Aula 2 3 Corrente alternada

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CAPÍTULO 1 
 
CORRENTE ALTERNADA 
REGIME PERMANENTE SENOIDAL 
 
 
1.1 - Introdução 
 
No contexto de circuitos elétricos, vamos direcionar o conteúdo deste livro para a 
análise de circuitos nos quais a intensidade da tensão varia alternadamente e em 
condições de regime permanente senoidal. O estudo de uma tensão variante no tempo 
é particularmente importante, uma vez que uma tensão nessa forma (denominada 
tensão CA) é justamente aquela fornecida nas tomadas residenciais e industriais, que 
são geradas pelas usinas geradoras de energia elétrica. 
 
A eletricidade fornecida nessas usinas é produzida por geradores em centrais elétricas 
e distribuídas através de uma longa linha de transmissão. A energia transmitida a 
longas distâncias, sofre perdas, sendo portanto necessário a elevação da tensão para 
altos níveis. Para que chegue às cargas de residências, pontos comercias e indústrias, 
é necessário que seja abaixada através de transformadores de forma a alimentar 
adequadamente essas cargas. 
 
Uma transmissão de energia é possível ser feita, entretanto, utilizando duas formas 
distintas de corrente: CC (corrente contínua) ou CA. 
 
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Numa transmissão em CC o uso de um alternador (dispositivo que converte tensão 
CA em CC) seria necessário para alimentar uma geladeira, por exemplo. Além disso, 
impossibilitaria a aplicação de transformadores para abaixamento das altas tensões. A 
aplicação direta de CA torna, portanto, o custo de implementação da rede de energia 
elétrica mais barato que CC, justificando sua aplicação prática. 
 
A termo utilizado como tensão CA ou corrente CA não descreve suficientemente o 
tipo de tensão ou corrente referida. É possível se obter diversas formas de onda de 
tensão ou corrente, como aquelas fornecidas em geradores de sinais utilizados em 
laboratórios, conforme ilustrado na Figura 1.1 . 
 
Figura 1.1 - Formas de onda de tensão ou corrente CA. 
 
Neste caso, o termo ‘alternada’, se refere apenas a alternância entre dois níveis de 
tensão ou de corrente ao longo do tempo. De uma forma mais precisa, os termos: 
senoidal, triangular e quadrada devem ser referidos às tensões da Figura 1.1. 
 
A forma de onda senoidal mostrada na Figura 1.1 é encontrada na maioria das 
aplicações em circuitos elétricos, sendo abreviada como tensão CA ou corrente CA. 
Essa forma de tensão é gerada nas usinas de energia elétrica em todo o mundo. A 
maior razão de sua preferência é a suavidade da variação senoidal ao longo do tempo, 
mantendo sua forma de onda inalterada ao atravessar um componente elétrico básico. 
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Tal propriedade a torna preferida em sistemas elétricos, eletrônicos, de teleco-
municações, de comunicação de dados e industriais. 
 
Do ponto de vista de análise de circuitos, os diversos teoremas e métodos aplicados 
em circuitos de corrente contínua também podem ser utilizados em circuitos de 
corrente alternada senoidal, embora a aplicação de sinais senoidais aumente conside-
ravelmente o nível de complexidade matemática necessária para sua descrição. 
 
 
1.2 - O Gerador CA 
O gerador CA é o principal componente de um sistema de transmissão de energia. As 
máquinas geradoras surgiram primeiramente em 1766 na forma de geradores 
eletrostáticos, onde um campo eletrostático era usado no processo de conversão 
eletromecânica de energia. O primeiro gerador eletromagnético foi inventado por 
Nikola Tesla em 1930, tornando possível a geração de energia em CA. 
 
Descrição detalhada 
O princípio de funcionamento de um gerador pode ser entendido de uma maneira 
mais simplificada, se considerarmos uma bobina de um único enrolamento sendo 
livre para girar numa velocidade angular constante, como representada na Figura 1.2. 
 
Ao girar a bobina, o condutor corta o fluxo magnético gerado pelo ímã, induzindo 
uma f.e.m. em seus terminais de acordo com a Lei de Faraday. 
Tomando uma posição angular na bobina da Figura 1.2 como referência e 
deslocando-a de um certo ângulo mecânico, podemos concluir pelas leis da física que 
uma f.e.m é induzida em seus terminais, possuindo um ângulo elétrico de valor igual 
ao deslocamento angular mecânico em relação à posição inicial. 
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Figura 1.2 - Geração de CA 
 
Com o plano da espira da bobina situado na referência em 0°, conforme a Figura 1.2, 
temos o fluxo perpendicular a este plano. Utilizando a regra da mão direita, podemos 
concluir que a f.e.m. induzida é máxima nesta posição. O mesmo pode ser concluído 
para a posição perpendicular oposta, onde a f.e.m atingirá o máximo com valor 
oposto àquele inicialmente considerado. 
Nas posições em que plano da bobina está alinhado ao fluxo, nenhum fluxo é cortado 
e a f.e.m induzida é nula. Naquelas situadas entre 0° e 90º, alguma tensão é induzida 
em proporção ao valor do ângulo mecânico θmec . 
Assim, em um movimento cíclico do condutor, conforme a Figura 1.2, a tensão 
induzida possui inicialmente um valor máximo em θmec=0°, decresce até um valor 
nulo em θmec =90°, troca de polaridade e continua decrescendo até um valor máximo 
de sinal oposto em θmec =180°. A partir deste ponto volta a crescer, retornando ao 
valor inicial e fechando o ciclo. 
 
Portanto, o grau elétrico está adiantado de 90° do grau mecânico, e teremos como 
resultado, uma tensão senoidal induzida nos terminais da bobina adiantada de 90°, 
possuindo uma frequência dependente da velocidade angular ω do condutor e um 
deslocamento de fase dependente da posição angular da bobina. A Figura 1.3 ilustra 
tal descrição relacionando a posição da bobina com a f.e.m. induzida. 
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Figura 1.3 - Equivalência entre a f.e.m. 
 induzida e a posição angular da bobina . 
 
Podemos notar na Figura 1.3, a f.e.m gerada varia de magnitude, mudando de sentido 
em intervalos regulares. Ela é obtida no deslocamento angular da bobina no sentido 
de ω mostrado na Figura 1.2, onde uma tensão positiva no terminal direito é induzida. 
Nas posições (a) e (i), θmec=0° e a f.e.m. é dada por cos(0°) =1 assumindo o valor 
máximo. Na posição (e) a f.e.m é igual ao cos(180°) assumindo um valor máximo 
negativo. Nas posições (b) e (h) a f.e.m é igual ao cos(45°) que é igual a 70,7% do 
seu valor máximo. Nas posições (d) e (f) os valores anteriores são assumidos de 
forma negativa. 
 
 
1.3 - Tensão Alternada Senoidal 
 
a) Tipos de fontes geradoras 
Como vimos anteriormente, as tensões alternadas senoidais podem ser geradas por 
diversos tipos de fontes. A mais comum é aquela que obtemos nas tomadas 
residenciais, que fornecem tensão alternada cuja origem é uma usina geradora; essas 
usinas são em geral alimentadas por quedas d’água, a óleo, a gás, ou fissão nuclear. 
Outras opções menos comuns encontradas hoje em dia, quando se trata de suprir a 
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fonte principal de energia, são as células fotovoltaicas, a energia eólica e aquelas 
obtidas em células combustíveis de hidrogênio. 
Estas últimas são usadas principalmente para alimentar pequenos sistemas como 
satélites, postes de iluminação pública, sinalizadores e automóveis. 
 
As tensões alternadas senoidais também estão disponíveis a partir de geradores de 
sinais (ou geradores de função) onde suas característicaspodem ser controladas por 
usuários, podendo-se obter diferentes formas de onda, amplitudes e frequências. 
Dessa forma, o gerador de sinal desempenha um importante papel no estudo dos 
métodos de análise, dos diversos teoremas e tópicos a serem apresentados nos 
próximos capítulos. 
 
b) Forma de onda de tensão 
A tensão alternada senoidal pode ser representada através de uma forma de onda 
senoidal. A representação de seus parâmetros, é vista na Figura 1.4, e será tomada 
como referência para definição de parâmetros básicos. Tais parâmetros podem ser 
aplicados, entretanto, em qualquer forma de onda alternada. 
 
 
Figura 1.4 - Forma de onda senoidal e seus parâmetros. 
 
 
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c) Definição de parâmetros 
 
Valor instantâneo 
É o valor de intensidade de uma forma de onda em um instante de tempo qualquer. 
Sua representação é feita através de letras minúsculas. Ex: e1(t), v1(t). 
 
Valor de pico 
É o valor máximo de uma tensão em relação ao nível zero. 
 
Amplitude de pico 
É o valor máximo de uma tensão em relação ao valor médio. Sua representação é 
feita através de uma letra maiúscula seguido de uma minúscula. Ex: 
Em - Representação de amplitude para fontes de tensão; 
 Vm - Representação de amplitude para quedas de tensão. 
 
Valor pico a pico 
É o valor que representa a diferença entre os máximos positivo e negativo, ou a soma 
absoluta das amplitudes positiva e negativa. É representado por : Ep-p ou Vp-p . 
 
Forma de onda periódica 
É a forma de onda que se repete em intervalos regulares de tempo. 
 
Período 
É o intervalo de tempo entre sucessivas repetições de uma onda periódica. 
 
Frequência 
É o número de ciclos que ocorrem num intervalo de tempo de 1s. 
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 A unidade de frequência é dada em Hertz (Hz). É representado por f onde: 
1���� = 1	�	�
�1��� 
A unidade Hertz tem seu nome dado em homenagem a Heinrich Rudolph Hertz que 
realizou pesquisas de importância, medindo o comprimento de ondas eletromagné-
ticas. 
A frequência de 60Hz é a mais comum utilizada nas redes de transmissão da América 
do norte, enquanto na maior parte da Europa a frequência de 50Hz é predominante. 
 
-Ao aumentarmos a frequência, o ciclo necessário para completar um período diminui 
de forma proporcional, e portanto, uma relação inversa entre frequência e período é 
estabelecida, tal que : 
 = 	 1� 
onde, f dado em Hz e T em segundos. 
 
 
d) Exemplo 
Calcule o período de uma onda periódica para as frequências: 
a) 60 Hz 
b) 1000 Hz 
Solução 
a) 
 = 	 �� =	 ��� = 0,01667 ou 16,67	���� 
b) 
 = 	 �� = ����� = 10��� = 1���) 
Isto significa, que em uma frequência de 60(Hz) a onda se alterna 60 vezes entre o 
valor mínimo e o máximo a cada segundo, em 60 ciclos de 16,67(ms), enquanto 
em 1000(Hz), ela se alterna 1000 vezes a cada segundo em 1000 ciclos de 1(ms). 
 
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1.4 Representação matemática de uma tensão senoidal 
 
O valor instantâneo de uma onda senoidal e pode ser matematicamente representado 
em função de sua amplitude e de seu ângulo de deslocamento, sendo : 
� = �� sen� � 
onde: 
 Em - Valor máximo ou de pico da tensão 
 α - Ângulo de deslocamento da tensão 
Sua forma de onda para um período completo é graficamente ilustrada na Figura 1.5 . 
 
Figura 1.5 - Representação da tensão alternada 
 
 
Velocidade angular 
Na Figura 4.4, observa-se que α é o espaço angular que corresponde ao deslocamento 
da onda. Considerando o tempo que a onda leva numa velocidade constante para se 
deslocar de um ângulo α, pode-se afirmar que: 
α = velocidade angular da onda x tempo 
Se a velocidade angular ω é a velocidade relativa a um ciclo completo da onda, então, 
o tempo t gasto em um ciclo é igual ao período e assim, 
 = 	!
 
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onde ω é a velocidade angular dado em rad/s e T, o período da onda dado em 
segundos. 
Para um deslocamento angular de α igual a um período T, tem-se: 
 = !
 = 2# 
onde 
! = 2#
 
Considerando 
 = 1� 
 e substituindo-se em ω obtemos: 
! = 2#� 
E assim, o valor instantâneo de tensão $ pode ser expresso em função de ω e de t para 
um instante de tempo qualquer onde: 
% = &� sen� �	=	&� sen�!'� 
Na forma polar é representada por : 
&( = &∠ 
onde &( representa o número complexo e V o módulo da tensão. 
Na forma exponencial, usando a fórmula de Euler (�*+ = cos + /��0 	), teremos : 
&( = &�*+ = &���	 	 + /&��0� � 
 
 
1.4.1 - Aspectos de fase 
Uma dada forma de onda pode estar adiantada ou atrasada em relação à origem 
conforme mostrado na Figura 1.6 e, portanto, sua representação matemática completa 
exige a inclusão de um ângulo de fase. 
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 11 
 
 � = ��Im	3e*456						� = ��	Im	3e*45786 � = 	E:Im	3e*45�86 
 
Figura 1.6 - Ilustração da defasagem de formas de ondas senoidais 
 
A Figura 1.6 mostra duas formas de onda em (b) e (c) defasadas de ϕ° de (a). Em (a) 
temos a tensão na referência, em (b) adiantada de ϕ° e em (c) atrasada de ϕº . 
 
Exemplo 
Represente na forma simbólica a expressão de uma tensão senoidal com frequência de 
60(Hz), possuindo uma amplitude de 120(V) e estando adiantada de 90°. 
Solução: 
 e = 120	Im	3e*�;;57<�°6	�&�					ou 120	Re	3e*�;;56	�&�	 
 
Cálculos envolvendo relações de fase na forma trigonométrica podem ser facilitados 
considerando as relações geométricas entre seno e cosseno num diagrama simples, 
conforme ilustrado na Figura 1.7. 
 
Figura 1.7 - Diagrama de relações de fase 
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A tabela dada a seguir pode ser diretamente obtida do gráfico da Figura 1.7, 
considerando o deslocamento da fase. 
 cos = sen� + 90°� sin�− � = −sin 
 sen = cos� − 90°� 								cos�− � = cos 
 −sen = sen	� ± 180°� 
 −cos = sen� + 270°� = sen� − 90°� 
 
Exemplo 
Represente na forma trigonométrica a tensão dada no exemplo anterior. 
Solução: 
 � = 120	sen�377' + 90°�& = 120 cos 377' 	�&� 
 
 
1.4.2 Adição de senóides 
O cálculo de correntes e tensões em circuitos CA requer a aplicação das leis de 
Kirchhoff na soma de grandezas senoidais oriundas de fontes de mesma frequência 
que variam no tempo. A soma tensões ou correntes de diferentes frequências resultam 
em formas de onda não senoidais, o que foge do escopo da nossa abordagem. 
Podemos demonstrar matematicamente, que a soma de grandezas de mesma 
frequência resulta em uma senóide de mesma frequência. 
 Sejam as expressões de grandezas dadas por : 
 E� =	√2	G�cos	�!' + H�� 
EI =	√2	GI	cos	�!' + HI� 
Então podemos provar que a soma de a1 e a2 resulta em : 
E = 	√2	G	cos	�!' + H� 
onde, a qualquer instante, a igualdade a = a1 + a2 permite calcular os valores de A e ϕ . 
Assim, teremos para a expressão da soma : 
√2	G� cos�!' + H�� + √2	GI cos�!' + HI� = 	√2	G	cos	�!' + H� 
que resulta em 
	E� + EI = G� cos�!' + H�� + GI cos�!' + HI�		 
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A Figura 1.8 ilustra um exemplo de soma de duas tensões senoidais e1 e e2 com 
frequência de 1KHz, adiantada de 90°, onde e1 oscila entre -20V e 20V, e e2 
adiantada 45°, oscilando entre -10V e 10V , onde 
� = �� + �I = 20√2 cos J2#10�' + #2K + 10√2 cos J2#10�' + #4K 	& 
 
Figura 1.8 - Soma de duas senóides 
 
Portanto, possuindo e um período de 1(mS), oscila em uma frequência de 1(KHz) e 
assim fica demonstrado graficamente na Figura 1.8 que a soma de duas senóides de 
mesma frequência resulta em uma senóide de mesma frequência. 
 
Expressão da fase 
Aplicando a identidade trigonométrica na onde: cos(a+b) = cos a cos b - sen a sen b 
G� cos�!'�����H��		−	G� sen�!'�	��0�H�� +		 GI cos�!'�	cos	�HI�		−	GI sen�!'�	��0�HI�	 = G cos�!'� cos	�H� 	− G	sen�!'�	��0�H�	 
Evidenciando cos(ωt) e sen(ωt) na expressão anterior, teremos: 
M	G� ����H�� + GI	�os	�HI�N 	cos�!'�	- MG�	��0�H�� + GI	��0	�HI�N 	��0�!'�	 
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= G cos�!'� cos�H� 	− G	sen�!'�	��0�H� 
Para satisfazer a igualdade da equação anterior em qualquer instante t, seus 
coeficientes devem se igualados nos dois membros, e, portanto, 
G� cos�H�� + GIcos	�HI� 	= 	G	����H�	 G� sen�H�� + GIsen	�HI� 	= 	G	��0�H�	 
Podemos observar, que dividindo a última equação pela primeira, obtemos a 
expressão para a fase ϕ , onde 
OP	�Q� = G	sen�H�G	cos�H� 	= RS	TUV�QS� + WX	TUV	�QX�WS YZT�QS� + WXYZT	�QX�	 
Calculando a fase da tensão e na Figura 1.8, obtemos 
'[	�H� = 	
20√2 	sen J#2K + 10√2 sen	 J#4K20√2 cos J#2K + 10√2 cos	 J#4K	
 
'[	�H� =	3,8284 
Calculando o ângulo ϕ e convertendo para graus obtemos: 
H = 75,36° 
 
Expressão do módulo 
Considerando as equações para Acos(ϕ) e Asen(ϕ), multiplicando a primeira 
expressão por cos(ωt) e a segunda por sen(ωt) aproveitamos a identidade 
trigonométrica onde sen2(ωt) + cos2(ωt) =1 na soma das expressões. 
G� cos�H�� cos�H� + GIcos	�HI�cos	�H� 	= 	G	���I�H�	 G� sen�H��	��0�H� + GIsen	�HI���0�H� 	= 	G	��0I�H�	 
Somando ambas as expressões teremos: 
G�Mcos�H�� cos�H� + sen�H��	��0�H�N + GIMcos�HI� cos�H� + sen�HI�	��0�H�N = G 
Aplicando a identidade trigonométrica para cos(a-b) encontramos: 
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W =	WS YZT�QS −Q� + WX YZT�QX −Q� 
Calculando o módulo da tensão e na Figura 1.8, teremos 
� =	 20√2 cos�90° − 75,36º� +	 10√2 cos�45° − 75,36º�		 
E = 19,78 (V) 
A amplitude de e será portanto �� =	√2	 ∙	19,78 = 27,979(V) 
 
cujo valor pode ser comprovado no gráfico da Figura 1.8 
 
 
Aplicando a regra do paralelogramo 
É importante observar que as expressões usadas para calcular a fase inicial ϕ e o valor 
eficaz da soma total das senóides, são exatamente as mesmas usadas para calcular a 
soma do vetor resultante a partir de vetores componentes na aplicação da regra do 
paralelogramo. A Figura 1.9 ilustra tal situação, onde podemos concluir que: 
1Aɺ
2Aɺ
21 AAA ɺɺɺ +=
2φ
1φφ
1φφ −
A
)
co
s(
1
1
φφ −
A
)
(
co
s 2
2
φφ −
A
φφ −2
)cos( 11 φA
)(cos φA
)( 11 φsenA
)( 22 φsenA )(φAsen
)(cos 22 φA
 
Figura 1.9 - Aplicação da regra do paralelogramo 
 
'[	�H� = G	sen�H�G	cos�H� 	= A�	sen�H�� + GI	sen	�HI�G� cos�H�� + GIcos	�HI�	 
 e G = 	G� cos�H − H�� + GI cos�HI − H� 
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Portanto, em um circuito ca onde todas as tensões e correntes possuem a mesma 
frequência, para conhecermos a variação no tempo de qualquer uma dessas grandezas 
somente dois parâmetros precisamos determinar: o valor eficaz A e a fase inicial ϕ em 
E = 	√2	G cos�!' + H� 
 
 
1.4.3 Deslocamento no tempo 
Um deslocamento de fase também pode ser interpretado como um correspondente 
deslocamento τ no tempo. É representado num gráfico como um intervalo dado por: 
` = ' − 'a 
onde ts é o instante de tempo tomado como referência. 
Um deslocamento angular θ correspondente a τ, é dado por: 
b = !�' − 'a� = 	!` 
 Uma senóide no domínio do tempo pode ser escrita de forma genérica como: 
� = ����0 c2# '
d 
A expressão geral de uma senóide deslocada no tempo, portanto, pode ser obtida 
substituindo t por �' − 'a� na expressão anterior. Assim, teremos : 
� = ����0	 e2# �' − 'a�
 f 
No caso de uma função senoidal, no instante t=0 a senóide está em zero e o 
deslocamento é nulo, estando ts situado em zero. 
 
Se, por outro lado for escolhido t = 0 no instante em que a senóide se encontra no 
pico positivo, teremos a expressão da senóide deslocada de 90°, dada por : 
� = ����� e2# �' − 'a�
 f 
permanecendo ts em zero. 
 
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Este último caso é comumente aplicado no tratamento de sinais. 
 
A Figura 1.10 ilustra tal situação para uma tensão, onde podemos notar que para tS < 
0 a senóide se desloca para a direita e para tS > 0 ela se desloca para a esquerda . 
 
 
Figura 1.10 - Tensão senoidal deslocada no tempo. 
 
O deslocamento no tempo também pode ser representado por um ângulo ϕ : 
� = ����� c2# '
 + Hd 
onde ϕ é denominado ângulo de fase. 
Comparando as equações anteriores, teremos: 
2# �' − 'a�
 = 	2# '
 + H 
calculando o valor de ϕ encontramos 
H = −2# 'g
 = −360° 'g
 
Uma alteração em tS corresponde, portanto, em uma variação em ϕ movendo a forma 
de onda para a esquerda ou para a direita e exibindo diferentes fases na senóide. 
Porisso, o termo ângulo de fase foi baseado no deslocamento da função cosseno. 
 
Uma forma alternativa da senóide geral pode ser obtida expandindo a equação 
anterior a partir da identidade trigonométrica: cos (a+b) = cos a cos b - sen a sen b. 
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� = M�� cos	 HN cos	 c2# '
d −	M��	��0	HN sen	 c2# '
d				 
Como podemos notar, os termos entre colchetes são constantes, e a equação geral 
pode ser escrita como: 
� = E cos	 c2# '
d − 	h sen	 c2# '
d				 
onde as amplitudes a e b são os parâmetros da equação e possuem a mesma unidade, 
sendo denominados coeficientes de Fourier, sendo : 
E = �� cosH h = −�� senH 
Como estes coeficientes são ortogonais entre si, podemos representá-los em um plano 
complexo em um diagrama fasorial conforme ilustrado na Figura 1.11. 
φ
0 a
b
j−
mE
 
Figura 1.11 - Representação dos coeficientes no plano complexo. 
 
de onde podemos calcular Em e ϕ em função de a e b : 
�� =	√EI + hI 
H = 	Ei�'[ c− hEd 
O ângulo de deslocamento fase ϕ é denominado fasor. 
Sua forma complexa no domínio do tempo pode ser representada como: 
� = E cos	 c2# '
d − /	h sen	 c2# '
d				 
Em forma de representação simbólica, a equação geral se expressa como : 
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� = ��	jk 	l	��*�Im5n78�o 	= 	 		��	jk	3	��*�4578�6	 
 
1.4.4 - Fasores 
O conceito de fasor é fundamental para a análise de circuitos em regime permanente 
senoidal. Um fasor é um número complexo que representa o módulo e o ângulo de 
deslocamento de fase de tensão ou corrente senoidal. A justificativa desta represen-
tação pode ser compreendida através da transformada de Steinmetz. Um fasor pode 
ser expresso nas formas: retangular, polar, ou em representação simbólica. 
 
Representação na forma polar 
Nas Figuras 1.12a, 1.12b e 1.12c são representados os fasores correspondentesàs 
Figuras 1.6a 1.6b e 1.6c, sendo expressos na forma polar. 
0 0 0
+j
-j
+j
-j
-j
+ - + +
-
+j
φ
φ
°∠0E
φ∠E
φ−∠E
)(a )(b )(c
 
Figura 1.11 - a) Tensão na referência; b)Tensão adiantada de ϕ°; 
 c) Tensão atrasada de ϕ°. 
 
Transformada de Steinmetz 
A transformada de Steinmetz relaciona um número complexo em representação 
simbólica com uma grandeza senoidal v no domínio do tempo, onde o módulo é igual 
ao valor eficaz de e e a fase é igual à sua fase inicial, isto é : 
� = 	√2	� cos�!' + H� 		↔ 		�( = �	�*8 
Podemos notar que existe correspondência biunívoca entre estas duas grandezas. 
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Numa operação inversa esta transformação pode ser facilmente compreendida, onde 
podemos obter a representação temporal a partir da representação simbólica. Sua 
expressão é dada por : 
�( = ��*8 = 	�����H� + /���0�H�		 
Para a função cosseno teremos: 
�( = j�	3��*86 = �	cos	�H� =	�	cos	�!'� 
sendo graficamente ilustrada na Figura 1.13. 
 
Figura 1.13 - Relação entre fasor e senóide 
 
De acordo com esta Figura, o fasor começa a girar em torno da origem num sentido 
anti-horário, a partir de uma posição inicial, com uma velocidade angular ω (igual à 
frequência angular da tensão e ). Em um intervalo igual ao período T, o fasor realiza 
uma volta completa em torno da origem. Sua fase varia no tempo de acordo com a 
expressão : 
 = 	!' + 	H 
 
fazendo com que este fasor descreva uma circunferência de raio E centrada na origem, 
com uma frequência f igual a da tensão e . A projeção instantânea desse fasor no eixo 
horizontal é expressa por : 
�	����!' + H	� 
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 21 
que é exatamente o valor da tensão instantânea e dividido por √2 , obtido das relações 
geométricas na circunferência. 
Podemos perceber na Figura 1.13 que a projeção horizontal de E varia de forma 
senoidal em uma frequência angular ω, enquanto o fasor gira em torno da origem na 
mesma velocidade angular. 
Do ponto de vista físico o valor eficaz da grandeza tem maior importância e porisso 
ele é tomado na transformada de Steinmetz. 
Esta transformada pode ser igualmente aplicada no cálculo de correntes. 
 
 
1.4.5 Adição em representação simbólica 
Considerando um circuito ca conforme a associação mostrada na Figura 1.14 onde 
desejamos calcular a corrente instantânea total i , 
i
1i
2i
 
Figura 1.13 - Circuito ca paralelo-série 
 
onde as expressões de i1 e i2 nos ramos são conhecidas e dadas por: 
	� =	√2	q� cos�!' + H�� 
 	I =	√2	qI cos�!' + HI� 
 A expressão resultante para soma das correntes é: 
	 = 	� +		I = √2 I cos (ωt + ϕ) 
A representação fasorial equivalente para as correntes i1 e i2 é expressa na forma: 
	� 	↔ 	q(� 	↔ q�∠	H� 	I 	↔ 	q(I 	↔ qI∠	HI 
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 22 
A soma fasorial é representada por: 
q( = q�( + qI( 	 = q�∠H� +	q�∠HI q( = E� + EI + 	/	�h� +	hI� = q∠H 
Que pode ser obtida graficamente através de um diagrama fasorial, tal qual uma soma 
de vetores conforme mostrado na Figura 1.14. 
1Iɺ
2Iɺ
21 II ɺɺ +
1b
j
2b
1a 2a 21 aa +
Re
 
Figura 1.14- Soma de correntes obtida através de fasores 
 
Em representação simbólica teremos: 
	 = √2	j�	rq	�*4578s = √2	j�	rq	�*45�8s 
 onde 	 = √2	q cos�!' + 	H� 
 
Podemos notar na Figura 1.14 que ao passar do tempo, o fasores q�( e qI( 	, sua soma e 
o paralelogramo, se deslocam ao longo nos quatro quadrantes, mantendo a defasagem 
entre q�( e qI( 	 . 
 
As demais operações seguem as regras de operação com números complexos e são 
abordadas no Anexo I. 
 
 
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 23 
1.5 - Valores médio e eficaz 
Os valores médio e eficaz são considerados descritores parciais de amplitude de 
forma de ondas. É importante considerar que eles caracterizam os aspectos 
importantes destas formas de onda, mas não fornecem uma completa descrição. 
 
1.5.1 - Valor médio 
O valor médio de uma função senoidal em um intervalo de tempo qualquer, é a razão 
entre a soma das áreas definidas acima e abaixo do eixo do tempo e o intervalo 
periódico da função, ou seja, 
&t = 1
u ��'� v'
57n
5 
Portanto, o valor médio de uma tensão senoidal periódica na referência é calculado 
por: 
&ww = 12#u &� sen�!'� v' = 0
Im
� 
O resultado nulo indica que a senóide possui área positiva igual a área negativa. 
 
Se uma forma de onda contém uma constante, ela é indicada no valor médio e se 
traduz como uma componente invariante no tempo. 
O valor médio também é conhecido como a componente cc de uma forma de onda 
alternada, pois as grandezas cc são constantes a qualquer instante t. 
As componentes ca, por outro lado, possuem valores médios nulos e são periódicas. 
 
Para senóides que possuem componentes contínuas, ou seja, deslocadas verticalmente 
em seu eixo, a valor médio é diferente de zero podendo assumir resultado positivos 
ou negativos. 
 
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 24 
Para senóides na referência, entretanto, o valor médio é normalmente tomado no 
meio-ciclo da onda no cálculo da potência média, sendo equacionado como: 
&t = 1#u &� sen�!'� v' = 	 2#
m
� &� ≅ 0,637&� 
 
 
1.5.2 - Valor eficaz ou RMS 
O valor eficaz de uma grandeza elétrica é oriundo da definição da potência média 
transportada na forma de onda. Sendo a potência instantânea fornecida a um resistor 
R sob uma tensão alternada v, dada por: 
y = %Ij 	 
Então, a energia média fornecida ao resistor durante o período T é definida como: 
z = 1
	u y	v'
57n
5 
Combinado as equações anteriores temos como resultado: 
z =	 1j	{1
	u %I	v'
57n
5 | 
O valor entre colchetes na equação anterior é a média quadrática da forma de onde os 
volts da tensão estão elevados ao quadrado. Portanto, a raiz quadrada deste termo 
define o valor eficaz de tensão VRMS , ou seja, 
&}~g = 1
	u %I	v'
57n
5 	 
que é conhecido como a raiz quadrada da média quadrática da forma de onda. 
Assim, a potência média fornecida a um resistor pode ser expressa em termos da 
tensão eficaz como: 
€ = &}~gIj 	 
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 25 
Como esta equação tem o mesmo efeito que uma potência fornecida por uma tensão 
ou corrente contínua, o valor RMS foi originalmente denominado como valor eficaz, 
que fisicamente representa o valor equivalente contínuo de uma onda alternada. 
O valor eficaz é também obtido na medição de tensão e corrente alternadas através de 
voltímetros e amperímetros, e por isso é justificando seu uso na especificação de 
tensões e correntes nominais em dispositivos elétricos e eletrônicos. 
 
Exemplo 
Como exemplo, vamos estabelecer uma relação entre grandezas CC e CA em uma 
aplicação física, relacionando a potência dissipada à temperatura em aquecimento de 
água, conforme o circuito mostrado na Figura 1.15. 
 
Figura 1.15 - Sistema de aquecimento de água através de resistência. 
 
No circuito da Figura 1.15, uma resistência R adequada é usada para aquecimento de 
água em um recipiente. Quando a chave S2 é fechada, uma corrente contínua Icc 
atravessará o resistor R, produzindo uma dissipação contínua de potência dada por:€ww = j	qwwI 
que após um determinado tempo irá aquecer a água numa determinada temperatura T. 
O mesmo processo é aplicado ao fecharmos a chave S1 (com S2 aberta) fazendo a 
água chegar à mesma temperatura T. A potência dissipada no resistor R resultante da 
corrente alternada será dada por: 
€w = j		wI 
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 26 
Esta temperatura produzirá o mesmo aquecimento no resistor que aquele provocado 
pela passagem da corrente contínua e assim e podemos afirmar que : 
€w = €ww 
A potência instantânea fornecida pela fonte de corrente alternada é dada por: 
€w = j		wI = j	M	q� sen�!'�NI 
 
Considerando a relação trigonométrica para sen2(x), onde 
senI�‚� = 12 M1 − cos�2‚�N 
Substituindo em PCA , obtemos: 
€w = jq�² 12 M1 − cos�2!'�N 
€w = jq�I2 − jq�
I
2 cos�2!'� 
 
Na expressão acima, nota-se que o primeiro termo após a igualdade é uma 
constante e seu valor médio representa portanto, uma potência média Pcc. No 
segundo termo temos uma potência oscilando numa frequência igual ao dobro da 
frequência da corrente, entretanto, seu valor médio é igual a zero. A potência média 
resultante se torna : 
€w�k„ = jq�I2 
Ao igualarmos o valor da potência média alternada ao da potência fornecida pela 
corrente contínua, obtemos: 
jq�I2 	= jqww	I 
 
Calculando o valor de q…… em €ww 	�	€w chega-se a: qww = q�√2 
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 27 
Isto significa que : 
 
O valor equivalente contínuo da corrente ca é igual a 70,7% do seu valor de pico. 
 
Este critério é estendido para qualquer grandeza que seja representada por uma 
função senoidal, onde a expressão do valor cc de uma tensão ou corrente alternada 
VRMS ou IRMS, é obtida de forma semelhante às equações anteriormente deduzidas, 
comprovando sua validade . 
 
 
1.5.3 - Exercícios 
1.5.3.1 - Calcular a frequência e o valor eficaz da tensão ca mostrada na Figura 1.16. 
 
Figura 1.16 – Exercício 1.5.3.1 
 
1.5.3.2- Dada a forma de onda de tensão na Figura 1.17, determine sua expressão 
matemática e calcule: amplitude, amplitude de pico e seu valor médio . 
 
Figura 1.17 – Exercício 1.5.3.2 
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 28 
1.6 – Exercícios 
 
1.6.1 - Descreva a importância do gerador CA na rede de energia elétrica. 
1.6.2 - Descreva o mecanismo de geração de tensão do gerador CA da Figura 1.2 
considerando a posição inicial de referência alinhada na direção do fluxo . 
1.6.3 - Desenhe a forma de onda para a f.e.m. gerada conforme a 2ª questão. 
1.6.4 - Cite três alternativas de fontes principais de energia CA e outras três usadas 
para suprir pequenos sistemas. 
1.6.5 Calcule a frequência para uma forma de onda dada na Figura 1.18. 
 
Figura 1.18 - Forma de onda de tensão 
 
1.6.6 - Defina com suas palavras: 
a) O valor instantâneo de uma forma de onda. 
b) A amplitude de pico de uma forma de onda. 
c) O valor de pico de uma forma de onda. 
d) O valor pico a pico de uma forma de onda. 
e) O período. 
f) A frequência. 
 
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 29 
1.6.7 – Decorrido uma fração de tempo, uma onda senoidal de tensão apresenta um 
valor de 10V e um deslocamento angular de 45º a partir da referência em v(0) = 0. 
Nestas condições, calcule : 
a) O valor máximo que essa onda pode atingir. 
b) O tempo de deslocamento da onda para uma frequência de 50(Hz). 
Resp: a) Vm = 14,14(V) , b) t = 2,5(ms) 
 
1.6.8 – Esboce o gráfico de sen (377t + π/3) com o eixo das abscissas em rd . 
 
1.6.9 – Esboce o gráfico das seguintes formas de onda: 
 a) 50 sen (!t + 0) d) 4 cos (!t) 
 b) -20 sen (!t +π/6) e) 2 cos (!t + π/18) 
 c) 5 sen (!t + π/3) f) -5 cos (!t + 3π/2) 
 
1.6.10 – Calcule as diferenças de fase entre as formas de onda de tensão e corrente 
dadas. 
 a) v = 4 sen (!t + 50º) V c) v = 25 sen (!t - 80º) V 
 i = 5. sen (!t + 60º) A i = 5. 10-3 sen (!t + 10º) A 
 b) v = 25 sen (!t - 80º) V d) v = 2 cos (!t - 30º) V 
 i = 5. 10-3 sen (!t + 10º) A i = 6 sen (!t + 40º) A 
 
1.6.11 -Escreva as expressões matemáticas para as respectivas formas de onda dadas 
nas Figuras: 1.6.2- (a), (b), (c) e (d), exibindo numericamente seus parâmetros em : 
 1) Representação trigonométrica. 
2) Representação simbólica no domínio do tempo. 
3) Representação fasorial na forma polar. 
 
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 30 
 
 
 
Figura 1.6.2 - Exercício 1.6.1 
 
Figura 1.19 - – Exercício 1.6.11 
 
1.6.12 – Dadas a corrente i1 e i2 na Figura 1.13 onde, 
	� = 2	cos	 377' + #2� 
	I = sen	�377' + #3� 
Calcule a expressão da corrente total no circuito: 
a) Em representação simbólica 
b) Na forma fasorial 
c) Esboce o diagrama fasorial das correntes 
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 31 
d) Desloque igualmente os ângulos de i1 e i2 de 180° e conclua sobre a 
corrente total. 
 
Respostas 
 
1.5.3.1 - � = 1000����	; 	&}~g = 7,07�&�	
1.5.3.2 - (a) % = 6	 + 	3	��0�2#10�'�	& ; (b) &� = 3�&� 
 (c) &� = 9�&� ; (d) & = 6�&� 
1.6.5 - � = 50����	
1.6.7 - (a) &� = 14,14�&� ; b) ' = 2,5����	
1.6.10- (a) H = −10° ; (b) H = −90° ; (c) H = −80° ; (d) H = 20° 
1.6.11- (a1) % = 10	��0 J377' + m�	K & ; (a2) &( = 10	q� l�*J‡ˆKo &	; (a3) &( = 7,07	�*J‡ˆK	&. 
 (b1)		 = −3	��0 J6283,18' + Im� K�G	; (b2) q( = −3	q� l�*J‰‡Š KoG		; 
 (b3)	q ( = −2,12	�*J‰‡Š K��G�;	
 (c1) % = 10��0 J6283,18' − ��m�‹ 	K�&	;		(c2) &( = 10	q� l	��*JŒŒ‡Œ Ko 		�& ; 
 (c3) &( = 7,07	��*JŒŒ‡Œ K	�& 
 (d1) 	 = −10��0�6283,18'�	G; (d2)q( = −10	q�3�*�º6	G; (d3) q( = −7,07	�*�ºG 
 
1.6.12 - a) 	 = 1,22	√2	����377' − 56,18º�	G ; b) 	 = 1,22	√2	j�3	��*Ž�,�‹6	G 
 c�		q( = 1,22		��*Ž�,�‹�G)