Resolução Exercícios do Livro

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UNIDADE I 
Considere a viga em formato de L apresentada nas Figuras 1 e 2: 
 
 
Figura 1 Figura 2 
 
Nas quais: 
 Figura 1 Figura 2 
a (mm) 150 150 
b (mm) 100 100 
t (mm) 12 15 
1.) Determine as coordenadas ̅ e ̅ do centróide C da Figura 1 e assinale a 
alternativa correta. 
a. ̅ = 24,49 mm e ̅ = 49,49 mm. 
b. ̅ = 49,49 mm e ̅ = 24,49 mm. 
c. ̅ = 20 mm e ̅= 40 mm. 
d. ̅ = 35,18 mm e ̅ = 0 mm. 
e. ̅ = 0 mm e ̅ = 49,49 mm. 
 
Resolução: 
 
Para encontrar o centroide dessa figura, podemos aplicar o método das áreas 
compostas (página 20 – equações 4 e 5). Antes, devemos dividir a área no 
menor número de área simples. Vamos dividir em dois retângulos, como 
mostrado a seguir: 
 
 
Figura 1.1 
 
Pela figura 1.1, percebemos que: 
 
 ̅ 
 
 
 
 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 ̅ 
 
 
 
 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
Desse forma, pela equação 4: 
 
 ̅ 
∑ ̅ 
∑ 
 
 ̅ ̅ 
 
 
 
 ̅ 
 
 
 
 
 ̅ 
 
Pela equação 5: 
 
 ̅ 
∑ ̅ 
∑ 
 
 ̅ ̅ 
 
 
 
 ̅ 
 
 
 
 
 ̅ 
 
Resposta: Alternativa a) 
 
2.) Calcule os momentos de inércia e em relação aos eixos e para 
a Figura 1. 
 
Resolução: 
 
O momento de inércia de uma área composta é a soma dos momentos de 
inércia das áreas simples que a compõem, dessa forma: 
 
 
 
 
 
Cálculo de : 
 
Para o retângulo 1 (12 mm de base por 138 mm de altura). 
 
O eixo x não passa pelo centroide, dessa forma, devemos aplicar o teorema 
dos eixos paralelos: 
 
 ̅ 
 
 
 ̅ é o momento de inércia da área 1 em relação ao eixo horizontal que 
passa pelo centroide, dado pela equação (a) da página 24: 
 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 é a distância do centroide ao eixo x, ou seja, . Como 
 , então: 
 
 
 
 
Para o retângulo 2 (100 mm de base por 12 mm de altura). 
 
Novamente, eixo x não passa pelo centroide, dessa forma, devemos aplicar o 
teorema dos eixos paralelos: 
 
 ̅ 
 
 
 ̅ é o momento de inércia da área 2 em relação ao eixo horizontal que 
passa pelo centroide, dado pela equação (a) da página 24: 
 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 é a distância do centroide ao eixo x, ou seja, . Como 
 , então: 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
Cálculo de : 
 
Para o retângulo 1 (12 mm de base por 138 mm de altura). 
 
O eixo y não passa pelo centroide, dessa forma, devemos aplicar o teorema 
dos eixos paralelos: 
 
 ̅ 
 
 
 ̅ é o momento de inércia da área 1 em relação ao eixo vertical que passa 
pelo centroide, dado pela equação (b) da página 25: 
 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 é a distância do centroide ao eixo y, ou seja, . Como 
 , então: 
 
 
 
 
 
Para o retângulo 2 (100 mm de base por 12 mm de altura). 
 
O eixo y não passa pelo centroide, dessa forma, devemos aplicar o teorema 
dos eixos paralelos: 
 
 ̅ 
 
 
 ̅ é o momento de inércia da área 2 em relação ao eixo vertical que passa 
pelo centroide, dado pela equação (b) da página 25: 
 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 é a distância do centroide ao eixo y, ou seja, . Como 
 , então: 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
3.) Calcule para a Figura 2: 
 
a) Os momentos de inércia e em relação aos eixos e . 
b) O produto de inércia em relação aos eixos e . 
 
Considere θ = 30º 
 
Resolução: 
 
a) Determinar e vai precisar do cálculo de , e 
 
 
Para calcular e , basta aplicar o mesmo procedimento desenvolvido no 
exercício anterior para a figura 2 (o que muda é que, para essa figura, t=15 
mm): 
 
 
Quando isso é feito, encontramos: 
 
 
 
 
 
 
Como foi fornecido , então devemos usar a equação (21) para 
encontrar e (22) para encontrar . Esta equações precisam do produto de 
inércia. Dessa forma, vamos calcular esta quantidade: 
 
 ∫ 
 
 
 
Aplicando o procedimento explicado na aula conceitual 2 (Tópico 2, Unidade I), 
devemos dividir a figura em duas área. Assim, o produto de inércia da figura 
composta é a soma dos produtos de inércia das figuras que a compõem. 
 
 ∫ 
 
 ∫ 
 
 
 
 
Para o retângulo 1 ( e ): 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫ [
 
 
]|
 
 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 [
 
 
]|
 
 
 
 
 [
 
 
 
 
 
] 
 
 
 
Para o retângulo 2 ( e ): 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫ [
 
 
]
 
 
 
 
 
 
 
 ∫ [
 
 
] 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 [
 
 
]
 
 
 
 
 [
 
 
] 
 
 
 
 
Assim 
 
 
Dessa forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela equação 21 da página 33: 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
Substituindo os valores: 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
Pela equação 22 da página 33: 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
Substituindo os valores: 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
Pela equação 23 da página 33: 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
4.) Com relação à Figura 2, quais os momentos de inércia principais 
(máximo e mínimo)? 
 
Resolução: 
 
Do exercício anterior: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim de acordo com as equações 25 e 26 da página 34: 
 
 
 
 
 √(
( )
 
)
 
 
 
Substituindo os valores: 
 
 
 
 √(
( )
 
)
 
 ( ) 
 
 
 √( ) () 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.) Calcular as reações de apoios da estrutura da Figura 3 para P1 = 15 kN, 
P2 = 10 kN; P3 = 2*P1 e q = 10kN. 
 
 
 
Resolução: 
 
Supondo que: 
 O apoio da esquerda é o A e o apoio da direita é o B 
 No apoio B, as reações horizontais podem ser desprezadas (será visto o porquê 
disso na unidade 4 – Reações vinculares) 
 equivale a dizer . 
 
O diagrama do corpo livre é mostrado na figura a seguir: 
 
Figura 1 – Diagrama do corpo livre 
 
Com o diagrama do corpo livre desenhado, o próximo passo é aplicar as equações do 
equilíbrio estático (equações (37), (38) e (39) da página 50) . 
Aplicando a equação (37) da página 50 combinada com a equação (28) da página 47, 
temos (a seta no início com o sinal de + indica o sentido positivo): 
 ∑ 
 
 
DICA: Para análise das forças horizontais, comece da parte de baixo do diagrama e vá 
subindo, ao longo do diagrama. 
Aplicando a equação (38) da página 50 combinada com a equação (29) da página 47, 
temos: 
 ∑ 
 
 
 (Equação 5.1) 
 
DICA: Para análise das forças verticais, comece da esquerda e vá indo para a direita, ao 
longo do diagrama do corpo livre. 
 
 
Figura 2 – Aplicando a equação do equilíbrio estático em relação ao ponto A, em 
vermelho 
 
Aplicando a equação (39) da página 50 combinada com a equação (30) da página 47, 
em relação ao ponto A (vermelho, na Figura 2), temos: 
 
 
∑ ∑ 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 (Equação 5.2) 
OBS 1: Em azul, os momentos das forças verticais. Em verde, os momentos das forças 
horizontais. 
OBS 2: Neste caso, a força horizontal vai provocar um momento (grifado em verde), 
pois a linha de ação da força não passa pelo ponto A. A força tende a fazer a estrutura 
girar em torno do ponto A no sentido anti-horário, logo é positivo. 
Dessa forma, combinando a Equação 5.1 e a equação 5.2, temos: 
 
 
 
 
Unidade II 
 
1.) Considerando as barras soldadas na Figura 1, a seguir, e sabendo que 
d1=50 mm e que d2=30 mm, calcule a tensão (a) na barra AB e (b) na 
Barra BC. 
 
 
Barras soldadas do exercício 1 
Fonte: Beer (2011, p. 38). 
 
Resolução: 
 
O exercício pede para calcular as tensões nas duas barras. Para isso, devem 
ser avaliadas as forças e as áreas de aplicação dessas forças, pois: 
 
 
 
 
 
 
Nota-se, pela figura, que as duas forças fazem um ângulo de 90° com as áreas 
de aplicação. Dessa forma. As tensões que vamos calcular são as tensões 
normais (equação 1 da página 65). 
 
a) Na barra AB, as duas forças estão atuando, logo: 
 
 
 
Esta barra tem diâmetro igual a 50 mm = 50 x10-3 m. Dessa forma: 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
Assim, a tensão que atua nesta barra é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Na barra BC, apenas a força de 30 kN está atuando. 
 
 
 
Esta barra tem diâmetro igual 30 mm = 30 x10-3 m. Dessa forma: 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
A tensão nesta barra é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.) Calcule o diâmetro do parafuso mostrado na Figura X, sabendo que a 
tensão de cisalhamento produzida foi de 105 MPa. 
 
Parafuso do exercício 2 
 
Resolução: 
Pela equação 3 da página 69, a tensão de cisalhamento é definida como: 
 
 
 
 
 
 
Se desenharmos o diagrama do corpo livre para o parafuso, notamos que ele 
se encontra em cisalhamento duplo: 
 
 
 
Dessa forma, a força de 10 kN = 10.000 N está sendo aplicada em duas áreas 
iguais da seção transversal do parafuso (que queremos determinar!). 
Se for essa área, a tensão de cisalhamento que foi produzida 
(105 MPa=105 x106 Pa, de acordo com o enunciado) é dada pela relação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como se trata de um círculo: 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
 [ALM1] Comentário: O gabarito 
está errado! 
3.) Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F): 
( V ) Materiais dúcteis sofrem deformações consideráveis antes de 
sofrerem ruptura. 
 
Página 72 – Item “Materiais dúcteis” 
 
( F ) O módulo de elasticidade é uma propriedade dos materiais e está 
relacionado com a região de escoamento, no diagrama de tensão-
deformação. 
 
Página 76 – O módulo de elasticidade é uma propriedade dos 
materiais, mas está relacionado com a região elástica ou linear no 
diagrama de tensão-deformação. 
 
( F ) Em geral, a maior deformação observada em um objeto sujeito a 
tração ocorre na região linear do diagrama de tensão-deformação. 
 
Página 77 – A maior deformação observada em um objeto sujeito a 
tração é na região plástica do diagrama 
 
( F ) O ponto de ruptura é a máxima tensão suportada por um material 
dúctil. 
 
Página 77 – A máxima tensão que pode ser suportada por um 
material é a tensão máxima. A tensão de ruptura é aquela em que o 
material se rompe. 
 
( F ) Materiais frágeis não apresentam qualquer tipo de deformação 
quando sujeitos à uma tração ou compressão. 
 
Página 72 – Materiais frágeis apresentam pouco ou nenhum 
escoamento, mas apresentam deformações, quando sujeitos à 
tração ou compressão. 
4.) Um arame de aço de 80 m de comprimento não pode ser deformado em 
mais de 30 mm quando suporta uma tração de 10 kN. Sabendo que 
E=200 GPa, determine: (a) o menor diâmetro que pode ser especificado 
para o arame; (b) o valor da tensão normal. 
 
Resolução: 
 
Do exercício: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual a equação que relaciona a deformação sofrida por um objeto com a força 
axial que está sendo aplicada? A equação 82! 
 
 
 
 
 
 
a) Devemos calcular o diâmetro do arame quando para que a deformação 
seja igual a 30 mm. O diâmetro está relacionado com a área, na 
equação acima. Dessa forma, devemos calcular a área! Isolando : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como se trata de um círculo: 
 
 
 
 
 
Isolando d: 
 
 √
 
 
 
 
 
 
b) Com a força do enunciado (F=10.000 N) e a área calculada 
(A=1,3333 x10-4 m2), é possível calcular a tensão: 
 
 
 
 
 
 
 
5.) A Figura 1 mostra um cilindro de aço com duas luvas de aço em suas 
extremidades sendo tracionado por uma força de intensidade P=51,9 
kN. Sabendo que A1=A3=1,2566 x10
-3 m2 e A2=7,0686 x10
-4 m2, calcule 
a deformação resultante. Dica: calcule a deformação para cada seção 
transversal. 
 
Exercício 5 
 
Resolução: 
Utilizando E=200 GPa = 200 x109 Pa, devemos calcular a deformação causada 
por uma força axial em um elemento que possui várias áreas diferentes. Dessa 
forma, a equação mais adequada é a equação 13 da página 82: 
 
 ∑Pela figura, notamos que: 
 
 
 
 
 
E do enunciado: 
 
 
 
 
Substituindo os valores na equação: 
 ∑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.) A estrutura mostrada na Figura 2, a seguir, diminui em 0,15 mm quando 
se utiliza uma placa rígida para aplicar uma força de intensidade 
desconhecida em sua extremidade. Determine: (a) a intensidade da 
força e (b) a tensão no núcleo de aço. 
 
 
Exercício 6 
Fonte: Beer (2011, p. 99). 
 
Resolução: 
 
O diagrama do corpo livre para a placa rígida é mostrado a seguir: 
 
 
 
Aplicando as equações da estática à placa rígida, obtemos apenas a seguinte 
equação: 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
Trata-se de um problema estaticamente indeterminado, pois a aplicação da 
estática não é suficiente. Dessa forma, as deformações que sofrem o núcleo de 
aço e o tubo de latão devem ser levados em conta. Por ser uma placa rígida, 
as duas deformações são iguais: 
 
 
 
 
Da equação 12, da página 82: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É informado pelo exercício: 
 
 
 
 
 
 
A seção transversal do núcleo de aço é quadrada, e possui lado igual a 
 
Assim: 
 ( 
 ) 
A seção transversal da estrutura é quadrada, com lado igual a: 
 
 
 
 
O tubo de aço possui área igual a área total menos a área do núcleo de aço, ou 
seja: 
 
 
 
 ( 
 ) 
 
 
 
 
Dessa forma, para o aço: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o latão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma, como : 
 
 
Para o núcleo de aço: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ALM2] Comentário: No gabarito, a 
unidade está errada. 
Unidade III 
1. Considere uma barra prismática de área A = 8 cm² , submetida à uma 
tração simples, demonstrada na Figura 1 (a). Imagine que foi realizado 
um corte imaginário na seção transversal mn, em um ângulo 
 como demonstrado na Figura 1 (b). Determinar as tensões normal e 
de cisalhamento, no plano inclinado em relação ao eixo da barra. 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 ( ) 
 
Devemos encontrar as tensões inclinadas ( e ) em um ângulo , 
dessa forma, as equações mais adequadas são as equações 6 e 7 da página 
106. 
 
 
 
 
Antes, devemos determinar : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 ( ) 
 
 
2. O estado plano de tensões em um determinado ponto de um corpo é 
representado pelo elemento demonstrado na Figura 2. Determine: 
a) A orientação do elemento em que a tensão de cisalhamento é máxima. 
b) A tensão de cisalhamento máxima no plano. 
c) A tensão normal correspondente. 
 
 Figura 2 - Estado plano de tensões de um determinado corpo 
 Fonte: os autores. 
 
Resolução 
Antes de tudo: sinal correto das tensões! 
 
Pena figura 4 da página 106: 
 
 
 
 
 
a) A equação 15 da página 110 fornece a orientação do elemento em que a 
tensão de cisalhamento é máxima. Dessa forma: 
 
 ( ) 
( ) 
 
 
 
 ( ) 
( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Calculando a tangente inversa: 
 
 
 
O outro ângulo é 
 
b) A tensão de cisalhamento máxima é dada pela equação 13 da página 
110. 
 
 √(
( )
 
)
 
 
 
 √(
( )
 
)
 
 
 
 √( ) 
 
[ALM3] Comentário: No gabarito 
está errado. O gabarito mostra a 
orientação das tensões principais, não 
a de cisalhamento máxima! 
 √ 
 
c) A tensão normal correspondente equivale à tensão norma média 
aplicada no plano (página 110). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Desenhe o Círculo de Mohr para o problema 2. 
 
Resolução: 
 
Seguindo os passos descritos no exemplo 2: 
 
Passo 1 – Estabeleça um sistema de coordenadas: 
 
O eixo horizontal é positivo para a direita, enquanto o eixo vertical é positivo 
para baixo. 
 
 
*Cada divisão vale 20 MPa 
Passo 2 – Determine a posição do centro da circunferência. 
 
O centro da circunferência é dado por : 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
Passo 3 – Determine o raio da circunferência: 
 
O raio da circunferência é a tensão máxima de cisalhamento: 
 
 √(
( )
 
)
 
 
 
Com a posição do centro e com o tamanho do raio, é possível (com a ajuda de 
um compasso) desenhar o círculo e identificar os pontos importantes nele. 
As tensões principais vão ser: 
 
 
 
 
 
 
O ponto X será ( ) ( ): 
 
 
 
O ponto Y será ( ) ( ): 
 
 
 
Ao ligarmos os pontos X e Y por uma reta, o menor ângulo entre essa reta e o 
eixo x nos dará a intensidade de 2 , que é um dos ângulos principais. 
 
 
[ALM4] Comentário: No gabarito, o 
ângulo mostrado é igual a 
 
4. Suponha que o material representado na Figura 2 é o latão ( , 
 e ). Determine as deformações causadas pelo estado de 
tensões apresentado ( , e ). 
Resolução: 
 
Devemos utilizar as equação 22, 23 e 24, com o sinal correto das tensões 
 
 
 
 
 
E com os dados fornecidos no exercício: 
 
 
 
 
Dessa forma, utilizando as mesmas unidades para as tensões ( e ) e 
os módulos de elasticidade (E e G) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ALM5] Comentário: No gabarito 
está errado! 
5. Com as deformações calculadas no problema anterior, calcule: 
(a) As deformações em um elemento num plano inclinado em 
(b) As deformações principais e sua orientação ( ) 
(c) A tensão de cisalhamento máxima. 
 
Resolução: 
 
a) As deformações calculadas anteriormente foram: 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma, para o cálculo das deformações em um plano inclinado, devemos 
usar as equações 25 e 26. Para , temos: 
 
Para a deformação normal:( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
Para a deformação de cisalhamento: 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
c) As deformações principais são dadas pelas equações 27 e 28: 
 
 
 
 
 √(
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 
Anteriormente, foi determinado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 √( ) ( ) 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os ângulos principais são fornecidos pela equação 29 da página 123: 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
Aplicando a tangente inversa: 
 
O outro ângulo é 
 
Unidade IV 
1.) Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F): 
( F ) O tipo de apoio de uma estrutura não vai influenciar na construção 
do diagrama do corpo livre. 
 
Página 137 – o tipo de apoio vai influenciar nas forças que vão 
aparecer no diagrama 
 
( F ) Os apoios sempre vão restringir qualquer tipo de movimento de 
uma estrutura, tornando-a mais estável. 
 
Páginas-137/138 – os apoios vão restringir alguns movimentos mas 
podem permitir outros 
 
( V ) Em uma articulação fixa, a rotação é permitida, enquanto o 
deslocamento da extremidade em qualquer direção é impedido. 
 
Página 138 – Veja a Tabela 1 
( F ) Quando um dos apoios é uma rótula, a força de reação é uma força 
horizontal orientada para a direita. 
 
Página 138 – Veja a Tabela 1. Quando se tem um rótula, surgem 
forças verticais e horizontais, em cada extremidade 
 
( F ) Vigas são elementos que suportam cargas ao longo do seu eixo 
longitudinal, ou seja, forças no sentido da tração ou da compressão. 
 
Página 139 e 145 – Vigas são elementos que suportam cargas ao 
longo do seu eixo longitudinal, mas não apenas forças no sentido 
da tração ou da compressão. Quando falamos dos esforços 
internos que surgem nas vigas, falamos da força cortante e do 
momento fletor, que promovem corte e também flexionam a viga. 
 
2.) Assinale a alternativa correta com relação às sentenças abaixo: 
 
I – A força cortante é positiva quando tende a girar o corpo no sentido 
horário, e o momento fletor é positivo quando age comprimindo a parte 
superior da viga. 
 
CORRETO – PÁGINA 147, FIGURA 10 
 
II - A força cortante pode ser determinada por meio da soma algébrica 
de todas as componentes horizontais das forças externas que agem no 
corpo livre, mas possuem direção oposta. 
 
FALSO – PÁGINA 145. A FORÇA CORTANTE É A SOMA 
ALGÉBRICA DE TODAS AS FORÇAS VERTICAIS, MAS POSSUI 
SENTIDO OPOSTO 
 
III - O momento fletor é uma força interna, que age perpendicularmente 
à seção transversal deformando o corpo. 
 
CORRETO – PÁGINA 145, DEFINIÇÃO DO MOMENTO FLETOR 
 
IV - Os valores das forças cortantes e momentos fletores no lado direito 
do elemento, devem ser iguais aos seus valores no lado esquerdo. 
 
FALSO – PÁGINA 147 – AO LONGO DO ELEMENTO, FORÇA 
CORTANTE E MOMENTO FLETOR VARIAM , DE ACORDO COM O 
CARREGAMENTO 
 
a. Apenas I e IV estão corretas. 
b. Apenas II e III estão corretas. 
c. Apenas I está correta. 
d. Apenas II, III e IV estão corretas. 
[ALM6] Comentário: Note que os 
itens I e III estão corretos. Dessa 
forma o gabarito está errado 
e. Todas alternativas estão corretas. 
 
3.) Quais são as equações que descrevem as relações entre as cargas, as 
forças cortantes e os momentos fletores? 
 
Resolução: A equação de equilíbrio de forças na direção vertical fornece 
as relações entre carga e força cortante. A equação para o equilíbrio de 
momentos fornece a relação entre a carga cortante e o momento fletor. 
 
Outra resposta válida: A equação 6 da página 149 (
 
 
 ) fornece a 
relação entre carga distribuída e força cortante 
*Esta equação é o resultado da aplicação do equilíbrio de forças na 
vertical para uma viga carregada com um carga distribuída) 
 
A equação 8 da página 150 (
 
 
 ) fornece a relação entre força cortante 
e momento fletor. 
*Esta equação é o resultado da aplicação do equilíbrio de momentos para 
uma viga carregada com um carga distribuída) 
 
4.) A viga de comprimento AB apresentada na Figura 1 está submetida à uma 
carga uniforme e a uma carga concentrada. Desenhe os diagramas de força 
cortante e momento fletor para esta viga. 
 
Figura 1 - Viga submetida a duas cargas 
Fonte: adaptado de Gere e Goodno (2010). 
 
Resolução: 
 
Devemos, primeiramente, determinar o diagrama do corpo livre para a viga AB: 
Como ela está engastada, devem surgir em A forças verticais, horizontais e na 
forma de momento: 
 
 
 
A força concentrada equivalente a força distribuída tem intensidade igual a 
 
 
 e atua a uma distância de 1 m de A (página 142). Sendo 
assim, o diagrama do corpo livre é: 
 
 
Agora sim podemos aplicar as equações de equilíbrio estático! 
 ∑ 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 ∑ ∑ 
 
 
 
 
 
O diagrama do corpo livre com todas as forças é: 
 
 
Que equivale a: 
 
 
 
Como isso, estamos prontos para a construção do diagrama das forças 
cortantes e momento fletores. 
Quais as regiões de análise? As cargas distribuídas definem uma região 
inteira! (página 157). 
Com isso, iniciando da esquerda para a direita (página 154) o ponto A é o 
ponto em que , devemos analisar a região entre 0 e 2 m, que é onde está 
a carga distribuída. 
Notamos que entre 2 m e 4 m nenhuma força concentrada se encontra. Logo, 
não precisamos dividir esta região e a outra região de análise é entre 2 e 4 m. 
Assim: 
 
 
 
 
Para a região 1, o diagrama do corpo livre é: 
 
 
 
OBS: Como estamos analisando uma região interna, devem surgir na região 
cortada uma força cortante e um momento fletor. O sentido escolhido foi o 
positivo, por convenção. (Figura 10, página 147). 
Como temos uma força distribuída, então devemos substituí-la pela força 
concentrada equivalente (página 142) para então aplicar as equações de 
equilíbrio estático: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 ∑ ∑ 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a região 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 ∑ ∑ 
 
 ( ) 
 
 
Portanto: 
 
Para a força cortante: 
 
 ( ) 
 ( ) 
Como temos uma equação de reta, o gráfico é uma linha reta que liga os 
pontos (0, 6,5) e (2, 2,5). 
 
 ( ) 
 ( )O gráfico de é uma reta horizontal nesta região 
 
Para o momento fletor: 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
O gráfico nesta região é uma parábola com a concavidade voltada para baixo 
 
 ( ) 
 ( ) 
O gráfico nesta região é uma reta que une os dois pontos. 
 
5.) Uma viga de comprimento 4,8 m AC, simplesmente apoiada, suporta uma 
carga uniforme de intensidade 12 kN/m e uma carga concentrada de magnitude 
2,4 kN (Figura 2). Desenhe os diagramas de força cortante e momento fletor 
para essa viga. 
 
Figura 2 - Viga simplesmente apoiada 
Fonte: adaptado de Gere e Goodno (2010). 
 
Resolução: 
O primeiro passo é desenhar o diagrama do corpo livre para a viga AC. 
Quando se analisa apenas a viga, os apoios devem ser substituídos pelas 
reações que eles proporcionam. Observando a Tabela 1 (página 138), vemos 
que o apoio A deve exercer forças verticais e horizontais e o apoio B apenas 
forças verticais. Dessa forma: 
 
 
Para aplicar as equações de equilíbrio estático, a força distribuída deve ser 
substituída pela força concentrada equivalente (página 142). A força 
equivalente tem intensidade de 
 
 
 e é aplicada a uma 
distância de 0,8 m da extremidade A (no centroide da distribuição). Com isso, o 
diagrama do corpo livre equivale a: 
 
 
 
Aplicando as equações de equilíbrio estático: 
 ∑ 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 ∑ ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como , então 
 
Portanto, o diagrama do corpo livre com as forças é: 
 
 
 
Que equivale a: 
 
 
 
Com o diagrama do corpo livre, as forças internas podem ser determinadas. 
Como a análise é feita da esquerda para direita, definimos o ponto mais a 
esquerda (ponto A) como sendo . Assim: 
 
 
 
Quais regiões vamos analisar? As cargas distribuídas definem uma região 
inteira! (página 157). 
Como isso, nossa primeira região de análise é a região da carga distribuída, ou 
seja em . 
 
Além disso, região entre as cargas concentradas devem ser analisadas 
(página 154). 
 
Devemos analisar a região entre o final da carga distribuída e a carga 
concentrada de 8,4 kN, ou seja, em . 
Também devemos analisar a região entre a carga concentrada de 8,4 kN e a 
carga de 2,4 kN, ou seja para .Assim: 
 
 
 
 
 
 
Região 1 ( ) 
O digrama do corpo livre é: 
 
 
 
OBS: Na região de corte (mais à direita) surgem uma força cortante e um 
momento fletor que devemos determinar. O sentido escolhido foi o positivo, de 
acordo com a convenção de sinais (Página 147, figura 10). 
Como surge uma força distribuída, para a aplicação das equações de equilíbrio 
estático, devemos encontrar a carga concentrada equivalente a essa 
distribuição (página 142). Ela tem intensidade igual à área da distribuição 
(neste caso ) e é aplicada no centroide da distribuição (a uma distância 
de 
 
 
 da extremidade direita). Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 ∑ ∑ 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Região 2 ( ) 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 ∑ ∑ 
 
 ( ) 
 
 
 
Região 3 ( ) 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 ∑ ∑ 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
Finalmente: 
Para a força cortante: 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
Nesta região, a força cortante é uma reta que liga os pontos (0, 13,2) e (2, -6). 
Como um valor extremo deu positivo e outro negativo, deve existir nesta região, 
um posição em que . 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
Nesta região, a força cortante é uma reta horizontal, afastada em -6 do eixo x. 
 
 ( ) 
 ( ) 
Nesta região, a força cortante também é uma reta horizontal, afastada em 2,4 
do eixo x. 
 
Para o momento fletor: 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
Nesta região, o momento fletor é uma parábola com a concavidade para baixo 
que liga os pontos (0, 0) e (1,6; 5,44). 
Lembra da força cortante sendo nula nesta região? Neste ponto, será 
observado um momento fletor máximo ou mínimo! Foi visto, anteriormente, que 
em , a força cortante é nula. Neste ponto o momento fletor é: 
 ( ) 
 
 ( ) 
 ( ) 
Nesta região, o momento fletor é uma reta que liga os pontos (1,6. 5,76) e (3,2; 
-3,84). 
 
 ( ) 
 ( ) 
Nesta região, o momento fletor é uma reta que liga os pontos (3,2; -3,84) e 
(4,8; 0) 
 
Assim, os diagramas da força cortante e momento fletor são: 
 
 
 
Unidade V 
1.) Assinale a alternativa correta: 
 
a. Supõe-se que a distribuição de tensões em elementos de paredes finas 
é não-uniforme 
FALSA – Página 171 – As tensões normais que agem em elementos 
de paredes finas são uniformes 
b. As tensões em tanques esféricos são separadas em tensões 
longitudinais e tensões circunferenciais. 
FALSA – Página 171 – As tensões em tanques cilíndricos são 
separadas em tensões longitudinais e tensões circunferenciais. 
c. O erro associado a análise de estruturas de paredes finas diminui 
conforme se aumenta a razão 
VERDADEIRA – Página 170. 
d. As tensões em vasos de pressão cilíndricos são as mesmas, 
independente da direção em que são analisadas 
FALSA – Páginas 171 – Vasos de pressão cilíndricos possuem 
tensões longitudinais e circunferenciais. 
e. A pressão externa aos vasos de pressão é a utilizada na determinação 
das tensões na casca. 
FALSA – Página 174 – A pressão interna é a utilizada na 
determinação das tensões na casca. 
 
2.) Analise as seguintes afirmações. 
I – Uma tubulação que possui diâmetro de 10,16 cm com espessura de 
1,0 mm pode ser considerada um elemento de parede fina. 
VERDADEIRA – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II – Em um vaso de pressão esférico, existirão tensões de cisalhamento 
orientadas em um ângulo de 45° em relação às tensões normais 
aplicadas. 
FALSA – Página 179. O ângulo que as tensões de cisalhamento faz 
é de 45° com o plano 
III – Elementos de vasos de pressão cilíndrico possuem três planos em 
que as tensões de cisalhamento são máximas. 
VERDADEIRA – Página 181. 
IV – As superfícies internas e externas de vasos de pressão cilíndricos e 
esféricos estão sujeitas aos mesmos estados de tensão, independente 
da espessura de suas paredes. 
FALSO – Página 184 – O estado de tensões interno será o mesmo 
que o externo só é válido se a razão 
 
 
 , ou grande o suficiente. 
 Assinale a alternativa correta: 
a. Apenas II e III estão corretas. 
b. Apenas I e III estão corretas.c. Apenas I está correta. 
d. Apenas II, III e IV estão corretas. 
e. Nenhuma das alternativas está correta. 
 
A alternativa b) é a correta 
 
3.) Determine a pressão manométrica admissível de um reservatório 
esférico com diâmetro externo de 4 m com uma parede de espessura 
igual a 15 mm, sabendo que a TENSÃO admissível para o aço é igual a 
80 MPa. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
Supondo tensão admissível à tração igual a 80 MPa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Supondo tensão admissível ao cisalhamento igual a 80 MPa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como não é especificado se a tensão limite é a de tração ou de 
cisalhamento, a pressão máxima de trabalho admissível (PMTA) do 
tanque, levando em conta apenas as análises de tensão é igual a 
1,2 MPa 
 
4.) O reservatório de aço não pressurizado da Figura 1 é preenchido com 
água até uma altura h, o máximo de água permitido para um dado fator 
de segurança. Ele é feito de um aço que limite de resistência igual a 
413,7 MPa EM RELAÇÃO À TRAÇÃO. Determine h quando o fator de 
segurança adotado for igual 3,5. Dados: Peso específico da água: 9,81 
kN/m3. Dica: multiplicando o peso específico com pela altura, você 
encontra a pressão exercida pela água em cada ponto. Despreze a 
pressão atmosférica. Suponha que 
 
 
Reservatório de água com altura h 
Fonte: Beer e Johnston (2008). 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com a dica do exercício, a pressão exercida pela água no tanque (p) 
é encontrada multiplicando-se o peso específico da água pela altura do tanque: 
 
 ( ) 
 
[ALM7] Comentário: EXTRA – NÃO 
VAI CAIR NA PROVA 
 
Essa fórmula vem da definição de 
pressão hidrostática 
 
SAIBA MAIS: 
http://www.if.ufrj.br/~bertu/fis2/hidr
ostatica/pressao.html 
Esta é a pressão causada pela altura h de água na parede interna da base do 
tanque. A base do tanque é a região que vamos analisar, pois nesta região é 
exercida a maior pressão! 
A tensão de tração admissível é: 
 
 
 
 
 
 
Pelas equações 17, 18 e 19 da página 180, as tensões principais são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como é uma tensão de compressão (observe o sinal negativo) e só temos o 
limite quanto a tração, vamos considerar apenas e 
 
Se : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essa é a pressão admissível na 
parede do tanque. Como ela varia 
com a altura de água, então 
devemos igualar esta pressão 
admissível com a expressão que 
mostra como a pressão varia com a 
altura! 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essa é a pressão admissível na 
parede do tanque. Como ela varia 
com a altura de água, então 
devemos igualar esta pressão 
admissível com a expressão que 
mostra como a pressão varia com a 
altura! 
 
 
 
 
 
 
 
5.) A casca cilíndrica mostrada na Figura 2 está submetida a uma pressão 
interna p e a uma força de compressão de intensidade igual a 72 kN. Se 
o cilindro tem diâmetro de 100 mm e parede com espessura de 4 mm, 
calcule a máxima pressão interna admissível, sabendo que a tensão de 
cisalhamento admissível na casca é igual a 60 MPa. 
 
 
Vaso de pressão cilíndrico pressurizado submetido a uma força de compressão. 
Fonte: Gere e Goodno (2010). 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
Temos um caso de carregamento combinado! Uma vez que existe uma 
pressão interna no tanque , que exercem tensões de tração na parede e uma 
força axial P que comprime na direção . 
Passo 1: Para análise das tensões, vamos selecionar qualquer posição ao 
longo da casca cilíndrica. Como as tensões desenvolvidas são uniformes, 
qualquer ponto da casca cilíndrica pode ser utilizada! 
Passo 2: Devido à pressão interna surgem na casca cilíndrica tensões normais. 
A força é no sentido da compressão, logo o estado plano que devemos 
analisar possui apenas tensões normais, como mostrado na figura a seguir: 
 
Passo 3: O eixo y é perpendicular ao eixo longitudinal do cilindro, então temos 
aí apenas tensões circunferenciais. De acordo com a equação 9 da página 177: 
 
 
 
 
 
 
O eixo x é paralelo ao eixo longitudinal, portanto, temos tensões longitudinais 
(devido a pressão interna). De acordo com a equação 13 da página 178: 
 
 
 
 
 
Ainda atua na direção x uma tensão de compressão na direção x: 
 
 
 
 
 
 
Qual a área em que a força P atua? Veja a figura: 
 
 
 
A casca cilíndrica tem área que pode ser aproximada pelo seguinte retângulo 
(pois a razão 
 
 
 ). (Aula conceitual 25) 
 
 
Portanto, 
Dessa forma, a tensão no sentido da compressão é: 
 
 
 
 
 
 
Passo 4: Combinando as tensões que surgem em y, temos: 
 
 
 
 
 
Substituindo os dados do exercício: 
 
 
 
 
 
 
 
Combinando as tensões que surgem em x, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo os valores fornecidos no exercícios: 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
) ( ) 
 ( ) 
Em cascas cilíndricas, surgem 3 tensões de cisalhamento principais (página 
181), definidas pelas equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por 3: 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
Dentre estas pressões, devemos escolher a menor, para que a tensão de 
cisalhamento máxima admissível não seja ultrapassada. Assim: