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Resistência dos Materiais Aula 1 – Definição de Resistência dos Materiais e Estudo do Carregamento Interno Resultante Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Tópicos Abordados Nesta Aula � Apresentação do curso e da bibliografia. � Definições de Resistência dos Materiais. � Revisão das equações de equilíbrio da estática. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Conteúdo do Curso � Análise de Tensão (Tração, Compressão e Cisalhamento) � Estudo de Deformações � Propriedades Mecânicas dos Materiais � Carregamento Axial � Torção � Diagramas de Esforço Cortante e Momento Fletor � Análise de Flexão e Equações de Linha Elástica Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Bibliografia Recomendada � Hibbeler, R. C. - Resistência dos Materiais, Prentice Hall., São Paulo 2004. � Gere, James M. - Mecânica dos Materiais, Pioneira Thomson Learning Ltda, São Paulo 2003. � Craig Jr, Roy R. - Mecânica dos Materiais, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro 2003. � Nash, William A. - Resistência dos Materiais, Editora McGraw-Hill Ltda, São Paulo 1990. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Definição de Resistência dos Materiais Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues É um ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do corpo. Resistência dos Materiais Equilíbrio de um Corpo Deformável Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Princípios da estática Forças externas Forças de superfície Forças de corpo Força concentrada Carga linear distribuída Reações de Apoio Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais As forças de superfície que se desenvolvem nos apoios ou pontos de contato entre corpos são chamadas reações. As reações de apoio são calculadas a partir das equações de equilíbrio da estática. Tipos de Apoios Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Equações de Equilíbrio da Estática Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Equilíbrio de forças: Evita translação ou movimento acelerado do corpo ao longo de uma trajetória. Equilíbrio de momentos: Evita rotação do corpo. ∑ ∑ = = 0 0 x x M F ∑ ∑ = = 0 0 y y M F ∑ ∑ = = 0 0 z z M F Diagrama de Corpo Livre Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Diagrama que mostra a especificação completa de todas as forças conhecidas e desconhecidas que atuam sobre o corpo. A correta representação do diagrama de corpo livre permite aplicar com sucesso as equações de equilíbrio da estática. Carga Interna Resusltante Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Representa uma das aplicações mais importantes da estática na análise dos problemas de resistência dos materiais. Através do método das seções pode-se determinar a força resultante e o momento atuantes no interior do corpo, necessários para manter o corpo unido quando submetido a cargas externas. Tipos de Cargas Resultantes Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Força Normal (N). Força de Cisalhamento (V) ou (Q). Momento de Torção ou Torque (T) ou (MT). Momento Fletor (M) ou (MF). Exercício 1 Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 1) Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal em C da viga mostrada na figura. Solução do Exercício 1 Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Diagrama de corpo livre do segmento BC Relação do carregamento distribuído ao longo do comprimento da viga 270 N = 9 m w = 6 m Portanto: w = 180 N/m Substituição da carga distribuída por uma carga concentrada equivalente 540 2 6180 = ⋅ = P P N Localizado no centróide do triângulo Solução do Exercício 1 Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 0=∑ xF 0=− cN 0=cN 0=∑ yF 0540 =−cV 540=cV N 0=∑ cM 02540 =⋅−− cM 1080−=cM Nm Exercício 2 Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 2) Uma força de 80 N é suportada pelo suporte como mostrado. Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção que passa pelo ponto A. Solução do Exercício 2 Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Diagrama de corpo livre MA NA VA 15° x y Decomposição da força 80 N Fx Fy 15° °⋅= 15cos80xF 27,77=xF °⋅= 1580 senFy 70,20=yF N N Solução do Exercício 2 Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 0=∑ yF 070,20 =−AV N70,20=AV 0=∑ AM 0)303,01,0(4580)30cos3,0(45cos80 =°⋅+⋅°⋅−°⋅⋅°⋅+ sensenM A 69,1414,14 −=AM Nm55,0−=AM 0=∑ xF 027,77 =−AN 27,77=AN N NA MAVA 15° Exercícios Propostos Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 1) Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal em C do eixo de máquina mostrado na figura. O eixo é apoiado por rolamentos em A e B, que exercem apenas forças verticais sobre ele. Exercícios Propostos Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 2) Determinar a carga interna resultante na seção transversal que passa pelo ponto D no elemento AB. Exercícios Propostos Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 3) Determinar a carga interna resultante na seção transversal que passa pelo ponto C do alicate. Há um pino em A, e as garras em B são lisas. B Exercícios Propostos Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 4) Determinar o torque da resultante interna que atua nas seções transversais dos pontos C e D do eixo. O eixo está fixado em B. Exercícios Propostos Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 5) A prensa manual está submetida a uma força de 120 N na extremidade do cabo. Determinar a intensidade da força de reação no pino A e no elo BC. Determinar também a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal que passa pelo ponto D do cabo. Próxima Aula � Definição de Tensão. � Tensão Normal Média. � Tensão de Cisalhamento Média. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Resistência dos Materiais Aula 2 – Tensão Normal Média e Tensão de Cisalhamento Média Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Tópicos Abordados Nesta Aula � Definição de Tensão. � Tensão Normal Média. � Tensão de Cisalhamento Média. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Conceito de Tensão Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Representa a intensidade da força interna sobre um plano específico (área) que passa por um determinado ponto. Tensão Normal e Tensão de Cisalhamento Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Tensão Normal: A intensidade da força ou força por unidade de área, que atua no sentido perpendicular a ∆A, é definida como tensão normal, σ (sigma). Portanto pode- se escrever que: A F A ∆ ∆ = →∆ lim 0σ Tensão de Cisalhamento: A intensidade da força ou força por unidade de área, que atua na tangente a ∆A, é definida como tensão de cisalhamento, τ (tau). Portanto pode-se escrever que: A F A ∆ ∆ = →∆ lim 0 τ Unidades de Tensão no SI Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais No Sistema Internacional de Unidades (SI), a intensidade tanto da tensão normal quanto da tensão de cisalhamento é especificada na unidade básica de newtons por metro quadrado (N/m²). Esta unidade é denominada pascal (1 Pa = 1 N/m²), como essa unidade é muito pequena, nos trabalhos de engenharia são usados prefixos como quilo (10³), mega (106) ou giga (109). ²m/N10Pa10MPa1 66 == ²m/N10Pa10GPa1 99 == Tensão Normal Média Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Hipóteses de simplificação 1) É necessário que a barra permaneça reta tanto antes como depois de a carga ser aplicada, e, além disso, a seção transversal deve permanecer plana durante a deformação. 2) A fim de que a barra possa sofrer deformação uniforme, é necessário que P seja aplicada ao longo do eixo do centróide da seção transversal e o material deve ser homogêneo e isotrópico. Tensão Normal Média - Simplificações Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Material Homogêneo: Possui as mesmas propriedades físicas e mecânicas em todo o seu volume. Material Isotrópico: Possui as mesmas propriedades físicas e mecânicas em todas as direções. Distribuição da Tensão Normal Média Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais ∫ ∫= A dAdF σ AP ⋅=σ A P =σ onde: σ = Tensão normal média em qualquer ponto da área da seção transversal. P = resultante da força normal interna, aplicada no centróide da área da seção transversal. A = área da seção transversal da barra. Exercício 1 Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 1) A luminária de 80 kg é suportada por duas hastes AB e BC como mostra a figura. Se AB tem diâmetro de 10 mm e BC tem diâmetro de 8 mm. Determinar a tensão normal média em cada haste. Solução do Exercício 1 Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Diagrama de corpo livre: Determinação das forças em AB e BC: ∑ = 0yF 060cos 5 4 =°⋅−⋅ BABC FF 08,78460 5 3 =−°⋅+⋅ senFF BABC ∑ = 0xF (I) (II) Solução do Exercício 1 Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais De (I) 060cos 5 4 =°⋅−⋅ BABC FF 08,78460 5 360cos 4 5 =−°⋅+⋅°⋅⋅ senFF BABA Substituindo-se (III) em (II), tem-se que: Em (III) 4 60cos5 °⋅⋅ = BA BC FF (III) 08,7846060cos 20 15 =−°⋅+°⋅⋅ senFF BABA 08,7846060cos 20 15 =− °+°⋅⋅ senFBA °+°⋅ = 6060cos 20 15 8,784 sen FBA 4 60cos38,6325 °⋅⋅ =BCF 38,632=BAF N 23,395=BCF N Solução do Exercício 1 Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 4 2dACIRC ⋅ = pi Área do Circulo 22 4 4 d F d F A F ⋅ ⋅ = ⋅ == pipi σ Tensão Normal 86,7 8 23,3954 2 = ⋅ ⋅ == pi σ BC BC BC A F Cabo BC 05,8 10 38,6324 2 = ⋅ ⋅ == pi σ BA BA BA A F Cabo BA MPa MPa Tensão de Cisalhamento Média Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais A V méd =τ onde: τméd = Tensão de cisalhamento média na seção. V = Resultante interna da força de cisalhamento. A = Área da seção transversal. Cisalhamento em Juntas Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Cisalhamento Simples: Cisalhamento Duplo: Exercício 2 Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 2) A barra mostrada na figura tem seção transversal quadrada para a qual a profundidade e a largura são de 40 mm. Supondo que seja aplicada uma força axial de 800 N ao longo do eixo do centróide da área da seção transversal da barra, determinar a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que atuam sobre o material (a) no plano da seção a-a e (b) no plano da seção b-b. Solução do Exercício 2 Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Parte (a): Na barra seccionada, pode-se verificar a carga interna resultante consiste apenas na força axial P = 800 N. Tensão normal média: 0=médτ2l P A P ==σ kPa204,0 800 =σ 500=σ Tensão de cisalhamento: Solução do Exercício 2 Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Parte (b): Se a barra for seccionada ao longo de b-b, o diagrama de corpo livre do segmento esquerdo será como o mostrado na figura. Nesse caso, tanto a força normal N como a força de cisalhamento V atuarão sobre a área seccionada. Solução do Exercício 2 Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 0 ´ =∑ xF 030cos800 =°⋅−N °⋅= 30cos800N N82,692=N 0 ´ =∑ yF 030800 =°⋅− senV N °⋅= 30800 senV 400=V Utilizando como referência os eixos x´ e y´: Solução do Exercício 2 Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 04618,004,0 ⋅=⋅= hbA Área da seção transversal: 40=b mm 18,46 60 40 = ° = sen h mm Tensão normal média: 04618,004,0 82,692 ⋅ == A N σ 06,375=σ kPa Tensão de cisalhamento média: 04618,004,0 400 ⋅ == A V τ 49,216=τ kPa Exercícios Propostos Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 1) O elemento AC mostrado na figura está submetido a uma força vertical de 3 kN. Determinar a posição x de aplicação da força de modo que o esforço de compressão médio no apoio C seja igual ao esforço de tração no tirante AB. A haste tem uma área de seção transversal de 400 mm², e a área de contato em C é de 650 mm². Exercícios Propostos Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 2) O mancal de encosto está submetido as cargas mostradas. Determinar a tensão normal média desenvolvida nas seções transversais que passam pelos pontos B, C e D. Fazer o desenho esquemático dos resultados para um elemento de volume infinitesimal localizado em cada seção. Exercícios Propostos Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 3) O eixo está submetido a uma força axial de 30 kN. Supondo que o eixo passe pelo furo de 53 mm de diâmetro no apoio fixo A, determinar a tensão do mancal que atua sobre o colar C. Qual é a tensão de cisalhamento média que atua ao longo da superfície interna do colar onde ele está acoplado ao eixo de 52 mm de diâmetro. Exercícios Propostos Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 4) A escora de madeira mostrada na figura está suportada por uma haste de aço de 10 mm de diâmetro presa na parede. Se a escora suporta uma carga vertical de 5 kN, calcular a tensão de cisalhamento média da haste e ao longo das duas áreas sombreadas da escora, uma das quais está identificada como abcd. Exercícios Propostos Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 5) A viga é apoiada por um pino em A e um elo curto BC. Se P = 15 kN, determinar a tensão de cisalhamento média desenvolvida nos pinos A, B e C. Todos os pinos estão sob cisalhamento duplo e cada um deles tem 18 mm de diâmetro. Próxima Aula � Tensão Admissível. � Fator de Segurança. � Projeto de AcoplamentosSimples. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Resistência dos Materiais Aula 3 – Tensão Admissível, Fator de Segurança e Projeto de Acoplamentos Simples Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Tópicos Abordados Nesta Aula � Tensão Admissível. � Fator de Segurança. � Projeto de Acoplamentos Simples. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Tensão Admissível Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais O engenheiro responsável pelo projeto de elementos estruturais ou mecânicos deve restringir a tensão do material a um nível seguro, portanto, deve usar uma tensão segura ou admissível. Fator de Segurança (F.S.) Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais O fator de segurança (F.S.) é a relação entre a carga de ruptura Frup e a carga admissível Fadm. O fator de segurança é um número maior que 1 a fim de evitar maior possibilidade de falha. Valores específicos dependem dos tipos de materiais usados e da finalidade pretendida da estrutura ou máquina. adm rupSF σ σ =.. adm rup F F SF =.. adm rupSF τ τ =.. Projeto de Acoplamentos Simples Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Elemento sujeito a aplicação de força de cisalhamento: Elemento sujeito a aplicação de força normal: adm PA σ = adm PA τ = Problemas comuns: 1) Área da seção transversal de um elemento de tração. 2) Área da seção transversal de um acoplamento submetido a cisalhamento. 3) Área requerida para resistir ao apoio. 4) Área requerida para resistir ao cisalhamento provocado por carga axial. Área da Seção Transversal de um Elemento sob Tração Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Acoplamento Submetido a Cisalhamento Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Área Requerida para Apoio Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Cisalhamento por Carga Axial Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Exercício 1 Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 1) O tirante está apoiado em sua extremidade por um disco circular fixo como mostrado na figura. Se a haste passa por um furo de 40 mm de diâmetro, determinar o diâmetro mínimo requerido da haste e a espessura mínima do disco necessários para suportar uma carga de 20 kN. A tensão normal admissível da haste é σadm = 60 MPa, e a tensão de cisalhamento admissível do disco é τadm = 35 MPa. Solução do Exercício 1 Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Diâmetro da haste: por verificação, a força axial na haste é 20 kN, assim, a área da seção transversal da haste é dada por: adm PA σ = 60 20000 =A 33,333=A Sabe-se que: 4 2dA ⋅= pi Portanto: pi Ad ⋅= 4 pi 33,3334 ⋅ =d 60,20=dmm² mm Solução do Exercício 1 Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais adm VA τ = 35 20000 =A 42,571=A mm² A área seccionada é dada por: trA ⋅⋅⋅= pi2 Portanto: mm r A t ⋅⋅ = pi2 202 42,571 ⋅⋅ = pi t 55,4=t Exercício 2 Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 2) A barra rígida mostrada na figura é suportada por uma haste de aço AC que tem diâmetro de 20 mm e um bloco de alumínio que tem área da seção transversal de 1800 mm². Os pinos de 18 mm de diâmetro em A e C estão submetidos a um cisalhamento simples. Se a tensão de ruptura do aço e do alumínio forem (σaço)rup = 680 MPa e (σal)rup = 70 MPa, respectivamente, e a tensão de cisalhamento de ruptura de cada pino for τrup = 900 MPa, determinar a maior carga P que pode ser aplica à barra. Aplicar F.S = 2. Solução do Exercício 2 Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Diagrama de corpo livre: Reações de apoio: ∑ = 0BM 025,12 =⋅+⋅− PFAC ∑ = 0AM 075,02 =⋅−⋅ PFB 2 25,1 PFAC ⋅ = 2 75,0 PFB ⋅ = PFAC ⋅= 625,0 PFB ⋅= 375,0 Relação entre as forças: Solução do Exercício 2 Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais ( ) ( ) ..SF rupaço admaço σ σ = ( ) 2 680 = admaço σ ( ) 340= admaço σ MPa Aço ( ) ( ) ..SF rupal admal σ σ = ( ) 2 70 = admalσ ( ) 35= admalσ MPa Alumínio ..SF rup adm τ τ = 2 900 =admτ 450=admτ MPa Pino Solução do Exercício 2 Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais ( ) AC AC admaço A F =σ ( ) 4 2d FAC admaço ⋅ = pi σ ( ) 24 d FAC admaço ⋅ ⋅ = pi σ ( ) 2625,04 d P admaço ⋅ ⋅⋅ = pi σ ( ) 625,04 2 ⋅ ⋅⋅ = d P admaço piσ 625,04 20340 2 ⋅ ⋅⋅ = piP 170816=P N Barra AC Solução do Exercício 2 Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais ( ) B B admal A F =σ ( ) B admal A P⋅ = 375,0 σ ( ) 375,0 Badmal AP ⋅ = σ 375,0 180035 ⋅ =P 168000=P N Bloco B Solução do Exercício 2 Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais p adm A V =τ padmAC AFV ⋅== τ 4 625,0 2dP adm ⋅ ⋅=⋅ pi τ 625,04 2 ⋅ ⋅⋅ = dP adm piτ 625,04 18450 2 ⋅ ⋅⋅ = piP 183124=P N Por comparação, a maior carga que pode ser aplicada ao sistema é P = 168000 N, pois qualquer carga maior que essa fará com que a tensão admissível seja excedida. Pino A Exercícios Propostos Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 1) Uma carga axial no eixo mostrado na figura é resistida pelo colar em C, que está preso ao eixo e localizado à direita do mancal em B. Determinar o maior valor de P para as duas forças axiais em E e F de modo que a tensão no colar não exceda uma tensão de apoio admissível em C de σadm = 75 MPa e que a tensão normal média no eixo não exceda um esforço de tração admissível de σadm = 55 MPa. Exercícios Propostos Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 2) A alavanca é presa ao eixo A por meio de uma chaveta que tem largura d e comprimento de 25 mm. Supondo que o eixo esteja fixo e seja aplica uma força vertical de 200 N perpendicular ao cabo, determinar a dimensão d se a tensão de cisalhamento admissível para a chaveta for τadm = 35 MPa. Exercícios Propostos Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 3) As duas hastes de alumínio suportam a carga vertical P = 20 kN. Determinar seus diâmetros requeridos se o esforço de tração admissível para o alumínio for (σt)adm = 150 MPa. Exercícios Propostos Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 4) O punção circular B exerce uma força de 2 kN no topo da chapa A. Determinar a tensão de cisalhamento média na chapa devida a esse carregamento. Exercícios Propostos Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 5) O conjunto da correia sobreposta será submetido a uma força de 800 N. Determinar (a) a espessura t necessária para a correia se o esforço de tração admissível para o material for (σt)adm = 10 MPa, (b) o comprimento dl necessário para a sobreposição se a cola pode resistir a um esforço de cisalhamento admissível de (τadm)c= 0,75 MPa e (c) o diâmetro dr do pino se a tensão de cisalhamento admissível para o pino for (τadm)p = 30 MPa. Próxima Aula � Estudo de Deformações, Normal e por Cisalhamento. � Propriedades Mecânicas dos Materiais. � Coeficiente de Poisson. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Resistência dos Materiais Aula 4 – Deformações e Propriedades Mecânicas dos Materiais Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Tópicos Abordados Nesta Aula � Estudo de Deformações, Normal e por Cisalhamento. � Propriedades Mecânicas dos Materiais. � Coeficiente de Poisson. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Deformação Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Quando uma força é aplicada a um corpo, tende a mudar a forma e o tamanho dele. Essas mudanças são denominadas deformação e podem ser perfeitamente visíveis ou praticamente imperceptíveis sem o uso de equipamento para fazer medições precisas. Deformação Normal Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais O alongamento ou a contração de um segmento de reta por unidade de comprimento é denominado deformação normal. s ss méd ∆ ∆−∆ = ' ε ss ∆⋅+=∆ )1(' ε Unidades: a deformação normal é uma grandeza adimensional, pois representa a relação entre dois comprimentos Deformação por Cisalhamento Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais A mudança de ângulo ocorrida entre dois segmentos de reta originalmente perpendiculares entre si é denominada deformação por cisalhamento. 'lim 2 θpiγ eixotAC eixonABnt >− >− −= Componentes Cartesianos da Deformação Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais xx ∆⋅+ )1( ε yy ∆⋅+ )1( ε zz ∆⋅+ )1( ε Comprimentos aproximados: Ângulos aproximados: xyγ pi − 2 yz γpi − 2 xz γpi − 2 Exercício 1 Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 1) A haste delgada mostrada na figura está submetida a um aumento de temperatura ao longo de seu eixo, o que cria uma deformação normal na haste de εz = 40(10-3)z1/2, em que z é dado em metros. Determinar (a) o deslocamento da extremidade B da haste devido ao aumento de temperatura e (b) a deformação normal média da haste. Solução do Exercício 1 Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais a) Como a deformação normal é dada para cada ponto ao longo do comprimento da haste, um segmento diferencial dz, localizado na posição z tem seu comprimento deformado determinado do seguinte modo: zz z ∆⋅+≈∆ )1(' ε dzdz z ⋅+= )1(' ε dzzdz ⋅⋅⋅+= − ))10(401(' 213 ∫ ⋅⋅⋅+= − 2,0 0 213 ))10(401(' dzzz 2,0 0 )121( 3 121 )10(40' + ⋅⋅+= + − z zz Substituindo-se os valores fornecidos, tem-se que: Integrando ao longo do comprimento da haste: Resulta em: Solução do Exercício 1 Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 2,0 0 )121( 3 121 )10(40' + ⋅⋅+= + − z zz 2,0 0 )23( 3 23 )10(40' ⋅⋅+= − z zz 2,0 0 )23( 3 3 2)10(40' ⋅ ⋅⋅+= − z zz ⋅ ⋅⋅+= − 3 2,02)10(402,0' )23( 3z 20239,0'=z m Portanto, o deslocamento na extremidade da haste é: 2,020239,0 −=∆B 00239,0=∆B m 39,2=∆B mm Propriedades Mecânicas dos Materiais Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais As propriedades mecânicas de um material devem ser conhecidas para que os engenheiros possam relacionar a deformação medida no material com a tensão associada a ela. Ensaio de Tração e Compressão Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Teste principalmente utilizado para determinar a relação entre a tensão normal média e a deformação normal média. Máquina Para Ensaio de Tração e Compressão Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Relações de Tensão e Deformação Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Com os dados registrados no ensaio, se determina a tensão nominal ou de engenharia dividindo a carga aplicada P pela área da seção transversal inicial do corpo de prova A0. 0A P =σ A deformação normal ou de engenharia é encontrada dividindo-se a variação no comprimento de referência δδδδ, pelo comprimento de referência inicial L0. 0L δ ε = Diagrama Tensão x Deformação Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Tipos de Falhas em Corpos de Prova Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Materiais Dúcteis e Frágeis Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Materiais Dúcteis: Qualquer material que possa ser submetido a grandes deformações antes da ruptura é chamado de material dúctil. Freqüentemente, os engenheiros escolhem materiais dúcteis para o projeto, pois estes são capazes de absorver choque ou energia e, quando sobrecarregados, exibem, em geral, grande deformação antes de falhar. Materiais Frágeis: Os materiais que apresentam pouco ou nenhum escoamento são chamados de materiais frágeis. Porcentagens de Alongamento e Redução de Área Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais %)100( 0 0 ⋅ − = L LL oalongamentdemporcentage rup %)100( 0 0 ⋅ − = A AA áreadereduçãodemporcentage rup A porcentagem de alongamento é a deformação de ruptura do corpo de prova expressa como porcentagem. A porcentagem de redução de área é outra maneira de se determinar a ductilidade. Ela é definida na região de estricção. Lei de Hooke Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais A maioria dos materiais da engenharia apresentam relação linear entre tensão e deformação na região de elasticidade. Conseqüentemente , um aumento na tensão provoca um aumento proporcional na deformação. Essa característica é conhecida como Lei de Hooke. εσ ⋅= E Onde: E = módulo de elasticidade ou constante de proporcionalidade. Coeficiente de Poisson Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Representa a relação entre as deformações lateral e longitudinal na faixa de elasticidade. A razão entre essas deformações é uma constante denominada coeficiente de Poisson. long lat ε ε ν −= O sinal negativo é utilizado pois o alongamento longitudinal (deformação positiva) provoca contração lateral ( deformação negativa) e vice-versa. Coeficiente de Poisson Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais O coeficiente de Poisson é adimensional e seu valor se encontra entre zero e meio. 5,00 ≤≤ν Exercício 2 Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 2)A haste de alumínio mostrada na figura (a) tem seção transversal circular e está submetida a uma carga axial de 10 kN. Se uma parte do diagrama tensão-deformação do material é mostrado na figura (b), determinar o alongamento aproximado da haste quando a carga é aplicada. Suponha que Eal= 70 GPa. Solução do Exercício 2 Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesResistência dos Materiais A tensão normal em cada segmento é: A P AB =σ 4 1010 2 3 dAB ⋅ ⋅ = pi σ 2 4 02,0 104 ⋅ ⋅ = pi σ AB 83,31=ABσ A P BC =σ 4 1010 2 3 dBC ⋅ ⋅ = pi σ 2 4 015,0 104 ⋅ ⋅ = pi σ BC 59,56=BCσ MPaMPa Solução do Exercício 2 Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais al AB AB E σ ε = 9 6 1070 1083,31 ⋅ ⋅ =ABε ∑ ⋅= Lεδ 400045,06000004547,0 ⋅+⋅=δ 3,18=δ Pelo diagrama pode-se perceber que o material na região AB se deforma elasticamente, pois σe = 40 MPa > 31,83 MPa, portanto, pela lei de Hooke. 0004547,0=ABε mm/mm o material na região BC está deformado plasticamente, pois σe = 40 MPa < 56,59 MPa, portanto, no gráfico tem-se que: 045,0≈BCε mm/mm O alongamento aproximado da haste é dado por: mm Exercícios Propostos Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 1) A viga rígida está apoiada por um pino em A e pelos arames BD e CE. Se a carga P na viga for deslocada 10 mm para baixo, qual será a deformação normal desenvolvida nos arames CE e BD? Exercícios Propostos Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 2) Os dois arames estão interligados em A. Se a carga P provocar o deslocamento vertical de 3 mm ao ponto A, qual será a deformação normal provocada em cada arame? Exercícios Propostos Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 3) Uma placa retangular é deformada conforme indicado pela forma tracejada mostrada na figura. Considerando que na configuração deformada as linhas horizontais da placa permaneçam horizontais e não variem seu comprimento, determine (a) a deformação normal média ao longo do lado AB e (b) a deformação por cisalhamento média da placa relativa aos eixos x e y. Exercícios Propostos Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 4) Uma força que atua no cabo da alavanca mostrada na figura provoca uma rotação de θ = 0,002 rad na alavanca no sentido horário. Determinar a deformação normal média desenvolvida no arame BC. Exercícios Propostos Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 5) Foi realizado um teste de tensão em um corpo de prova de aço com diâmetro original de 12,5 mm e comprimento de referência de 50 mm. Os dados estão relacionados na tabela. Construir o diagrama tensão-deformação e determinar aproximadamente o módulo de elasticidade, o limite de resistência e a tensão de ruptura. Usar as escalas de 20 mm = 50 MPa e 20 mm = 0,05 mm/mm. Detalhar a região linear-elástica usando a mesma escala de tensão, porém com escala de 20 mm = 0,001 mm/mm para a deformação. Próxima Aula � Carga Axial. � Princípio de Saint-Venant. � Deformação Elástica. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Resistência dos Materiais Aula 5 – Carga Axial e Princípio de Saint-Venant Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Carga Axial Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais A tubulação de perfuração de petróleo suspensa no guindaste da perfuratriz está submetida a cargas e deformações axiais extremamente grandes, portanto, o engenheiro responsável pelo projeto deve ser extremamente capaz de identificar essas cargas e deformações a fim de garantir a segurança do projeto. Princípio de Saint-Venant Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Uma barra deforma-se elasticamente quando submetida a uma carga P aplicada ao longo do seu eixo geométrico. Para o caso representado, a barra está fixada rigidamente em uma das extremidades, e a força é aplicada por meio de um furo na outra extremidade. Devido ao carregamento, a barra se deforma como indicado pelas distorções das retas antes horizontais e verticais, da grelha nela desenhada. Deformação Elástica de um Elemento com Carga Axial Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais A partir da aplicação da lei de Hooke e das definições de tensão e deformação , pode-se desenvolver uma equação para determinar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axiais. )( )( xA xP =σ dx dδ ε = Desde que essas quantidades não excedam o limite de proporcionalidade, as mesmas podem ser relacionadas utilizando-se a lei de Hooke, ou seja: εσ ⋅= E Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais As equações utilizadas são escritas do seguinte modo: = dx dE xA xP δ )( )( ExA dxxPd ⋅ ⋅ = )( )(δ Deformação Elástica de um Elemento com Carga Axial Deformação Elástica de um Elemento com Carga Axial Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais ∫ ⋅ ⋅ = L ExA dxxP 0 )( )(δ Portanto, na forma integral tem-se que: onde: δ = deslocamento de um ponto da barra em relação a outro. L = distância entre pontos. P(x) = Força axial interna da seção, localizada a uma distância x de uma extremidade. A(x) = área da seção transversal da barra expressa em função de x. E = módulo de elasticidade do material. Carga Uniforme e Seção Transversal Constante Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais EA LP ⋅ ⋅ =δ Em muitos casos, a barra tem área da seção transversal constante A; o material será homogêneo, logo E é constante. Além disso, se uma força externa constante for aplicada em cada extremidade como mostra a figura, então a força interna P ao longo de todo o comprimento da barra também será constante. Convenção de Sinais Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Considera-se força e deslocamento como positivos se provocarem, respectivamente tração e alongamento; ao passo que a força e deslocamento são negativos se provocarem compressão e contração respectivamente. Barra com Diversas Forças Axiais Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais ∑ ⋅ ⋅ = EA LPδ Se a barra for submetida a diversas forças axiais diferentes ou, ainda, a área da seção transversal ou o módulo de elasticidade mudarem abruptamente de uma região para outra da barra, deve-se calcular o deslocamento para cada segmento da barra e então realizar a adição algébrica dos deslocamentos de cada segmento. Diagrama de Cargas Axiais Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Exercício 1 Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 1) O conjunto mostrado na figura consiste de um tubo de alumínio AB com área da seção transversal de 400 mm². Uma haste de aço de 10 mm de diâmetro está acoplada a um colar rígido que passa através do tubo. Se for aplicada uma carga de tração de 80 kN à haste, qual será o deslocamento da extremidade C? Supor que Eaço = 200 GPa e Eal= 70 GPa. Solução do Exercício 1 Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais O diagrama de corpo livre do tubo e da haste mostra que a haste está sujeita a uma tração de 80 kN e o tubo está sujeito a uma compressão de 80 kN. O sinal positivo indica que a extremidade C move-se para a direita em relação à extremidade B, visto que a barra se alonga. Deslocamento de C em relação à B: EA LP CB ⋅ ⋅ =δ 92 3 10200)005,0( 6,01080 ⋅⋅⋅ ⋅⋅+ = pi δCB 003056,0+=CBδ m Solução do Exercício 1 Aula5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais O sinal negativo indica que o tubo se encurta e, assim, B move-se para a direita em relação a A. Deslocamento de B em relação à A: EA LP B ⋅ ⋅ =δ 96 3 107010400 4,01080 ⋅⋅⋅ ⋅⋅− = − Bδ 001143,0−=Bδ m Como ambos os deslocamentos são para a direita, o deslocamento resultante de C em relação à extremidade fixa A é: CBBC δδδ += 003056,0001143,0 +=Cδ 00420,0=Cδ 20,4=Cδ m mm Exercício 2 Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 2) Uma viga rígida AB apóia-se sobre dois postes curtos como mostrado na figura. AC é feito de aço e tem diâmetro de 20 mm; BD é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 mm. Determinar o deslocamento do ponto F em AB se for aplicada uma carga vertical de 90 kN nesse ponto. Admitir Eaço = 200 GPa e Eal = 70 GPa. Solução do Exercício 2 Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Reações de apoio: ∑ = 0AM 06,02,090 =⋅+⋅− BDP 6,0 2,090 ⋅ =BDP 30=BDP ∑ = 0VF 090 =−+ BDAC PP 3090−=ACP 60=ACP kN kN Solução do Exercício 2 Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Poste AC: açoAC ACAC A EA LP ⋅ ⋅ =δ 92 3 10200)010,0( 3,01060 ⋅⋅⋅ ⋅⋅− = pi δ A 610286 −⋅−=Aδ m 286,0=Aδ mm Poste BD: alBD BDBD B EA LP ⋅ ⋅ =δ 92 3 1070)020,0( 3,01030 ⋅⋅⋅ ⋅⋅− = pi δB 610102 −⋅−=Bδ m 102,0=Bδ mm Solução do Exercício 2 Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Pela proporção do triângulo tem-se que: ⋅+= 600 400184,0102,0Fδ 225,0=Fδ mm Exercícios Propostos Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 1) O navio é impulsionado pelo eixo da hélice, feito de aço A-36, E = 200 GPa e com 8 m de comprimento, medidos da hélice ao mancal de encosto D do motor. Se esse eixo possuir diâmetro de 400 mm e espessura da parede de 50 mm, qual será sua contração axial quando a hélice exercer uma força de 5 kN sobre ele? Os apoios B e C são mancais. Exercícios Propostos Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 2) A junta é feita de três chapas de aço A-36 ligadas pelas suas costuras. Determinar o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D quando a junta é submetida às cargas axiais mostradas. Cada chapa tem espessura de 6 mm. Exercícios Propostos Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 3) A treliça é feita de três elementos de aço A-36 com 400 mm² de área da seção transversal. Determinar o deslocamento vertical do rolete em C quando a treliça é submetida à carga P = 10 kN. Exercícios Propostos Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 4) Determinar o alongamento da tira de alumínio quando submetida a uma força axial de 30 kN. Eal = 70 GPa. Exercícios Propostos Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 5) Dois postes apóiam a viga rígida, cada um deles possui largura d, espessura d e comprimento L. Supondo que o módulo de elasticidade do material A seja EA e do material B seja EB, determinar a distância x para aplicar a força P de modo que a viga permaneça horizontal. Próxima Aula � Estudo de Torção. � Transmissão de Potência. � Transmissão de Torque. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Resistência dos Materiais Aula 6 – Estudo de Torção, Transmissão de Potência e Torque Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Definição de Torque Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Torque é o momento que tende a torcer a peça em torno de seu eixo longitudinal. Seu efeito é de interesse principal no projeto de eixos ou eixos de acionamento usados em veículos e maquinaria. Deformação por Torção Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Equação da Torção Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Quando um torque externo é aplicado a um eixo, cria um torque interno correspondente no interior do eixo. A equação da torção relaciona o torque interno com a distribuição das tensões de cisalhamento na seção transversal de um eixo ou tubo circular. Para material linear-elástico aplica-se a lei de Hooke. γτ ⋅=G onde: G = Módulo de rigidez γ = Deformação por cisalhamento Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Equação da Torção J cT máx ⋅ =τ onde: τ = Tensão de cisalhamento no eixo T = Torque interno resultante que atua na seção transversal J = Momento de inércia polar da área da seção transversal c = Raio externo do eixo ρ = Raio medido a partir do centro do eixo J T ρ τ ⋅ = Dimensionamento de Eixo Sólido Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais ∫ ⋅= A dAJ 2ρ ( )∫ ⋅⋅⋅⋅= c dJ 0 2 2 ρρpiρ ∫ ⋅⋅= c dJ 0 32 ρρpi c J 0 4 4 2 ρpi ⋅⋅ = 2 4cJ ⋅= pi Momento de inércia polar: Falha na Torção Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Dimensionamento de Eixo Tubular Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais ( ) 2 44 ie ccJ −⋅= piMomento de inércia polar: Exercício 1 Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 1) O tubo mostrado na figura tem um diâmetro interno de 80 mm e diâmetro externo de 100 mm. Supondo que sua extremidade seja apertada contra o apoio em A por meio de um torquímetro em B, determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo da parte central do tubo quando são aplicadas forças de 80 N ao torquímetro. Solução do Exercício 1 Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Torque interno: É feito um corte na localização intermediária C ao longo do eixo do tubo, desse modo: ∑ = 0yM 02,0803,080 =−⋅+⋅ T 40=T Nm Momento de inércia polar: ( ) 2 44 ie ccJ −⋅= pi Solução do Exercício 1 Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais ( ) 2 04,005,0 44 −⋅ = piJ 6108,5 −⋅=J m4 J cT máx ⋅ =τ Tensão de cisalhamento: 6108,5 05,040 − ⋅ ⋅ =máxτ 610344,0 ⋅=máxτ 344,0=máxτ Na superfície interna: 6108,5 04,040 − ⋅ ⋅ =iτ J cT i i ⋅ =τ 610276,0 ⋅=iτ 276,0=iτ Pa Pa MPa MPa Transmissão de Potência Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Eixos e tubos com seção transversal circular são freqüentemente empregados para transmitir a potência gerada por máquinas. Quando usados para essa finalidade, são submetidos a torque que dependem da potência gerada pela máquina e da velocidade angular do eixo. Definição de Potência Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais A potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo: dt dTP θ⋅= Onde: T = Torque aplicado dθ = Ângulo de rotação dt dθ ω = ω⋅= TP Sabe-se que a velocidade angular do eixo é dada por: Portanto: No SI, a potência é expressa em watts 1W = 1Nm/s Relação Potência-Freqüência Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais No caso da análise de máquinas e mecanismos,a freqüência de rotação de um eixo, é geralmente conhecida. Expressa em hertz (1Hz = 1 ciclo/s), ela representa o número de revoluções que o eixo realiza por segundo. TfP ⋅⋅⋅= pi2 f⋅⋅= piω 2 Portanto, a equação da potência pode ser escrita do seguinte modo: Como 1 ciclo = 2pi rad, pode-se escrever que: Dimensionamento de Eixos Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Quando a potência transmitida por um eixo e sua rotação são conhecidas, o torque no eixo pode ser determinado. Conhecendo-se o torque atuante no eixo e a tensão de cisalhamento do material é possível determinar a dimensão do eixo a partir da equação da torção da seguinte forma: adm T c J τ = Para eixo maciço: 2 4cJ ⋅= pi 2 )( 44 ie ccJ −⋅= pi Para eixo tubular: Exercício 2 Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 2) Um eixo tubular de diâmetro interno de 30 mm e diâmetro externo de 42 mm é usado para transmitir 90 kW de potência. Determinar a freqüência de rotação do eixo de modo que a tensão de cisalhamento não exceda 50 MPa. Solução do Exercício 2 Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais J cT máx ⋅ =τ Solução: O torque máximo que pode ser aplicado ao eixo é determinado pela equação da torção: c JT máx ⋅= τ 2 )( 44 ie ccJ −⋅= pi Para eixo tubular: Solução do Exercício 2 Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Portanto: c cc T ie máx 2 )( 44 −⋅ ⋅ = pi τ 021,0 2 )015,0021,0(1050 44 6 −⋅ ⋅⋅ = pi T 538=T Nm A partir da equação da freqüência: TfP ⋅⋅⋅= pi2 T Pf ⋅⋅ = pi2 5382 1090 3 ⋅⋅ ⋅ = pi f 6,26=f Hz Exercícios Propostos Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 1) O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e D do eixo. Exercícios Propostos Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 2) O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50 mm. Determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta nele desenvolvida e traçar o gráfico da distribuição cisalhamento-tensão ao longo de uma reta radial onde o cisalhamento é máximo. Considerar T1 = 20 Nm. Exercícios Propostos Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 3) O eixo de aço está submetido à carga de torção mostrada. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B e desenhar o gráfico da tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos. O eixo onde A e B estão localizados tem raio externo de 60 mm. Exercícios Propostos Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 4) O acoplamento é usado para acoplar dois eixos. Supondo que a tensão de cisalhamento nos parafusos seja uniforme, determinar o número de parafusos necessários para que a tensão de cisalhamento máxima no eixo seja igual à tensão de cisalhamento nos parafusos. Cada parafuso tem diâmetro d. Exercícios Propostos Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 5) A bomba opera com um motor que tem potência de 85 W. Supondo que o impulsor em B esteja girando a 150 rpm, determinar a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida em A, localizada no eixo de transmissão que tem 20 mm de diâmetro. Próxima Aula � Estudo de Torção. � Ângulo de Torção. � Distorção. Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Resistência dos Materiais Aula 7 – Estudo de Torção, Ângulo de Torção Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Ângulo de Torção Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais O projeto de um eixo depende de limitações na quantidade de rotação ou torção ocorrida quando o eixo é submetido ao torque, desse modo, o ângulo de torção é importante quando se analisam as reações em eixos estaticamente indeterminados. ∫ ⋅ ⋅ = L GxJ dxxT 0 )( )(φ φφφφ = Ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra. T(x) = Torque interno na posição arbitrária x. J(x) = Momento de inércia polar do eixo expresso em função de x. G = Módulo de elasticidade ao cisalhamento do material. Cálculo para Área e Torque Constantes Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Normalmente, o material é homogêneo, de modo que G é constante, bem como, a área da seção transversal e o torque aplicado também são constantes, portanto, a equação que determina o ângulo de torção pode ser expressa do seguinte modo: GJ LT ⋅ ⋅ =φ Se o eixo estiver sujeito a diversos torques diferentes, ou a área da seção transversal e o módulo de elasticidade mudarem abruptamente de uma região para outra, o ângulo de torção pode ser determinado a partir da adição dos ângulos de torção para cada segmento do eixo, assim: ∑ ⋅ ⋅ = GJ LTφ Convenção de Sinais Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais A direção e o sentido do torque aplicado é definido a partir da aplicação da regra da mão direita. Torque e ângulo serão positivos se a direção indicada pelo polegar for no sentido de afastar-se do eixo. Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais EIXO SUJEITO A DIVERSOS TORQUES (DIAGRAMA REPRESENTATIVO) Exercício 1 Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 1) As engrenagens acopladas ao eixo de aço com uma das extremidades fixa estão sujeitas aos torques mostrados na figura. Supondo que o módulo de elasticidade de cisalhamento seja G = 80 GPa e o eixo tenha diâmetro de 14 mm, determinar o deslocamento do dente P da engrenagem A. O eixo gira livremente no mancal em B. Solução do Exercício 1 Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Torque interno: TAC = + 150 Nm TCD = -130 Nm TDE = -170 Nm Momento de inércia polar: 2 4cJ ⋅= pi 2 007,0 4⋅ = piJ 91077,3 −⋅=J m4 Solução do Exercício 1 Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais ∑ ⋅ ⋅ = GJ LTφ 999999 10801077,3 5,0170 10801077,3 3,0130 10801077,3 4,0150 ⋅⋅⋅ ⋅− + ⋅⋅⋅ ⋅− + ⋅⋅⋅ ⋅ = −−− φ 212,0−=φ rad O deslocamento do dente P na engrenagem A é: rs AP ⋅=φ 100212,0 ⋅=Ps 2,21=Ps mm Exercícios Propostos Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 1) Os dois eixos de aço maciço mostrados na figura estão acoplados por meio de engrenagens. Determinar o ângulo de torção da extremidade A do eixo AB quando é aplicado o torque T = 45 Nm. Supor G = 80 GPa. O eixo AB é livre para girar nos mancais E e F, enquanto o eixo DC é fixo em D. Cada eixo tem diâmetro de 20 mm. Exercícios Propostos Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 2) As extremidades estriadas e as engrenagens acopladas ao eixo de aço A-36 estão submetidas aos torques mostrados. Determinar o ângulo de torção da extremidade B em relação à extremidade A. O eixo tem diâmetro de 40 mm. Exercícios Propostos Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 3) O eixo de aço A-36 está composto pelos tubos AB e CD e por uma parte maciça BC. Apóia-se em mancais lisos que lhe permitem girar livremente. Se as extremidades estão sujeitas a torques de 85 Nm, qual o ângulode torção da extremidade A em relação à extremidade D? Os tubos tem diâmetro externo de 30 mm e diâmetro interno de 20 mm. A parte maciça tem diâmetro de 40 mm. Exercícios Propostos Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais 4) O eixo maciço de aço A-36 tem 3 m de comprimento e diâmetro externo de 50 mm. Requer-se que transmita 35 kW de potência do motor E para o Gerador G. Determinar a menor velocidade angular que o eixo pode ter se a máxima torção admissível é de 1°. Próxima Aula � Introdução ao Estudo da Flexão Simples. � Diagramas de Esforços Solicitantes. Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Resistência dos Materiais Aula 9 – Avaliação 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Avaliação 1 � Matéria da Prova: � Aula 1 - Definição de Resistência dos Materiais e Estudo do Carregamento Interno Resultante � Aula 2 - Tensão Normal Média e Tensão de Cisalhamento Média � Aula 3 - Tensão Admissível, Fator de Segurança e Projeto de Acoplamentos Simples � Aula 4 - Deformações e Propriedades Mecânicas dos Materiais � Aula 5 - Carga Axial e Princípio de Saint-Venant � Aula 6 - Estudo de Torção, Transmissão de Potência e Torque � Aula 7 - Estudo de Torção, Distorção e Ângulo de Torção Aula 9 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais Próxima Aula � Introdução ao Estudo da Flexão Simples. � Diagramas de Esforços Solicitantes. Aula 9 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Resistência dos Materiais
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