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Aula 9 Circuito RLC serie

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CAPÍTULO 5 
 
 
CIRCUITO RLC-SÉRIE 
 
5.1 - Introdução 
 
As técnicas utilizadas para análise dos circuitos RLC são feitas do mesmo modo que nos capítulos 
anteriores para circuitos RC e RL. Serão abordados neste capítulo suas configurações série e paralelo, 
incluindo: resposta no domínio do tempo e da frequência, fator de potência, estudo das respostas das 
impedâncias e das tensões para variações em cada componente do circuito, e ainda serão fornecidos 
critérios para aplicação em projetos práticos de circuitos RLC. 
 
 
5.2 – Características do circuito 
 
A associação série de dois elementos reativos como indutor e capacitor, tem como efeito um 
comportamento quadrático na frequência, que se manifesta na curva de impedância do circuito 
apresentando um mesmo valor para dois valores distintos de frequência. Nestas circunstâncias, o 
circuito RLC apresenta dois aspectos reativos onde um deles prevalece sobre o outro dependendo em 
qual destas frequências está operando. 
O ponto em que as reatâncias são iguais é a sua principal característica, provocada por uma 
frequência de ressonância que torna nulo seu aspecto reativo. Isto direciona as aplicações deste 
circuito para aplicações em filtros de frequência na sintonia de sinais, ou em filtros de potência, 
melhorando a qualidade de energia em redes. Encontra vastas aplicações em telecomunicações na 
recepção de sinais de rádio, TV, dados e telefonia. 
 
José F. Castelo Branco Filho 
 
126 
 
5.2.1 – O circuito 
O circuito RLC-Série, é representado na Figura 5.1 utilizando-se os mesmos critérios desenvolvidos 
anteriormente para componentes ideais. 
0 oE
I
→→→→
R
++++
−−−−
LXj CjX−−−−
 
 Figura 5.1 – Circuito RLC-Série 
 
Aplicada uma tensão CA no circuito, irá circular uma corrente que depende de uma impedância 
complexa resultante da associação dos componentes, onde módulo e ângulo variam de acordo com o 
valor destes componentes e da freqüência de operação. 
 
5.2.2 Impedância 
Aplicação prática 
Em casos práticos de aplicação em laboratório, é importante considerar valores práticos como a 
resistência da fonte Eg e do fio da bobina conforme representadas no circuito da Figura 5.6 . 
iR LRR L C
gE
 
Figura 5.6 – Circuito RLC, modelo real 
 
Sendo a resistência Rt total do circuito RLC-Série, dada por: �� = 	�� +	�� + � 
onde, 
 Ri - Resistência interna da fonte 
 RL - Resistência do fio da bobina 
 R - Resistência do circuito 
 Capítulo 5 - Circuito RC-Série 
 
 
127 
 
O valor complexo da impedância é o resultado da soma algébrica das resistências e das reatâncias 
dos componentes ativos e reativos do circuito. Considerando componentes ideais, tornando Rt igual 
a R podemos escrever: 
�	 = � + 
(�� − ��) 
 
Que é graficamente é representado num diagrama de impedâncias da Figura 5.2. A título de 
exemplo, foi utilizado uma reatância XL > XC . 
 
θθθθ
R ++++
−−−−
Z
LX
CX
j++++
j−−−−
CL XX −−−−
 
Figura 5.2 – Diagrama de impedâncias de um circuito RLC-Série. 
Seu módulo pode ser obtido aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo formado por Z, R e (XL-
XC) na Figura 5.2 , resultando em : 
� = ��� + (�� − ��)				�	 
e seu ângulo, por : 
� = ����� ��� − ��� � 
onde a impedância complexa na forma polar, é genericamente representada por : 
�	 = ��±
�		 
Como o valor resultante para θ pode ser positivo ou negativo, considerando o uso de resistência 
positiva, podemos afirmar para um circuito RLC série : 
 
• O ângulo � varia entre -90° e 90° . 
• Para 0º < θ < 90° o circuito assume um aspecto indutivo 
• Para -90° < θ < 0° o circuito assume um aspecto capacitivo 
 
 
 
José F. Castelo Branco Filho 
 
128 
 
5.2.3 - Tensões 
A tensão total fornecida ao circuito RLC, é dividida no resistor, no indutor e no capacitor em quedas 
de tensão, conforme ilustrado na Figura 5.3. 
E
−−−−−−−− ++++ −−−−
E
0 o
++++
−−−−
←←←← RV ← LjV  ←− CjV
↑↑↑↑
++++++++
 
Figura 5.3 – Representação das tensões no circuito RLC-Série. 
 
Aplicando-se o divisor de tensão na forma fasorial no circuito da Figura 5.3, obtemos no resistor : 
��	 = ���
�	 	��
�º =	��� ��
�	 
O fasores das quedas de tensão no indutor e no capacitor são calculados por : 
��	 = ��	�
 �º	��
�	 	��
�º = 	��	�� �
( ���)	 
��	 = ��	��
 �º	��
�	 	��
�º = 	��	�� �
(� ���) 
Onde Z é Ѳ foram obtidos para XL>XC conforme as equações dadas anteriormente. 
Podemos obter os fasores de tensão aplicando a Lei de Kirchhoff no circuito da Figura 5.3, onde : 
�	 = �� + 
(�� − ��) 
Assim, o módulo da tensão total é obtido do triângulo de tensões, onde a hipotenusa é : 
� = !��� + (�� − ��)� 
e os módulo VL e VC podem ser obtidos da equação de E, por: 
�� = ��� − (�� − ��)� 
�� − �� = !�� − ��� 
 
5.2.4 – Corrente 
De forma semelhante aos circuitos RC série e RL série, o fasor de corrente é calculado utilizando a 
1ª lei de Ohm, onde : 
"	��� = �	�	 = ��
�º
��
� =		��	��
� 
 Capítulo 5 - Circuito RC-Série 
 
 
129 
 
Como o valor de θ da corrente é o negativo do ângulo da impedância, podemos afirmar que : 
• Para 0º < θI < 90° o circuito assume um aspecto capacitivo 
• Para -90° < θI < 0° o circuito assume um aspecto indutivo 
 
 De posse dos fasores de ��	 	, ��	 	 e "	��� podemos traçar o diagrama fasorial das tensões e da 
corrente. A Figura 5.4 ilustra um caso genérico onde XL > XC e em consequência, VL-VC > 0 . 
++++−−−−
j++++
j−−−−
LV
CV
E
RV
RLCI
θθθθ
θθθθ
θθθθ
CL VV −−−−
 
Figura 5.4 – Diagrama fasorial das tensões 
do circuito RLC-Série para VL >VC .. 
 
No diagrama da Figura 5.4, podemos concluir no circuito RLC série que : 
 
• No resistor, a corrente possui o mesmo ângulo da tensão igualmente às configurações 
anteriores. 
• VL e VC estão sempre em oposição de fase. 
• VR está em quadratura com VL e VC. Adiantada em relação a VC e atrasada para VL 
• A tensão total é obtida da soma fasorial da queda de tensão no resistor com a resultante das 
quedas de tensão reativas. 
• O triângulo de tensões é semelhante ao de impedâncias. 
• A corrente está atrasada para um circuito com aspecto indutivo e adiantada para um circuito 
capacitivo, em ambos os casos, de um ângulo igual ao negativo do ângulo da impedância. 
• Em um circuito RLC-Série com aspecto indutivo, a tensão VL-VC se situa no 1°quadrante. 
Para aspectos capacitivos estará no 3° quadrante. A corrente IRLC e a tensão VR tem suas 
posições em quadratura aos ângulos de VL-VC se situando no 4º ou no 1° quadrante. 
 
 
 
José F. Castelo Branco Filho 
 
130 
 
5.2.5 – Fator de Potência de um circuito RLC série 
Para o circuito RLC-Série o fator de potência pode ser calculado diretamente no gráfico da Figura 
5.4. Calculando-se o cosseno do ângulo Ѳ entre a tensão total e a corrente total do circuito, obtemos: 
$%&� = ��� 
Da mesma forma que os circuitos anteriores, VR = RI e E = ZI , e o fator de potência resulta em : 
$%&� = �� 
Também pode ser também obtido de forma mais rápida do gráfico de impedâncias da Figura 5.2. 
Analogamente as situações para os circuitos RL e RC podemos concluir que : 
 “O fator de potência de um circuito RLC-Série varia entre 0 e 1” . 
 
 
5.2.6 – Análise no domínio do tempo 
A resposta do circuito RLC-Série no domínio do tempo, em regime permanente senoidal, pode ser 
obtida de forma semelhante aquelas calculadas para circuitos RC e RL . A amplitude e ângulo das 
tensões e da corrente podem ser calculados da mesma forma anterior utilizada para circuitos RC e 
RL série. As fases são calculadas a partir de fontes ideais onde oângulo da tensão está na referência. 
 
Tensão da fonte 
� = √�	�(	)�*	(+�) 
Tensão no resistor 
,� = √�	��� 	)�*(+� − �) 
Tensão no indutor 
,� = √�	��	�� )�*(+� − � + �°) 
Tensão no capacitor 
,� = √�	��	�� )�*(+� − � − �°) 
Corrente 
���� = 	√�	�� 	)�*(+� − �) 
 
 Capítulo 5 - Circuito RC-Série 
 
 
131 
 
Formas de onda das tensões 
 
)(tvR )(tvL
)(tiRLC↓↓↓↓)( tsenEm ωωωω
)(tvC
−−−−++++ −−−−++++
−−−−++++
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
Figura 5.5 – a) Circuito RLC-Série, 
 b) Tensões ca do circuito RLC-Série. c) Tensão total, vR e corrente. 
para: Em=10(V), f = 5(KHz), R=100(Ω) e L = 1(mH)e C=100nF . 
 
A representação ca do circuito RLC-Série é ilustrada na Figura 5.5(a) . Os gráficos da Figuras 5.5- 
(b) e (c) foram obtidos através de simulação computacional para os valores de componentes 
representados nesta figura. 
 
José F. Castelo Branco Filho 
 
132 
 
 
Análise do circuito RLC-Série da Figura 5.5 
 
 
Figura 5.5(b) 
Podemos notar na Figura 5.4(b) que a amplitude da tensão vC no capacitor é maior que a da tensão e 
fornecida ao circuito. Isto se torna possível quando capacitor e indutor estão presentes no circuito. 
Podemos conferir nesta figura um adiantamento de vL em mais de 160°, um atraso de vC de 
aproximadamente 19°, e um adiantamento de vR em mais de 70°, todas em relação à tensão e que 
está na referência. A oposição de fase de 180° entre vL e vC é nitidamente perceptível. As 
ortogonalidades de vR com vL e com vC , também podem ser claramente percebidas nesta figura. 
 
Figura 5.5(c) 
A Figura 5.5(c) ilustra o aspecto do fator de potência no domínio do tempo, bem como a igualdade 
de fase entre tensão e corrente no resistor. A escala da corrente feita em miliampères no eixo 
vertical, permite visualizá-la junto à tensão em volts. Com o ângulo de vR próximo de 90° é de se 
esperar um baixo fator de potência de 18,86 uma vez que a corrente iRLC possui o mesmo ângulo de 
vR e a tensão total e está na referência. 
 
Aspecto reativo 
Calculando os valores da impedância para a frequência de 5(KHz), encontramos XL igual a 31,4(Ω) , 
XC , 318,32(Ω), XL-XC , 286.89(Ω) e Z igual a 303,82(Ω), sendo XC praticamente dez vezes maior 
que XL e três vezes maior que R. Assim, com uma reatância equivalente total de magnitude 
praticamente 3 vezes maior que a resistência de 100(Ω), é justificado o baixo fator de potência. Com 
XL e R menores que Z , e XC maior que Z, teremos uma relação XC/Z maior que 1 fazendo com que 
a tensão no capacitor vC , seja maior que a da fonte e e prevalecendo ainda sobre as demais, 
atribuindo um aspecto predominantemente capacitivo ao circuito. 
Por outro lado, a forma de onda da corrente iRLC na Figura 5.5(c) mostra um adiantamento maior 
que 90° em relação à tensão e indicando claramente o aspecto capacitivo do ponto de vista do fator 
de potência. 
 
 
 
 Capítulo 5 - Circuito RC-Série 
 
 
133 
 
5.2.7 – Resposta de frequência 
A curva de resposta de frequência de um circuito contendo indutor e capacitor, possui um 
comportamento quadrático conforme será demonstrado a seguir. Isto provoca mudança nas 
inclinações das curvas de impedância, tensão e corrente, alterando o aspecto reativo do circuito de 
acordo com a frequência ou faixa em que opera. Assim, um circuito RLC pode ter como resposta um 
aspecto capacitivo ou indutivo, ao mudarmos o valor dos componentes ou da frequência de 
operação. 
A faixa de frequência do circuito RLC é centralizada na frequência de ressonância sendo tomada 
como referência central onde o circuito muda seu aspecto reativo. 
Por outro lado, a presença de um elemento indutivo e um capacitivo no circuito, permite uma alta 
seletividade na escolha da faixa de sintonia, ao apresentar uma inclinação acentuada de resposta, 
próxima à frequência de ressonância. Tal característica permite uma sintonia mais estreita em torno 
desta frequência, o que torna relevante o conceito de fator de qualidade no dimensionamento das 
tensões e da resposta desejada para o circuito. 
 
Frequência de ressonância 
A freqüência de ressonância, ou freqüência natural do circuito, é aquela que, quando aplicada nele, 
faz com que as reatâncias: indutiva e capacitiva se igualem. Para componentes ideais seu valor é 
calculado tornando: 
+� = .+� 
Substituindo o valor de ω resulta : 
/� = .�0√�� 
onde podemos concluir que a freqüência de ressonância não depende da resistência do circuito, mas 
somente da indutância e da capacitância. L e C, podem representar não somente componentes 
individuais, mas também valores equivalentes de suas respectivas associação no circuito. 
 
Resposta de frequência da impedância 
A impedância no circuito RLC pode ser vista em função da frequência angular como : 
�(+) = 	� + 
(��(+) − ��(+)) 				 
sendo 
�(+) = 	� + 
(+� − .+�	)				 
José F. Castelo Branco Filho 
 
134 
 
resultando em: 
�(+) = 	� + 	
	+��� − .+� 				 
revelando um comportamento quadrático para a frequência. Assim podemos esperar dois valores de 
frequência respectivos às raízes de um polinômio obtido de Z(ω). 
 A resposta de frequência da impedância no circuito RLC série, é dada por: 
�(/) =	1�� + ��0/� − .�0/��
�	 
Aplicando os limites da faixa de frequência na equação acima, obtemos: 
Para f → 0 ∴	 → Z( f ) → ∞ 
Para f → fR ∴	 → Z( f ) → R 
Para f → ∞ ∴	 → Z( f ) → ∞ 
Fisicamente, os circuitos equivalentes em tais limites são representados conforme as Figuras 5.7 (a) 
e (b) e (c) . 
R ∞∞∞∞====CX
0====f
0=LX
E 0 oE
++++
−−−−
Rff =
0=− CL XXR
0 o E
++++
−−−−
0=CX
∞=f
∞=LXR
E
 
 (a) (b) (c) 
Figura 5.7 – Circuitos equivalentes para os limites da faixa de frequência. 
 
As respostas de impedâncias são mostradas através de simulação computacional na Figura 5.8. 
 
Figura 5.8 –Resposta de frequência da impedância e reatâncias 
para: R =50Ω e L =1mH e C= 100nF. 
 Capítulo 5 - Circuito RC-Série 
 
 
135 
 
Análise das curvas 
Podemos observar no circuito da Figura 5.8, que a reatância indutiva XL cresce linearmente com a 
freqüência a partir de zero em direção ao infinito, enquanto a reatância capacitiva XC decresce 
assintoticamente em direção à zero. Ambas se igualam na frequência de ressonância calculada em 
15,91(KHz) para este circuito. Neste ponto, ambas as reatâncias são iguais a 100(Ω) e o valor da 
impedância Z se iguala à resistência R como era de se esperar. É importante observar o fato, em que 
o valor das reatâncias sendo iguais ao dobro da resistência na ressonância, é devido somente ao valor 
específico dos componentes reativos escolhidos para este circuito. 
Observamos ainda na Figura 5.8, que a forma da curva de impedância Z ganha o aspecto da soma de 
XL com XC e que não é simétrica em torno da frequência de ressonância, onde podemos notar uma 
maior inclinação no lado esquerdo de fR . Isto confere ao circuito um aspecto capacitivo para o lado 
esquerdo e indutivo para o lado direito desta freqüência. 
Assim, com característica marcante torno de fR, podemos afirmar para um circuito RLC série: 
 f < fR → XL < XC , Z > R 
 f = fR → XL=XC , Z=R 
 f > fR → XL > XC , Z > R 
Tal qual no circuito RC série, Z tende para XC quando f tende para zero. Analogamente ao circuito 
RL série, Z tende a XL quando f tende a infinito. Analisando as reatâncias, teremos: 
XL = R → fL < fR 
XC = R → fC > fR 
onde 
/� = ��0� 
e 
/� = .�0�� 
 
Resposta de impedânciaàs variações de resistência 
O valor no ponto de ressonância em que as curvas de reatância se cruzam, depende do valor dos 
componentes, como pudemos observar na análise das curvas. Por outro lado, a resistência também 
tem impacto nas curvas de impedância. Tomando como referência os valores dos componentes da 
Figura 5.8, podemos fazer um estudo do comportamento destas curvas, considerando valores 
menores e maiores que cada um daqueles componentes, e mantendo fixo os demais para cada caso. 
 
José F. Castelo Branco Filho 
 
136 
 
A figura 5.9 ilustra o comportamento do circuito RLC série para variações na resistência, 
considerando os quatro valores dados nesta figura. 
 
Figura 5.9 –Resposta das impedâncias às variações de resistência: 
 (a)- R =1Ω; (b)-R=10 Ω; (c)-R=100 Ω; 
(d)-R=1K Ω; para: L =1mH e C= 100nF. 
 
Podemos observar nas Figura 5.9(a), (b),(c) e (d) que no ponto de cruzamento de XL com XC em f=fR 
, as reatâncias assumem um valor de 100(Ω) e a curva de impedância se desloca verticalmente. 
Para resistências de 1(Ω) e 10(Ω), vistas nas Figs. 5.9 (a) e (b) , a curva de impedância se encontra 
abaixo do cruzamento e a maior parte das reatâncias se encontram acima do valor da resistência. 
Para uma resistência de 100(Ω) ilustrada na Figura 5.9 (c), o cruzamento das curvas de reatâncias se 
encontram com a da impedância no ponto de ressonância, onde uma parte das reatâncias são 
deslocadas para valores abaixo da resistência, e outra parte, para cima. 
Para uma resistência de 1(KΩ) mostrada na Figura 5.9 (d), a curva da impedância se localiza bem 
acima do cruzamento das reatâncias e se torna mais achatada. 
Baseando nesses resultados, podemos observar que uma redução abaixo de 100(Ω) mantém a 
impedância abaixo do cruzamento das reatâncias, e um acréscimo acima de 100(Ω) trará a curva de 
impedância para cima. Isto nos leva a concluir de forma geral que: 
 
• O posicionamento da curva de impedância é diretamente proporcional ao valor da resistência. 
• Para R abaixo de um certo valor, a impedância Z estará abaixo do cruzamento das reatâncias. 
• Para R igual a um certo valor, as curvas: XL,XC, R e Z irão coincidir no ponto de ressonância. 
• Para R acima de um certo valor, a impedância Z estará acima cruzamento das reatâncias. 
 
 Capítulo 5 - Circuito RC-Série 
 
 
137 
 
Resposta de impedância às variações de indutância 
Um aumento na indutância desloca o ponto de ressonância no circuito RLC para a esquerda, uma vez 
que L é inversamente proporcional à fR . Por outro lado, implica em um aumento na inclinação da 
curva XL, uma vez que esta reatância é diretamente proporcional a L. Portanto, podemos esperar 
uma maior inclinação de Z na região da curva em que f > fR . O comportamento das curvas em 
função da variação da indutância é mostrado na Figura 5.10 para quatro diferentes valores de L. 
 
Figura 5.10 –Resposta das impedâncias às variações de indutância: 
 (a)- L =0,01mH, (b)-L=0,1 mH; (c)-L=10mH; 
(d)-L=100mH ; para R=50Ω e C= 100nF. 
 
Podemos constatar nas Figuras 5.10(a), (b,), (c) e (d) o deslocamento do ponto de ressonância para a 
esquerda com o aumento de L, com fR variando em: 150(KHz), 50(KHz), 5(KHz) e 1,6(KHz), assim 
como a análise feita anteriormente para o comportamento das curvas. 
As Figuras 5.10(a) e (b) mostram o cruzamento das reatâncias abaixo da curvas de impedância Z e 
de resistência R. 
As Figuras 5.10(c) e (d) ilustram o cruzamento das reatâncias acima da impedância Z e da 
resistência R. 
 
Conclusões para as variações de indutância 
• Um aumento na indutância corresponde um aumento diretamente proporcional na impedância 
• Para L abaixo de um certo valor, Z e R estarão acima do cruzamento das reatâncias. 
• Para L igual a um certo valor, as curvas de XL, XC, Z e R se cruzarão na ressonância. 
• Para L acima de um certo valor, Z e R estarão abaixo do cruzamento das reatâncias. 
 
José F. Castelo Branco Filho 
 
138 
 
Resposta de impedância às variações de capacitância 
Um aumento na capacitância desloca o ponto de ressonância no circuito RLC para a esquerda, uma 
vez que C é inversamente proporcional à fR . Isto provoca um redução na inclinação da curva XC, já 
que esta reatância é inversamente proporcional a C. Como resultado, pode-se esperar uma menor 
inclinação de Z na região da curva em que f < fR . O comportamento das curvas em função da 
variação da capacitância é mostrado na Figura 5.11 para quatro diferentes valores de C. 
 
Figura 5.11 – Resposta das impedâncias às variações de capacitância: 
 (a)- C =1nF, (b)- C=10nF, (c)- C=1000nF; 
(d)- C=10000nF ; para R=50Ω e L= 1mH. 
 
Nas Figuras 5.11(a), (b,), (c) e (d) podemos constatar o deslocamento do ponto de ressonância para a 
esquerda com o aumento de C, com fR variando em: 150(KHz), 50(KHz), 5(KHz) e 1,6(KHz), tal 
qual obtido na variação da indutância. Observa-se também, que os valores das reatâncias nos 
cruzamentos se estabelecem numa ordem inversa em relação à obtida na variação da indutância. 
Notamos ainda, que o comportamento das curvas respaldam a análise feita anteriormente. 
As Figuras 5.11(a) e (b) mostram o cruzamento das reatâncias acima da curvas da impedância Z e da 
resistência R. As Figuras 5.11(c) e (d) ilustram o cruzamento das reatâncias abaixo da impedância Z 
e da resistência R. Assim podemos concluir: 
 
Conclusões para as variações de capacitância 
• Um aumento na capacitância implica numa redução diretamente proporcional na impedância. 
• Para C abaixo de um certo valor, Z e R estarão acima do cruzamento das reatâncias. 
• Para C igual a um certo valor, as curvas de XL, XC, Z e R se cruzarão na ressonância. 
• Para C acima de um certo valor, Z e R estarão abaixo do cruzamento das reatâncias. 
 Capítulo 5 - Circuito RC-Série 
 
 
139 
 
Conclusões gerais para as respostas de impedâncias 
Podemos manter a frequência de ressonância do circuito RLC série e variar o valor das reatâncias 
nesta freqüência, colocando-as acima ou abaixo do valor da impedância. Para isto, basta modificar o 
valor da resistência. 
O posicionamento vertical do cruzamento das reatâncias depende da associação dos valores dos três 
componentes no circuito. Assim, para um valor fixo de resistência, o valor das reatâncias na 
ressonância dependerá também dos valores de L e de C. 
Variando os componentes reativos, podemos concluir que: 
 
um aumento na indutância: 
• Torna mais estreita a faixa próxima à ressonância. 
• Provoca um deslocamento da ressonância para o lado esquerdo da faixa de frequências. 
• Desloca para cima o cruzamento das reatâncias na frequência de ressonância. 
• Aumenta a resposta da reatância indutiva XL. 
 
um aumento na capacitância: 
• Torna mais larga a faixa próxima à ressonância. 
• Provoca um deslocamento da ressonância para o lado esquerdo da faixa de frequências. 
• Reduz o valor no cruzamento das reatâncias na freqüência de ressonância. 
• Diminui a resposta da reatância capacitiva XC . 
 
 
Resposta de frequência da tensão no resistor 
A resposta de frequência da tensão no resistor é obtida aplicando-se o divisor de tensão no resistor, 
e calculando-se o módulo da tensão VR em função da frequência, onde : 
��(/) =	 ��(/) 	� 
 
Desmembrando a impedância em função da frequência, teremos: 
��(/) =	 ��1�� + ��0/� − .�0/���
	 
 
José F. Castelo Branco Filho 
 
140 
 
Aplicando-se os limites teremos: 
Para / → �				 ∴ 		��(�) → � 
Para / → /� 		 ∴ 		 ��(/) → � 
Para / → 	∞	 ∴ 		 ��(	5) → � 
 
Resposta de frequência da tensão no indutor 
Aplicando-se o divisor de tensão no indutor e desmembrando a impedância teremos: 
��(/) =	 ��(/)�!�� + 6��(/) − ��(/)7�
	 
Elevando ao quadrado ambos os membros da equação de VL(f)e dividindo por XC(f)2 o numerador e 
denominador da fração, obtém-se : 
��(/) = 	 �16 ���7
� + 6. − ����7
�	 
Calculando em função da frequência, obtemos: 
��(/) =	 �1� ��0/��� + �. − .(�0/)�����
 
Aplicando os limites da faixa de frequência, obtemos : 
 Para / → �				 ∴ 		 ��(�) → � 
 Para / → /� 		 ∴ 		 ��(/�) → ��� � 
 Para / → ∞			 ∴ 		 ��(5) → � 
Resposta de frequência da tensão no capacitor 
Aplicando-se o divisor de tensão no capacitor e desmembrando a impedância teremos: 
��(/) =	 ��(/)�!�� + 6��(/) − ��(/)7�
	 
Repetindo-se o mesmo procedimento que anteriormente, encontramos: 
��(/) =	 �18 ���(/)9
� + 8��(/)��(/) − .9
� 
 Capítulo 5 - Circuito RC-Série 
 
 
141 
 
��(/) =	 ��(�0/��)� + :(�0/)��� − .;� 
 
Aplicando os limites da faixa de frequência, obtemos : 
 Para / → �				 ∴ 		 ��(�) → � 
 Para / → /� 		 ∴ 		 ��(/�) → ��� � 
 Para / → ∞			 ∴ 		��(5) → � 
 
Resposta de frequência da corrente 
Aplicando-se a Lei de Ohm na relação total entre tensão e impedância no circuito RLC série, encon-
tramos: 
"���(/) =	 �
1�� + ��0/� − .�0/���
 
Aplicando os limites, obtemos : 
 Para / → �				 ∴ 		 "���(�) → � 
 Para / → /� 		 ∴ 		 "���(/�) → �� 
 Para / → ∞			 ∴ 		 "���(5	) → � 
 
Análise das equações 
Podemos observar que nos limites de faixa as tensões se estendem entre 0 e E para VL(f) e no sentido 
contrário para VC(f) . Entre estes limites as tensões se igualam em f=fR , sendo obtidas de um fator 
que multiplica a tensão da fonte, que é a relação entre a reatância e a resistência. 
As resposta de VR(f) e IRLC(f) chegam a zero nos limites extremos da faixa de frequência. Na 
frequência de ressonância a tensão VR(f) atinge um valor máximo igual à tensão de entrada E e a 
corrente alcança seu valor máximo em E/R. Em ambos os casos estes valores acontecem quando as 
reatâncias do circuito RLC série se anulam. 
 As respectivas curvas de resposta de tensão são mostradas na figura 5.9, para o mesmo circuito da 
Figura 5.12 . 
José F. Castelo Branco Filho 
 
142 
 
 
Figura 5.12 –Resposta de frequência das tensões 
 para: Erms= 7,07V , R =50Ω e L =1mH e C= 100nF. 
 
Análise das tensões 
Observando a Figura 5.12 podemos confirmar a análise das equações feita anteriormente. 
Comparando a Figura 5.12 com a Figura 5.8, podemos constatar a relação linear entre tensões e 
impedâncias em um circuito associado em série. No ponto em que f=fR , VL(fR)=VC(fR) valendo o 
dobro do valor de VR(fR) , analogamente às curvas de impedância, onde X L(fR) e XC(fR) valem o dobro 
de R. 
Podemos notar ainda na Figura 5.12 que as tensões VL(f) e VC(f) atingem seus respectivos valores 
máximos fora da frequência de ressonância, num valor próximo de fR. Vemos que VL(fR) e VC(fR) 
atinge 14,14(V) na ressonância e VL max chega a 14,86(V) fora deste ponto. O comportamento dos 
valores máximos e sua relação com o ponto de ressonância requer um estudo mais abrangente 
envolvendo diferentes valores dos componentes. 
O aspecto reativo das tensões obedecem as mesmas limitações de faixa de frequência estabelecidas 
para as impedâncias. Assim podemos afirmar : 
 f < fR → VL < VC ,VR < E 
 f = fR → VL=VC , VR=E 
 f > fR → VL >VC , VR <E 
Podemos verificar que : 
 VL = VR → f = fL → fL < fR 
VC = VR → f = fC → fC > fR 
 
 
 Capítulo 5 - Circuito RC-Série 
 
 
143 
 
Resposta das tensões às variações de resistência 
Analogamente ao estudo da impedância, podemos aplicar os mesmos valores de resistência 
utilizados na Figura 5.9 para descrever o comportamento das tensões. A Figura 5.13 ilustra os quatro 
valores respectivos a estas respostas. 
 
Figura 5.13 –Resposta de tensões às variações de resistência: 
 (a)- R =1Ω, (b)-R=10 Ω, (c)-R=100 Ω 
(d)-R=1K Ω; para: L =1mH e C= 100nF. 
 
- Na Figuras 5.13(a) e (b) para R=1(Ω) e10Ω) e os valores máximos das tensões VL e VC se igualam 
no ponto de ressonância, enquanto VR encontra seu máximo bem abaixo em 7,07(V) que é valor da 
tensão da fonte. Teremos neste caso, as tensões nas reatâncias sobrepondo os valores de VR . 
- Na Figura 5.13 (c), para R=100(Ω), as curvas das reatâncias se cruzam com VR na altura da tensão 
da fonte, na frequência de ressonância fR igual a 15,9(KHz). O valores máximos das tensões reativas 
se encontram agora, numa frequência afastada de fR e continuam sobrepondo o valor de VR . 
- Na Figuras 5.13 (d), com R=1(KΩ), temos um achatamento do valor máximo de VR entre 10(KHz) 
e 15(KHz) na marca de 7,07(V), e as curvas de VL e VC,bem abaixo dessa marca. Podemos notar que 
os valores máximos de VC e VL se encontram distantes da ressonância para este valor de resistência. 
 
Conclusões para as variações de resistência 
Podemos concluir que baixos valores de resistência, trazem o cruzamento de VL com VC para a 
ressonância, coincidindo seu valores máximos e mantendo estas tensões acima da tensão VR e de E. 
Estes baixos valores de R causam um estreitamento na resposta de tensão junto à frequência de 
ressonância. 
José F. Castelo Branco Filho 
 
144 
 
Para um certo valor de resistência, em referência a valores fixos de L e C, as curvas das tensões 
reativas se encontram na frequência de ressonância. 
Altos valores de resistência afastam os pontos máximos de VL e VC da freqüência de ressonância, 
deslocando estas tensões para baixo da tensão da fonte E da curva de VR. Provoca também, um 
achatamento nos pontos máximos das tensões, principalmente em VR onde permanece cada vez 
mais plana para um aumento de R. 
 
 
Resposta das tensão às variações de indutância 
Para um aumento na indutância, podemos esperar um aumento na reatância indutiva e um 
consequente aumento na inclinação da tensão VL, provocando assim, um estreitamento na faixa de 
resposta de tensão em torno da frequência de ressonância. Também faz fR se deslocar para a 
esquerda no espectro, provocando um aumento em VL. 
 
Figura 5.14 –Resposta de tensões às variações de indutância: 
 (a)- L =0.01mH, (b)-L=0.1mH, (c)-L=10mH 
(d)-L=100mH; para: R =50Ω e C= 100nF. 
 
- Na Figuras 5.14 (a) e (b) para L=0,01(mH) e 0,1(mH), o cruzamento das tensões reativas no ponto 
de ressonância se dá abaixo de VR , sendo VL e VC sobrepostas por esta tensão. Comparando essas 
duas figuras, notamos um deslocamento de fR para a esquerda no espectro e um aumento de VL . 
Também é perceptível um estreitamento da resposta de VR em torno de fR , e os valores máximos de 
VC e VL afastados de fR e se aproximando com o aumento de L. 
 
 Capítulo 5 - Circuito RC-Série 
 
 
145 
 
- Na Figuras 5.14 (c) e (d), para L=10(mH) e 100(mH), o cruzamento das curvas das tensões 
reativas se dá em seus valores máximos em fR , e bem acima de VR , numa frequência fR muito 
menor que na Fig 5.14(b). As demais características de comportamento das faixas de tensões com o 
aumento de L nas figuras anteriores, são mantidas para estes valores de indutância. 
 
 
Conclusões para as variações de indutância 
 
Considerando valores fixos em R e C : 
• Para um certo valor de L o cruzamento das tensões reativas estará abaixo de VR e de E. 
• Acima de um certo valor de L o cruzamento das tensões reativas coincidirá com VR e E na 
ressonância. 
 
Um aumento em L 
• Causa um aumento na resposta de VL . 
• Causa uma redução na resposta de VC . 
• Causa um deslocamento vertical para cima no ponto de cruzamento das tensões reativas. 
• Aproxima os valores máximos de VL e VC da ressonância. 
• Causa um estreitamento na faixa de resposta das tensões: VR , VL e VC . 
 
Uma redução em L provoca o efeito contrário aos citados para o respectivo aumento. 
 
 
 
Resposta de tensão às variações de capacitânciaPara um aumento na capacitância, podemos esperar um efeito contrário nas respostas de tensões em 
relação a um correspondente aumento na indutância, exceto no deslocamento da frequência de 
ressonância, que tende para o mesmo lado esquerdo do espectro. 
Um aumento em C provoca uma redução em XC e uma consequente redução em VC, diminuindo a 
inclinação desta tensão e provocando assim, um alargamento em sua faixa de resposta em torno da 
frequência de ressonância. 
José F. Castelo Branco Filho 
 
146 
 
 
Figura 5.15 –Resposta de tensões às variações de capacitância: 
 (a)- C =1nF, (b)-C=10nF, (c)-C=1000nF 
(d)-C=10000nF; para: R =50Ω e L= 1mH. 
 
- Na Figuras 5.15 (a) e (b), para C=1(nF) e 10(nF), o cruzamento das curvas das tensões reativas se 
dá em seus valores máximos, e em fR , bem acima de VR , com fR situado no lado das frequência 
mais altas do espetro analisado. Também é perceptível um alargamento da respostas de VR ,VL e VC 
em torno de fR e uma queda nos picos das tensões na ressonância. Uma redução de valor no 
cruzamento das tensões reativas também é notório. 
- Na Figuras 5.15 (c) e (d) para C=1000(nF) e 1000(nF), as tensões reativas e seu cruzamento estão 
abaixo de VR e de E. Podemos perceber na Fig. 5.15 (d) em 3(KHz), um aumento de VL em relação à 
Fig. 5.15(c) acima da marca de 2(V). Comparando ambas as figuras, notamos um distanciamento dos 
valores máximos entre VL e VC . 
 
Conclusões para as variações de capacitância 
Considerando valores fixos em R e L : 
• Para um certo valor de C o cruzamento de VL com VC estará abaixo de VR e de E. 
• Em um certo valor de C o cruzamento de VL com VC coincidirá com VR e E na ressonância. 
Um aumento em C 
• Causa um aumento na resposta de VL . 
• Causa uma redução na resposta de VC . 
• Causa um deslocamento vertical para baixo no ponto de cruzamento das tensões reativas. 
• Afasta os valores máximos de VL e VC da ressonância. 
• Causa um alargamento na faixa de resposta das tensões: VR , VL e VC . 
 Capítulo 5 - Circuito RC-Série 
 
 
147 
 
Uma redução em C, evidentemente, provoca o efeito contrário aos citados para o respectivo 
aumento. 
 
Conclusões gerais para as respostas de tensão 
Da mesma forma que para as impedâncias, podemos manter a freqüência de ressonância do circuito 
RLC série e variar o valor das reatâncias nesta freqüência, colocando as tensões reativas acima ou 
abaixo do valor da tensão VR ou da fonte E ao modificar o valor da resistência. 
Assim, posicionamento vertical do cruzamento das tensões reativas também depende da associação 
dos valores dos três componentes no circuito. Da mesma forma, para um valor fixo de resistência, o 
valor das tensões na ressonância dependerá também dos valores de L e de C. 
Variando os componentes do circuito RLC série, podemos concluir que: 
uma diminuição na resistência: 
• Desloca para baixo o valor máximo das tensões na ressonância. 
• Provoca um estreitamento na faixa em freqüências próximas à ressonância. 
• Faz coincidir as curvas de VL e VC em freqüências próximas à ressonância. 
um aumento na indutância: 
• Torna mais estreita a faixa de tensão próxima à ressonância. 
• Provoca um deslocamento da ressonância para o lado esquerdo da faixa de frequências. 
• Desloca para cima o cruzamento das tensões reativas na ressonância. 
• Aumenta a resposta de tensão de VL. 
• Aproxima os valores máximos de VL e VC da ressonância. 
um aumento na capacitância: 
• Torna mais larga a faixa próxima à ressonância. 
• Provoca um deslocamento da ressonância para o lado esquerdo da faixa de frequências. 
• Desloca para baixo cruzamento das tensões reativas na ressonância. 
• Diminui resposta de tensão de VC . 
• Afasta os valores máximos de VL e VC da ressonância 
 
As respostas de tensão completam a análise feita nas de impedâncias identificando seus valores 
máximos, onde se pode comparar com os limites suportados pelos componentes. Suas formas de 
onda mostrarão se estão de acordo com as variações desejadas para as tensões em cada componente. 
 
 
José F. Castelo Branco Filho 
 
148 
 
Curva de resposta de frequência da corrente 
A resposta de frequência da corrente segue o mesmo perfil da resposta de VR já analisada. A Figura 
5.16 ilustra seu aspecto para os valores dos componentes tomados como referência neste estudo. 
 
Figura 5.16 –Resposta de corrente 
 para: R =50Ω e L= 1mH e C = 100nF 
 
Tanto as curvas de VR com de IRLC são mais confiáveis se tomados seus valores máximo como 
referência de sintonia para uma desejada frequência, pelo motivo do comportamento visto 
anteriormente na análise das tensões reativas, onde seus pontos máximos nem sempre se encontram 
na ressonância. 
 
 
5.2.9 – Exercícios 
 
5.2.9.1- Qual a principal característica de um circuito RLC-Série?. Explique o porquê. 
5.2.9.2- Cite as principais aplicações de um circuito RLC-Série. 
5.2.9.3- Como se manifesta o efeito reativo provocado por um indutor e um capacitor em um 
circuito RLC-Série, no comportamento da frequência e da impedância? 
5.2.9.4 - Que características carregam o perfil da corrente de um circuito RLC-Série ? 
5.2.9.5 - Explique de forma geral, o efeito de ressonância encontrado na natureza. 
5.2.9.6 - Cite 4 aplicações da ressonância elétrica em sistemas eletrônicos. 
5.2.9.7 - Qual o impacto da ressonância em redes de energia? . Explique. 
 Capítulo 5 - Circuito RC-Série 
 
 
149 
 
5.2.9.8 - Dado um circuito RLC-Série, onde: Ri=1(Ω) , RL=2(Ω); R=98(Ω), XL= 377(Ω) e 
XC=265,3(Ω) , E= 127(V) e f=60(Hz), Calcule: 
a) - (a1) a indutância L , (a2) a capacitância C. (a3) a resistência total R. 
 Representação fasorial de tensões e correntes 
b) - Calcule a impedância complexa. 
c) - Esboce o diagrama de impedâncias. 
d) - Calcule os fasores de tensão: (d1)	��	 ; (d2)	��	 ; e (d3) 	��	 . 
e) - Indique o aspecto reativo do circuito baseado no fasor de tensão (VL-VC). 
f) - Calcule o fasor de corrente. 
g) - Calcule o fator de potência. 
h) - Calcule a frequência de ressonância. 
i) - Compare a frequência de operação com a de ressonância e conclua sobre o aspecto reativo do 
circuito, comparando com o item (e). 
j) - Calcule os fasores das tensões: (j1) ��	 , (j2)	��	 ; (j3) ��	 ; e da corrente: (j4) "	���		na 
ressonância. 
k) - Esboce o diagrama fasorial do circuito indicando os valores dos módulos de tensão e corrente. 
Representação no domínio do tempo para tensões e corrente 
l) Escreva as expressões numéricas das tensões instantâneas: (l1) vR; (l2) vL; (l3) vC e da corrente 
instantânea (l4) iRLC. 
m) Calcule a posição angular em t=0 : (m1) da tensão e; (m2) da corrente ; e (m3) a defasagem 
tensão-corrente, identificando o aspecto reativo do circuito do ponto de vista da instantâneo. 
 
Respostas 
5.2.9.8 - 
a)- (a1) L = 1(H) ; (a2) C = 10(µF) ; (a3) R = 100(Ω) 
Representação Fasorial 
b)- <	 = 149,95	ABCD,EFº	(Ω)	
d)- (d1)		H	 I = 83A�BCD,EFº(H) ; (d2)	H	 L = 319,297ABCE,DOº(H)	; 
 (d3) H	P = 224,66A�B	EOD,EFº(H) 
f)- R	 = 0,847A�B	CD,EFº(T) 
g)- UV = 0,66 
h)- WX = 50,33(YZ)	 
 
José F. Castelo Branco Filho 
 
150 
 
Ressonância 
Representação fasorial na ressonância 
j)- (j1) H	II = 124,46AB[º(H)	; (j2) H	LI = 401,61AB\[º(H); 
 (j3) H	PI = 401,61A�B\[º(H) ; (j4)	R 	II = 1,27(T)AB[º(T) 
Representação no domínio do tempo e na ressonância 
l)- (l1) HI] ≅ 176cos(377b) 	H ; (l2) HL] ≅ 567,96 cos(377b + 90°)H ; 
 (l3)	HP] ≅ 567,96	cos	(377 − 90°)H ; (l4) R	II = 1,796(T) cos(377b) T 
m)- (m1) cd = 0 ; (m2) ce = −48,17º ; (m3) f =48,17º ; capacitivo

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