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M Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMA´TICA Departamento de Me´todos Matema´ticos 5a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo I - Monica Merkle 1. Calcule as derivadas das func¸o˜es abaixo: (a) f(x) = 35x (b) f(x) = 25x34x 2 (c) f(x) = log10 x x (d) f(x) = loga(loga(loga x)) (e) f(x) = xlnx (f) f(x) = xx x (g) f(x) = xe x (h) g(x) = ( senx2)4x (i) f(x) = (cos x) senx (j) f(x) = (ln senx)e x (k) G(z) = log10 | cossec z − cotg z| (l) f(x) = ( tg x)x (m) f(x) = xcoshx (n) f(x) = x arccossec ( 1 x ) (o) f(x) = arccotg ( 2 x ) + arctg (x 2 ) (p) f(t) = t2 arccos t (q) f(x) = ln( arctg 3x) (r) f(x) = x arccotg x+ ln( √ 1 + x2) (s) f(t) = arcsen ( t−1 t+1 ) (t) f(x) = x senx + arcsenx 2. Dada f(x) = x, se x < 1 x2, se 1 ≤ x ≤ 9 27 √ x, se x > 9 verifique que f tem uma func¸a˜o inversa e encontre f−1(x). 3. A func¸a˜o f(x) = x4 + 1 e´ crescente para x > 0. Ache a derivada de f−1(x). 4. Uma bola de bilhar e´ atingida e movimenta-se em linha reta. Se s cm for a distaˆncia da bola de sua posic¸a˜o inicial apo´s t s, enta˜o s = 100t2 + 100t. Com qual velocidade a bola atingira´ a tabela da posic¸a˜o inicial que esta´ a 39 cm ? 5. Se a a´gua de uma piscina esta´ sendo escoada e V litros e´ o volume de a´gua na piscina t min apo´s o escoamento ter comec¸ado, onde V = 250(40 − t)2, encontre com que rapidez a a´gua flui da piscina apo´s 5 min do escoamento ter comec¸ado. 6. Mandaram um estudante de Qu´ımica calcular a derivada de loge( senx) no ponto x = 5pi 3 . Ele aplicou a regra da cadeia e obteve (loge( senx)) ′ = cosx senx . Substituiu 5pi 3 em x e calculou o resultado com sua ma´quina de calcular, obtendo −0, 5773505. A resposta esta´ certa? 7. Se um cilindro reto de base circular tem altura 10 cm, encontre a raza˜o de variac¸a˜o instantaˆnea do volume em relac¸a˜o ao raio de sua base, quando o raio e´ 5. Respostas: 1. (a) (5 ln 3)35x; (b) (5 ln 2)25x34x 2 + (8 ln 3)x25x34x 2 ; (c) 1 ln 10 −log10 x x2 ; (d) 1 (ln a)3x loga(loga x). loga x ; (e) 2x ln x lnx x ; (f) xx x [x x x + xx(lnx+ 1) lnx]; (g) xe x (ex lnx+ e x x ); (h) ( senx2)4x[4 ln( senx2) + 8x2 cotg x2]; (i) (cos x) senx[cosx ln cosx− sen 2x cosx ]; (j) (ln( senx))e x [ex ln(ln sen x) + e x cotg x ln( senx) ]; (k) 1 ln 10 1 cossec z− cotg z [− cossec z cotg z + cossec 2z]; (l) ( tg x)x[ln tg x+ x sec 2 x tg x ]; (m) xcoshx[ senhx lnx+ coshx x ]; (n) arccossec ( 1 x ) + x 1 x2 1 |x| √ 1 x2 −1 ; (o) 1 1+ 4 x2 2 x2 + 1 2 1+x 2 4 ; (p) 2t arccos t− ( t2√ 1−t2 ) ; (q) 1 arctg 3x 3 1+9x2 ; (r) arccotg x− x 1+x2 + x 1+x2 ; (s) 1√ 1−( t−1t+1) 2 2 (t+1)2 ; (t) x senx(cosx lnx+ senx x ) + 1√ 1−x2 . 2. f e´ mono´tona crescente, f−1(x) = x, se x < 1√ x, se 1 ≤ x ≤ 81 x2 (27)2 , se x > 81 . 3. 1 4(x− 1)3/4 . 4. 160cm/s quando t = 0, 3s. 5. –17500. 6. errada, pois sen 5pi 3 < 0. 7. 100pi. 2
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