
108
89
D
149
127
E
94
113
F
118
131
G
145
124
TOTAL
840
795
Havendo interesse em fazer um estudo que pudesse estabelecer a relação entre a faixa salarial e o interesse por cinema, foi considerado um grupo de 1800 pessoas. A tabela a seguir indica o nº de pessoas por faixa salarial. Determine uma amostra estratificada de 225 pessoas.
Faixa Salarial
Nº Pessoas
Até 3 SM
883
De 3 a 6 SM
479
De 6 a 9 SM
285
Acima de 9 SM
153
TOTAL
1800
�
UNIDADE 05: SÉRIES ESTATÍSTICAS
TABELAS ESTATÍSTICAS
Um dos objetivos da estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem assumir, de forma a fornecer uma “visão global” do comportamento dessas variáveis. Assim, são utilizadas Tabelas e Gráficos para essa síntese e apresentação dos resultados obtidos.
TABELA: quadro que resume um conjunto de observações
COMPOSIÇÃO DE UMA TABELA:
Corpo: conjunto de linhas e colunas que contém as informações sobre a variável em estudo.
Cabeçalho: parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas.
Coluna Indicadora: parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas.
Linhas: retas imaginárias (horizontais) que facilitam a leitura.
Casas ou Células: espaços destinados aos valores.
Título: conjunto de informações que esclarecem a natureza dos dados apresentados na tabela.
Rodapé: Fonte ou referência.
Exemplo:
Tabela 01: Produção de Café no Brasil (1991 – 1995)
Anos
Produção (1000 t)
1991
2535
1992
2666
1993
2122
1994
3750
1995
2007
Fonte: IBGE
SÉRIES ESTATÍSTICAS
Toda Tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da época, do local ou espécie.
TIPOS DE SÉRIES:
SÉRIES HISTÓRICAS, CRONOLÓGICAS, TEMPORAIS OU MARCHAS
Descrevem os valores em um determinado local, discriminados segundo intervalos de tempo ou períodos.
SÉRIES GEOGRÁFICAS, ESPACIAIS, TERRITORIAIS OU DE LOCALIZAÇÃO
Descrevem os valores em um determinado instante, discriminados segundo regiões.
SÉRIES ESPECIAIS OU CATEGÓRICAS
Descrevem os valores em um determinado tempo e local, discriminados segundo especificações ou categorias.
SÉRIES CONJUGADAS OU DUPLA ENTRADA
Representam a fusão de duas ou mais formas de discriminação.
Exemplos:
Série Temporal
Tabela 02: Entrada de Argentinos no Brasil
(1991 – 1995)
Ano
Nº de Turistas
1994
787117
1995
1467922
1996
1548571
Fonte: OMT
Série Geográfica
Tabela 03: Falta de Água Encanada 1995
Continente
% Cidades
África
28
América Latina
7
Ásia
63
Europa
2
Fonte: OMS
Série Categórica
Tabela 04: O que vai fazer com o 13º Salário
(Consumidores de SP – Dezembro 2000)
Continente
% 
Pagar dívidas
53
Fazer compras
14
Poupar
14
Investir
7
Férias
6
Outros
6
Fonte: Folha de SPSéries Conjugadas
Tabela 05: Terminais Telefônicos em Serviço
Regiões
1991
1992
1993
Norte
342938
375658
403494
Nordeste
1287813
1379101
1486649
Sudeste
6234501
6729467
7231634
Sul
1497315
1608989
1746232
Centro-Oeste
713357
778925
884822
Fonte: Ministério das Comunicações
DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS
Dados Absolutos: são dados obtidos na forma direta (sem processamento).
Dados Relativos: são dados obtidos por comparação ou razões entre os valores obtidos na coleta direta. Em geral são expressos em porcentagem, números índices, taxas, etc.
Exemplo: A população de crianças envolvidas em uma pesquisa é apresentada na tabela a seguir. Calcule o percentual de crianças em cada escola.
Tabela 06: Distribuição de crianças por escola
Escola
População
%
A
350
(350 / 2320) * 100 = 15,1
B
540
(540 / 2320) * 100 = 23,3
C
480
(480 / 2320) * 100 = 20,7
D
260
(260 / 2320) * 100 = 11,2
E
280
(280 / 2320) * 100 = 12,1
F
410
(410 / 2320) * 100 = 17,6
TOTAL
2320
100
Fonte: Pesquisa Particular
LISTA DE EXERCÍCIOS 05:
Classifique as Séries:
ª
Produção de Borracha Natural (1991 – 1993)
Ano
Toneladas
1991
29543
1992
30712
1993
40663
Fonte: IBGE
b.
Avicultura Brasileira (1992)
Ano
Nº (1000 unid)
Galinhas
204160
Frangos
435465
Codornas
2488
Fonte: IBGE
c.
Produção Brasileira Aço Bruto (1991-93)
Processo
Quantidade (1000 t)
1991
1992
1993
Oxigênio
17934
18849
19698
Forno Elétrico
4274
4637
5065
EOF
409
448
444
Fonte: Instituto Brasileiro de Siderurgia
O nº de turistas que visitam mensalmente um balneário em SP está apresentado na tabela a seguir. Calcule o percentual de turista em cada mês e faça uma análise dos dados.
Turistas em Balneário SP (2001)
Mês
Nº Turistas
Janeiro
41094
Fevereiro
32827
Março
19660
Abril
13695
Maio
23653
Junho
11786
Julho 
29022
Agosto
21486
Setembro
24055
Outubro
2853
Novembro
20175
Dezembro
25400
Fonte: Secretaria de Turismo SP
Procure exemplos de Séries Estatísticas em jornais e revistas. Guarde esse material para análise em sala de aula.
�
UNIDADE 06: GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
GRÁFICO ESTATÍSTICO
Gráfico Estatístico: é uma forma de apresentação dos dados estatísticos cujo objetivo é o de produzir no investigador ou público uma impressão mais rápida e “viva” do fenômeno em estudo.
TIPOS DE GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
GRÁFICO EM LINHA OU CURVA
Este tipo de gráfico utiliza linhas poligonais para representar os dados em um sistema cartesiano de coordenadas (eixo das abscissas – x, e eixo das ordenadas – y).
GRÁFICO EM COLUNAS
Este tipo de gráfico utiliza retângulos verticais para representar os dados de uma série, sendo que a área desses retângulos são proporcionais à grandeza representada.
GRÁFICO EM BARRAS
Este tipo de gráfico utiliza retângulos horizontais para representar os dados de uma série, sendo que a área desses retângulos são proporcionais à grandeza representada.
GRÁFICO EM COLUNAS OU BARRAS MÚLTIPLAS
Este tipo de gráfico é geralmente empregado para representar, simultaneamente, dois ou mais fenômenos estudados, com o propósito de comparação.
GRÁFICO EM SETORES
Este tipo de gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado quando deseja-se ressaltar a participação de um determinado dado em relação a ao total. Deve-se utilizar dados relativos.
GRÁFICO POLAR
Este tipo de gráfico é ideal para representar séries temporais cíclicas, ou seja, séries que apresentam em seu desenvolvimento determinada periodicidade.
CARTOGRAMA
O cartograma é a representação sobre uma carta cartográfica.
PICTOGRAMA
Este tipo de gráfico é representado por figuras, constituindo uma forma mais comunicativa e atraente para o usuário.
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 06:
Representar em um Gráfico de Linha as séries:
Produção de Borracha Natural (1991 – 1993)
Ano
Toneladas
1991
29543
1992
30712
1993
40663
Fonte: IBGE
Avicultura Brasileira (1992)
Ano
Nº (1000 unid)
Galinhas
204160
Frangos
435465
Codornas
2488
Fonte: IBGE
Turistas em Balneário SP (2001)
Mês
Nº Turistas
Janeiro
41094
Fevereiro
32827
Março
19660
Abril
13695
Maio
23653
Junho
11786
Julho 
29022
Agosto
21486
Setembro
24055
Outubro
2853
Novembro
20175
Dezembro
25400
Fonte: Secretaria de Turismo SP
Representar em um Gráfico de Colunas a seguinte série:
Produção Brasileira Aço Bruto (1991-93)
Processo
Quantidade (1000 t)
1991
1992
1993
Oxigênio
17934
18849
19698
Forno Elétrico
4274
4637
5065
EOF
409
448
444
Fonte: Instituto Brasileiro de Siderurgia
Procure exemplos de Gráficos Estatísticos em jornais e revistas. Guarde esse material para análise em sala de aula.
�
UNIDADE 07: DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Exemplo 01: Considere a tabela a seguir:
Tabela 01: Estatura de 40 alunos do Colégio A (cm)
150
154
155
157
160
161
162
164
166
169
151
155
156
158
160
161
162
164
167
170
152
155
156
158
160
161
163
164
168
172
153
155
156
160
160
161
163
165
168
173
Pode-se organizar os dados da seguinte maneira (Distribuição de Freqüência):
Estatura (cm)
Contagem
freqüência
150 
154
I I I I
4
154 
158
I I I I I I I I I
9
158 
162
I I I I I I I I I I I
11
162 
166
I I I I I I I I
8
166 
170
I I I I I
5
170 
174
I I I
3
TOTAL
40
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Classes de Freqüência ( i ): são intervalos de variação da variável. As classes são representadas simbolicamente por i = 1, 2, 3, .....k; sendo k o nº total de classes da distribuição.
Limites de Classes ( L ou  ): são os valores extremos da classe.
L i = Limite Superior da classe.
 i = Limite Inferior da Classe.
Amplitude de um Intervalo de Classes ( h ): representa a diferença entre o maior e menor valor da classe.
H i = L i -  i
Amplitude Total da Distribuição ( AT ): representa a diferença entre o valor do Limite Superior da última classe ( Lk ) e o valor do Limite Inferior da primeira classe.
AT = L k -  1
Amplitude Amostral ( AA ): representa a diferença entre o valor máximo e mínimo da amostra.
AA = xMAX – xMIN
Ponto Médio da Classe ( x i ): é o ponto que divide o intervalo de classe ao meio.
Freqüência da Classe ( f i ): corresponde ao nº de observações correspondentes à classe.
Número Total de Elementos ( n ): 
DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE CLASSES E INTERVALO
Regra de Sturges: 
Intervalo de Classe: 
Exemplo 02: Para os dados apresentados no Exemplo 01, determine:
Amplitude do Intervalo da 2ª classe: h 2 =158 – 154 = 4 cm
Amplitude Total da Distribuição: AT =174 – 150 = 24 cm
Amplitude Amostral: AA =173 – 150 = 23 cm
Ponto Médio da 2ª classe: x 2 =(154 + 158) / 2 = 156 cm
Número Total de Observações: n = 4 + 9 + 11 + 8 + 5 + 3 = 40
Número de Classes (Regra de Sturges): i = 1 + 3,3 ( log 40 = 1 + 3,3 ( (1,602) = 6,287 ( 6
Intervalo Estimado de Classes: h ( (174 – 150) / 6 = 24 / 6 = 4
TIPOS DE FREQUÊNCIAS
Freqüência Simples ou Absoluta ( f i ): representa o nº de dados de cada intervalo de classe.
Freqüência Relativa ( f R i ): representa a razão entre os valores da freqüência simples e o total de dados. 
Freqüência Acumulada ( F i ): representa a soma de todos os valores inferiores ao Limite Superior de um intervalo de classe: 
Freqüência Acumulada Relativa ( FR i ): representa a razão entre os valores da freqüência acumulada de uma classe e o total de dados. 
Exemplo 02: Obtenha a distribuição de freqüênciacompleta para os dados do Exemplo 01
Estatura (cm)
x i
f i
f R i
F i
FR i
150 
154
152
4
0,100
4
0,100
154 
158
156
9
0,225
13
0,325
158 
162
160
11
0,275
24
0,600
162 
166
164
8
0,200
32
0,800
166 
170
168
5
0,125
37
0,925
170 
174
172
3
0,075
40
1,000
TOTAL
40
1
-----
----
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO
HISTOGRAMA: formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios ( xi ) dos intervalos de classe. 
Exemplo 03: Construa o Histograma para a distribuição de freqüência do Exemplo 01
POLÍGONO DE FREQUENCIA SIMPLES: é um gráfico em linha, sendo as freqüências simples marcadas nos pontos médios dos intervalos de classe.
Exemplo 04: Construa o Polígono de Freqüência Simples para a distribuição de freqüência do Exemplo 01
POLÍGONO DE FREQUENCIA ACUMULADA: é um gráfico em linha, sendo as freqüências acumuladas marcadas nos pontos médios dos intervalos de classe.
Exemplo 05: Construa o Polígono de Freqüência Acumulada para a distribuição de freqüência do Exemplo 01
FORMAS DAS CURVAS DE FREQUÊNCIA
CURVAS EM FORMA DE SINO
CURVAS EM “ J ”
CURVAS EM “ U ”
DISTRIBUIÇÕES RETANGULARES
LISTA DE EXERCÍCIOS 07:
Faça a distribuição de freqüência completa para a série a seguir. Considere 5 classes com amplitude de 2 cada.
Tabela 01: Notas obtidas por 50 alunos
1
2
3
4
5
6
6
7
7
8
2
3
3
4
5
6
6
7
8
8
2
3
4
4
5
6
6
7
8
9
2
3
4
5
5
6
6
7
8
9
2
3
4
5
5
6
6
7
8
9
Conhecidas as notas de 50 alunos, obtenha a distribuição de freqüência, considerando 10 intervalos de classes e o valor 30 para o limite inferior do primeiro intervalo de classe.
Tabela 02: Notas Finais obtidas por 50 alunos
84
68
33
52
47
73
68
61
73
77
74
71
81
91
65
55
57
35
85
88
59
80
41
50
53
65
76
85
73
60
67
41
78
56
94
35
45
55
64
74
65
94
66
48
39
69
89
98
42
54
Para cada distribuição de freqüência a seguir, construa: Histograma, Polígono de Freqüência Simples e curva de Freqüência Acumulada.
Peso (cm)
f i
Salário ($)
f i
40 
44
2
500 
700
8
44 
48
5
700 
900
20
48 
52
9
900 
1100
7
52 
56
6
1100 
1300
5
56 
60
4
1300 
1500
2
60 
64
1
1500 
1700
1
TOTAL
27
TOTAL
26
Classes)
f i
Área (m2)
f i
4 
 8
2
300 
400
14
8 
 12
5
400 
500
46
12 
 16
9
500 
600
58
16 
20
6
600 
700
76
20 
24
2
700 
800
68
24 
28
1
800 
900
62
TOTAL
25
TOTAL
324
�
UNIDADE 08: MEDIDAS DE POSIÇÃO
INTRODUÇÃO
Os estudos relativos à distribuição de freqüência permitem a descrição global dos valores da variável de interesse. Porém, para uma caracterização específica de uma população, algumas medidas de posição (Média, Moda e Mediana) são necessárias.
Além das medidas de posição, outros indicadores, como as medidas de dispersão, assimetria e curtose, também são importantes para a caracterização das populações. Estas medidas serão estudadas em unidades posteriores.
MÉDIA ((x )
Média: Dados Não Agrupados
Para dados não agrupados, utiliza-se a média aritmética simples: 
Exemplo: A produção leiteira diária de uma vaca, anotada durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros. Qual a produção média diária?
As vezes, a média pode ser um nº diferente de todos da série.
Exemplo: Calcule a média da série: 2, 4, 8 e 9
Média: Dados Agrupados Sem Intervalos de Classe
Para dados agrupados sem intervalos de classe, utiliza-se a média aritmética ponderada: 
Exemplo:
Nº de Meninos
f i
f i x i
0
2
0
1
6
6
2
10
20
3
12
36
4
4
10
TOTAL
34
78
Média: Dados Agrupados Com Intervalos de Classe
Para dados agrupados com intervalos de classe, utiliza-se a média aritmética ponderada, sendo ( xi ) o valor médio do intervalo:
 
Exemplo:
Estatura (cm)
x i
f i
f i x i
150 
154
152
4
608
154 
158
156
9
1404
158 
162
160
11
1760
162 
166
164
8
1312
166 
170
168
5
840
170 
174
172
3
516
TOTAL
40
6440
MODA ( Mo )
Moda é o valor que ocorre com maior freqüência nos dados obtidos em uma coleta.
Esta medida de posição é muito utilizada quando se deseja obter rapidamente um valor para a caracterização de uma população.
Moda: Dados Não Agrupados
Séries Unimodais: possuem um único valor modal
Exemplo: 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 11, 12, 12, 13 Mo = 9
Séries Multimodais: possuem mais de um valor modal
Exemplo: 2, 4, 6, 8, 8, 8, 10, 12, 12, 12, 14, 16, 16, 18, 20 Mo1 = 8 Mo2 = 12
Séries Amodais: não possuem um valor modal
Exemplo: 20, 40, 60, 80, 85, 87, 100, 120, 126, 200 Mo = Não Existe
Moda: Dados Agrupados Sem Intervalos de Classe
Neste caso, basta encontrar o valor com maior freqüência simples.
Exemplos:
x i
f i
x i
f i
x i
f i
25
5
25
2
25
3
30
35
30
2
30
8
35
12
35
2
35
6
40
29
40
2
40
8
45
18
45
2
45
5
Mo = 30
Unimodal
Mo = Não Existe
Amodal
Mo1= 30 Mo2= 40
Bimodal
Moda: Dados Agrupados Com Intervalos de Classe
Para o cálculo da Moda com dados agrupados com intervalos de classe, deve-se encontrar a Classe Modal, correspondente à classe com maior freqüência simples. Assim, pode-se aplicar a expressão:
Exemplo: Calcule a Moda para a distribuição a seguir:
i
Estatura (cm)
x i
f i
1
150 
154
152
4
2
154 
158
156
9
3
158 
162
160
11
4
162 
166
164
8
5
166 
170
168
5
6
170 
174
172
3
TOTAL
40
MEDIANA ( Md )
A Mediana é uma separatriz, pois divide o conjunto de valores em 2 partes iguais (com o mesmo nº de elementos).
O valor da Mediana se encontra no centro de uma série estatística organizada (ordenada).
Mediana: Dados Não Agrupados
Série com nº ímpar de termos: 
Exemplo: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 18 n =11 6º termo Md = 9
Série com nº par de termos: média aritmética entre os termos 
Exemplo: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 16 n =12 entre o 6º e 7º termos Md = (7+9)/2 = 8
Mediana: Dados Agrupados Sem Intervalos de Classe
Para dados agrupados sem intervalos de classe, a Mediana é dada pelo termo da ordem calculada por: 
. Deve-se considerar o intervalo de classe com Freqüência Acumulada limitada por esse valor.
Exemplo: Calcule a Mediana
i
Nº de Meninos
f i
F i 
1
0
2
2
2
1
6
8
3
2
10
18
4
3
12
30
5
4
4
34
TOTAL
34
78
Observando as Freqüências Acumuladas, constata-se que a Classe da Mediana é a Terceira. 
Logo: Md = 2.
Mediana: Dados Agrupados Com Intervalos de Classe
Para o cálculo da Mediana com dados agrupados com intervalos de classe, deve-se encontrar a Classe da Mediana. Assim, pode-se aplicar a expressão:
Exemplo: Calcule a Mediana para a distribuição a seguir:
i
Estatura (cm)
x i
f i
Fi
1
150 
154
152
4
4
2
154 
158
156
9
13
3
158 
162
160
11
24
4
162 
166
164
8
32
5
166 
170
168
5
37
6
170 
174
172
3
40
TOTAL
40
-----
SEPARATRIZES
QUARTIL: divide a série em 4 partes iguais.
Q1: corresponde à separação dos 25% primeiros elementos da série.
Q2: corresponde à separação dos 50% primeiros elementos da série (equivalente à Mediana).
Q3: corresponde à separação dos 75% primeiros elementos da série.
O calculo dos Quartis é similar ao cálculo da Mediana, sendo que a Classedo Quartil é determinada por:
PERCENTIL: divide a série em 100 partes iguais.
P10: corresponde à separação dos 10% primeiros elementos da série.
P47: corresponde à separação dos 47% primeiros elementos da série (equivalente à Mediana).
Pn: corresponde à separação dos “n” % primeiros elementos da série.
O calculo dos Percentis é similar ao cálculo da Mediana, sendo que a Classe do Percentil é determinada por:
Exemplo: Calcule Q1, Q2, Q3 e P65 da distribuição:
i
Peso (kg)
f i
Fi
1
10 
30
8
8
2
30 
50
26
34
3
50 
70
57
91
4
70 
90
42
133
5
90 
110
27
160
6
110 
130
16
176
TOTAL
176
-----
Primeiro Quartil ( Q1 ):
Segundo Quartil ( Q2 ):
Terceiro Quartil ( Q3 ):
Percentil 65 ( P65 ):
LISTA DE EXERCÍCIOS 08:
Dadas as séries, calcule a Média, a Moda e Mediana:
11, 15, 16, 18, 22, 23, 26, 28, 13, 33, 22
19, 24, 26, 29, 29, 29, 33, 38, 38, 39, 39, 39, 41, 45
23, 25, 25, 27, 29, 29, 31, 33, 33, 33, 35, 37
45, 49, 54, 56, 60, 64, 67, 72
17, 22, 26, 28, 31, 37, 40, 46, 52, 58, 63, 64, 72
28, 36, 41, 49, 54, 65, 72, 88
Complete as Tabelas e calcule a Média, a Moda e Mediana:
i
x i
f i
i
x i
f i
i
x i
f i
1
120
15
1
37
8
1
12 
16
3
2
130
32
2
40
12
2
16 
20
6
3
140
22
3
43
9
3
20 
24
2
4
150
39
4
46
12
4
24 
28
2
5
160
26
5
49
5
TOTAL
TOTAL
6
51
7
TOTAL
i
Salário ($)
f i
i
Peso (kg)
f i
1
450 
 550
8
1
30 
 50
2
2
550 
 650
10
2
50 
 70
8
3
650 
 750
11
3
70 
 90
12
4
750 
 850
16
4
90 
110
1
5
850 
 950
13
5
110 
130
5
6
950 
1050
5
TOTAL
7
1050 
1150
1
TOTAL
Para a última Tabela do exercício anterior, calcule Q1, Q3, P43 e P82.
�
UNIDADE 09: MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
DEFINIÇÃO DE DISPERSÃO
Considere os seguintes conjuntos de dados:
X = 70, 70, 70, 70
Y = 68, 69, 70, 71, 72
Z = 5, 15, 50, 120, 160
Calculando a média de cada um desses conjuntos:
Os 3 conjuntos possuem a mesma média. Entretanto, é fácil notar que o conjunto X é mais homogêneo que o conjunto Y, que por sua vez é mais homogêneo que o conjunto Z.
Chama-se Dispersão ou Variabilidade a maior ou menor diversificação dos valores em torno de uma medida de posição central.
Portanto, para se caracterizar uma distribuição, além dos valores de posição, deve-se considerar valores de medidas de dispersão, tais como: Amplitude Total, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação.
AMPLITUDE TOTAL (AT)
Amplitude Total: Dados Não Agrupados
A Amplitude Total é a diferença entre o maior e menor valor observado: 
Exemplo: 40, 45, 48, 52, 54, 62, 70 AT = 70 – 40 = 30
Amplitude Total: Dados Agrupados Sem Intervalos de Classe
A Amplitude Total é a diferença entre o maior e menor valor observado: 
Exemplo:
Nº de Meninos
f i
0
2
1
6
2
10
3
12
4
4
TOTAL
34
AT = 4 – 0 = 4 meninos
Amplitude Total: Dados Agrupados Com Intervalos de Classe
A Amplitude Total é a diferença entre o Limite Superior da última classe e o Limite Inferior da primeira classe:
Exemplo:
i
Estatura (cm)
x i
f i
1
150 
154
152
4
2
154 
158
156
9
3
158 
162
160
11
4
162 
166
164
8
5
166 
170
168
5
TOTAL
40
AT = 170 – 150 = 20 cm
A Amplitude Total tem o inconveniente de só levar em consideração os valores extremos da série, desprezando os valores intermediários. A AT é apenas uma indicação aproximada da dispersão dos dados.
VARIÂNCIA ( s2 )
Variância: Dados Não Agrupados
Variância: Dados Agrupados
Para dados agrupados com intervalos de classe, ( xi ) é o ponto médio do intervalo.
DESVIO PADRÃO ( s )
Desvio Padrão: Dados Não Agrupados
Desvio Padrão: Dados Agrupados
Para dados agrupados com intervalos de classe, ( xi ) é o ponto médio do intervalo.
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO ( CV )
O Coeficiente de Variação é dado pelo quociente do desvio padrão e média, multiplicado por 100: 
Exemplo: Complete a distribuição e calcule a AT, s2, s e CV:
i
Estatura (cm)
x i
f i
x i2
f i . x i
f i . x i2
1
150 
154
152
4
23104
608
92416
2
154 
158
156
9
24336
1404
219024
3
158 
162
160
11
25600
1760
281600
4
162 
166
164
8
26896
1312
215168
5
166 
170
168
5
28224
840
141120
6
170 
174
172
3
29584
516
88752
TOTAL
40
157744
6440
1038080
AT = 174 – 150 = 24 cm
Média: 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 09:
1. Complete as distribuições e calcule a AT, s2, s e CV:
i
x i
f i
1
500
8
2
600
10
3
700
11
4
800
16
5
900
13
6
1000
5
7
1100
1
TOTAL
64
i
Renda ($)
f i
1
30 
 50
2
2
50 
 70
8
3
70 
 90
12
4
90 
 110
10
5
110 
 130
5
TOTAL
37
�
UNIDADE 10: MEDIDAS DE ASSIMETRIA E MEDIDAS DE CURTOSE
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
SIMETRIA: uma distribuição é simétrica quando a média e a moda coincidem.
ASSIMETRIA: uma distribuição é assimétrica à esquerda quando a média é menor que a moda.
uma distribuição é assimétrica à direita quando a média é maior que a moda.
Assim, pode-se estabelecer um critério para a medida da assimetria de uma distribuição:
Exemplos:
Distribuição A
Distribuição B
Distribuição C
Peso (kg)
f i
Peso (kg)
f i
Peso (kg)
f i
 2 
 6
6
 2 
 6
6
 2 
 6
6
 6 
 10
12
 6 
 10
12
 6 
 10
30
10 
 14
24
10 
 14
24
10 
 14
24
14 
 18
12
14 
 18
30
14 
 18
12
18 
 22
6
18 
 22
6
18 
 22
6
TOTAL
60
TOTAL
78
TOTAL
78
 
 
 
Outro critério de medida de assimetria é o Coeficiente de Assimetria (AS):
MEDIDAS DE CURTOSE
Curtose: representa o grau de achatamento da distribuição em relação à curva normal
COEFICIENTE DE CURTOSE: 
C = 0,263 ( Mesocúrtica
C < 0,263 ( Leptocúrtica
C > 0,263 ( Platicúrtica
Exemplo: Sabendo-se que uma distribuição apresenta Q1 = 24,4 cm; Q3 = 41,2 cm; P10 = 20,2 cm e 
P90 = 49,5 cm; determine a curtose em relação à Curva Normal.
Conclui-se que a distribuição é levemente Platicúrtica.
LISTA DE EXERCÍCIOS 10:
Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de freqüência:
Distribuições
Média
Moda
A
52
52
B
45
50
C
48
46
Determine o tipo de simetria de cada uma delas.
Uma distribuição de freqüência apresenta as seguintes medidas: Média = 48,1, Mediana = 47,9 e Desvio Padrão = 12,45. Calcule o coeficiente de assimetria.
Considere as seguintes medidas relativas a três distribuições de freqüência:
Distribuições
Q1
Q3
P10
P90
A
814
935
772
1012
B
63,7
80,3
55
86,6
C
28,8
45,6
20,5
49,8
Calcule os respectivos graus de curtose
Classifique cada uma das distribuições em relação à curva normal
Considere a seguinte distribuição de freqüência relativa ao peso de 100 operários:
Distribuição A
Peso (kg)
f i
50 
 58
10
58 
 66
15
66 
 74
25
74 
 82
24
82 
 90
16
90 
 98
10
TOTAL
100
Determine o grau de assimetria
Calcule o grau de curtose
Classifique a distribuição em relação à curva normal
�
UNIDADE 11: PROBABILIDADE
EXPERIMENTO ALEATÓRIOExperimentos Aleatórios são aqueles que, mesmo repetido várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
ESPAÇO AMOSTRAL ( S )
Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento.
Exemplos:
Lançamento de uma moeda: S = { cara; coroa }
Lançamento de um dado: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Lançamento de duas moedas: S = { (cara, cara); (cara, coroa); (coroa, coroa); (coroa, cara) }
PONTO AMOSTRAL
Ponto Amostral é cada um dos elementos do Espaço Amostral, que corresponde a um resultado.
EVENTO ( E )
Evento é qualquer subconjunto do Espaço Amostral de um determinado Experimento Aleatório.
Seja E ( S (evento E contido no Espaço Amostral); então:
Se E = S ( E é chamado “Evento Certo”.
Se E ( S ( E é chamado “Evento Elementar”.
Se E = ( ( E é chamado “Evento Impossível”.
Exemplo: No lançamento de um dado, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
 A = { 2, 4, 6 } ( S ( A é um evento de S
 B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ( S ( B é um evento certo de S
 C = { 4 } ( S ( C é um evento elementar de S
 D = { 9 } ( S ( D é um evento impossível de S
PROBABILIDADE ( P )
Dado um Experimento Aleatório, sendo S o seu Espaço Amostral, considere que todos elementos de S tenham a mesma chance de ocorrer, ou seja, S é um conjunto equiprovável. 
Assim, a probabilidade de um evento A ( A ( S ) ocorrer é dada por:
Exemplo: Qual a probabilidade de sair CARA em um lançamento de uma moeda?
Exemplo: Qual a probabilidade de sair um Nº PAR em um lançamento de um dado?
Exemplo: Qual a probabilidade de sair um Nº MENOR OU IGUAL A 6 em um lançamento de um dado?
Exemplo: Qual a probabilidade de sair o Nº 4 em um lançamento de um dado?
Exemplo: Qual a probabilidade de sair um Nº MAIOR QUE 6 em um lançamento de um dado?
Pelos resultados dos exemplos anteriores, pode-se concluir que:
A probabilidade de ocorrência de um evento certo é igual a 1.
A probabilidade de ocorrência de um evento impossível é zero.
A probabilidade de ocorrência de um evento qualquer é um nº entre 0 e 1.
A probabilidade de ocorrência de um evento elementar é 1 / n.
EVENTOS COMPLEMENTARES
Sendo “ p “ a probabilidade que um evento ocorra (sucesso) e “ q “ a probabilidade que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação:
Assim, se a probabilidade de se realizar um evento é p = 0,25, a probabilidade de que ele não ocorra é:
q = 0,75.
Exemplo: Sabendo que a probabilidade de tirar o nº 4 em um lançamento de um dado é 1/ 6; detrmine a probabilidade de não tirar o nº 4.
EVENTOS INDEPENDENTES
Dois eventos são independentes quando a realização (ou não realização) de um dos eventos não afeta a probabilidade de realização do outro e vice-versa.
Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização de cada evento:
Exemplo: Lançando 2 dados simultaneamente, determine a probabilidade de obtermos o nº 1 no primeiro e o nº 5 no segundo dado.
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização (ou não realização) de um dos eventos exclui a probabilidade de realização do(s) outro(s).
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de realização de cada evento:
Exemplo: Lançando 1 dado, determine a probabilidade de obtermos o nº 1 ou o nº 5.
LISTA DE EXERCÍCIOS 11:
Qual a probabilidade de sair o ás de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 caras?
Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?
Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule:
A probabilidade dessa peça ser defeituosa.
A probabilidade de essa peça não ser defeituosa.
No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade se obter soma igual a 5.
De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus?
Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?
De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual é a probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus?
Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?
Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?
No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número não inferior a 5?
São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual é a probabilidade de tirarmos uma dama e um rei, não necessariamente nessa ordem?
Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade de a soma ser 10 ou maior que 10.
�
UNIDADE 12: DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E DISTRIBUIÇÃO NORMAL
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE: NOÇÃO INTUITIVA
Considere a distribuição de freqüência relativa ao nº de acidentes diários em um estacionamento (coletados em um mês):
Nº Acidentes
f i
0
22
1
5
2
2
3
1
TOTAL
30
Em 1 dia, a probabilidade de não ocorrer acidentes é: 
Em 1 dia, a probabilidade de ocorrer 1 acidente é: 
Em 1 dia, a probabilidade de ocorrer 2 acidentes é: 
Em 1 dia, a probabilidade de ocorrer 3 acidentes é: 
Assim, pode-se criar uma Distribuição de Probabilidade:
Nº Acidentes
Probabilidade
0
0,73
1
0,17
2
0,07
3
0,03
TOTAL
1
Exemplo: Mostre a Distribuição de Probabilidade de um lançamento de dados
Nº (X)
Probabilidade
1
1 / 6
2
1 / 6
3
1 / 6
4
1 / 6
5
1 / 6
6
1 / 6
TOTAL
1
DEFINIÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
Seja uma variável aleatória X, que pode assumir os valores x1, x2, x3, .....xn, correspondentes aos pontos do espaço amostral. Assim, a cada valor de xi associa-se uma probabilidade pi de ocorrência, de forma que:
Os valores de xi (x1, x2, x3, .....xn ) e de pi (p1 , p2,, p3, .....pxn ) definem uma Distribuição de Probabilidade.
Ao se definir a Distribuição de Probabilidade, estabelece-se uma correspondência unívoca entre os valores da variável aleatória X e os seus valores de p. A Função de Probabilidade é representada por:
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Considere as seguintes condições de um experimento:
O experimento pode ser repetido nas mesmas condições finitas vezes ( n ).
A repetição dos experimentos devem ser independentes.
Em cada experimento devem aparecer dois resultados possíveis: “sucesso” ou “insucesso”.
A probabilidade de sucesso ( p ) e a probabilidade de insucesso ( q ) se mantêm constantes ao longo das repetições.
Nestas condições, podem-se resolver problemas da seguinte natureza:
“Determinar a probabilidade de se obter “k” sucessos em “n” tentativas”
O cálculo das probabilidades pode ser dado por:
: é a probabilidade de que o evento se realize “k” vezes em “n” experimentos.
: é a probabilidade de sucesso em um único experimento.
: é a probabilidade de insucesso em um único experimento.
: Coeficiente Binomial
Esta expressão define a Distribuição Binomial.
Exemplo: Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras.
Exemplo: Doistimes de futebol A e B jogam entre si, 6 vezes. Encontre a probabilidade do time A ganhar 4 jogos.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Características da Distribuição Normal:
A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real.
A representação gráfica da Distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média (Curva de Gauss)
A área limitada pela curva e o eixo das abscissas é igual a 1.
A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas.
O cálculo das probabilidade pode ser feito com a utilização da Distribuição Normal Reduzida (média (x = 0 e desvio padrão = 1), com uma variável auxiliar (z):
Distribuição Normal Reduzida de 0 a Z
z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0200
0,0240
0,0280
0,0320
0,0359
0,1
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0754
0,2
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,3
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,4
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,5
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,6
0,2258
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2518
0,2549
0,7
0,2580
0,2612
0,2642
0,2673
0,2704
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,8
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2996
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,9
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
1,0
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
1,1
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
1,2
0,3849
0,3869
0,3888
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
1,3
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
1,4
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
1,5
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
1,6
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
1,7
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
1,8
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
1,9
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
2,0
0,4772
0,4778
0,4783
0,4788
0,4793
0,4798
0,4803
0,4808
0,4812
0,4817
Exemplo: Seja x a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos em uma máquina. Suponha que essa variável siga uma Distribuição Normal com média ((x ) = 2 cm e com um desvio padrão ( s ) = 0,04 cm. Qual a probabilidade que um parafuso tenha o diâmetro entre 2 e 2,05 cm?
LISTA DE EXERCÍCIOS 12:
Determine a probabilidade de obtermos exatamente 3 caras em 6 lances de uma moeda.
Jogando-se um dado 3 vezes, determine a probabilidade de se obter um múltiplo de 3 duas vezes.
Dois times de futebol A e B jogam entre si, 6 vezes. Encontre a probabilidade do time A:
Ganhar 2 jogos ou 3 jogos.
Ganhar pelo menos 1 jogo.
A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 2 / 3. Se ele atirar 5 vezes, qual a probabilidade de acertar exatamente 2 tiros?
Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de um máquina, que apresenta 10% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos dois desses parafusos?
Para a distribuição Normal, calcule as probabilidade:
P ( -1,25 < z < 0 )
P ( -0,5 < z < 1,48 )
P ( 0,8 < z < 1,23 )
P ( z > 0,60 )
P ( z < 0,92 )
�
UNIDADE 13: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
CORRELAÇÃO
Quando duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística, dizemos que existe uma correlação entre elas.
Exemplo: Considere uma amostra formada por 10 alunos de uma escola e suas respectivas notas de matemática (X) e de estatística (Y):
Nº
Notas
Matemática (X)
Estatística (Y)
01
5
6
08
8
9
24
7
8
38
10
10
44
6
5
58
7
7
59
9
8
72
3
4
80
8
6
92
2
2
Os pontos obtidos revelam a existência de uma correlação linear positiva entre as notas de matemática e estatística, ou seja, há um aumento linear das notas de matemática e estatística.
TIPOS DE CORRELAÇÃO:
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
Para se determinar a medida de correlação linear, pode-se utilizar o Coeficiente de Correlação de Pearson:
Os valores de r estão entre –1 e 1. Assim:
Se r = 1: Correlação Linear Positiva
Se r = -1: Correlação Linear Negativa
Se r = 0: Não há Correlação Linear 
REGRESSÃO
A Análise de Regressão tem por objetivo descrever, por meio de um modelo matemático, a relação entre duas variáveis, a partira de “ n “ dados.
Assim, supondo X a variável independente e Y a variável dependente, pode-se determinar um ajuste linear dessas variáveis:
Y = aX + b
Sendo a e b os coeficientes da reta definidos por:
Exemplo: Considere a Distribuição a seguir. Determine uma equação linear para correlação das variáveis.
Nº
Notas
xi yi
xi2
Matemática (X)
Estatística (Y)
01
5
6
30
25
08
8
9
72
64
24
7
8
56
49
38
10
10
100
100
44
6
5
30
36
58
7
7
49
49
59
9
8
72
81
72
3
4
12
9
80
8
6
48
64
92
2
2
4
4
Total
65
65
473
481
Logo a Equação da Reta que melhor representa a relação entre as variáveis é:
Y = 0,86 x + 0,89
INTERPOLAÇÃO E EXTRAPOLAÇÃO
No exemplo anterior, não havia o valor de x = 4. Para se estimar o valor correspondente de y para x = 4, pode-se utilizar a equação dada pela análise de regressão:
Para x = 4 ( y = 0,86 . 4 + 0,89 = 4,33
Neste caso, houve uma interpolação de valores de x e uma extrapolação dos valores de y
LISTA DE EXERCÍCIOS 13:
Considere a Distribuição a seguir. Determine uma equação linear para correlação das variáveis.
(X)
(Y)
2
30
4
25
6
22
8
18
10
15
12
11
14
10
( 56
( 131
�
UNIDADE 14: NOÇÕES BÁSICAS DE EXCEL
INTRODUÇÃO
Este material foi elaborado com o intuito de apresentar algumas das ferramentas de análise disponíveis no Excel para Análise de dados (análise estatística). As informações aqui compiladas, quase em sua totalidade, foram extraídas da Ajuda do Microsoft Excel 2000, o qual disponibiliza explicações detalhadas dos seus recursos.
RECURSOS
Classificar linhas com base no conteúdo de duas ou mais colunas
Para obter melhores resultados, a lista classificada deve apresentar rótulos de colunas.
Clique em uma célula da lista que você deseja classificar. No menu Dados, clique em Classificar.
Nas caixas Classificar por e Em seguida por, clique nas colunas que você deseja classificar. Se você desejar classificar por mais de três colunas, classifique primeiro pelas colunas menos importantes. Por exemplo, se a sua lista contém informações sobre um experimento e você precisa organizá-la por Salinidade, pH, Concentração inicial, Concentração final, classifique a lista duas vezes. Primeiro, clique em Concentração final, na caixa Classificar por e classifique a lista. Em seguida, clique em Salinidade na caixa Classificar por, clique em pH na primeira caixa Em seguida por, e clique em Concentração inicial na segunda caixa Em seguida por, e classifique a lista.
Selecione quaisquer outras opções de classificação desejadas e, em seguida, clique em OK.
Repita as etapas 2 a 4, se necessário, usando as colunas seguintes mais importantes.
Fórmulas
Fórmula ( uma seqüência de valores, referências de célula, nomes, funções ou operadores de uma célula que juntos produzem um novo valor. Uma fórmula começa sempre com um sinal de(=).
As fórmulas calculam valores segundo uma ordem específica. Uma fórmula no Microsoft Excel sempre começa com um sinal de igual (=). O sinal de igual informa ao Excel que os caracteres a seguir constituem uma fórmula. Depois do sinal de igual estão os elementos a serem calculados (os operandos), que são separados por operadores de cálculo. O Excel calcula a fórmula da esquerda para a direita, de acordo com uma ordem específica para cada operador da fórmula. Você pode alterar a ordem das operações usando parênteses.
No exemplo abaixo, os parênteses na primeira parte da fórmula forçam o Excel a calcular B4+25 primeiro e, em seguida, dividir o resultado pela soma dos valores nas células D5, E5 e F5.
=(B4+25)/SOMA(D5:F5)
Inserir uma fórmula
Clique na célula na qual você deseja inserir a fórmula.
Digite = (um sinal de igual).
Se você clicar em Editar fórmula ou em Colar função , o Microsoft Excel inserirá um sinal de igual para você.
Insira a fórmula.
Pressione ENTER.
Inserir uma fórmula que contém uma função
Clique na célula na qual você deseja inserir a fórmula.
Para iniciar a fórmula com a função, clique em Editar fórmula na barra de fórmulas. Clique na seta abaixo próxima à caixa Funções .
Clique na função que você deseja adicionar à fórmula. Se a função não aparecer na lista, clique em Mais funções para obter uma lista de funções adicionais.
Insira os argumentos
Ao concluir a fórmula, pressione ENTER.
FUNÇÕES
Uso de funções pré-definidas para calcular valores
As funções são fórmulas predefinidas que efetuam cálculos usando valores específicos, denominados argumentos, em uma determinada ordem ou estrutura. Por exemplo, a função SOMA adiciona valores ou intervalos de células.
ALEATÓRIO (Rand)
Retorna um número aleatório maior ou igual a 0 e menor que 1 distribuído igualmente. Um novo número aleatório é retornado toda vez que a planilha for calculada.
Sintaxe ( ALEATÓRIO( )
Comentários: 
Para gerar um número real aleatório entre a e b, use: ALEATÓRIO()*(b-a)+a
Se você quiser utilizar ALEATÓRIO para gerar um número aleatório, mas não quiser mudar os números toda vez que a célula for calculada, poderá inserir =ALEATÓRIO() na barra de fórmula e pressionar F9 a fim de mudar a fórmula para um número aleatório.
Exemplos: Para gerar um número aleatório maior ou igual a 0, mas menor que 100, digite: RAND()*100
ALEATÓRIOENTRE (Randbetween)
Retorna um número aleatório entre os números especificados. Um novo número aleatório será retornado sempre que a planilha for calculada.
Se esta função não estiver disponível, execute o Programa de Instalação para instalar as Ferramentas de análise. Após instalar as Ferramentas de análise, é necessário ativá-las selecionando o comando Suplementos no menu Ferramentas.
Sintaxe à ALEATÓRIOENTRE (inferior;superior)
Inferior é o menor inteiro que ALEATÓRIOENTRE retornará.
Superior é o maior inteiro que ALEATÓRIOENTRE retornará.
SOMA
Retorna a soma de todos os números na lista de argumentos.
Sintaxe ( SOMA(núm1;núm2; ...)
Exemplos:
SOMA(3; 2) é igual a 5
SOMA(A2:C2) é igual a 50
SOMA(B2:E2; 15) é igual a 150
MÉDIA
Retorna a média aritmética dos argumentos.
Sintaxe ( MÉDIA(núm1;núm2; ...)
Dica : Ao calcular a média das células, lembre-se da diferença entre as células vazias e as que contêm o valor nulo, sobretudo se você tiver desmarcado a caixa de seleção Valores zero na guia Exibir comando Opções, menu Ferramentas. As células vazias não são contadas, mas aquelas que contêm valores nulos são.
Exemplos:
Se A1:A5 se chamar Pontos e contiver os números 10, 7, 9, 27 e 2, então:
MÉDIA(A1:A5) é igual a 11
MÉDIA(Pontos) é igual a 11
MED
Retorna a mediana dos números indicados. A mediana é o número no centro de um conjunto de números; isto é, metade dos números possui valores que são maiores do que a mediana e a outra metade possui valores menores.
Sintaxe ( MED(núm1;núm2; ...)
Se houver um número igual de números no conjunto, então MED calcula a média dos dois números do meio. Consulte o segundo exemplo a seguir.
Exemplos:
MED(1; 2; 3; 4; 5) é igual a 3
MED(1; 2; 3; 4; 5; 6) é igual a 3,5, a média de 3 e 4
DESVPAD
Calcula o desvio padrão a partir de uma amostra. O desvio padrão é uma medida do grau de dispersão dos valores em relação ao valor médio (a média).
Sintaxe ( DESVPAD(núm1;núm2;...)
DESVPAD considera que seus argumentos são uma amostra da população. Se seus dados representarem a população toda, você deverá calcular o desvio padrão usando DESVPADP.
desvio padrão é calculado usando o método "não-polarizado" ou "n-1".
DESVPAD usa a seguinte fórmula:
Exemplos:
Suponha que 10 ferramentas feitas na mesma máquina durante a produção são coletadas como uma amostra aleatória e medidas em termos de resistência à ruptura. Os valores da amostra (1345, 1301, 1368, 1322, 1310, 1370, 1318, 1350, 1303, 1299) são armazenados em A2:E3, respectivamente.
DESVPAD estima o desvio padrão da resistência à ruptura para todas as ferramentas.
DESVPAD(A2:E3) é igual a 27,46
DESVPADP
Calcula o desvio padrão com base na população total fornecida como argumentos. O desvio padrão é uma medida do grau de dispersão dos valores em relação ao valor médio (a média).
Sintaxe ( DESVPADP(núm1;núm2;...)
DESVPADP considera que seus argumentos são a população inteira. Se os dados representarem uma amostra da população, você deverá calcular o desvio padrão usando DESVPAD.
Para tamanhos grandes de amostras, DESVPAD e DESVPADP retornam valores aproximadamente iguais.
DESVPADP usa a seguinte fórmula:
VAR
Estima a variância a partir de uma amostra de uma população.
Sintaxe ( VAR(núm1;núm2; ...)
VAR considera que os argumentos são uma amostra da população. Se os dados representarem toda a população, você deverá calcular a variância usando VARP.
VAR usa a seguinte fórmula:
Exemplos:
Suponha que 10 ferramentas feitas na mesma máquina durante um processo de produção sejam coletadas como uma amostra aleatória e medidas em termos de resistência à ruptura. Os valores da amostra (1345, 1301, 1368, 1322, 1310, 1370, 1318, 1350, 1303, 1299) são armazenados em A2:E3, respectivamente. VAR estima a variância para a resistência à ruptura das ferramentas.
VAR(A2:E3) é igual a 754,3
VARP
Calcula a variância com base na população total.
Sintaxe ( VARP(núm1;núm2; ...)
VARP considera que seus argumentos são para a população toda. Se os dados representarem uma amostra da população, você deverá calcular a variância usando VAR.
A equação para VARP é:
Exemplos:
Usando os dados do exemplo VAR e considerando que apenas 10 ferramentas são produzidas durante o processo de produção, VARP mede a variância da resistência à ruptura para todas as ferramentas.
VARP(A2:E3) é igual a 678,8
MODO
Retorna o valor que ocorre com mais freqüência (moda) em uma matriz ou intervalo de dados.
Assim como MED, MODO é uma medida de local.
Sintaxe à MODO(núm1;núm2; ...)
Exemplos: MODO({5,6. 4. 4. 3. 2. 4}) é igual a 4
QUARTIL
Retorna o quartil do conjunto de dados. Quartis são normalmente usados em dados de vendas e de pesquisas para dividir a população em grupos. Por exemplo, você pode usar QUARTIL para descobrir 25% de maior renda de uma população.
Sintaxe ( QUARTIL(matriz;quarto)
Matriz é a matriz ou intervalo de célula de valores numéricos cujo valor quartil você deseja obter.
Quarto indica o valor a ser retornado
Se quarto for igual a QUARTIL retornará
0 Valor mínimo
1 Primeiro quartil (25º percentil)
2 Valor médio (50º percentil)
3 Terceiro quartil (75º percentil)
4 Valor máximo
Comentários:
Se matriz estiver vazio ou contiver mais de 8.191 pontos de dados, QUARTIL retornará o valor de erro #NÚM!.