Apendice A Numeros Complexos

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APÊNDICE A 
 
 
NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 
 
Grandezas alternadas como tensão, corrente e potência, possuem componentes 
em suas magnitudes que não podem ser representadas em números reais. Assim, 
suas aplicações se tornam adequadas em um plano complexo, onde números 
complexos são usados nas representações de sinais e circuitos. Além disso, 
quando estes números são aplicadas à formas de ondas senoidais, permitem obter 
com rapidez e precisão a soma algébrica de formas de onda, constituindo-se 
numa ferramenta fundamental para a engenharia elétrica. 
Neste apêndice é feita uma revisão da representação em números complexos e 
suas respectivas operações básicas. Exercícios propostos no fim do capítulo 
proporcionam o domínio matemático no tratamento destes números em suas 
operações aritméticas. 
 
 
REPRESENTAÇÕES 
Um número complexo z é representado por um ponto em um plano complexo em 
um sistema de eixos cartesianos conforme mostrado na Figura A-1. 
Autor : Prof° Dr. José Francisco Castelo Branco Filho Apêndice A - Números Complexos 
 
Re
Imj
a
jb
c&
|| c&
θ
 
Figura A-1 - Representação gráfica de um número complexo 
 
Forma retangularForma retangularForma retangularForma retangular 
Na forma retangular ou cartesiana, o número complexo c é escrito como : 
�� = � + ! 
Onde j representa um número imaginário igual a √−1 e �� é um número 
bidimensional representado por um ponto em um plano complexo. A compo-
nente a é a parte real e a componente b, a parte imaginária de ��. Em represen-
tação simbólica teremos : 
� = )*{��} ; ! = ./{��} 
onde o operador Re extrai a parte real de �� e o operador Im extrai sua parte 
imaginária. 
 
Forma pForma pForma pForma polarolarolarolar 
A forma polar é a forma mais abreviada de representação de um número 
complexo, e é escrita como 
�� = |�|∠Ѳ 56 �� = 7∠Ѳ 
onde |c| é o módulo de �� podendo ser representado por C , e Ѳ, seu ângulo. 
 
 
Autor : Prof° Dr. José Francisco Castelo Branco Filho Apêndice A - Números Complexos 
 
Forma ExponencialForma ExponencialForma ExponencialForma Exponencial 
A forma exponencial também é interpretada como outra versão da forma polar 
sendo deduzida da equação de Euler, onde 
*;Ѳ = cos<Ѳ= + >*?<Ѳ= 
Assim, a forma polar pode ser expressa como: 
7*;Ѳ = 7 cos<Ѳ= + 7>*?<Ѳ= 
onde 
 e = 2,7183 → Base neperiana 
Assim, um número complexo pode ser expresso de três formas : 
�� = � + ! ; �� = 7∠Ѳ ; �� = 7*;Ѳ 
 
Conversão entre formas 
A conversões para as formas polar e retangular podem ser facilmente obtidas 
aplicando as relações trigonométricas no triângulo formado por a b e c na Figura A-1. 
Retangular → polar - C = √�E + !E ; Ө = �G�HI JKLM 
 Polar → retangular - � = 7 �5><Ө= ; b = 7 >*?<Ө= 
 
Complexo conjugadoComplexo conjugadoComplexo conjugadoComplexo conjugado 
O conjugado de um número complexo c é representado por c* e é obtido pela 
inversão da componente imaginária. Assim teremos : 
�� = � + ! → �∗ = � − ! 
�� = 7*;Ѳ → �∗ = 7*R;Ѳ 
A interpretação geométrica do conjugado é mostrada na Figura A-2 onde a 
conjugação reflete simetricamente a mesma componente real no plano 
complexo. 
 
Autor : Prof° Dr. José Francisco Castelo Branco Filho Apêndice A - Números Complexos 
 
Re
Imj
a
jb
c&
|| c&
θ
θ−
*c
|| c&
jb−
Imj− 
Figura A-2 - Complexo conjugado. 
Representação gráfica 
 
 
ComplexoComplexoComplexoComplexo simsimsimsimétricotricotricotrico 
O complexo simétrico de �� é um número com mesmo módulo e fase oposta a �� 
cuja soma entre ambos tem como resultado um valor nulo. Possui partes real e 
imaginária simétricas em relação a ��. Sua representação gráfica é mostrada na 
Figura A-3. 
 
Re
c&
Imj
Imj−
αpiα ±
c&−
a
jb
a−
jb−
 
Figura A-3 - Complexo simétrico. 
Representação gráfica 
 
Autor : Prof° Dr. José Francisco Castelo Branco Filho Apêndice A - Números Complexos 
 
ExercExercExercExercícioscioscioscios 
A-1 ________________________________________________________________________________________ 
Converter para a forma polar os seguintes números complexos : 
 3 + 4 <b= −60 − 80 <c= −100 + 100 <d= 1000 − 2000 
Respostas: <a= 5 e j53,13° <b= 100 e j233,13° <c= 100√2 *;EEY <d= 2236,06 e j296,57° 
 
A-2 ______________________________________________________________________________________ 
 Converter para a forma retangular os seguintes números complexos: 
 4ej45 <b= 10 e-j60 <c= 100 ej90 <d= 100 ∠-π <e= 5,773 ejπ/6 
Respostas: <a=2,83+j2,83 <b= 5-j0,866 <c= 0+j100 <d=100+j0 <e= 5+j2,88 
 
A-3 ________________________________________________________________________________________ 
Calcular as seguintes expressões : 
 Re<4ej45= <b= Im<10 e-j60= <c= Im<100 ej90= <d= ∠6+j8 <e= Re<5,773 ejπ/6= 
Respostas: <a=4√2 <b= 8,66 <c= 100 <d= 53,13º <e= 5 . 
 
OperaOperaOperaOperações es es es aritmaritmaritmaritméticasticasticasticas 
PotPotPotPoteeeencianciancianciaçãoooo com o ncom o ncom o ncom o número jmero jmero jmero j 
Tabela A-1 
j √−1 *;]/E j5 j *;]/E 
j2 -1 *;] j6 -1 *;] 
j3 -j *;^]/E j7 -j *;^]/E 
j4 1 *;E] j8 1 *;E] 
Podemos concluir na tabela A-1 que: a cada período após quatro sucessivas 
elevações de potência, o valor de jn e sua respectiva fase se repetem ; a 
multiplicação de um número complexo por j produz um aumento de π/2 na fase. 
Autor : Prof° Dr. José Francisco Castelo Branco Filho Apêndice A - Números Complexos 
 
DivisDivisDivisDivisão por jo por jo por jo por j 
��
 =
7*;`
*;]/E = 7*
;<`R]/E= = 7 ∠<a − 90°= 
Portanto, a divisão por j produz uma redução de π/2 na fase . Por outro lado, 
produz um número igual ao seu simétrico e a seu conjugado: 
1
 = *
R;]/E = − = ∗ 
ou seja, a divisão por j equivale a multiplicação por -j . As interpretações gráficas 
da divisão e da multiplicação são mostradas na Figura A-4. 
Re
j
c&
cj &
c&Imj
Imj−
 
Figura A-4 - Multiplicação e divisão por j 
 
 
OOOOperaperaperaperações com nes com nes com nes com números complexosmeros complexosmeros complexosmeros complexos 
 
Soma e subtraSoma e subtraSoma e subtraSoma e subtraçãoooo 
Números complexos na forma retangular são usados na definição da soma e da 
subtração. Assim, sendo 
��d = �d + !d * �E� = �E + !E 
Sua soma e subtração são definidas resumidamente como : 
�d� ± �E� = �d ± �E + <!d ± !E= 
A Figura A-5 ilustra a interpretação geométrica da soma algébrica onde um 
número complexo c1 que é somado de c2 e de seu respectivo simétrico. 
Autor : Prof° Dr. José Francisco Castelo Branco Filho Apêndice A - Números Complexos 
 
Re
Imj
Imj−
1c&
2c&
2c&−
21 cc && +
21 cc && −
 
Figura A-5 - Interpretação geométrica 
da soma e subtração de números complexos 
 
A soma de um número complexo c com seu conjugado resulta em 
�� + �∗ = 2� 
e sua subtração, em 
�� − �∗ = 2! 
Sua interpretação geométrica é mostrada na Figura A-6. 
Re
c
Imj
Imj−
α
α
*
c
*c−
a
jb
a2
jb2
jb−
a−
α
 
Figura A-6 - Representação geométrica : �� + �∗ * �� − �∗ 
Autor : Prof° Dr. José Francisco Castelo Branco Filho Apêndice A - Números Complexos 
 
MultiplicaMultiplicaMultiplicaMultiplicaçãoooo e Divise Divise Divise DivisãooooA multiplicação e a divisão de um número complexo podem ser efetuadas na 
forma polar e na forma retangular. 
Dados dois números complexos na forma retangular : 
�d� = �d + !d * �E� = �E + !E 
e suas correspondentes representações na forma polar: 
��d = 7d*;` e ��E = 7E*;f 
 
Multiplicação 
Forma retangular 
�d� ∙ �E� = <�d + !d= ∙ <�E + !E = 
Multiplicando parcialmente os membros de cada termo e separando as partes 
real e imaginária, encontramos: 
��d∙��E = �d�E − !d!E + <�d!E+�E!d= 
Forma polar 
��d ∙ ��E = 7d*;` ∙ 7E*;f 
��d ∙ ��E = 7d7E*;<`hf= 
Divisão 
Forma retangular 
A divisão na forma retangular requer a multiplicação do numerador e do 
denominador pelo conjugado do denominador. 
��d
��E
= �d + !d �E + !E
= �d + !d �E + !E
 <�E − !E=<�E − !E=
 
que resulta 
��d
��E
= �d�E + !d !E�EE + !EE
+ <�E!d − �d!E=�EE + !EE
 
 
Autor : Prof° Dr. José Francisco Castelo Branco Filho Apêndice A - Números Complexos 
 
Forma polar 
��d
��E
= 7d*
;`
7E*;f
= 7d7E
 *;<`Rf= 
Inversão 
1
�� =
1
7*;Ѳ =
1
7 *
R;Ѳ 
 
 
 
ExercExercExercExercícioscioscioscios 
 
A-4 ________________________________________________________________________________________ 
Calcule as seguintes expressões para:��d=6+j8; ��E=-8-j6 ;��^ =10∠-45º; ��i=6∠-60º 
<a= ��d + ��^ ; <b= ��d��E <c= ��d��^ /��i <d= ��E∗ + ��d��E 
Resposta: <a= 13,07+j0,93 <b=100e-j90° <c= 16,66 ej68,13° <d= 100 e-j73,74° 
 
A-5 ________________________________________________________________________________________ 
Dado um número �� = � + ! = 7*;Ѳ , calcule as seguintes operações: 
<a= �� + �∗ ; <b= �� − �∗ <c= ��E <d= ���∗ e= j�j∗ f= �
∗E 
Resposta: <a= 2a <b= 2b <c= C2*;EѲ <d= C2 <e= 1 <f= C2*R;EѲ 
 
A-6 ________________________________________________________________________________________ 
Dados ��d = 10; ��E = − 10 * �� ^ = 10 + 10, calcule �� = ��d + dk
l� m
h kln�
 
Resposta: �� = 10,05 + 0,05