3ª Lista de Exercícios Prof CARLOS ANTONIO SILVA VIEIRA

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UEMA/DEMATI CA´LCULO II - ENG MECAˆNICA Prof. Carlos Vieira
3ª Lista de exerc´ıcios - Derivadas Parciais
1. Determine as derivadas parciais das seguintes func¸o˜es.
(a) f(x, y) = 5x4y2 + xy3 + 4
(b) z = x
3 + y2
x2 + y2
(c) f(x, y) = e−x2−y2
(d) f(x, y) = x2 ln(1 + x2 + y2)
(e) f(x, y) = 3
√
x3 + y2 + 3
(f) z = x sin y
cos(x2 + y2)
(g) f(x, y) = exy sin(x+ y)
(h) f(x, y) = ln(x4+y4) arcsin
√
1− x2 − y2
2. Considere a func¸a˜o z = xy
2
x2 + y2
. Verifique que x∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= z.
3. Seja φ : R → R uma func¸a˜o de uma varia´vel real, diferencia´vel e tal que φ(1) = 4. Seja g(x, y) = φ(x
y
).
Calcule.
(a) ∂g
∂x
(1, 1) (b) ∂g
∂y
(1, 1)
4. Considere a func¸a˜o dada por w = xy + z4, onde z = z(x, y). Admita que ∂z
∂x
x=1
y=1
= 4 e que z = 1 para
x = 1 e y = 1. Calcule ∂w
∂x
x=1
y=1
.
5. Determine ∂f
∂x
e ∂f
∂y
sendo f(x, y) =

x+ y4
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
6. Uma placa de ac¸o plana tem a forma de um c´ırculo de raio a e centro na origem do plano xy. A temperatura
em um ponto qualquer da chapa e´ proporcional ao quadrado da distaˆncia desse ponto ao centro da chapa,
com uma constante de proporcionalidade k > 0.
(a) Se uma part´ıcula localizada no ponto (a
2
, 0) se desloca para a direita sobre o eixo dos x sofrera´
aumento ou diminui¸ca˜o de temperatura?
(b) Qual a taxa de variac¸a˜o de temperatura em relac¸a˜o a` varia´vel y, no ponto (a
2
, 0)?
7. A temperatura em um ponto (x, y) sobre uma placa de metal no plano xy e´ T (x, y) = x3+2y2+x graus.
Suponha que a distaˆncia seja medida em cent´ımetros e determina a taxa na qual a temperatura varia com
a distaˆncia se iniciarmos no ponto (1, 2) e movermos
(a) para a direita e paralelamente ao eixo x
(b) para cima e paralelamente ao eixo y
8. De acordo com a lei dos gases ideais, a pressa˜o, a temperatura e o volume de um ga´s esta˜o relacionados por
P = KT/V , onde K e´ uma constante de proporcionalidade. Suponha que V seja medido em polegadas
cu´bicas (pol3), T seja medido em Kelvins (K), e que para um certo ga´s a constante de proporcionalidade
seja k = 10pol · lb/K .
(a) Determine a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea da pressa˜o em relac¸a˜o a` temperatura se a temperatura
for 80K e o volume permanecer constante em 50pol3.
(b) Determine a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea do volume em relac¸a˜o a` pressa˜o se o volume for 50pol3
e a temperatura permanecer constante em 80K .
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