Aula 5 Circuitos de indutancia pura

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2.3 Circuitos de Indutância Pura 
 
2.3.1 Introdução 
O indutor é um elemento feito para armazenar energia em um campo magnético. A tensão induzida em 
seus terminais, bem como sua indutância, são formadas a partir deste campo. Para compreendermos a 
formação da tensão é necessário um breve estudo do conceito de formação do fluxo magnético a partir 
das linhas de campo magnético, para em seguida podermos interpretar o fenômeno da indução 
eletromagnética descrito pela lei de Faraday. O efeito de reação da indutância pode ser melhor 
compreendido através da lei de Lenz. 
 
2.3.2 Formação da tensão em um indutor 
Fluxo magnético 
A corrente, ao atravessar a espira de uma bobina, produz como efeito um campo magnético devido a 
trajetória circular de seu percurso. Este campo se situa perpendicularmente à corrente ou ao fio da bobina, 
formando linhas circulares em torno deste, direcionada num sentido que depende do sentido da corrente. 
Por convenção, este sentido vai de norte para sul conforme demonstrado na Figura 2.13, onde o sentido 
norte neste caso, é situado como emergindo do plano do papel, devido ao sentido da corrente . 
 
Figura 2.13 - Formação de linhas de campo magnético em uma espira percorrida por uma corrente 
 
O sentido da corrente é facilmente obtido aplicando-se a regra da mão direita. 
Assim, cada espira contribui num efeito acumulativo, para a formação de um número de linhas de campo 
magnético que irão circular a bobina de forma semelhante a um ímã, de acordo com a Figura 2.14 . 
José Francisco Castelo Branco Filho 
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Figura 2.14 - Linhas de campo de uma bobina percorrida por uma corrente 
 
 
Então, as N espiras da bobina produzirão uma intensidade de fluxo magnético ф proporcional à 
intensidade das linhas de campo magnético sendo este fluxo diretamente proporcional ao número de 
espiras N e também à intensidade da corrente, onde : 
ф = �� 
dado em Webers (Wb) 
Portanto, uma bobina produz um fluxo magnético circulando em torno dela no sentido norte-sul, 
distribuído simetricamente em torno do seu eixo conforme demonstrado na Figura 2.14 . 
O fluxo que enlaça uma determinada bobina é conhecido como o fluxo concatenado àquela bobina. 
Somente o fluxo concatenado contribui para armazenar energia no campo magnético da bobina. 
Uma vez compreendido o fluxo magnético, podemos agora entender o fenômeno da indução 
eletromagnética 
 
Indução eletromagnética 
Para compreendermos a tensão induzida nos terminais de uma bobina é necessário aplicar a lei de 
Faraday para indução eletromagnética. 
Vamos considerar inicialmente uma situação onde temos um condutor retilíneo se deslocando dentro de 
em campo magnético de um ímã conforme mostrado na Figura 2.15 . 
 
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Figura 2.15 - Geração de tensão induzida 
 
Ao deslocarmos um condutor dentro deste campo de forma a cruzar suas linhas de campo, uma tensão é 
induzida através deste condutor . Quanto maior o número de linhas de campo cruzadas por unidade de 
tempo ou quanto maior a força do campo magnético para a mesma velocidade de cruzamento, maior é a 
tensão induzida através do condutor. 
 
Por outro lado, se o condutor for mantido em uma posição fixa e o campo magnético se mover de forma 
que as linhas de campo cruzem o condutor, o mesmo efeito é produzido. 
 Se uma bobina de N espiras é colocada em uma região onde o fluxo é variável, conforme ilustrado na 
Figura 5.16, a tensão induzida na bobina pode ser calculada com o auxílio da lei de Faraday , onde : 
� = ��ф�� 		 
 
Figura 2.16 - Ilustração da lei de Faraday 
José Francisco Castelo Branco Filho 
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ou seja, a tensão induzida é diretamente proporcional ao número de espiras da bobina N e a taxa de 
variação instantânea de fluxo (em webers) concatenado na bobina. 
Se o fluxo concatenado na bobina não variar, isto é, se a bobina estiver imóvel em um campo magnético 
de intensidade constante, dф/dt = 0 , e a tensão induzida será N.dф/dt = N.0 = 0 . Neste caso isto significa, 
que não haverá tensão induzida na bobina se não houver variação no fluxo magnético. 
 
Indutância 
A indutância de uma bobina é compreendida a partir da lei de Lenz . Vimos que o campo magnético na 
vizinhança de uma bobina de N espiras percorrida por uma corrente I tem o aspecto da Figura 2.17 . 
 
Figura 2.17 - Ilustração da lei de Lenz 
Se a corrente aumenta de valor, o fluxo que atravessa a bobina também aumenta. Entretanto foi mostrado 
anteriormente que essa variação de fluxo induz uma tensão entre os terminais de uma bobina. Portanto, a 
tensão induzida em uma bobina é função da variação de corrente através desta bobina. A polaridade 
desta tensão é tal que ela tende a estabelecer uma corrente na bobina que produz um fluxo que se opõe a 
qualquer variação do fluxo original. No instante em que a corrente começa a aumentar, surge um efeito 
oposto que tende a limitar este aumento. Isto é, uma obstrução (choking) à variação da corrente através da 
bobina. Na realidade, a corrente na bobina não varia instantaneamente. Apenas depois de transcorrido um 
certo tempo que depende das características da bobina e da resistência do circuito , é que a bobina deixa 
de se opor à variação da corrente. Este efeito é um exemplo de um princípio geral conhecido como lei de 
Lenz. 
 
 
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Lei de Lenz 
“Um efeito induzido ocorre sempre de forma a se opor à causa que o produziu” 
A propriedade de uma bobina em se opor a qualquer variação de corrente é medida pela sua auto-
indutância 
A auto-indutância é a indutância própria da bobina gerada pelo fluxo magnético concatenado em suas 
espiras. 
 
Portanto, a indutância de uma bobina depende do fluxo magnético gerado, onde a intensidade deste fluxo 
depende das propriedades magnéticas do núcleo desta bobina. 
 
O núcleo de uma bobina pode ser feito a ar ou ter inserido nele, um material ferromagnético. A presença 
deste material produz um alinhamento mais denso nas linhas de campo magnético, aumentando o fluxo 
magnético produzido e em conseqüência a tensão induzida, conforme a lei de Lenz. 
Assim, a indutância de uma bobina depende diretamente das propriedades magnéticas de seu 
núcleo. 
 A unidade de indutância é dada em henries (H). 
 
A indutância de um indutor também pode ser definida como a taxa de variação de fluxo em seu interior 
em função da variação da corrente aplicada, ou seja : 
	 = � �ф�� 
Dependendo das propriedades magnéticas do núcleo da bobina, uma variação em sua corrente, pode 
causar uma redução na variação do fluxo que atravessa o indutor. Neste caso teremos uma baixa 
indutância. Caso contrário, teremos uma alta indutância. 
 
 Portanto, a equação dada anteriormente revela que, 
“quanto maior a indutância de um indutor (com N constante), maior será a mudança instantânea de 
fluxo no seu interior devido a uma variação instantânea de corrente.” 
 
José Francisco Castelo Branco Filho 
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Simbologia 
Simbolicamente, um indutor ideal é representado unicamente pela indutância L de suas espiras. Uma 
representação real inclui a resistência R do fio da bobina em série com esta, e uma capacitância (entre as 
espiras) em paralelo à associação série de R e L. 
 
Figura 2.18 – Representação de um indutor: (a) ideal; (b) real 
 
2.3.3 Relação tensão-corrente 
Considerando que o fluxo varia em função da corrente e esta em função do tempo, podemos escrever: 
� = 
��, �� 
onde a tensão induzida na bobina depende parcialmente do fluxo e da corrente sendo : 
�� = � �∅�� = �
�∅
�� 	
��
�� = ��
�∅
�� � �
��
��� 
substituindo na equação da indutância L obtemos finalmente : 
	�� = 	 ����	 
 
 
 
 
 
 
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2.3.4 Representação no domínio do tempo 
+-
i
( 90 )mv V sen tωωωω= + °= + °= + °= + ° L
 
Figura 2.19 – Circuito puramente indutivo 
 
 
Tensão 
A tensão instantânea da fonte aplicada a um circuito puramente indutivo deve levar em consideração a 
impedância da bobina, uma vez que esta tensão está em paralelo com seus terminais. Assim, a inclinação 
da curva tensão-corrente, molda a fase da corrente. A queda de tensão na bobina, conforme a Figura 2.19, 
é dada por : 
�� = �� = ��	���	���� 
 
Corrente 
Considerando que, 
�� = 	 ���� 
então iL será dada pela integral da tensão onde, a partir da equação anterior obtém-se: 
�� = 1		 ��	�� 
Aplicando vL dado na primeira equação e substituindo em iL, obteremos : 
�� =	 !"#	 	$�%	�#��	 
 
 
onde a amplitude de IL é dada por : 
José Francisco Castelo Branco Filho 
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&" =	 !"#	 
 
 
e neste caso a corrente estará na referência. Assim, para um circuito puramente indutivo, tensão e corrente 
serão representadas graficamente conforme a Figura 2.20, onde o fasor aparece na tensão adiantando-a de 
90° em relação à corrente. 
 
Figura 2.20 – Tensão e corrente alternadas num circuito puramente indutivo 
 
2.3.5 Representação Fasorial 
É dada na forma polar sendo !' = !e	)*+º	�			& ' = &	e	)+º . É graficamente representado por : 
 
Figura 2.21 – Diagrama fasorial da tensão e corrente no indutor. 
 
 
 
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2.3.6 Impedância 
Efeito de oposição 
Ao aplicarmos uma tensão AC (causa) num circuito indutivo surgirá como efeito uma corrente que 
sofrerá uma oposição ao seu crescimento Da lei geral para circuitos sabemos que : 
-./$�çã/ = 234$35
���/ 
Substituindo nas equações dadas para os fasores de tensão e corrente, obtemos: 
Forma polar 
-./$�çã/ = 	!�&� =
V7
√2 e	
)*+º	
!"
√2#		e	
+º	
 
À oposição proporcionada pela bobina, chama-se reatância indutiva, dada por XL na forma complexa, 
onde : 
	:' � = ��;<=°? 
E seu módulo é dado por : 
:� = 	�� 
Forma retangular 
@�' = A@� 
 
Figura 2.22 – Diagrama de Impedância 
 
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2.3.7 Resposta de Frequência 
A resposta de frequência de um circuito puramente indutivo apresenta curvas semelhantes para tensão e 
impedância, sendo puramente lineares com a variação frequência. Para a corrente, apresenta uma variação 
inversamente proporcional à frequência, o que caracteriza este circuito. 
 
Resposta de frequência da impedância 
|@��
�| = #	 = 2C
			 ∴ 		 @� ∝ 
 
 
Figura 2.23 – Curva da resposta de frequência da reatância indutiva 
Resposta de frequência da tensão 
|!��
�| = &@��
� = &2C
			 ∴ 		 !� ∝ 
 
 
Figura 2.24 – Curva da resposta de frequência da tensão em um indutor 
Resposta de frequência da corrente 
|&��
�| = !@��
� =
!
2C
	 		∴ 		 &� ∝
1
 
 
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Figura 2.25 – Curva da resposta de frequência da corrente em um indutor 
 
2.3.8 Associação de Indutores 
As associação série e paralela de indutores são feitas de forma semelhante a de resistores, conforme 
demonstrado matematicamente a seguir. 
 
Série 
 
Figura 2.26 – Circuito CA com associação série de indutores 
 
�� = ��F + ��H +⋯+ ��J 
	KL ���� = 	M
��
�� + 	N
��
�� +⋯+ 	O
��
�� 
	KL ���� =
��
�� �	M + 	N +⋯+ 	O� 
	KL = 	M + 	N +⋯+ 	O 
 
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De acordo com o resultado das equações, a indutância equivalente de uma associação série de n indutores 
é igual à soma das indutâncias parciais. Então um circuito equivalente armazenará uma energia igual a 
soma das energias armazenadas em cada indutor. 
Paralelo 
 
 
Figura 2.27 – Circuito CA com associação paralela de indutores 
P = PQ + PR +⋯+ PS 
�� = �TPT� 		→ 		 TP = 
��
� T� 
P = ��� T� =
Q
� ��T� 
Q
��V ��T� =
Q
�Q ��T� +
Q
�R ��T� +⋯+
Q
�S ��T� 
Q
��V =
Q
�Q +
Q
�R +⋯+
Q
�S 
 
Isto significa que o inverso da indutância equivalente de uma associação paralela é igual a soma dos 
inversos das indutâncias parciais. Da mesma forma, a energia armazenada no circuito equivalente é igual 
a soma das energia armazenadas nos indutores parciais. 
 
 
 
 
 
 
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2.3.9 Exercícios 
1) Explique o processo de formação da tensão no indutor. 
 
2) Explique o aparecimento do fasor na tensão em um circuito de indutância pura. 
 
3) Determine a tensão � no circuito e esboce as curvas � e �. 
 
Figura 2.28 – Exercício 2.3.9.3 
 Resposta: v = 15 sen(ωt+120°) (A) 
4) Determine a corrente no circuito abaixo e esboce o gráfico de � e � e seus respectivos diagramas 
fasoriais. 
+
-
i
3LX = Ω= Ω= Ω= Ω24 ( 30 )v sen tωωωω= + °= + °= + °= + °
 
Figura 2.29 – Exercício 2.3.9.4 
 Respostas : X Y' = Z, [Z[	�\�;−[=°?		P = ^��S��� − [=°�	�\�? 
 
5) Calcule a indutância equivalente do circuito abaixo: 
 
Figura 2.30 – Exercício 2.3.9.5 
Resposta: 8.74 H