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M
Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Me´todos Matema´ticos
5a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo I - Monica Merkle
1. Calcule as derivadas das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) = 35x
(b) f(x) = 25x34x
2
(c) f(x) = log10 x
x
(d) f(x) = loga(loga(loga x))
(e) f(x) = xlnx
(f) f(x) = xx
x
(g) f(x) = xe
x
(h) g(x) = ( senx2)4x
(i) f(x) = (cos x) senx
(j) f(x) = (ln senx)e
x
(k) G(z) = log10 | cossec z − cotg z|
(l) f(x) = ( tg x)x
(m) f(x) = xcoshx
(n) f(x) = x arccossec ( 1
x
)
(o) f(x) = arccotg ( 2
x
) + arctg (x
2
)
(p) f(t) = t2 arccos t
(q) f(x) = ln( arctg 3x)
(r) f(x) = x arccotg x+ ln(
√
1 + x2)
(s) f(t) = arcsen
(
t−1
t+1
)
(t) f(x) = x senx + arcsenx
2. Dada
f(x) =

x, se x < 1
x2, se 1 ≤ x ≤ 9
27
√
x, se x > 9
verifique que f tem uma func¸a˜o inversa e encontre f−1(x).
3. A func¸a˜o f(x) = x4 + 1 e´ crescente para x > 0. Ache a derivada de f−1(x).
4. Uma bola de bilhar e´ atingida e movimenta-se em linha reta. Se s cm for a distaˆncia da bola
de sua posic¸a˜o inicial apo´s t s, enta˜o s = 100t2 + 100t. Com qual velocidade a bola atingira´
a tabela da posic¸a˜o inicial que esta´ a 39 cm ?
5. Se a a´gua de uma piscina esta´ sendo escoada e V litros e´ o volume de a´gua na piscina t min
apo´s o escoamento ter comec¸ado, onde V = 250(40 − t)2, encontre com que rapidez a a´gua
flui da piscina apo´s 5 min do escoamento ter comec¸ado.
6. Mandaram um estudante de Qu´ımica calcular a derivada de loge( senx) no ponto x =
5pi
3
. Ele
aplicou a regra da cadeia e obteve (loge( senx))
′ = cosx
senx
. Substituiu 5pi
3
em x e calculou o
resultado com sua ma´quina de calcular, obtendo −0, 5773505. A resposta esta´ certa?
7. Se um cilindro reto de base circular tem altura 10 cm, encontre a raza˜o de variac¸a˜o instantaˆnea
do volume em relac¸a˜o ao raio de sua base, quando o raio e´ 5.
Respostas:
1. (a) (5 ln 3)35x;
(b) (5 ln 2)25x34x
2
+ (8 ln 3)x25x34x
2
;
(c)
1
ln 10
−log10 x
x2
;
(d) 1
(ln a)3x loga(loga x). loga x
;
(e) 2x
ln x lnx
x
;
(f) xx
x
[x
x
x
+ xx(lnx+ 1) lnx];
(g) xe
x
(ex lnx+ e
x
x
);
(h) ( senx2)4x[4 ln( senx2) + 8x2 cotg x2];
(i) (cos x) senx[cosx ln cosx− sen 2x
cosx
];
(j) (ln( senx))e
x
[ex ln(ln sen x) + e
x cotg x
ln( senx)
];
(k) 1
ln 10
1
cossec z− cotg z [− cossec z cotg z + cossec 2z];
(l) ( tg x)x[ln tg x+ x sec
2 x
tg x
];
(m) xcoshx[ senhx lnx+ coshx
x
];
(n) arccossec ( 1
x
) +
x 1
x2
1
|x|
√
1
x2
−1
;
(o) 1
1+ 4
x2
2
x2
+
1
2
1+x
2
4
;
(p) 2t arccos t−
(
t2√
1−t2
)
;
(q) 1
arctg 3x
3
1+9x2
;
(r) arccotg x− x
1+x2
+ x
1+x2
;
(s) 1√
1−( t−1t+1)
2
2
(t+1)2
;
(t) x senx(cosx lnx+ senx
x
) + 1√
1−x2 .
2. f e´ mono´tona crescente, f−1(x) =

x, se x < 1√
x, se 1 ≤ x ≤ 81
x2
(27)2
, se x > 81
.
3.
1
4(x− 1)3/4 .
4. 160cm/s quando t = 0, 3s.
5. –17500.
6. errada, pois sen 5pi
3
< 0.
7. 100pi.
2

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