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Teste de comparação por limite
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1 Teste de comparação por limite Exemplo: Analise a convergência da série ∑ 1 2𝑛− 1 ∞ 𝑛=1 Tome an = 1 2𝑛− 1 e bn = 1 2𝑛 Portanto lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = lim 𝑛→∞ 2𝑛 2𝑛− 1 = lim 𝑛→∞ 1 1− 1 2𝑛⁄ = 1 > 0. Como o limite existe e ∑ 1 2𝑛 ∞ 𝑛=1 é uma série geométrica convergente, a série ∑ 1 2𝑛− 1 ∞ 𝑛=1 é convergente pelo teste da comparação do limite. Exemplo: Analise a convergência da série ∑ 2𝑛2+ 3𝑛 √5 + 𝑛5 ∞ 𝑛=1 an = 2𝑛2+ 3𝑛 √5 + 𝑛5 e bn = 2𝑛2 𝑛 5 2⁄ = 2 𝑛 1 2⁄ Portanto, lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = lim 𝑛→∞ 2𝑛2+ 3𝑛 √5 + 𝑛5 . 𝑛 1 2⁄ 2 = lim 𝑛→∞ 1 1− 1 2𝑛⁄ = 1 > 0. Como o limite existe e ∑ 𝑏𝑛 é divergente, então a série ∑ 2𝑛2+ 3𝑛 √5 + 𝑛5 ∞ 𝑛=1 é divergente. Exemplo: Verifique se a série ∑ 4 3𝑛+ 1 ∞ 𝑛=1 dada converge ou diverge. ∑ 4 3𝑛+ 1 ∞ 𝑛=1 temos an = 4 3𝑛+ 1 e bn = 4 3𝑛 Portanto lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = lim 𝑛→∞ 4 3𝑛+ 1 . 3𝑛 4 = lim 𝑛→∞ 3𝑛 3𝑛+ 1 = lim 𝑛→∞ 3𝑛 3𝑛⁄ 3𝑛 3𝑛⁄ + 1 3𝑛⁄ = 1 > 0. Como o limite existe e ∑ 4 3𝑛 ∞ 𝑛=1 é uma série geométrica convergente, então a série ∑ 4 3𝑛+ 1 ∞ 𝑛=1 é convergente.
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