Cálculos de Incerteza de Medição

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1
Adaptada de: www.labmetro.ufsc.br/livroFMCI/
-Notas de aulas-
Cálculos do Cap 3
Observação: O assunto será explorado nos laboratórios 
e nas AV2 e AV3.
(1,00000±0,00001) kg
massa padrão
i iEa I -I
VVC
Incerteza
da medição
2
(Erro de medição)
(Tendência - estimativa 
do erro sistemático ou 
erro médio)
i iE =I VVC
dT =I VVC
dC -T (Correção)
(Erro aleatório)
2
1
( )
1
n
i
i
I I
u
n


 
 (Incerteza padrão)
e= t.R u (Repetitividade)
(Repetitividade da média)Re Re/I n
(Erro máximo)maxE = d eT R
As equações serão
cedidas nos laboratórios
e provas!
(1,00000±0,00001) kg
VVC
Incerteza
da medição
(Resultado da medição da i-ésima medição
não-corrigida)
i iRM =(I ± Re) unidade
corrigidai i
RM =(I +C ± Re) unidade
(Resultado da medição da i-ésima medição
corrigida)
IRM = (I ± Re/ ) unidaden
(Resultado da medição da média não-corrigida)
3
As equações serão
cedidas nos laboratórios
e provas!
(1,00000±0,00001) kg
VVC
Incerteza
da medição
4
corrigidaI
RM =(I+C ± Re/ ) unidaden
(Resultado da medição da média corrigida)
maxRM = (I E ) unidadeMaxE i 
(Resultado da medição considerando o erro
máximo)
As equações serão
cedidas nos laboratórios
e provas!
Nº I
1 1014
2 1015
3 1017
4 1012
5 1015
6 1018
7 1014
8 1015
9 1016
10 1013
11 1016
12 1015
Média 1015
a) Erro na 6a medição
c) Erro aleatório da 6a medição
i iE =I VVC
VVC= 1000 g
i iEa =I I
b) Tendência (estimativa
do erro sistemático ou erro médio)
dT =I VVC
dT =1015 1000 15g  
6
Ea =1018 1015 3g  
6
E =1018 1000 18g  
6 6E =I VVC
6 6
Ea =I I
(1,00000±0,00001) kg
VVC
Incerteza
da medição
5
As equações 
serão cedidas 
nos laboratórios 
e provas!
Nº I
1 1014
2 1015
3 1017
4 1012
5 1015
6 1018
7 1014
8 1015
9 1016
10 1013
11 1016
12 1015
Média 1015
6
VVC= 1000 g
d) Correção
dC -T
C - 15g
i i dEaE = +T
Erro de medição =Erro aleatório + 
Estimativa do erro sistemático 
(Tendência)
dT = 15g6Ea = 3g6E = 18g
Resumindo:
6 6 dEaE = +T
18 g=3 g +15 g
(1,00000±0,00001) kg
VVC
Incerteza
da medição
As equações 
serão cedidas 
nos laboratórios 
e provas!
Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial 7
e) Incerteza padrão
- Medida da intensidade da componente aleatória do erro de medição.
- Corresponde à estimativa do desvio padrão (s) da distribuição dos erros de
medição.
- u = s
2
1
( )
1
n
i
i
I I
u
n


 

1014 g
1012 g
1015 g
1018 g
1014 g
1015 g
1016 g
1013 g
1016 g
1015 g
1015 g
1017 g
média: 1015 g
u = 1,651446 g
12
2
1
( 1015)
u
12 1
i
i
I


 

Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial 8
2 2 2 2(1014 1015) (1015 1015) (1017 1015) (1012 1015)
u
12 1
         
2 2 2 2(1015 1015) (1018 1015) (1014 1015) (1015 1015)
12 1
       
1/ 22 2 2 2(1016 1015) (1013 1015) (1016 1015) (1015 1015)
12 1
        
(1,00000±0,00001) kg
massa 
padrão
VVC
Incerteza
da medição
e) Incerteza padrão
u = 1,651 g
Com três casas decimais
Estimativa da repetitividade
(para 95,45 % de probabildiade)
Para amostras infinitas:
Re = 2 . 
Para amostras finitas:
Re = t . u
Sendo “t” o coeficiente de Student para  = n - 1 graus 
de liberdade.
A repetitividade define a faixa dentro da qual, para uma dada
probabilidade, o erro aleatório é esperado.
Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial 9
f) Repetitividade e Repetitividade da média
 t  t  t  t 
1 13,968 10 2,284 19 2,140 80 2,032 
2 4,527 11 2,255 20 2,133 90 2,028 
3 3,307 12 2,231 25 2,105 100 2,025 
4 2,869 13 2,212 30 2,087 150 2,017 
5 2,649 14 2,195 35 2,074 200 2,013 
6 2,517 15 2,181 40 2,064 1000 2,003 
7 2,429 16 2,169 50 2,051 10000 2,000 
8 2,366 17 2,158 60 2,043 100000 2,000 
9 2,320 18 2,149 70 2,036  2,000 
Coeficiente “t” de Student
Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial 10
f) Repetitividade e Repetitividade da média
1014 g
1012 g
1015 g
1018 g
1014 g
1015 g
1016 g
1013 g
1016 g
1015 g
1015 g
1017 g
média: 1015 g
Re = 2,255 . 1,651 = 3,723005 g
Re = 3,7 g
Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial 11
(1,00000±0,00001) kg
massa 
padrão
VVC
Incerteza
da medição
f) Repetitividade e Repetitividade da média
Re Re/I n
Re .t u
u = 1,651 g
Re 3,7 / 12I 
Re 1,1I g
 = 12 - 1 = 11 t = 2,255
Com uma casa decimal
Com uma casa decimal
As equações serão cedidas 
nos laboratórios e provas!
Curva de erros
Indicação
Erro
1015
15
Td (15,0 g)
Td + Re (15,0+3,7) g
Td - Re (15,0-3,7) gEmáx
- Emáx
12
1000 1200 1300 1400 15001100900800700 VVC
Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial 
1014 g
1012 g
1015 g
1018 g
1014 g
1015 g
1016 g
1013 g
1016 g
1015 g
1015 g
1017 g
média: 1015 g
Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial 13
(1,00000±0,00001) kg
massa 
padrão
VVC
Incerteza
da medição
g) Erro máximo
dT =1015 1000 15g  
maxE = d eT R
e =3,7gR
maxE =(15,0 3,7) g
maxE =18,7 g
maxE =19g
Com dois algarismo significativo
As equações serão cedidas 
nos laboratórios e provas!
1014 g
1012 g
1015 g
1018 g
1014 g
1015 g
1016 g
1013 g
1016 g
1015 g
1015 g
1017 g
média: 1015 g
Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial 14
(1,00000±0,00001) kg
massa 
padrão
VVC
Incerteza
da medição
h) Resultado da medição com respeito as medidas individuais
Sem correção
Com correção
i iRM =(I ± Re) unidade
corrigidai i
RM =(I +C ± Re) unidade
6RM =(1018,0 ± 3,7) g
6 6RM =(I ± Re) unidade
corrigida6 6
RM =(I +C ± Re) unidade
corrigida6
RM =(1018-15 ± 3,7) g
corrigida6
RM =(1003,0 ± 3,7) gAs equações serão cedidas 
nos laboratórios e provas!
1014 g
1012 g
1015 g
1018 g
1014 g
1015 g
1016 g
1013 g
1016 g
1015 g
1015 g
1017 g
média: 1015 g
Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial 15
(1,00000±0,00001) kg
massa 
padrão
VVC
Incerteza
da medição
i) Resultado da medição com respeito a média
Sem correção
Com correção
IRM =(I ± Re/ ) unidaden
corrigidaI
RM =(I+C ± Re/ ) unidaden
IRM =(1015 ± 3,7 / 12) unidade
IRM =(1015,0 ± 1,1) g
corrigidaI
RM =(1015-15 ± 3,7 / 12) g
corrigidaI
RM =(1000,0 ± 1,1) g
dT =I-VVC -C=I-VVC I+C=VVCAs equações serão cedidas nos laboratórios e provas!
1014 g
1012 g
1015 g
1018 g
1014 g
1015 g
1016 g
1013 g
1016 g
1015 g
1015 g
1017 g
média: 1015 g
Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial 16
(1,00000±0,00001) kg
massa 
padrão
VVC
Incerteza
da medição
j) Resultado da medição com respeito ao erro máximo
maxRM =(I E ) unidadeMaxE i 
6 maxRM =(I E ) unidadeMaxE 
RM =(1018 19) g
MaxE

As equações serão cedidas 
nos laboratórios e provas!
1018
Representação gráfica dos resultados da medição 
com respeito as medidas individuais, a média e ao 
erro máximo
1000 1020 1040960 980
mensurando [g]
Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial 16
1003
6RM =(1003,0 ± 3,7) g
Compensando o erro sistemático da 6ª medição.
corrigidaI
RM =(1000,0 ± 1,1) g
Compensando o erro sistemático da média.
RM =(1018 19)
MaxE
g
6ª medição, sem
compensação dos
erros sistemático e
aleatório.
Efeitos da dilatação térmica
18Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial 
19
Petrobrás – 2014.1
Dilataçãotérmica
Propriedade dos materiais modificarem suas
dimensões em função da variação da temperatura.
b b'
c'
c
b = b' - b
c = c' - c
b =  . T . b
c =  . T . c
T
20Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial 
Temperatura de referência
• Por convenção, 20 °C é a temperatura de referência
para a metrologia dimensional.
• Os desenhos e especificações sempre se referem às
características que as peças apresentariam a 20 °C.
21Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial 
Dilatação térmica
Mesmos coeficientes de expansão térmica
20°C 40°C 10°C
I = 40,0 I = 40,0
I = 40,0
 = 
22Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial 
Dilatação térmica
Distintos coeficientes de expansão térmica
20°C 40°C 10°C
I = 40,0
I = 44,0
I = 38,0
 > 
23Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial 
24Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial 
Correção dimensional devido a variação da temperatura
PeçaSM
C=ΔL -ΔL ( (pr1) ova) ΔL =L α ΔT ( (pr2)
i i i
ova )
SM SM SM
ΔL =L α ΔT (3);
Peça Peça Peça
ΔL =L α ΔT (4)
de (2),
de (3) e (4) em (1),
SM SM Peça Peça
C=Lα ΔT Lα ΔT
0 0
SM SM peça peça
C=α (T 20 C) L α (T 20 C) L  
0 0
SM SM peça peça
C= α (T 20 C) α (T 20 C) (prova)L    
Td I VVC  SM PeçaC=I -IC VVC I  ref medC=I -I
As equações serão cedidas 
nos laboratórios e provas!
25Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial 
1) Considere um paquímetro A e uma peça B, sendo ∝A = ∝B = ∝
seus coeficientes de dilatação linear. As suas temperaturas no
ato da medição são TA≠TB e L a medida realizada no paquímetro.Determine a correção a ser aplicada no valor do diâmetro do eixo
da peça para compensar o efeito da temperatura. Mostre os
cálculos no formato literal e mais reduzido possível.
0 0
SM SM peça peça
C =[α (T - 20 C) - α (T - 20 C)] L
0 0
A BA A B A BB
C=[ ( - 20 C)- ( - 20 Cα T α T )] , mas α αL α e T T  
A B
C=[α(T - 20)-α(T - 20)] L
A B
C=α(T -T ) L
A B
C=[α.T - 20α-α.T + 20α] L
26
2) Considere um paquímetro A e uma peça B, sendo ∝A = 2 ∝B seus
coeficientes de dilatação linear. As suas temperaturas no ato da medição são
TA = 3 TB e L a medida realizada no paquímetro. Determine a correção a seraplicada no valor do diâmetro do eixo da peça para compensar o efeito da
temperatura. Mostre os cálculos no formato literal e mais reduzido possível.
0 0
SM SM peça peça
C =[α (T - 20 C) - α (T - 20 C)] L
A A
0 0
B B
C=[ ( - 20 C)- ( - 20α T α T C)] L
B
C=[2α .(3T - 20)-α (T - 20)] LB B B
B
C=[6α .T - 40α -α .T 20α ] LB B B B B
C=(5T - 20) α LB B
27
Petrobrás – 2014.1
28Adaptado de Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial 
Lista de Exercícios
29
Lista de equações cedidas na AV2 e AV3