Lista5 GA

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Lista 5 de Geometria Analítica
Produto Vetorial
Simone Ribeiro
1. O ângulo entre ~u e ~v é de 30o, e seus comprimentos são 2 e 3, respectivamente.
Calcule |~u × ~v|. Resp: 3.
2. O ângulo entre ~u e ~v é de 30o, e seus comprimentos são 1 e 7, respectivamente.
Calcule |~u × ~v| e |4~u × 9~v|. Resp: 7/2 e 126.
3. O triângulo ABC tem área 4. Sendo ~u = ~AB e ~v = ~AC, calcule |~u × ~v|. Resp: 8.
4. Seja h a altura do triângulo ABC relativa ao lado AB. Prove que
h =
| ~AB × ~AC|
| ~AB|
.
5. O ângulo entre os vetores ~a e ~b é 60o e seus comprimentos são, respectivamente, 1
e 2. Sendo ~u = ~a +~b e ~v = ~a −~b, calcule |~u × ~v. Resp: 2√6.
6. Calcule (
√
2~u− √3~v+ ~w)× (−√6~u+3~v− √3~w). Resp: ~0, pois o segundo é o produto
de −√3 pelo primeiro.
7. Demonstre as relações
(a) |~u × ~v| ≤ |~u||~v|.
(b) |~u × ~v| = |~u||~v| ⇐⇒ ~u ⊥ ~v.
8. Sendo {~i, ~j,~k} uma base ortonormal positiva, calcule (2~k−~i+5~j)× (3~i−2~k+ ~j). Resp:
−12~i + 4~j − 16~k
9. Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo ~AB = (1, 1,−1) e ~AD = (2, 1, 4).
Resp:
√
62
10. Calcule a área do triângulo ABC, sendo ~AB = (−1, 1, 0) e ~AC = (0, 1, 3). Resp:
√
19
2 .
1
2
11. Usando a definição de duplo produto vetorial dada por
(~u × ~v) × ~w = −(~v · ~w)~u + (~u · ~w)~v,
prove que (~u × ~v) × ~w + (~v × ~w) × ~u + (~w × ~u) × ~v = ~0.
12. Dados os pontosA(2,−1, 2), B(1, 2,−1) eC(3, 2, 1), determinar vetor ~CB×( ~BC−2 ~CA).
Resp: (12,−8,−12)
13. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2~u+ ~v e ~v− ~u, sendo
dados ~u = (3,−1,−2) e ~v = (1, 0,−3). Resp: x(3, 7, 1), x ∈ R
14. Determinar o valor de m para que o vetor ~w = (1, 2,m) seja simultaneamente
ortogonal aos vetores ~v1 = (2,−1, 0) e ~v2 = (1,−3,−1). Resp: −5. C
15. Dados os vetores ~v = (a, 5b,−c/2) e ~w = (−3a, x, y), determinar x e y tais que
~v × ~w = ~0. Resp. x = −15b e y = 3/2c.
16. Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores ~v1 = (1, 1, 0)
e ~v2 = (2,−1, 3). Nas mesmas condições, determinar um vetor de módulo 5. Resp:
Duas soluções para cada caso: ( 1√
3
,− 1√
3
,− 1√
3
) ou (− 1√
3
, 1√
3
, 1√
3
) e 5( 1√
3
,− 1√
3
,− 1√
3
) ou
5(− 1√
3
, 1√
3
, 1√
3
).
17. Dados os vetores ~u = (3, 4, 2) e ~v = (2, 1, 1), obter um vetor de módulo 3 que seja ao
mesmo tempo ortogonal a aos vetores 2~u − ~v e ~u + ~v. Resp: ( 6√
30
, 3√
30
,− 15√
30
)
18. Calcular a área do paralelogramo definido pelos pontos A(1,−2, 3), B(4, 3,−1),
C(5, 7,−3) e D(2, 2, 1). Resp: √89.
19. Calcular a área do triângulo definido pelos pontosA(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1) eC(0, 1, 3).
Resp:
√
6
20. Calcule a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A(3, 2, 1) e uma
diagonal de extremidades B(1, 1,−1) e C(0, 1, 2). Resp: √74
21. Calcular x sabendo que a A(x, 1, 1), B(1,−1, 0) e C(2, 1,−1) são vértices de um
triângulo de área
√
29
2 . Resp: 3 ou 1/5.
22. Sendo ~u e ~v vetores do espaço, com ~v , ~0,
(a) determinar o número real r tal que o vetor ~u − r~v é ortogonal a ~v.
(b) mostrar que (~u + ~v) × (~u − ~v) = 2~v × ~u.