NOÇÕES DE ATUÁRIA

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Unidade 1 – Probabilidade Aplicada à Atuária
WEBAULA 1
 
APRESENTAÇÃO
Olá, caros alunos, vamos ver a seguir alguns conceitos básicos sobre a utilização do conceito de probabilidade no contexto da atuária.
Nós precisamos compreender que na maior parte dos cálculos envolvendo riscos torna-se necessária a mensuração ou quantificação das incertezas inerentes às nossas provisões que servirão para o cálculo desse risco.
Podemos, de forma geral, dizer que o risco é a incerteza medida, mensurada, quantificada de forma a possibilitar sua adequada mensuração.
Sabemos que os conhecimentos de matemática e estatística são fundamentais para o atuário desenvolver sua atividade, portanto vamos estudar alguns importantes conceitos e formas de cálculo matemáticos e estatísticos úteis ao profissional atuário.
Fundamentos de Probabilidade
Fonte: Clip-art 
Segundo Cordeiro (2009), a matemáticas contribui para os cálculos atuariais. A probabilidade tem muitas aplicações no contexto empresarial e também é utilizada para mensurar ou quantificar a influência de fatos que envolvam o acaso em sua ocorrência.  Conforme podemos encontrar em vários materiais sobre o assunto, de forma geral e não por uma regra, classificamos as ocorrências segundo o seu nível de probabilidade a partir de equivalências matemáticas, conforme tabela a seguir:
Ocorrência impossível                   - probabilidade         = 0 (zero)
Ocorrência pouco provável            - probabilidade         < ½ (menor que meio)
Ocorrência bem provável              - probabilidade         > ½ (maior que meio)
Ocorrência apenas provável          - probabilidade          = ½ (igual a meio)
Ocorrência certa                          - probabilidade          = 1 (um)
A probabilidade é calculada com base na frequência, sendo obtida a partir da divisão dos casos em análise e com probabilidade de realização por todos os casos igualmente possíveis.
Fonte: Clip-art
QUESTÃO PARA REFLEXÃO 
Como podemos estabelecer em termos subjetivos a probabilidade de termos sucesso em nossa vida profissional? De quais variáveis dependemos para tornar esse sucesso mais provável?
Na sequência você poderá ver a representação do cálculo de probabilidade:
q =  número de casos em análise /  número de casos totais.
No link a seguir você tem acesso a um conteúdo que poderá lhe auxiliar na compreensão desse conceito.
LINK
. Acesso em: 8 set. 2014.
Analisando esse conceito de probabilidade, podemos chegar à conclusão de que a medida de probabilidade pode ser representada pela medida de frequência relativa dos acontecimentos/fenômenos que estamos analisando.
A medida de probabilidade = a medida da frequência relativa.
Fonte: Clip-art
Portanto é obtida pela razão:
Número de casos favoráveis / número de todos os casos possíveis.
SAIBA MAIS
Para saber mais sobre o cálculo envolvendo a probabilidade de ocorrência de eventos, acesse: . Acesso em: 8 set. 2014.
Exemplo: sorteio de cara e coroa com uma moeda.
Fonte: Clip-art
Se jogarmos uma moeda para cima, qual a probabilidade de termos o lado da cara virado para cima?
Quais seriam os resultados possíveis nesse jogo?
Neste caso, as ocorrências possíveis são de [cara; coroa].
p(cara) = 0,5 (equivalente a 1 : 2)
onde:
1 = número que representa a quantidade de eventos possíveis na análise.
2 = número total de casos que podem ocorrer.
QUESTÕES PARA REFLEXÃO
E se quiséssemos saber a probabilidade de sortearmos o número 6 ao jogarmos um dado?
Fonte: Clip-art
Algumas propriedades atribuíveis à probabilidade
0 £ p(K) £ 1 = a probabilidade de ocorrência do evento K que ocorre entre 0 e 1.
p(Z) = 0  = evento impossível de ocorrer.
p(Z) = 1 = probabilidade de ocorrência de todos os eventos em análise.
Algumas propriedades:
Se X e Y são eventos do tipo exclusivos, ou seja,  (XÇY) = 0 e X È Y = 1
então P(X) + P(Y) = 1
Assim sendo: P(X) = 1 - P(Y) e P(Y) = 1 - P(X)
No link a seguir você poderá ver mais detalhadamente as propriedades básicas da probabilidade.
Um evento exclusivo é aquele que não ocorre concomitantemente com outro evento de referência, por exemplo, CHOVER. Quando ocorre o evento CHOVER, automaticamente exclui-se a probabilidade de NÃO CHOVER.
Fonte: Clip-art
Nesse sentido, como será o cálculo se quisermos conhecer a probabilidade de uma pessoa com idade de 22 anos alcançar viva a idade seguinte?
Suponhamos que em um determinado grupo de 10.000 indivíduos com certa idade, faleceram no decorrer de um determinado ano 150 indivíduos.
Qual seria a probabilidade de sobrevivência dos indivíduos desse grupo, partindo do pressuposto de que todos possuem as mesmas condições de vida?
Lembrem-se de que probabilidade equivale à frequência.
Fonte: Clip-art
Nesse sentido, basta calcularmos a frequência de pessoas que sobreviveram no decorrer do ano, ou seja:
Pessoas vivas = 10.000 – 150 = 9.850
Como podemos ver, sobreviveram no ano 9.850 pessoas, ou seja, nossa probabilidade de vida será calculada da seguinte forma:
9.850 / 10.000 = 98,5%
Por outro lado, qual seria a probabilidade de morte para os indivíduos desse mesmo grupo, partindo do mesmo pressuposto?
100% - 98,5% = 1,5%
Como podemos ver, a probabilidade de morte é o inverso da probabilidade de vida e a recíproca nesse caso é verdadeira, ou seja, a probabilidade de vida é o inverso da probabilidade de morte.
Fonte: Clip-art
Vamos ver mais alguns exemplos de exercícios resolvidos.
Vamos determinar a probabilidade de sobrevivência e de morte segundo dados a seguir:
onde: x = idade;  lx = número de indivíduos vivos com idade x;  dx = número de falecidos na idade x; qx = probabilidadede morte; px = probabilidade de sobrevivência
Como podemos ver pela tábua biométrica acima, temos para cada idade a probabilidade de vida e de morte da população.
QUESTÕES PARA REFLEXÃO
Podemos considerar que a probabilidade de sobrevivência varia de forma exatamente inversa à probabilidade de falecimento? São esses exemplos de eventos exclusivos?
Consideremos para um segundo exemplo que temos uma população de 200.000 pessoas em um determinado ano. Neste mesmo ano morreram 1.000 pessoas.
Perguntamos qual a probabilidade de mortes ocorridas naquele ano?
Consideremos que: q = probabilidade de morte
Neste caso nossa probabilidade é de 0,5%, que deriva da divisão de 1.000 (falecidos) por 200.000 pessoas no ano.
Fonte: Clip-art
Qual seria, a partir dos mesmos dados, a probabilidade de pessoas vivas no ano?
Primeiramente determinamos o número de sobreviventes = ?
Neste caso sobreviveram 199.000 que derivam da seguinte equação: 200.000 – 1000.
Consideremos agora que p = probabilidade dos sobreviventes.
Nossa probabilidade é de 99,50% que derivam da equação: 199.000 / 200.000.
SAIBA MAIS
Para saber mais sobre o conteúdo tábua biométrica, acesse o material disponível em: . Acesso em: 8 set. 2014.
Como já discutido, o evento morte se comporta exatamente de forma invertida ao evento sobrevivência, portanto, poderíamos ter encontrado a probabilidade de sobrevivência a partir dos seguintes cálculos.
Fonte: Clip-art
Dessa forma:
P (probabilidade de sobrevivência) = 1- q (probabilidade de morte)
Nossa resposta seria, portanto: P = 1 - 0,50 = 0,9950 x 100 = 99,50%.
Noções de Matemática Atuarial
Fonte: Clip-art
Vale destacarmos aqui algumas notações importantes:
“x” significa idade, em anos, de uma pessoa de um grupo populacional;
“lx” significa o número de pessoas da população que têm determinada idade x.
É importante destacar que quando consideramos uma determinada população, um grupo de pessoas vivas em determinada idade, não há a especificação quanto a essas pessoas estarem ativas economicamente ou de outra forma inválidas.
“dx” significa o número de indivíduos de um grupo populacional que morreram com certa idade x.
No link a seguir você pode acessar uma relação de tábuas biométricas utilizadas no Brasil em planos de previdência complementar.
LINK
. Acesso em: 8 set. 2014.
Vale destacar que as letras l e d constantesdas notações apresentadas derivam das palavras inglesas “life” e “death”, que significam, respectivamente, vida e morte.
Fonte: Clip-art
Vamos ver a seguir algumas probabilidades que são calculadas e utilizadas em atuária no sentido de estabelecimento dos riscos de fundos de pensão e outros planos que dependem de fatores de sobrevivência populacional.
Primeira: px = lx+1 / lx = que representa a probabilidade de um indivíduo com idade x chegar com vida à idade seguinte representada por x + 1.
Fonte: Clip-art
Segunda: npx = lx+n / lx que representa a probabilidade de um indivíduo com idade x chegar com vida à idade representada por x + n.
Terceira: qx = dx / lx = representa a probabilidade de que uma pessoa na idade x morra nessa mesma idade.
Quarta: nqx = (lx - lx+n) / lx = representa a probabilidade de uma pessoa na idade x sobreviver por mais n anos morrendo na idade x + n.
É importante que tenhamos uma visão de como esses cálculos contribuem para a prática atuarial, ou seja, conhecermos o conceito e sabermos como eles são aplicados na prática cotidiana do atuário.
Fonte: Clip-art
Quando falamos de número de sobreviventes e número de falecidos de uma determinada população, no sentido de determinarmos as respectivas probabilidades de sobrevivência ou de mortalidade, devemos pressupor a existência de uma população sobre a qual tenhamos informações durante algum tempo, para que dessa forma possamos dispor de elementos mais concretos que subsidiem nossos cálculos.
Conforme Pinheiro (2007), os cálculos atuariais envolvem variáveis que servem para a mensuração do risco. Isso se reflete no cálculo das taxas de natalidade e de mortalidade, além de outros cálculos que envolvem população.
VÍDEO
No vídeo disponível no link a seguir você terá a oportunidade de conhecer algumas informações importantes sobre a atividade atuarial e os fundos de pensão: . Acesso em: 8 set. 2014.
A análise da população durante determinado tempo é imprescindível, sendo que análises e experiências são realizadas de forma permanente nas mais variadas partes do mundo. É dessa forma que se permite que os atuários tenham alguma boa base para as suas projeções acerca das populações. O resultado dessas análises é, então, apresentado em tabelas ajustadas, chamadas “tábuas de mortalidade" ou "tábuas biométricas”, conforme comentamos em outras oportunidades dessa unidade.
Vamos ver como calcular a expectativa de vida tendo disponível uma Tábua Biométrica?
Aplicando a fórmula:      eox = 1/2 + ()  /  lx
ou
eox  = 0,5 + ( lx+1 + lx+2 + lx+3 + ... +) / lx
Vamos ver um exemplo da utilização dessa forma.
Utilizando-se da tábua biométrica a seguir, determine a expectativa completa de vida para um indivíduo com idade de 85 anos.
x           lx
84       1.000
85          950
86          500
87          300
88          250
89          100
eo85  = 0,5 + ( l85+1 + l85+2 + l85+3 + l85+4) / l85
eo85  = 0,5 + (500+300+250+100)/950 = 1,72
Esse indivíduo de 85 anos tem, de acordo com os cálculos, uma expectativa de sobrevivência de mais 1,72 anos, ou seja, sua expectativa de vida é de aproximadamente 86 ou 87 anos.
Agora vamos calcular outra situação, vamos ver a expectativa de vida de um indivíduo com 84 anos com base na mesma tabela acima.
eo84  = 0,5 + ( l84+1 + l84+2 + l84+3) / l84
eo84  = 0,5 + (900+500+300+250+100)/1000 = 2,66
Dessa forma, nossa estimativa é de que essa pessoa provavelmente irá falecer com a idade em torno de 86 ou 87 anos.
É amplo o conjunto de fontes que nos ajudam a compreender melhor a atividade atuarial, principalmente no tocante aos aspectos normativos e às questões envolvendo os cálculos necessários para garantir uma gestão eficaz das empresas.
Esta unidade procurou destacar alguns conceitos importantes envolvendo a aplicação da probabilidade nos cálculos atuariais. Trouxe conceitos e informações da matemática e estatística que viabilizam os cálculos de riscos e as previsões necessárias para a busca do equilíbrio financeiro e atuarial das entidades.
UNIDADE 2 – Rendas e Regimes nos Fundos de Pensão
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APRESENTAÇÃO
Olá, caros alunos, vamos ver, a seguir, alguns conceitos básicos sobre alguns tipos de renda contratados pelos contribuintes dos planos de previdência.
Vale destacar que, a depender do tipo de plano e da renda envolvida, os cálculos atuariais necessitam incorporar variáveis que permitam a correta previsão do desencaixe futuro que o fundo de pensão terá.
Dentre as variáveis mais importantes está aquela relativa ao tempo de recebimento e o tipo de renda que é contratado pelo pensionista.
O momento do início do recebimento da renda também é uma variável muito importante e envolve saber em que condições se gerará a obrigação do início e final do pagamento da renda.
Fundos de Pensão
Podemos considerar um fundo de pensão qualquer fundação ou sociedade civil que tenha por objetivo a gestão de contribuições e patrimônio de seus contribuintes ou patrocinadores com a finalidade de geração de renda.
Fazem parte desse tipo de estrutura pelo menos os seguintes atores:
Fonte: Clip-art
Associado: que representa a entidade da qual os planos de pensões ou de benefícios de saúde são financiados por um fundo.
Participante: pessoa que faz jus aos benefícios de um plano devido à sua condição pessoal ou profissional, independentemente de contribuir ao plano.
Contribuinte: pessoa que contribui para um plano em benefício do participante.
Beneficiário: pessoa que tem direitos aos benefícios definidos no plano, independentemente de ser participante.
Aderente: pessoa ou entidade que faz a adesão a um plano.
Entidade gestora: é a entidade que faz o processo de gestão dos fundos de pensões.
Fonte: Clip-art
QUESTÕES PARA REFLEXÃO 
Você faz, já fez ou pretende fazer parte de um fundo de pensão com o objetivo de garantir sua aposentadoria? Que tipo de classificação você teria dentre as listadas anteriormente?
Os gestores dos fundos de previdência possuem a responsabilidade de manter a segurança patrimonial dos mesmos, bem como os equilíbrios que darão origem ao que denominamos de segurança atuarial.
Fonte: Clip-art
Basicamente, os fundos possuem a responsabilidade de manutenção das reservas que suportarão suas obrigações, sendo que merecem destaque:
Reserva matemática, que representa o valor determinado por meio dos cálculos atuariais determinando a necessidade do montante de recursos financeiros para garantir o pagamento das obrigações que geralmente estão na forma de benefícios futuros aos participantes do plano.
Reserva de contingência, que representa o valor determinado pela legislação e corresponde a 25% da reserva matemática.
Fonte: Clip-art
Vale destacar que a reserva de contingência é constituída com base no superávit do plano de previdência, sendo que se persistir o superávit, os gestores deverão constituir outra reserva, denominada reserva especial.
SAIBA MAIS
Para saber mais sobre reservas atuariais, acesse o material disponível em: . Acesso em: 8 set. 2014.
No caso de haver o consumo da reserva de contingência em virtude de problemas extraordinários com a arrecadação ou com o pagamento de benefícios, a recomposição deverá ser feita utilizando-se a reserva especial.
De qualquer forma, ambas as reservas são determinadas a partir da realidade de cada fundo e com base nos cálculos atuariais.
QUESTÕES PARA REFLEXÃO
Você concorda que as reservas para contingências são fundamentais para as organizações? Seria por meio delas que as empresas se preparam para superar situações inesperadas?
As contribuições que dão origem aos fundos advêm basicamente de duas fontes principais:
Dos empregados: que são aqueles que por pertencerem a determinada categoria participam de determinado fundo.
 
Fonte: Clip-art
Dos patrocinadores: que são as entidades empregadoras e que em algum percentual contribuem em prol do fundo de aposentadoria de seus colaboradores a título de benefício trabalhista.
Fonte: Clip-art
A forma de se receber os benefíciosdos planos geridos pelos fundos de pensões dá-se por meio da renda garantida pelo plano.
Nesse sentido, existem vários tipos de renda que podem estar previstos nos planos de benefícios, dentre eles os seguintes:
RENDA POR SOBREVIVÊNCIA: renda a ser paga ao participante do plano que sobreviver ao prazo de diferimento contratado, geralmente denominada de aposentadoria.
RENDA POR INVALIDEZ: renda a ser paga ao participante em decorrência de sua invalidez total e permanente ocorrida durante o período de cobertura e depois de cumprido o período de carência estabelecido no plano.
Fonte: Clip-art
PENSÃO POR MORTE: renda a ser paga ao(s) beneficiário(s) indicado(s) na proposta de inscrição em decorrência da morte do participante ocorrida durante o período de cobertura e depois de cumprido o período de carência estabelecido no plano.
PECÚLIO POR MORTE: importância em dinheiro, pagável de uma só vez ao(s) beneficiário(s) indicado(s) na proposta de inscrição, em decorrência da morte do participante ocorrida durante o período de cobertura e depois de cumprido o período de carência estabelecido no plano.
PECÚLIO POR INVALIDEZ: importância em dinheiro, pagável de uma só vez ao próprio participante, em decorrência de sua invalidez total e permanente ocorrida durante o período de cobertura e depois de cumprido o período de carência estabelecido no plano. (PREVIDÊNCIA..., 2014).
É importante que você compreenda a função dos planos, bem como obtenha informações acerca dos direitos e obrigações a eles inerentes.
Assista ao vídeo a seguir e conheça mais alguns conceitos.
No link a seguir você poderá acessar ao site da Susep na seção de perguntas frequentes, que poderão ajudá-lo a esclarecer dúvidas sobre os planos e fundos de pensão, tanto de renda como de saúde.
LINK
. Acesso em: 8 set. 2014.
Existem vários tipos de renda que podem ser recebidas pelos participantes, contribuintes e beneficiários de um plano.
Segundo a SUSEP (PREVIDÊNCIA..., 2014), os pagamentos podem ser feitos pelo menos de duas formas, no caso, por exemplo, de um plano do tipo PGBL.
Fonte: Clip-art
PAGAMENTO ÚNICO: No primeiro dia útil seguinte à data prevista para o término do período de diferimento, será concedido ao participante benefício sob a forma de pagamento único, calculado com base no saldo de provisão matemática de benefícios a conceder verificado ao término daquele período.
RENDA MENSAL POR PRAZO CERTO: consiste em uma renda mensal a ser paga por um prazo preestabelecido ao participante/assistido (PREVIDÊNCIA..., 2014).
Como é possível se observar, a diferença básica entre os dois tipos de pagamentos acima reside na forma de pagamento, sendo uma feita em parcela única e a segunda na forma mensal.
Renda Aleatória Imediata Antecipada Temporária
Fonte: Clip-art
Esse tipo de renda anual é pago no início do período e possui um prazo determinado para seu recebimento por parte do pensionista.
Esse tipo de renda possui quase as mesmas características da renda aleatória imediata antecipada vitalícia, tendo como único diferencial a questão do tempo no qual ela deverá ser paga ao pensionista.
QUESTÕES PARA REFLEXÃO
Na sua opinião, qual tipo de renda é mais oneroso para o fundo de pensão? A renda aleatória imediata antecipada vitalícia ou a temporária?
Para o recebimento da renda, no entanto, precisamos considerar as formas de capitalização e de distribuição do capital.
Quem regula esses sistemas é a Superintendência de Seguros Privados – SUSEP.
Fonte: Clip-art
No vídeo a seguir você poderá melhorar sua compreensão sobre os regimes de capitalização, bem como a estrutura dos fundos perante o Banco Central e a SUSEP.
São regimes, segundo a SUSEP (PREVIDÊNCIA..., 2014):
Regime Financeiro de Capitalização: a estrutura técnica em que as contribuições são determinadas de modo a gerar receitas capazes de, capitalizadas durante o período de cobertura, produzir montantes equivalentes aos valores atuais dos benefícios a serem pagos aos beneficiários no respectivo período;
Regime Financeiro de Repartição de Capitais de Cobertura: a estrutura técnica em que as contribuições pagas por todos os participantes do plano, em um determinado período, deverão ser suficientes para constituir as provisões matemáticas de benefícios concedidos, decorrentes dos eventos ocorridos neste período;
Regime Financeiro de Repartição Simples: a estrutura técnica em que as contribuições pagas por todos os participantes do plano, em um determinado período, deverão ser suficientes para pagar os benefícios decorrentes dos eventos ocorridos nesse período.
Fonte: Clip-art
Esses sistemas de repartição dos fundos interferem nos benefícios a serem concedidos aos participantes, contribuintes e beneficiários.
Uma síntese dessa estrutura envolvendo os regimes financeiros e os tipos de benefícios pode ser encontrada a seguir:
Quadro 1: REGIMES FINANCEIROS
É importante que entendamos as relações entre os fundos e os beneficiários em termos de distribuição da renda gerada a partir da capitalização do fundo, uma vez que a função do atuário passa por manter o equilíbrio entre essas duas variáveis.
Veja no link a seguir um texto que poderá ajudá-lo a esclarecer essa relação.
LINK
. Acesso em: 8 set. 2014. 
Fonte: Clip-art
Conforme se pode ver, a regulação da SUSEP para que haja seriedade na gestão dos recursos provenientes das contribuições aos fundos é fundamental.
Existem outras áreas que também se relacionam com a atividade atuarial de forma bastante ativa, como as listadas na figura a seguir:
Figura 1: Principais entidades envolvidas com a atuária
Fonte: O autor (2014)
A maioria das informações relativas aos planos e fundos de pensão depende do sistema de previdência organizado no Brasil.
Por isso é importante o entendimento de como essa atividade é organizada e a quem procura atender em cada uma de suas especialidades.         
A previdência no Brasil é dividida da seguinte forma:
A Previdência Social no Brasil é composta por três regimes:
a) Regime Geral de Previdência Social (RGPS):
operado pelo INSS, uma entidade pública e de filiação obrigatória para os trabalhadores regidos pela CLT;
b) Regime Próprio de Previdência Social (RPPS):
instituído por entidades públicas – Institutos de Previdência ou Fundos Previdenciários e de filiação obrigatória para os servidores públicos titulares de cargos efetivos da União, dos Estados, do Distrito Federal e dos Municípios; e
c) Regime de Previdência Complementar:
operado por Entidades Abertas e Fechadas de Previdência Complementar, regime privado, com filiação facultativa, criado com a finalidade de proporcionar uma renda adicional ao trabalhador, que complemente a sua previdência oficial. (DIFERENÇAS..., 2014).
Esta unidade apresentou as principais informações sobre a atividade de fundos de previdência, desde sua conceituação até classificação segundo a estrutura estabelecida pela legislação brasileira. Destacou os tipos de capitalização financeira, bem como a distribuição dos recursos pelos fundos, e apresentou os tipos de benefícios dos planos de previdência segundo o que determina a SUSEP.
Fonte: Clip-art