Probabilidade na Estatística

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PROBABILIDADE 
Def.: "Se um evento pode ocorrer em N maneiras 
mutuamente excludentes e igualmente prováveis, e se 
m dessas ocorrências tem uma característica E”, 
então a probabilidade de ocorrência de E é: 
 
P(E) = m/N 
 
N - Maneiras 
 
• ESPAÇO AMOSTRAL - É o conjunto de todas as 
possibilidades de ocorrência do evento estudado. 
 
• LANÇAMENTO DE 1 DADO: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
• LANÇAMENTO DE 2 DADOS: {(1,1), (1,2), (1,3), 
(1,4), (1,5), (1,6), (2,1), ....,(6,5), (6,6)} 
 
• SOMA DE 2 DADOS {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 
MUTUAMENTE EXCLUDENTES E 
IGUALMENTE PROVÁVEIS 
• Igualmente prováveis: Não viciado, bias, 
viés. 
 
• Mutuamente excludentes. 
M - OCORRÊNCIAS TEM UMA 
CARACTERÍSTICA - E 
SOMA DE DOIS DADOS 
 
• 2 : (1,1) 
• 3: (1,2), (2,1) 
• 4: (2,2), (1,3), (3,1) 
• 5: (1,4), (2,3),(3,2), (4,1) 
• 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) 
• 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 
• 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) 
• 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) 
• 10: (4,6), (5,5), (6,4) 
• 11: (5,6), (6,5) 
• 12: (6,6) 
•
2
 :
 
(1
,1
) 
•
3
: 
 
(1
,2
),
 (
2
,1
) 
•
4
: 
 
(2
,2
),
 (
1
,3
),
 (
3
,1
) 
•
5
: 
 
(1
,4
),
 (
2
,3
),
(3
,2
),
 (
4
,1
) 
•
6
: 
 
(1
,5
),
 (
2
,4
),
 (
3
,3
),
 (
4
,2
),
 (
5
,1
) 
•
7
: 
 
(1
,6
),
 (
2
,5
),
 (
3
,4
),
 (
4
,3
),
 5
,2
),
 6
,1
) 
•
8
: 
 
(2
,6
),
 (
3
,5
),
 (
4
,4
),
 (
5
,3
),
 (
6
,2
) 
•
9
: 
 
(3
,6
),
 (
4
,5
),
 (
5
,4
),
 (
6
,3
) 
•
1
0
: 
(4
,6
),
 (
5
,5
),
 (
6
,4
) 
•
1
1
: 
(5
,6
),
 (
6
,5
) 
•
1
2
: 
(6
,6
) 
M - OCORRÊNCIAS TEM UMA 
CARACTERÍSTICA - E 
P(E) = m/N 
•
2
 :
 
(1
,1
) 
•
3
: 
 
(1
,2
),
 (
2
,1
) 
•
4
: 
 
(2
,2
),
 (
1
,3
),
 (
3
,1
) 
•
5
: 
 
(1
,4
),
 (
2
,3
),
(3
,2
),
 (
4
,1
) 
•
6
: 
 
(1
,5
),
 (
2
,4
),
 (
3
,3
),
 (
4
,2
),
 (
5
,1
) 
•
7
: 
 
(1
,6
),
 (
2
,5
),
 (
3
,4
),
 (
4
,3
),
 5
,2
),
 6
,1
) 
•
8
: 
 
(2
,6
),
 (
3
,5
),
 (
4
,4
),
 (
5
,3
),
 (
6
,2
) 
•
9
: 
 
(3
,6
),
 (
4
,5
),
 (
5
,4
),
 (
6
,3
) 
•
1
0
: 
(4
,6
),
 (
5
,5
),
 (
6
,4
) 
•
1
1
: 
(5
,6
),
 (
6
,5
) 
•
1
2
: 
(6
,6
) 
P(2) = 1/36 
P(3) = 2/36 
P(4) = 3/36 
P(5) = 4/36 
P(6) = 5/36 
P(7) = 6/36 
P(8) = 5/36 
P(9) = 4/36 
P(10) = 3/36 
P(11) = 2/36 
P(12) = 1/36 
TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO 
NORMAL 
 
Propriedades: 
– Tem a forma de um sino com caudas. A curva 
jamais toca o eixo x (varia de –infinito a 
+infinito). Na prática, são usados valores finitos. 
– A curva é simétrica em relação à perpendicular 
que passa pela média (). 
– A Área sob a curva = 1 
CURVA COM DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
CURVA NORMAL 
• O conhecimento das propriedades da curva normal é 
muito útil. Assim, se uma variável tem distribuição 
normal e se seus parâmetros forem conhecidos, não é 
mais necessário representar os dados sob a forma de 
tabelas ou gráficos para conhecer a probabilidade de 
ocorrência dos valores. 
 
• As características do modelo de distribuição normal 
fazem com que ele tenha ampla aplicação prática. É 
necessário, porém, assegurar-se de que a distribuição 
empírica (observada) da variável seja normal. 
CARACTERÍSTICAS 
• Se uma População apresentar distribuição 
normal, as amostras aleatórias distribuem-se 
também segundo uma curva de normalidade. 
PARÂMETROS DE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
2 x Desvio Padrão 
Média 
 nxX /)(
Média 
Desvio Padrão 
 
 1
2




n
xx
s
 
 
Modelo 
 
Amostra 
 
Parâmetro de 
medida Central 
 
Média 
 
Média amostral 
 
Símbolo 
 
 
 
 
 
Parâmetro de 
medida de dispersão 
 
Desvio padrão 
 
Desvio padrão 
amostral 
 
Símbolo 
 
 
 
s 
 
X
• Equação publicada em 1733 (De Moivre): 
       22 2)2(1   Xexf
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 : Média da função de distribuição de probabilidade 
VARIÂNCIA 
• É uma medida que calcula o quanto seus dados estão 
“espalhados”. 
– Quanto maior a variância de um conjunto de dados, 
maior a dispersão. 
– Depois de coletados os dados, um dos meios de 
estimar a variância é pela seguinte fórmula: 
DESVIO PADRÃO 
• É uma medida que calcula o quanto seus dados podem se distanciar 
da média: 
– Uma dificuldade com a variância, como medida descritiva da 
dispersão, é o fato de não poder ser apresentada com a mesma 
unidade com que o conjunto de valores foi medida (já que a 
unidade que acompanha esta variável é o quadrado da unidade 
de mensuração de x). 
– Com o desvio padrão, foi realizada a simples operação de 
utilizar da raiz quadrada da média do quadrado dos desvios dos 
dados observados, em relação à média da distribuição destes. 
 
  
 1
2




n
xx
s
pdf: função de distribuição de probabilidade. 
Modelo 
pdf 
Amostra 
pdf 
Histograma 
amostra 
Modelo 
 = 0 
 = 1 
Amostra 
 = 0,53 
S = 0,80 
X
Comparação do resultado de um experimento hipotético 
com o modelo teórico (N=22) 
Distribuição Normal 
47 37 
44 35 
37 32 
44 38 
44 36 
Conjunto de dados 
Descritores ou Parâmetros 
46,5 38,5 
13,2 10,7 
Técnica A Técnica B 
Média 
Desvio Padrão 
Técnica A
0
2
4
6
8
10
12
14
28 35 42 49 56 63 70 Mais
Bloco
F
re
q
ü
ên
ci
a
Tecnica B
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
23 28 34 39 45 50 56 Mais
Bloco
Classificação e Gráfico 
Modelo 
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69
Técnica A
Técnica B
• A variável Z é a diferença, em unidades de desvio padrão, 
entre um determinado valor x e a média. 
• Portanto, a variável Z pode ser interpretada como o 
número de desvios padrão envolvidos no afastamento de 
um determinado valor de x em relação à média. 
 

 xz
 
s
xxz 
Variável Z 
Para uma Amostra Normal, a área total sob a mesma é 
igual a 1, e: 
• 68.27% dos valores estão entre - e + (1 
desvio-padrão); 
• 95.45% dos valores estão entre -2 e +2 (2 
desvios-padrão); 
• 99.73% dos valores estão entre -3 e +3 (3 
desvios-padrão); 
• 99.99% dos valores estão entre -4 e +4 (4 
desvios-padrão). 
Variável Z 
47 37 
44 35 
37 32 
44 38 
44 36 
Conjunto de dados 
Descritores ou Parâmetros 
46,5 38,5 
13,2 10,7 
Técnica A Técnica B 
Média 
Desvio Padrão 
Transformação Z 
Modelo 
Único 
Histograma
Z( Técnica A)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-2
-1
,5 -1
-0
,5 0 0,
5 1
1,
5 2
M
ai
s
F
re
q
ü
ê
n
c
ia
Histograma
Z(Técnica B)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-2
-1
,5 -1
-0
,5 0 0,
5 1
1,
5 2
M
ai
s
F
re
q
ü
ê
n
c
ia
Distribuição Z
0
0,05
0,10,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-3
-2
,7
-2
,4
-2
,1
-1
,8
-1
,5
-1
,2
-0
,9
-0
,6
-0
,3 0 0,
3
0,
6
0,
9
1,
2
1,
5
1,
8
2,
1
2,
4
2,
7 3
Variável Z 
Variável Z 
Variável Z 
Variável Z 
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Data
D
en
si
ty
 
 
data data
fit 1
Distribuição Normal 
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
Data
D
en
si
ty
 
 
hsalto data
fit 1