Slides de Aula 2 Matemática Aplicada

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Unidade II 
 
 
 
MATEMÁTICA APLICADA 
 
 
 
 
 
 
Profa. Ana Carolina Bueno 
Função 
 Relação entre dois conjuntos A e B definida por uma regra de 
formação f, na qual cada elemento de A é relacionado a 
apenas um elemento de B. 
 Função f : A → B definida por: 
 f (x) = x + 2, determine a imagem de f. 
Função e não função 
 
Situação I 
Situação II 
Situação III 
Tipos de funções – Sobrejetora 
 D(f) = {-2, -1, 1, 3} 
 CD(f) = {12, 3, 27} 
 Im(f) = {12, 3, 27} 
 Esta função é definida por: f(x) = 3x² 
 
Tipos de funções – Injetora 
 D(f) = {0, 1, 2} 
 CD(f) = {1, 2, 3, 5} 
 Im(f) = {1, 3, 5} 
 Definimos esta função por: f(x) = 2x + 1 
 
Tipos de funções – Bijetora 
 D(f) = {-1, 0, 1, 2} 
 CD(f) = {4, 0, -4, -8} 
 Im(f) = {4, 0, -4, -8} 
 Esta função é definida por f(x) = - 4x 
Equações 
 Expressões algébricas que representam uma determinada 
situação problema. 
 Achar o valor da incógnita. 
Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq1g/eq1g.htm 
Equação do 1º grau 
 ax + b = 0, sendo a ≠ 0 
 Raiz da equação 
 
 Voltando ao caso da melancia: 
 
 
 
 
 
 
 
S = {6} 
 
𝑥𝑥 = 122 
𝑥𝑥 = 6 𝑘𝑘𝑘𝑘 
Equação do 1º grau – Aplicação 
 Uma fábrica produz peças automotivas a um custo fixo de 
R$ 102,00 e um custo por unidade de R$ 2,50. Para obter um 
lucro satisfatório, a fábrica deseja vender essa peça no 
mercado a um preço de R$ 3,25 a unidade. 
 
 Função custo: f(C) = 102 + 2,5x 
 Função receita: f(R) = 3,25x 
 Função lucro: f(L) = 0,75x – 102 
Equação do 1º grau – Aplicação 
 O número mínimo de peças a serem vendidas para que não se 
tenha prejuízo: 
 f(R) = f(C) 
3,25x = 102 + 2,5x 
3,25x – 2,5x = 102 
0,75x = 102 
x = 102/0,75 
x = 136 
 
O lucro obtido com a venda de 1000 unidades dessa peça: 
f(L) = 0,75x – 102 
f(L) = 0,75 * 1000 – 102 
f(L) = 750 – 102 
f(L) = 648 
Para que a fábrica não 
tenha prejuízo, deverá 
vender 136 peças. 
O lucro relativo a 1000 
peças corresponde a 
R$ 648,00. 
Função do 1º grau 
 Uma função do 1º grau é toda função f:R→R definida pela 
regra: 
 y = f(x) = ax + b, com a e b ∈ R, e a ≠ 0. 
 Função afim: f(x) = 5x – 3 
 Função linear: f(x) = 6x 
 Função identidade: f(x) = x 
Interatividade 
São dadas duas relações: 
 f(x) é uma relação de A = {–1, 0, 1, 2} em B = {0, 2, 4, 6, 8} 
expressa pela fórmula y = 2x, com x ∈ A e y ∈ B. 
 g(x) é uma relação de A = {–2, –1, 1, 2} em B = {–8, –4, –1, 0, 1, 
4, 8} expressa pela fórmula y = x³, com x ∈ A e y ∈ B. 
Assinale a alternativa correta. 
a) D(f) = {R} 
b) f(x) não é uma função 
c) Im(g) = {-8, -4, -1, 0, 1, 4, 8} 
d) g(x) não é uma função 
e) C(f) = {-2, -1, 1, 2} 
 
Função do 1º grau a > 0 
 f(x) = 2x + 1, sendo a = 2 e b = 1 
 a > 0, então f é crescente 
 Coeficiente angular a = 2 
 Coeficiente linear b = 1 
x y = 2x + 1 
-1 2.(-1) + 1 = -1 
0 2.0 + 1 = 1 
1 2.1 + 1 = 3 
2 2.2 + 1 = 5 
Função do 1º grau a > 0 
 Zero da função de f(x) = 2x + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 Estudo do sinal 
 
-0,5 
-0,5 
Função do 1º grau a < 0 
 f(x) = – x – 1, sendo a = – 1 e b = – 1 
 A < 0, então f é decrescente 
 Coeficiente angular a = – 1 
 Coeficiente linear b = – 1 
 x y = – x – 1 
-2 -(-2) – 1 = 2 – 1 = 1 
-1 -(-1) - 1 = 0 
0 - 0 - 1 = -1 
1 - 1 - 1 = -2 
Função do 1º grau a < 0 
 Zero da função de f(x) = – x – 1 
 
 
 
 
 
 
 
 Estudo do sinal: 
 
-1 
-1 
Comportamento da função 
 Quando a varia: 
Comportamento da função 
 Quando b varia: 
 
Função do 2º grau 
 É toda função f: R → R definida pela regra: 
 y = f(x) = ax² + bx + c, com a e b ∈ R e a ≠ 0 
Fonte: 
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.
html?aula=25077 
Equação do 2º grau 
 Um fabricante vende mensalmente x unidades de uma 
borracha por V(x) = – x² + 18x, sendo o custo da produção 
dado por C(x) = 2x + 39. Quantas unidades devem ser 
vendidas mensalmente, de modo que a empresa tenha lucro 
igual a zero? 
 L(x) = V(x) – C(x) 
 L(x) = – x² + 18x – (2x + 39) 
 L(x) = – x² + 18x – 2x – 39 
 L(x) = – x² + 16x – 39 
 
Equação do 2º grau 
 ax²+ bx + c = 0 e a ≠ 0 
 Equação quadrática 
 Raízes da equação x1 e x2 
 
 L(x) = – x² + 16x – 39 
 a = – 1 
 b = 16 
 c = – 39 
Fórmula de Bháskara 
 Para determinar as raízes: 
 
 
 
 
 
 ∆ > 0 → duas raízes reais e distintas 
 ∆ = 0 → duas raízes reais e iguais 
 ∆ < 0 → não há raízes 
Interatividade 
O custo total de um fabricante de camisa consiste em uma 
quantia fixa de R$ 200,00 somada ao custo de produção, que é de 
R$ 50,00 por unidade. A função custo é dada por CT = 50q + 200, 
sendo q o número de unidades produzidas. Assinale a alternativa 
incorreta. 
a) CT é uma função do 1º grau porque é definida pela regra 
f(x) = ax + b. 
b) CT é uma função crescente. 
c) O valor do CT é igual a R$ 350,00 quando 3 unidades são 
produzidas. 
d) Para 1 unidade produzida, o custo será de R$ 0,00. 
e) O gráfico de CT é linear e a função dada é conhecida 
como afim. 
Voltando ao exemplo: ∆ > 0 
 L(x) = – x² + 16x – 39 
 a = – 1 
 b = 16 
 c = – 39 
 
Exemplo – gráfico: a < 0 e ∆ > 0 
 
-30
-20
-10
0
10
20
30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Lu
cr
o 
(R
$)
 
x (quantidade) 
Outro exemplo: ∆ = 0 
 Calcule o conjunto solução da equação: 
 x² + 8x + 16 = 0 
 
a = 1 
b = 8 
c = 16 
 
 
 
 
 Quando o valor do discriminante é igual a zero, a equação 
possuirá somente uma solução ou raiz única. 
 
 
Mais um exemplo: ∆ < 0 
 Calcule o conjunto solução da equação 
 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau. 
 
 
 
 
 Nas resoluções em que o valor do discriminante é igual ou 
menor que zero, isto é, o número seja negativo, a equação não 
possui raízes reais. 
 
 
Função do 2º grau 
 
Ajuste de curvas 
 Um diretor de uma empresa está 
querendo analisar a relação que existe 
entre o investimento em equipamentos 
informatizados e o desempenho dos 
funcionários, tomado um período de 
10 meses. 
 
 Variável dependente = quantidade de 
alunos aprovados (Y) 
 Variável independente = investimento 
em equipamentos (X) 
Diagrama de dispersão 
 
Regressão linear 
 Uma função matemática que caracteriza a relação entre duas 
variáveis: a variável dependente e a variável independente. 
 Determinar os parâmetros desta função: 
 f(x) = y = 9,74x + 117,07 
Equação da reta 
 O tipo mais simples de ajustamento de curva é a RETA, que, 
conhecendo dois pontos, já pode ser obtida: 
y = Ax + B 
 B é o coeficiente linear da reta, ou seja, é o valor de y 
quando x = 0 
 A é o coeficiente angular da reta, isto é, sua declividade! 
B 
= A 
Reta ajustada (Método de Mínimos Quadrados) 
 Propriedade de apresentar o mínimo valor da soma dos 
quadrados dos desvios do ponto à curva. 
0
100
200
300
400
500
600
0 10 20 30 40 50
e1 
e2 
Interatividade 
O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças é dado 
pela função: 
L(x) = –x2 + 14x – 40 
Quantas peças devem ser vendidas diariamente para que o 
lucro seja zero? 
a) 14 e 40 peças. 
b) 1 e 14 peças. 
c) 4 e 40 peças. 
d) 4 e 10 peças. 
e) Não podemos determinar porque a equação não tem raízes. 
 
Reta ajustada (Método de Mínimos Quadrados) 
Os coeficientes A e B são calculados da seguinte maneira: 
B 
= A 
Voltando ao exemplo 
 Calculando os coeficientes A e B: 
3800 
Voltando ao exemplo 
 Cálculo de A:Voltando ao exemplo 
 Cálculo de B: 
 
 
 
 
 Cálculo da equação da reta: 
Voltando ao exemplo 
 y = 9,74x + 117,02 
 Então, para x = 15 mil de investimento 
 y = 9,74 . 15 + 117,02 = 263,12 de desempenho 
Matemática financeira 
 É uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de 
investimentos ou financiamentos de bens de consumo. 
 Consiste em empregar procedimentos matemáticos para 
simplificar a operação financeira a um fluxo de caixa. 
 Capital. 
 Taxa de juro. 
 Tempo. 
Capital, juros e taxa 
 Fez-se uma aplicação no valor de R$ 10.000,00 por 3 meses, a 
uma taxa de juros de 1% ao mês. No final foi resgatado 
R$ 10.300,00. 
 
 Capital: R$ 10.000,00 
 Juros: R$ 300,00 
 Taxa: 1% a.m. 
Regime Processo de funcionamento 
Simples Somente o principal rende juros. 
Composto Após cada período, os juros são incorporados ao capital, 
proporcionando juros sobre juros. 
Capitalização simples 
 Capitalização é a forma como os juros são incorporados ao 
capital no decorrer do tempo. 
 Regime de capitalização simples: compara-se a uma 
progressão aritmética, isto é, o juro cresce de forma linear 
ao longo do tempo. Os juros incidem somente sobre o 
capital inicial da operação e não sobre o acumulativo. 
 Vamos supor uma aplicação no valor de R$ 1.000,00 por 
cinco anos, com taxa de juros no valor de 10% ao ano. 
Juros simples J = C.i.n 
 Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado à taxa de 5% a.m., pelo 
período de 2 meses, no regime de capitalização simples. Qual 
o valor dos juros para o período? 
 J = ? é o que queremos encontrar 
 C = 1.500 
 i = 5% a.m = 0,05 
 n = 2 meses 
J = C x i x n 
J = 1.500 x 0,05 x 2 
J = 150 
 Os juros correspondem a R$ 150,00 em 2 meses, com taxa de 
10% ao bimestre. 
 
Capitalização composta 
 A taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros 
acumulados até o período anterior. A taxa varia 
exponencialmente em função do tempo. 
Juros compostos i = 10% ao período 
Ano Saldo do início do 
período 
Juros apurados a cada 
período 
Saldo final do 
período 
1 1.000,00 0,10 x 1000 = 100,00 1.100,00 
2 1.100,00 0,10 x 1100 = 110,00 1.210,00 
3 1.210,00 0,10 x 1210 = 121,00 1.331,00 
4 1.331,00 0,10 x 1331 = 133,10 1.464,00 
Crescimento de 46,41% em 4 períodos 
Interatividade 
Um estudo foi feito da oferta de pipocas. A curva de oferta 
representa a relação entre preço (P) do bem e a quantidade 
ofertada (Q) pelo produtor. Sendo x o preço e y a quantidade, a 
equação da reta é dada por: 
 
 
Assim, não podemos concluir que: 
a) A variável dependente é a quantidade e a variável 
independente é o preço. 
b) Há relação entre as duas variáveis. 
c) A equação da reta é crescente. 
d) Se as pipocas forem vendidas a R$ 2,00; a quantidade 
ofertada é de ± 300 pipocas. 
e) Se as pipocas forem vendidas a R$ 2,40; a quantidade 
ofertada é de ± 340 pipocas 
 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA! 
	Slide Number 1
	Função
	Função e não função
	Tipos de funções – Sobrejetora 
	Tipos de funções – Injetora 
	Tipos de funções – Bijetora 
	Equações
	Equação do 1º grau
	Equação do 1º grau – Aplicação 
	Equação do 1º grau – Aplicação 
	Função do 1º grau
	Interatividade
	Resposta
	Função do 1º grau a > 0
	Função do 1º grau a > 0
	Função do 1º grau a < 0
	Função do 1º grau a < 0
	Comportamento da função
	Comportamento da função
	Função do 2º grau
	Equação do 2º grau
	Equação do 2º grau
	Fórmula de Bháskara
	Interatividade
	Resposta 
	Voltando ao exemplo:  > 0
	Exemplo – gráfico: a < 0 e  > 0
	Outro exemplo:  = 0
	Mais um exemplo:  < 0
	Função do 2º grau
	Ajuste de curvas 
	Diagrama de dispersão
	Regressão linear
	Equação da reta
	Reta ajustada (Método de Mínimos Quadrados)
	Interatividade
	Resposta
	Reta ajustada (Método de Mínimos Quadrados)
	Voltando ao exemplo
	Voltando ao exemplo
	Voltando ao exemplo
	Voltando ao exemplo
	Matemática financeira
	Capital, juros e taxa
	Capitalização simples
	Juros simples J = C.i.n
	Capitalização composta
	Interatividade
	Resposta
	Slide Number 50