Lista 1

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Exerc´ıcios de Ana´lise Real
Vinicius Cabral da Silva
(1) Prove que
1
1 · 2 +
1
2 · 3 + · · ·+
1
n(n + 1)
=
n
n + 1
.
Demonstrac¸a˜o. Provaremos por induc¸a˜o sobre n.
Para n = 1 a sentenc¸a e´ verdadeira, pois
1
1 · (1 + 1) =
1
2
=
1
1 + 1
.
Suponha a sentenc¸a verdadeira para algum n = k e provaremos que a mesma vale para
n = k + 1.
Enta˜o
n∑
k=1
1
k(k + 1)
+
1
(k + 1)(k + 2)
=
k
k + 1
+
1
(k + 1)(k + 2)
=
k(k + 2) + 1
(k + 1)(k + 2)
=
k2 + 2k + 1
(k + 1)(k + 2)
=
(k + 1)2
(k + 1)(k + 2)
=
k + 1
k + 2
(2) Prove que n3 + 5n e´ divis´ıvel 6 para todo n ∈ N.
Demonstrac¸a˜o. Provaremos por induc¸a˜o sobre n.
Temos que 6|13 + 5 · (1) = 6.
Suponha que 6|(k3 + 5k) para algum k ∈ N.
Logo, (k + 1)3 + 5(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 5k + 5 = k3 + 5k + 3k2 + 3k + 6 =
k3 + 5k + 3(k2 + k + 2).
Por hipo´tese de induc¸a˜o 6|(k3 +5k) e como 6|3(k2 +k+2), temos que 6|(k3 +5k)+3(k2 +
k + 2) = (k + 1)3 + 5(k + 1).
(3) Conjecture uma fo´rmula para a soma dos primeiros n nu´meros naturais ı´mpares 1 +
3 + 5 + · · ·+ (2n− 1), e prove sua fo´rmula usando induc¸a˜o matema´tica.
Demonstrac¸a˜o. 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1)
1 + 3 = 4 = 22, 1 + 3 + 5 = 9 = 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42, · · ·
Conjectura-se que 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2.
Provaremos por induc¸a˜o sobre n.
Para n = 1, temos 1 = 12.
Suponha a conjectura verdadeira para n = k.
Logo, 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1) = (k + 1)2.
Donde obtemos o resultado va´lido para todo n ∈ N.
(4) Prove que o conjunto P dos nu´meros primos e´ infinito.
1
Demonstrac¸a˜o. Suponha que p1, p2, · · · , pn sejam todos os nu´meros primos, e considere o
nu´mero N = p1p2 · · · pn + 1 > 1. Pela existeˆncia da decomposic¸a˜o de um nu´mero em fatores
primos, existe algum pj primo, 1 ≤ j ≤ n tal que pj|N . Mas enta˜o pj|N − p1p2 · · · pn = 1,
absurdo.
(5) Sejam x1, x2, · · · , xn nu´meros reais. Prove que
|x1 + x2 + · · ·+ xn| ≤ |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn|.
Demonstrac¸a˜o. Provaremos por induc¸a˜o sobre o nu´mero n de termos.
Para n = 2, o resultado e´ va´lido pela desigualdade triaˆngular.
Suponha o resultado va´lido para os n primeros termos, isto e´,∣∣∣∣∣
n∑
i=1
xi
∣∣∣∣∣ ≤
n∑
i=1
|xi|
Enta˜o: ∣∣∣∣∣
n+1∑
i=1
xi
∣∣∣∣∣ = |x1 + x2 + · · ·+ xn + xn+1| ≤
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
xi
∣∣∣∣∣+ |xn+1|.
Por hipo´tese de induc¸a˜o,
∣∣∣∣ n∑
i=1
xi
∣∣∣∣ ≤ n∑
i=1
|xi|.
Portanto,
∣∣∣∣n+1∑
i=1
xi
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ n∑
i=1
xi
∣∣∣∣+ |xn+1| ≤ n∑
i=1
|xi|+ |xn+1|.
(6) Prove o segundo princ´ıpio da induc¸a˜o.
Seja X ⊂ N um conjunto com a seguinte propriedade: dado n ∈ N, se X conte´m todos
os nu´meros naturais m tais que m < n, enta˜o n ∈ X. Nestas condic¸o˜es, X = N.
Demonstrac¸a˜o. Seja Y = N −X. Afirmamos que Y = ∅. Com efeito, se Y na˜o fosse vazio,
existiria um elemento mı´nimo p ∈ Y . Enta˜o, para todo nu´mero natural m < p, seria m ∈ X.
Pela hipo´tese feita sobre X, ter´ıamos p ∈ X, uma contradic¸a˜o.
(7) Se r e´ racional, r 6= 0 e x e´ irracional, prove que r + x e rx sa˜o irracionais.
Demonstrac¸a˜o. Suponha que r + x seja racional. Enta˜o r + x = a/b com a, b ∈ Z e como r
e´ racional, podemos escrever r = c/d com c, d ∈ Z. Logo, r + x = (c/d) + x = a/b⇐⇒ x =
(a/b)− (c/d) = (a/b) + (−c/d).
Como o conjunto Q dos nu´meros racionais e´ um corpo, a adic¸a˜o de dois nu´meros racionais
e´ um nu´mero racional, logo x e´ racional, absurdo.
De maneira ana´loga, suponha que rx seja racional, enta˜o rx =
a
b
com a, b ∈ Z e r = c
d
com c, d ∈ Z. Logo, rx = c
d
· x = a
b
, donde x =
ad
bc
e como Z e´ um anel, ad ∈ Z e bc ∈ Z.
Portanto x e´ racional, absurdo.
2
(8) Determine o nu´mero de elementos em P(S), a colec¸a˜o de todos os subconjuntos de S,
para cada um dos seguintes conjuntos:
(a) S = {1, 2};
P(S) = {∅, S, {1}, {2}} =⇒ card P(S) = 4
(b) S = {1, 2, 3};
P(S) = {∅, S, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} =⇒ card P(S) = 8
(c) S = {1, 2, 3, 4}.
P(S) = {∅, S, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3},
{1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 4}} =⇒ card P(S) = 16
(9) Sejam x ∈ R e A = {r ∈ R; r ∈ Q, x < r}. Mostre que x = inf A.
Demonstrac¸a˜o. Seja c ∈ R com x < c; considere o intervalo [x, c]. Como todo intervalo na˜o
degenerado conte´m nu´meros racionais e irracionais, enta˜o existe z ∈ [x, c] ∩ Q, logo z ∈ A,
pois x < z e como z < c, x = inf A
(10) Prove que um conjunto na˜o-vazio T1 e´ finito se, e somente se, existe uma bijec¸a˜o de
T1 para um conjunto finito T2.
Demonstrac¸a˜o. Seja T1 um conjunto finito. Logo existe n ∈ N e uma bijec¸a˜o f : In −→ T1,
onde In = {p ∈ N; p ≤ n}. Como In e´ finito, basta tomar T2 = In e enta˜o, a inversa
g : T1 −→ In tambe´m e´ uma bijec¸a˜o.
Reciprocamente, suponha que existe uma bijec¸a˜o f : T1 −→ T2 com T2 finito. Como f
e´ sobrejetiva, enta˜o para cada y ∈ T2, ∃ x ∈ T1 de modo que f(x) = y; e como f tambe´m
e´ injetiva podemos por y1 = f(x1), y2 = f(x2), · · · , yn = f(xn). Portanto, T1 deve ser
finito.
(11) Prove que T1 e´ enumera´vel se, e somente se, existe uma bijec¸a˜o de T1 para um
conjunto enumera´vel T2.
Demonstrac¸a˜o. Seja T1 um conjunto enumera´vel. Se T1 for finito, enta˜o existe uma bijec¸a˜o
f : In −→ T1, onde In = {p ∈ N; p ≤ n}. Logo a inversa g : T1 −→ In e´ bijetiva e como In e´
finito, enta˜o e´ enumera´vel. Se T1 na˜o for finito, consideremos a aplicac¸a˜o ϕ : T1 −→ N que e´
uma bijec¸a˜o de T1 sobre um subconjunto T2 ⊂ N o qual e´ enumera´vel.
Reciprocamente, suponha que existe uma bijec¸a˜o f : T1 −→ T2 onde T2 e´ enumera´vel. Se
T1 for finito, na˜o ha´ o que demonstrar. Enta˜o suponha T1 infinito e consideremos o caso em
que existe uma bijec¸a˜o ϕ : T2 −→ N. Enta˜o ϕ ◦ f : T1 −→ N e´ uma bijec¸a˜o de T1 sobre um
subconjunto de N, o qual e´ enumera´vel, pois todo subconjunto de N e´ enumera´vel.
(12) Seja X um conjunto com n elementos. Use induc¸a˜o para provar que o conjunto das
bijec¸o˜es (ou permutac¸o˜es) f : X −→ X tem n! elementos.
3
Demonstrac¸a˜o. Vamos mostrar que e´ va´lido para n = 1.
Temos X = {x1} e f : X −→ X e´ tal que f(x1) = x1; logo, o conjuntos das bijec¸o˜es sobre
f tem 1! = 1 elemento.
Vamos supor ser va´lido para n = k.
Tomemos X = {x1, x2, · · · , xk} e f : X −→ X. Por hipo´tese de induc¸a˜o, o conjunto das
bijec¸o˜es sobre f tem k! elementos.
Vamos provar que e´ va´lido para n = k + 1.
Tomemos X ∪ {xk+1} = {x1, x2, · · · , xk, xk+1}. Fixemos f(x1) = f(xk+1) e permutamos
os k elementos restantes, assim temos que o conjunto das bijec¸o˜es de k elementos tem k!
elementos. Fixemos f(xi) = f(xk+1), i ∈ {1, 2, · · · , n + 1}. Assim o conjunto das bijec¸o˜es
sobre f : X ∪ {xk+1} −→ X ∪ {xk+1} tem (k + 1) · k! = (k + 1)! elementos.
(13) Use induc¸a˜o matema´tica para provar que se o conjunto S tem n elementos, enta˜o
P(S) tem 2n elementos.
Demonstrac¸a˜o. Consideremos com P (n) a afirmac¸a˜o de que se um conjunto possui n elemen-
tos enta˜o ele tem 2n subconjuntos.
Para n = 1, P (n) e´ verdadeira, pois se S = {a}, P(S) = {∅, {a}} =⇒ card P(S) = 21 =
2.
Supomos P (n) verdadeira para um conjunto com n elementos e verificaremos para um
conjunto S com n + 1 elementos.
Para um conjunto com n+1 elementos, vamos fixar um elemento a ∈ S. Seja S ′ = S−{a};
existem dois tipos de subconjuntos de S : as partes de S ′ (card P(S ′) = 2n, pois S ′ tem n
elementos) e os subconjuntos que conte´m a (que ta´mbem sa˜o 2n) pois com excec¸a˜o do vazio,
todos os outros, ou seja, 2n−1 subconjuntos de S ′ formara˜o um novo conjunto onde a sera´
elementos ”deles”e obviamente S tera´ um subconjunto {a}, da´ı:
card P(S) = 2n+2n = 2 ·2n = 2n+1, o que prova que P (n) e´ verdadeira para um conjunto
S com n + 1 elementos.
(14) Para cada n ∈ N, seja Fn = {X ⊂ N; card X = n}. Prove que Fne´ enumera´vel.
Conclua que o conjunto F(N) de todos os subconjuntos finitos de N e´ enumera´vel.
Demonstrac¸a˜o. Definimos a func¸a˜o f : Fn −→ Nn da seguinte maneira:
Dado A = {x1 < x2 < · · · < xn}, f(A) = (x1, x2, · · · , xn). Tal func¸a˜o e´ injetiva, pois
dados A = {xk, k ∈ In} e B = {yk, k ∈ In} na˜o pode-se ter xk = yk para todo k, pois se na˜o
os conjuntos seriam iguais.
Como N e´ enumera´vel, o produto cartesiano N×N× · · · ×N = Nn e´ enumera´vel e como
f e´ injetiva, enta˜o Fn e´ enumera´vel.
4
Temos que o conjunto F(N) de todos os subconjuntos finitos de N e´ enumera´vel, pois
F(N) =
∞⋃
k=1
Xk
e´ unia˜o enumera´vel de conjuntos enumera´veis.
(15) Prove que o conjunto P(N) de todos os subconjuntos de N na˜o e´ enumera´vel.
Demonstrac¸a˜o. Definimos a func¸a˜o f : X −→ P(N) (onde X e´ o conjunto das sequeˆncias
formadas por zeros e uns) da seguinte maneira:
Para cada sequeˆncia (xk), definimos f(xk) = V = {k;xk 6= 0}. Tal func¸a˜o e´ bijetiva, pois
dadas duas sequeˆncias distintas (xk) e (yk) enta˜o existe k tal que xk 6= yk; sem perda de
generalidade, yk = 0 enta˜o k /∈ f(yk) e k ∈ f(xk), logo as imagens sa˜o distintas. A func¸a˜o
tambe´m e´ sobrejetiva pois dado um subconjunto V ⊂ N, a ele esta´ associado a sequeˆncia
(xk) onde xk = 0 se k /∈ V e xk = 1 se k ∈ V .
Como tal func¸a˜o e´ bijetiva e X na˜o e´ enumera´vel, segue que P(N) tambe´m na˜o e´ enu-
mera´vel.
(16) O conjunto Z dos nu´meros inteiros e´ enumera´vel.
Demonstrac¸a˜o. Podemos definir uma bijec¸a˜o f : N −→ Z pondo f(n) = (n − 1)/2 para n
ı´mpar e f(n) = −n/2 para n par. Portanto, Z e´ enumera´vel.
(17) O conjunto Q = {m/n;m,n ∈ Z, n 6= 0} dos nu´meros racionais e´ enumera´vel.
Demonstrac¸a˜o. Com efeito, escrevendo Z∗ = Z−{0}, podemos definir uma func¸a˜o sobrejetiva
f : Z × Z∗ −→ Q pondo f(m,n) = m/n, e como Z × Z∗ e´ enumera´vel, conclu´ımos que Q e´
enumera´vel.
(18) Prove que na˜o existe nu´mero racional cujo quadrado e´ 12.
Demonstrac¸a˜o. Suponha que exista um nu´mero racional x tal que x2 = 12, enta˜o x =
±√12 = ±2√3 e como √3 e´ irracional, ter´ıamos x ∈ R \Q, uma contradic¸a˜o.
(19) Prove que (1− xn+1)/(1− x) = 1 + x + · · ·+ xn para todo x 6= 1.
Demonstrac¸a˜o. Provaremos por induc¸a˜o sobre n.
Para n = 1, temos:
1− x2
1− x =
(1− x)(1 + x)
1− x = 1 + x.
Suponha o resultado va´lido para n = k. Mostraremos que vale para n = k + 1.
1 + x + · · ·+ xk + xk+1 = (1− x
k+1)
1− x + x
k+1 =
1− xk+1 + (1− x)xk+1
1− x =
5
=
1− xk+1 + xk+1 − xk+2
1− x =
1− xk+2
1− x .
Portanto, a igualdade vale para todo n ∈ N com x 6= 1.
(20) Mostre que o conjunto N dos nu´meros naturais na˜o tem cota superior.
Demonstrac¸a˜o. Se N ⊂ R fosse limitado superiormente, existira´ c = sup N. Enta˜o c− 1 na˜o
seria cota superior de N, isto e´, existiria n ∈ N com c− 1 < n. Da´ı resultaria c < n+ 1, logo
c na˜o seria cota superior de N, uma contradic¸a˜o.
(21) Seja A um conjunto na˜o-vazio de nu´meros reais que e´ limitado inferiormente. Seja
−A o conjunto de todos os nu´meros −x, onde x ∈ A. Prove que inf A = −sup(−A).
Demonstrac¸a˜o. Seja a uma cota inferior do conjunto A, ou seja, A = {x ∈ R/a ≤ x} e
considere a = inf A.
Pelo enunciado, temos −A = {−x ∈ R/x ∈ A}, afirmemos que −a = sup(−A).
De fato, (−a) e´ uma cota superior de −A. Provemos agora que nenhum (−c) ∈ −A com
(−a) > (−c) e´ cota superior de −A. Dado (−c) > (−a), enta˜o c < a, absurdo pois a, c ∈ A
e a = inf A.
Portanto, −a = sup(−A) e a = −sup(−A) = inf A
(22) Seja S1 = {x ∈ R;x ≥ 0}. Mostre em detalhes que o conjunto S1 tem cotas inferiores,
mas na˜o cotas superiores. Mostre que inf S1 = 0.
Demonstrac¸a˜o.
6