Exercicios de Vetores

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Vetores no plano Cartesiano 
 
1) Definição de vetor 
 
Um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma 
direção, mesmo sentido e mesmo módulo (intensidade). 
 
1. A direção é a da reta que contém o segmento. 
2. O sentido é dado pelo sentido do movimento. 
3. O módulo é o comprimento do segmento. 
 
Uma quarta característica de um vetor é formada por dois pares ordenados: o ponto onde ele começa 
(origem) e um outro ponto onde ele termina (extremidade) e as coordenadas do vetor são dadas pela 
diferença entre as coordenadas da extremidade e as coordenadas da origem. 
Observação: Existe uma definição, não necessariamente geométrica, muito mais ampla do conceito de 
vetor envolvendo uma gama variada de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, 
soluções de equações diferenciais, etc. 
Exemplo: Se um vetor v tem origem em (1,2) e extremidade em (7,12), ele é dado por v= (6,10), pois: 
 
v = (7,12)-(1,2) = (6,10) 
 
Esta classe de objetos é representada por um segmento de reta (representante) desta família que tem 
as mesmas características. 
 
 
 
O representante escolhido, quase sempre é o vetor com a origem está em (0,0) e a extremidade em 
(a, b) no plano cartesiano e que será denotado por 
 
v = (a, b) 
 
 
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2) Soma de vetores e suas propriedades 
 
Se v= (a, b) e w= (c, d), definimos a soma dos vetores v e w, por: 
v + w = (a+c, b+d) 
 
Propriedades da soma de vetores 
1. Fecho: Para quaisquer u e v de R², a soma u+v está em R². 
 
2. Comutativa: Para todos os vetores u e v de R²: 
v + w = w + v 
 
3. Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R²: 
u + (v + w) = (u + v) + w 
 
4. Elemento neutro: Existe um vetor Ø=(0,0) em R² tal que para todo vetor u de R², se tem: 
Ø + u = u 
 
5. Elemento oposto: Para cada vetor v de R², existe um vetor -v em R² tal que: 
v + (-v) = Ø 
 
3) Aplicações geométricas 
 
Ponto médio de um segmento: Dado um segmento de reta, cujas extremidades são também as 
extremidades dos vetores v1= (x1, y1) e v2= (x2, y2), o ponto médio deste segmento é dado por m= (x, y) 
onde 
x= (x1 + x2)/2 e y= (y1 + y2)/2 
 
Centro de gravidade de um triângulo: Tomemos os vértices de um triângulo como às extremidades dos 
vetores v1= (x1, y1), v2= (x2, y2) e v3= (x3, y3). 
 
 O centro de gravidade deste triângulo é dado pelo vetor g= (x, y) onde 
x= (x1 + x2 + x3)/3 e y= (y1 + y2 + y3)/3 
 
 
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4) Diferença de vetores 
 
Se v= (a, b) e w= (c, d), definimos a diferença entre v e w, por: 
v-w = (a-c, b-d) 
 
 
5) Produto por escalar e suas propriedades 
 
Se v= (a, b) é um vetor e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v, por: 
k.v = (ka, kb) 
 
6) Propriedades do produto de escalar por vetor 
 
Quaisquer que sejam a e b escalares, v e w vetores: 
1. 1 v = v 
2. (ab) v = a (b v) = b (a v) 
3. Se a v = b v e v é um vetor não nulo, então a = b. 
4. a (v + w) = a v + a w 
5. (a + b) v = a v + b v 
 
Exercício: 
 
 Dados os vetores v= (3,4) e w= (8,12), construa no plano cartesiano os vetores: v, w, -v, -w, v+w e v-w. 
 
 
7) Módulo de um vetor e suas propriedades 
 
O módulo ou comprimento do vetor v= (a, b) é um número real não negativo, definido por: 
 
 
 
Vetor unitário: é um vetor que tem o módulo igual a 1. 
 
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Exercício: 
 
 Mostrar que para todo t real, o vetor v= (cos(t), sen(t)) é unitário. 
Observações 
 
1. Existem dois vetores unitários, que formam a base canônica para o espaço R², dados por: 
i= (1,0) e j= (0,1) 
 
2. Para obter um vetor de v, que é um vetor unitário u com a mesma direção e sentido que o vetor 
v, basta dividir o vetor v pelo módulo de v, isto é: 
 
 
3. Para obter um vetor w paralelo a um vetor v, basta tomar w=kv onde k é um escalar não nulo. 
Nesse caso, w e v serão paralelos. 
 
a. Se k=0 então w será o vetor nulo. 
b. Se 0<k<1 então |w|<|v|. 
c. Se k>1 então |w|>|v|. 
d. Se k<0 então w tem sentido oposto ao de v. 
 
4. Todo vetor v= (a, b) do plano cartesiano possui uma projeção horizontal (sobre o eixo OX) que é 
o vetor a i e uma projeção vertical b j (sobre o eixo OY) e o vetor v pode ser escrito como a soma 
destas projeções: 
v = a i + b j 
 
Exercício: 
 
Qual é a projeção vertical do vetor v= (3,4)? Qual é o módulo deste vetor? Esboce um gráfico desta 
situação no plano R². 
 
 
 
 
 
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8) Produto escalar 
 
Dados os vetores v= (a, b) e w= (c, d), definimos o produto escalar ou produto interno entre os vetores v 
e w, como o número real obtido por: 
v.w = a.c + b.d 
 
Exemplos: O produto escalar entre v= (2,5) e w= (-7,12) é dado por: 
v.w = 2. (-7) + 5. (12) = 56 
 
O produto escalar entre v= (2,5) e w= (-5,2) é: 
v.w = 2. (-5) + 5. (2) = 0 
 
Exercício: 
 
Faça um gráfico em R², com muito cuidado nas medidas e mostre as posições dos vetores v e w do 
último exemplo. 
 
Propriedades do produto escalar: Quaisquer que sejam os vetores, u, v e w e k escalar: 
 
1. v.w = w.v 
2. v.v = |v| |v| = |v|² 
3. u. (v+w) = u.v + u.w 
4. (kv). w = v.(kw) = k(v.w) 
5. |kv| = |k||v| 
6. |u.v|<|u||v| (desigualdade de Schwarz) 
7. |u+v|<|u|+|v| (desigualdade triangular) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9) Ângulo entre dois vetores 
 
Outra forma de escrever o produto escalar entre os vetores v e w é v.w=|v||w|cos(q) onde q é o ângulo 
formado entre v e w. 
 
 
 
Com ela, podemos obter o ângulo q entre dois vetores quaisquer v e w, pois: 
 
 
 
desde que nenhum dos vetores seja nulo. Neste caso 0<q<pi=3, 1416... 
 
Exercício: 
 
 Faça uma análise quando q=0, q=pi/2 e q=pi. Determine o ângulo entre os vetores v=(1,0) e w=(1,1). 
Nunca se esqueça de construir gráficos com esses objetos vetoriais. 
 
 
10) Vetores ortogonais 
 
 
Dois vetores v e w são ortogonais se: 
v.w = 0 
 
Exercício: 
 
Dado o vetor v= (3,7), obtenha pelo menos dois vetores do plano que sejam ortogonais a v. Construa 
geometricamente estes vetores. 
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11) Vetores paralelos 
 
 
Dois vetores v e w são paralelos se existe uma constante real k diferente de zero, tal que: 
 
v = k w 
 
Exercício: 
 
Obter pelo menos dois vetores do plano que sejam paralelos ao vetor v= (3,7). Construa 
geometricamente estes vetores.