FISI04 Primeira Lista de Exercícios Prof. Ernesto

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Primeira Lista de Exercícios 
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FISI04 – Fundamentos de Eletromagnetismo 
Prof. Ernesto Soares de Freitas Neto 
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1) Explique detalhadamente todos os detalhes envolvendo os seguintes processos de eletrização: 
(a) Eletrização por Contato; 
(b) Eletrização por Atrito; 
(c) Eletrização por Indução; 
(d) Eletrização por Ionização. 
 
2) Duas pequenas esferas idênticas de massa m estão carregadas com carga q e 
suspensas por fios isolantes de comprimento l. O ângulo de abertura resultante 
é 2θ, como representado na figura. 
(a) Mostre que 
2 2 3
0cos 16 senq l m g  
. 
(b) Determine o valor da carga q quando m = 1 g, l = 20 cm e θ = 30º. 
Resposta: (b) 
61,6 10 C
 
 
 
 
3) Um fio retilíneo muito longo (fio infinito) está eletrizado com uma densidade 
linear de carga λ. A direção do fio está representada pelo eixo cartesiano z, 
como representado na figura. Determine a força eletrostática sobre uma carga 
puntiforme q colocada à uma distância D do fio. 
Respostas: (a) Módulo: 
02
q
D


; Direção: radial; Sentido: para fora. 
 
 
 
 
 
4) Uma carga Q está uniforme distribuída sobre um anel 
circular vertical de raio ρ e de espessura desprezível. 
(a) Determine a força eletrostática sobre um carga 
puntiforme q colocada sobre o eixo horizontal que 
passa pelo centro do anel, a uma distância D do seu 
plano. 
(b) A partir do resultado do item (a), determine a força no 
caso D = 0. Comente o resultado. 
(c) A partir do resultado do item (a), determine a força no caso D >> ρ. Comente o resultado. 
Respostas: (a) Módulo: 
 
3
2 2 2
04
QqD
D  
; Direção: horizontal; Sentido: para a direita. 
 (b) Módulo: 0 
 (c) Módulo:
2
04
Qq
D
; Direção: horizontal; Sentido: para a direita. 
2/3 
 
 
5) Um disco circular horizontal de raio a está uniformemente 
carregado com densidade superficial de carga σ. 
(a) Determine o campo elétrico num ponto do eixo vertical 
(acima do disco) que atravessa o disco em seu centro, a 
uma distância D do centro. 
(b) A partir do resultado do item (a), determine o campo 
elétrico no caso limite D >> a. Como o disco é 
classificado nesse caso? 
Respostas: (a) Módulo: 
 
1
2 2 2
0
1
2
D
E
a D


 
  
 
  
; 
Direção: vertical; Sentido: para cima se σ > 0 ou para baixo 
se σ < 0. 
 (b) Módulo: 
02
E



; Direção: vertical; 
Sentido: para cima se σ > 0 ou para baixo se σ < 0. 
 
 
 
6) Uma camada esférica de raio a e espessura infinitesimal Δr está 
carregada positivamente com densidade volumétrica de carga ρ 
(uniforme) e carga total 
24Q a r  
. Por simetria, verifica-
se que o campo elétrico é radial e seu valor depende apenas da 
coordenada esférica r, ou seja, 
  ˆE E r r
 onde 
rˆ
 é o versor 
radial (veja a figura). 
(a) Utilize a superfície gaussiana S de raio r < a para calcular o 
campo elétrico em um ponto P interno a camada esférica. 
Explique esse resultado. 
(b) Utilize a superfície gaussiana S’ de raio r’ > a para calcular 
o campo elétrico em um ponto P’ externo a camada esférica. 
Comente esse resultado. 
Respostas: (a) 
ˆ0E r
; (b) 2
2
0 0
ˆ ˆ
4
Q a
E r r r
r r

 
 
   
 
 
 
 
7) Mostre que a razão entre os módulos da força atração eletrostática e a força de atração gravitacional 
entre um próton e um elétron é independente da distância entre eles e calcule essa razão. 
Resposta: 
39~ 2,3 10
 
 
8) Três cargas elétricas puntiformes q, 2q e 3q são colocadas nos vértices de 
triângulo equilátero de lado a, como ilustrado na figura. Outra carga elétrica 
puntiforme Q de mesmo sinal que as outras três é colocada no centro do 
triângulo equilátero. Obtenha a força resultante sobre Q (em módulo, direção e 
sentido). 
Resposta: Módulo: 
2
0
9 3
16
qQ
a
; Direção: horizontal; Sentido: para a direita. 
3/5 
 
9) A figura ilustra dois fios retilíneos de comprimento a e 
separados por uma distância b. Os fios estão uniformemente 
carregados com densidades lineares de carga +λ e – λ. 
Determine o campo elétrico no centro P do retângulo de lados a 
e b. 
Resposta: 
 
1
2 2 2
0
2
E
a b




; Direção: vertical; Sentido: para 
baixo (λ > 0) ou para cima (λ < 0). 
10) Um fio retilíneo de comprimento l está uniformemente carregado com densidade linear de carga 
λ. 
(a) Determine o campo elétrico num ponto situado sobre o prolongamento do fio, a uma distância 
d de sua extremidade. 
(b) Determine a magnitude (módulo) desse campo elétrico quando l = d = 5 cm e a carga total do 
fio é de 3 μC. 
Respostas: (a)
 0
ˆ
4
l
E i
d l d




; (b) 
65,4 10 NE
C
 
 
11) Em um determinado dia o valor médio do campo magnético na atmosfera em um ponto da 
superfície da Terra é de 300 N/C, na vertical e apontado para baixo. Sabe-se que esse campo se 
reduz a 20 N/C a uma altitude de 1400 m. Determine a densidade volumétrica média de carga 
abaixo da altura de 1400 m. 
Resposta: 
12
31,8 10
C
m

 
12) Dois planos paralelos na horizontal estão uniformemente carregados com densidades superficiais 
de carga + σ e – σ, respectivamente. Determine o módulo (magnitude) do campo elétrico em pontos 
acima de ambos, abaixo de ambos, e entre os dois planos. Represente as linhas de campo elétrico 
nessas três regiões. 
Respostas: 0 acima e abaixo de ambos os planos; 
0


 entre os dois 
planos. 
 
13) A figura representa uma casca esférica de raio interno b e raio 
externo c, uniformemente carregada com densidade volumétrica de 
carga ρ, que envolve uma esfera concêntrica de raio a, também 
carregada uniformemente com a mesma densidade volumétrica. 
Determine o campo elétrico nas quatro regiões diferentes: 
( ) 0 ; ( ) ; ( ) ; ( )i r a ii a r b iii b r c iv r c      
 
 
 
Respostas: 
         
3
2
0 0
ˆ, onde 0 ; ;
3 3
r a
E E r r E r r a E r a r b
r
        
 
           3 3 3 3 32 2
0 0 0
;
3 3 3
r
E r b a b r c E r c b a r c
r r
            
 
14) Uma distribuição de carga esfericamente simétrica tem densidade volumétrica de carga dada por 
  0
r
ar e 


 
Onde 
0
 é uma constante e r é a distância à origem. 
(a) Calcule a carga total da distribuição. 
(b) Calcule o campo elétrico num ponto qualquer do espaço. 
Respostas: (a) 
3
08Q a
, (b) 
 
23
0
2
0
2 1
1 2 2
2
r
a
a r r
E r e
r a a


    
      
     
 
4/5 
 
15) Um cilindro circular muito longo de raio R está uniformemente carregado com 
densidade volumétrica de carga ρ. 
(a) Por argumentos de simetria (explicando-os), obtenha a direção e o sentido do 
campo elétrico 
E
 num ponto P à distância r do eixo do cilindro e sua 
dependência com as coordenadas cilíndricas (r, θ, z). 
(b) Calcule o módulo do campo elétrico (
E
) num ponto interno ao cilindro 
(
0 r R 
). 
(c) Calcule o módulo do campo elétrico (
E
) num ponto externo ao cilindro 
(
r R
). 
(d) Esboce o gráfico de 
E
 em função de r. 
Respostas: (a) 
  ˆE E r r
, (b) 
 
2
02
a
E r
r



, (c) 
 
02
r
E r



 
16) A figura representa um 
capacitor plano formado por 
um par de placas metálicas 
planas paralelascarregadas 
com cargas + Q e – Q, 
respectivamente, por estarem 
ligadas aos terminais de uma 
bateria de ddp V. A distância d 
entre as placas é muito menor 
que as dimensões das placas, 
de modo que elas podem ser 
tratadas como se fossem planos 
infinito (desprezando o efeito 
de borda). Mostre que a capacitância C desse capacitor plano é dada por: 
0SC
d


, onde S é a área 
de cada placa. 
17) A figura representa um capacitor cilíndrico formado por 
dois cilindros coaxiais de raios a e b. O versor 
ˆ
 representa 
a direção radial do campo elétrico entre os dois cilindros. Os 
efeitos de borda podem ser desprezados, pois a separação 
entre os cilindros é pequena em comparação às seus 
comprimentos l. Mostre que a capacitância C desse 
capacitor cilíndrico é dada por: 
02
ln
l
C
b
a


 
 
 
, onde l é o 
comprimento de cada cilindro. 
 
 
 
 
18) A figura representa um capacitor esférico formado por uma esfera condutora de raio R1 carregada 
com carga + Q e uma casca esférica condutora concêntrica de raio R2 carregada com carga – Q. 
(a) Mostre que a capacitância C desse capacitor esférico é dada por: 
1 2
0
2 1
4
R R
C
R R

 
  
 
. 
(b) A partir do resultado do item (a), mostre que se 
2 1 1R R d R 
 a capacitância será 
0SC
d


, onde S é a área do capacitor. 
5/5 
 
(c) A partir do resultado do item (a), mostre que se 
2 1R R
 obtém-se a capacitância de uma esfera 
de raio 
1R R
 dada por: 
04C R
. 
(d) A partir do resultado do item (c), mostre que a capacitância do planeta Terra de raio 
36,37 10 KmR 
 tem o valor muito grande 
47,10 10 F = 710 FC  , o que permite escoar 
bastante carga para a Terra sem alterar apreciavelmente o potencial elétrico da sua superfície. 
19) Em uma associação em paralelo de N capacitores, mostre que a capacitância equivalente é dada 
por 
1 2eq NC C C C  
. 
20) Em uma associação em série de N capacitores, mostre que a capacitância equivalente é encontrada 
pela expressão 
1 2
1 1 1 1
eq NC C C C
  
. No caso particular de N capacitores iguais em série, cada 
um com capacitância C, mostre que a capacitância equivalente é dada por 
eq
C
C
N

. 
21) A figura mostra um capacitor de placas planas paralelas, de 
áreas S e separadas por uma pequena distância d, com uma 
metade preenchida com um dielétrico de constante 
dielétrica 
1 
 e outra metade não preenchida (
1 
). As 
placas são mantidas a uma diferença de potencial V 
constante, de maneira que o campo elétrico uniforme
E V d
 é o mesmo nas duas metades. 
(a) Determine a capacitância C desse capacitor. 
(b) Calcule a razão C / C0, onde C0 é a capacitância do 
capacitor não preenchido. 
(c) Calcule a energia U armazenada nesse capacitor. 
Respostas: (a) 
  0
1
1
2
S
C
d

 
, (b) 
 
0
1
1
2
C
C
 
, (c) 
 2 20
1 1 1
1
2 2 2
S
U CV V
d
    
 
. 
22) O espaço entre as placas (de área S) de um capacitor plano 
está preenchido por duas camadas dielétricas adjacentes, 
de espessuras d1 e d2 e constantes dielétricas 
1
e 
2
, 
respectivamente. A diferença de potencial entre as placas 
é V e o campo elétrico aponta de 1 para 2. 
(a) Determine a capacitância C desse capacitor. 
(b) Determine a densidade superficial de carga livre σ nas 
placas. 
Respostas: (a) 
1 2
1 0 2 0
1 d d
C S S   
 
, (b) 
CV
S
 
. 
23) Uma esfera de material dielétrico homogêneo com constante dielétrica 

, de raio a, está 
uniformemente carregada com densidade volumétrica de carga ρ. 
(a) Determine o vetor campo elétrico dentro e fora da esfera 
(b) Ache a diferença de potencial V entre o centro e a superfície da esfera. 
Respostas: (a) 
 
0
0
3
r
E r a


  
, 
 
3
3
03
a r
E r a
r


 
, 
   
2
0
0
6
a
V V a


 