Coeficiente de Restituição

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UNIVERSIDADE FEDERAL 
DE SÃO JOÃO DEL-REI 
Departamento de ciências naturais 
 
 
 
 
 
 
 
 
João Leno Antônio de Sousa 
 
 
 
 
Choques Inelásticos: Coeficiente de 
Restituição 
 
 
 
 
 
 
 
 
São João Del – Rei / MG 
29 de Novembro de 2010 
OBJETIVO: 
Determinar o coeficiente de restituição de um material, utilizando os conceitos 
sobre colisão em uma dimensão com bolas de massas e materiais distintos. 
 
 
 
 INTRODUÇÃO 
Em uma colisão, dois corpos se aproximam mutuamente, interagem fortemente 
e depois se afastam. Antes da colisão, quando estão afastados um do outro, os corpos se 
deslocam com velocidades constantes. Depois da colisão, movem-se com velocidades 
constantes, porém diferentes das inicias. Quando a energia cinética de dois corpos 
depois da colisão for à energia cinética total antes da colisão, tem-se a colisão elástica. 
Quando a energia cinética total não se conservar na colisão, se tem a colisão inelástica. 
As colisões inelásticas ocorrem entre sistemas macroscópicos quando atuam forças não-
conservantes que alteram a energia mecânica do sistema. Um exemplo é o de uma bola 
de modelar que cai no chão. Numa colisão inelástica, a energia cinética em relação ao 
centro de massa se altera, mas a energia cinética do centro de massa 
 permanece 
constante, pois a velocidade do centro de massa não se altera quando as forças externas 
são que atuam sobre o sistema são desprezíveis. Num caso especial, toda a energia 
relativa é perdida e os corpos se movem, depois da colisão, com a velocidade do centro 
de massa. Esta colisão e chamada de colisão perfeitamente inelástica. Um projetil de 
um revolver que ao se chocar com uma parede fica embutida nela é um exemplo de 
colisão perfeitamente inelástica.
1, 5
 
 
 
FUNDAMENTO TEÓRICO 
Considere uma bola que, sendo solta de certa altura Hi, chega ao chão com uma 
velocidade vi. Imediatamente após o contato com o chão, a bola se deforma e segue 
sofrendo uma compressão, até atingir o repouso (situação de compressão máxima). A 
partir desse instante, ela passa a se expandir e salta, com velocidade vjaté uma altura Hj. 
 
Figura 1 – A bola cai de uma distância Hie chega ao solo com velocidade vi; após a 
colisão, ela sai com velocidade vj, indo atingir uma altura Hj.
4 
 
Define-se o coeficiente de restituição r de uma colisão desse tipo como: 
 
| |
| |
 (eq. 1) 
A unidade do coeficiente de restituição r reside no fato de que ele é constante 
ao longo de uma faixa ampla de velocidades de impacto vj, dependendo somente dos 
materiais de que são feitos os corpos que colidem. 
O coeficiente de restituição pode ser utilizado como um indicativo de “quão 
elástico” é o choque entre o corpo e a superfície. A perda de energia cinética nessa 
colisão é dada por: 
 ⁄ 
 ⁄ 
 (eq. 2) 
 ⁄ 
 ( ) (eq.3) 
Essa equação mostra que para uma colisão elástica ( ) devemos ter 
 . Em uma colisão inelástica, por parte da energia é dissipada no choque e, por isso, 
o coeficiente de restituição deve ser menos que 1. 
Vamos analisar a situação em termos de energia potencial U. Chamando de 
H0= a altura onde a bola foi solta, e de H1 a altura atingida depois da primeira colisão. A 
variação da energia potencial em uma colisão é: 
 ( ) (eq. 4) 
Considerando que a energia mecânica se conserva entre o instante inicial 
quando a bola foi solta e o momento imediatamente anterior ao choque, podemos 
escrever: 
 
 
 (eq. 5) 
Combinando (5) e (3), a perda de energia cinética no choque pode ser escrita 
como: 
 ( 
 ) (eq. 6) 
Igualando a variação de energia cinética com a variação de energia potencial 
obtemos: 
 ( 
 ) ( ) (eq. 7) 
ou seja, 
 
 
 (eq. 8) 
Dessa forma, a altura que a bola atinge após colidir com o chão será sempre 
uma fração da altura inicial da qual ela caiu. 
 
 
 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
1. MATERIAL UTILIZADO 
 
i) Fita métrica; 
ii) Bola de borracha; 
iii) Bola de Ping Pong; 
 
 
 
2. Procedimento 
 
Foi pego de inicio uma altura de 2 metros, dessa altura a bola foi solta e 
anotado o valor da altura após a 1 colisão, foi repetido 5 vezes e determinado a média de 
H1 com seu respectivo erro. Depois de feito isso, foi repetido o mesmo procedimento do 
paragrafo a cima, mas com a altura H1 e foi determinado H2 e seu erro. Todo o processo 
foi repetido até que obtivemos H5 e seu respectivo erro.
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESULTADOS OBTIDOS 
 
Nessa seção estão as tabelas com os valores obtidos no experimento e os 
cálculos realizados para encontrar os valores médios e os respectivos erros. 
 
1. Tabelas dos valores obtidos nos experimentos com respectivos cálculos de 
valor médio e seus respectivos desvios seguindo a equação do desvio padrão. 
 
 
 
 [∑ ( )
 
 
 
]
 
 
Tabela 1- Bola de Borracha 52,3 ± 0,5 gramas 
 H0 (m) H1 (m) H2 (m) H3 (m) H4 (m) H5 (m) 
1 2,01 1,16 0,83 0,57 0,34 0,29 
2 2,00 1,22 0,83 0,58 0,35 0,29 
3 2,02 1,25 0,85 0,60 0,37 0,30 
4 1,99 1,26 0,84 0,59 0,41 0,295 
5 2,00 1,27 0,86 0,61 0,44 0,31 
Média 2,004 1,23 0,842 0,590 0,38 0,297 
Desvio 0,006 0,02 0,007 0,008 0,02 0,004 
 
Tabela 2 - Bola de PingPong 3,7 ± 0,5 gramas 
 H0 (m) H1 (m) H2 (m) H3 (m) H4 (m) H5 (m) 
1 2,01 1,3 0,985 0,76 0,62 0,5 
2 1,99 1,31 0,97 0,77 0,625 0,52 
3 2,02 1,32 1 0,78 0,635 0,51 
4 2 1,34 0,99 0,775 0,64 0,535 
5 2,00 1,34 0,99 0,79 0,63 0,53 
Média 2,004 1,32 0,987 0,775 0,63 0,519 
Desvio 0,006 0,01 0,005 0,006 0,00 0,007 
 
 
Legenda das tabelas: 
 Hx – Altura de onde a bola foi solta e altura após o 1º impacto; 
 (m) – Unidade de medida do SI, metros; 
 
2. Gráficos de Hn por n, seguindo os valores médios e seus erros das tabelas 
anteriores: 
 
 
 
Seguindo a ideia da equação (8), podemos afirmar que 
 
 
 
 
 
 
 
 
, e com a equação (5) podemos achar o valor das velocidades, usando o método da 
propagação de erros identificamos os erros experimentais nos valores calculados. 
Usando a equação (6) e (8) podemos achar o valor das variações de energia cinética 
( ) e potencial ( ) e seus erros por propagação. A tabela abaixo mostra o valor de r, 
 e o das velocidades e seus respetivos erros: 
 ||
 
 √
 
 
( 
 
 
 )|| ||
 
 √
 
 
(
 
 
 )|| 
 | ( )| | ( )| | ( )| 
 | ( )| | ( )| | ( 
 )| 
 |
 
√ 
| |
 
√ 
| 
Tabela 3 - Bola de Borracha 52,3 ± 0,5 gramas 
CoeficienteR 0,784 0,83 0,837 0,80 0,88 
Erro R 0,008 0,01 0,009 0,03 0,01 
Vi (m/s) 6,267 4,91 4,06 3,401 2,74 
Erro Vi (m/s) 0,009 0,04 0,02 0,006 0,08 
Vj (m/s) 4,91 4,06 3,401 2,74 2,41 
Erro Vj (m/s) 0,04 0,02 0,006 0,08 0,02 
∆U (J) 0,40 0,200 0,129 0,107 0,044 
Erro ∆U (J) 0,02 0,004 0,003 0,008 0,009 
∆E (J) 0,32 0,20 0,14 0,10 0,06 
Erro ∆E (J) 0,05 0,03 0,02 0,02 0,01 
 
Tabela 4 - Bola de Ping Pong 3,7 ± 0,5 gramas 
CoeficienteR 0,812 0,864 0,886 0,902 0,91 
Erro R 0,004 0,005 0,006 0,006 0,01 
Vi (m/s) 6,267 5,09 4,40 3,897 3,51 
Erro Vi (m/s) 0,009 0,02 0,01 0,004 0,01 
Vj (m/s) 5,09 4,40 3,897 3,51 3,19 
Erro Vj (m/s) 0,02 0,01 0,004 0,01 0,02 
∆U (J) 0,025 0,012 0,008 0,0053 0,0040 
Erro ∆U (J) 0,004 0,002 0,001 0,0008 0,0007 
∆E (J) 0,017 0,011 0,008 0,007 0,005 
Erro ∆E (J) 0,004 0,002 0,002 0,002 0,001 
 
Usandoa equação (9), se substituirmos os valores todos seguindo a equação a 
baixo, chegaremos a uma regra: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (eq. 9) 
 
 
 ( 
 ) 
 
 
 
 (eq. 10) 
essa equação (10) nos mostra a regra geral. Dessa forma podemos ver que a equação 
concorda com a equação (9): 
 √
 
 
 √
 
 
 
 √
 
 
 
 √
 
 
 
 √
 
 
 
 
Dessa forma pode ser feito um gráfico linearizado usando logaritmo natural no 
Hn(tabela 5) dos gráficos 1 e 2: 
Tabela 5 - lnHn da bola de Borracha e de Pin Pong 
lnHn 0,21 -0,17 -0,53 -0,96 -1,21 
lnHn 0,28 -0,01 -0,25 -0,46 -0,66 
 
 
Aplicando logaritmo natural na equação (10) e comparando-a com a equação 
da reta temos: 
 ( ) (eq. 11) 
 
 (eq. 12) 
agora é possível obter pela equação da reta, nos gráficos 3 e 4 o valor de H0 e r, 
aplicando função inversa de , que é . 
Temos do gráfico 3, e , fazendo o seguinte 
raciocínio , temos: 
 
 
e seu erro como | 
 | , temos: 
 | 
 | | | 
assim temos que metros. 
Usando o termo B temos que e aplicando função inversa de ln, pode-
se obter o valor de r da seguinte forma: 
 
 
 
( )
 
e seu erro como |
 
 
 
 
| , temos: 
 |
 
 
 
 
| |
 
( )
 
 
| 
assim temos que . 
Temos do gráfico 4, e , fazendo o 
raciocínio utilizado no gráfico 3, , temos: 
 
 
e seu erro como | 
 | , temos: 
 | 
 | | | 
assim temos que metros. 
Usando o termo B temos que e aplicando função inversa de ln, pode-
se obter o valor de r da seguinte forma: 
 
 
 
( )
 
e seu erro como |
 
 
 
 
| , temos: 
 |
 
 
 
 
| |
 
( )
 
 
| 
assim temos que . 
Utilizando o valor do coeficiente de restituição encontrado acima, podemos 
calcular a fração percentual do total de energia dissipada em cada choque da bola de 
borracha com o chão e seu erro propagado. Para isso, temos: 
 |
 
 
| |
 ( 
 ) ( 
 )
 ( )
| 
 |
 
 
| |
 
 
| 
A equação do erro é |
 
 
 | | 
 
 
 | . 
Fração percentual do total de energia dissipada em cada choque da bola de ping 
pong com o chão é: 
 |
 
 
| |
 ( 
 ) ( 
 )
 ( )
| 
 |
 
 
| |
 
 
| 
Essas frações de energia calculadas são os totais. As tabelas 6 e 7 mostram o 
percentual de energia dissipado para as duas bolas em cada choque: 
Tabela 6 - Bola de Borracha 
 No choques 1 2 3 4 5 
Edissipada 39 3% 32 4% 30 2% 35 4% 22 7% 
 
Tabela 7 - Bola de Ping Pong 
 No choques 1 2 3 4 5 
Edissipada 34 2% 25 2% 21 2% 19 2% 18 2% 
 
Utilizando-se do seguinte raciocínio logico, para achar o valor dissipado em 
cada choque em relação a energia inicial, temos: 
 |
 
 
| ( ) 
ou seja: |
 
 
| ( ) |
 
 
 | ( ) . 
Tabela 8 - Bola de Borracha 
 No choques 1 2 3 4 5 
Edissipada 38,5% 19,5% 12,8% 10,3% 4,2% 
 
Tabela 9 - Bola de Ping Pong 
 No choques 1 2 3 4 5 
Edissipada 34,0% 16,7% 10,6% 7,2% 5,5% 
Se os valores obtidos nas tabelas 8 e 9 forem somados, eles concordam com os 
valores calculados, onde a energia total dissipada nos choques da primeira bola foi de 
 e da segunda foi . A soma dos valores das tabelas são 85,3% e 74,0% 
consecutivamente. Segue abaixo gráficos em “pizza” para melhor visualização das 
tabelas acima: 
 
34% 
17% 11% 
7% 
5% 
26% 
Gráfico 5 
Energia Dissipada em cada choque 
para bola de Ping Pong 
1º Choque
2º Choque
3º Choque
4º Choque
5º Choque
Não Dissipada
39% 
20% 
13% 
10% 
4% 
15% 
Gráfico 6 
Energia Dissipada em cada choque 
para a bola de Borracha 
1º Choque
2º Choque
3º Choque
4º Choque
5º Choque
Não Dissipada
CONCLUSÃO 
Com todos os objetivos alcançados, pode-se perceber que o coeficiente de 
restituição depende de alguns fatores, como o material que é feito a bola ou objeto 
abandonado/jogado e o chão ou centro de massa na qual a bola se choca. Todas as 
formulas até agora relacionadas foram confirmadas em tabelas ou cálculos e as teorias 
foram vistas e provadas pelos valores experimentais, os quais todos têm o seu erro, que, 
por exemplo, quando vou me referir a variação de energia potencial ser igual à variação 
da energia cinética ( ), as tabelas 3 e 4 provam o mesmo. Para pensarmos em 
termos de colisão inelástica muito utilizada, é só pensar nos tênis com amortecedor, que 
nada mais é um absorvedor de impacto, quando o tênis entra em contato com o centro 
de massa sofrendo uma força P em direção ao sentido da colisão, a borracha se deforma, 
e ao ser levantado o tênis ela se expande ao tamanho normal. Com esse exemplo mostro 
a importância do coeficiente de restituição. 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
1. HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Fundamentos de Física 1: Mecânica. 3ª ed 
Traduzida. Rio de Janeiro. Editora Livros Técnicos e Científicos S.A. 1994. Pág. 193-205. 
 
2. MUNDIM, Kleber C. Aula 6 – Colisões. Universidade de Brasília. 2000. Disponível 
em: <http://vsites.unb.br/iq/kleber/EaD/Fisica-1/aula-6/aula-6.html>. Acesso em 23/11/2010. 
 
3. SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W, Jr. Princípios de Física: Vol. 1 Mecânica 
Clássica. 2ª ed. São Paulo. Editora Cengage Learning. 2007. 
 
4. SILVEIRA, Marcelo M.; SILVA, Nelson C. Experimentos Virtuais de Física: 
Colisões Elásticas e Inelásticas. Universidade federal de Santa Catarina. 2000.Disponível em: 
<http://www.fsc.ufsc.br/~canzian/simlab/colisoes/colisoes.html>. Acesso em 21/11/2010. 
 
5. TIPPLER, Paul A. Física para Cientistas e Engenheiros: Vol. 1 Mecânica. 3ª ed 
Traduzida. Rio de Janeiro. Editora Guanabara Koogan S.A. 1994. Pág. 168-205.