Polígonos: definição, tipos e cálculos

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POLÍGONOS
Polígonos são figuras geométricas planas que são formadas por segmentos de reta a partir de uma sequência de pontos de um plano, todos distintos e não colineares, onde cada extremidade de qualquer um desses segmentos é comum a apenas um outro.
Eles podem ser côncavos ou convexos. Dados dois pontos A e B, interiores ao polígono, ele será convexo se, e somente se, o segmento de reta AB¯¯¯¯¯¯¯¯ estiver contido inteiramente no polígono. Caso contrário, ele será côncavo.
Polígono convexo. A reta AB¯¯¯¯¯¯¯¯ está inteiramente contida no polígono.
Polígono côncavo ou não convexo. A reta CD¯¯¯¯¯¯¯¯ não está inteiramente contida no polígono.
Polígonos simples
Dizemos que um polígono é simples quando quaisquer dois lados não consecutivos não se interceptam. Quando o polígono não é simples, dizemos que ele é complexo.
	
	
Os polígonos A1A2A3A4A5 e B1B2B3B4B5 são polígonos simples.
	
	
Os polígonos C1C2C3C4C5 e D1D2D3D4D5 são polígonos complexos.
Polígonos Regulares e Irregulares
Um polígono que possui os lados congruentes é chamado de equilátero. Quando possui os ângulos congruentes, é chamado de equiângulo.
Um polígono convexo é regular se for equilátero e equiângulo, ou seja, quando seus lados são todos iguais (possuem a mesma medida) e seus ângulos internos também são iguais.
Nome dos polígonos
Podemos dar nomes aos polígonos de acordo com a quantidade de lados que ele possui. Abaixo, uma tabela apresentando o nome de cada polígono considerando seus lados.
	# de Lados
	Nome
	3
	Triângulo ou trilátero
	4
	Quadrângulo ou quadrilátero
	5
	Pentágono
	6
	Hexágono
	7
	Heptágono
	8
	Octógono
	9
	Eneágono
	10
	Decágono
	11
	Hendecágono ou Undecágono
	12
	Dodecágono
	15
	Pentadecágono
	20
	Icoságono
	n
	n-látero
Geralmente, para polígonos com lados maiores que 20, nos referimos a ele apenas explicitando o seu número de lados. Por exemplo, um polígono de 27 lados.
Número de diagonais de um polígono
Polígonos
Polígonos são figuras geométricas planas que são formadas por segmentos de reta a partir de uma sequência de pontos de um plano, todos distintos e não colineares, onde cada extremidade de qualquer um desses segmentos é comum a apenas um outro.
Eles podem ser côncavos ou convexos. Dados dois pontos A e B, interiores ao polígono, ele será convexo se, e somente se, o segmento de reta AB estiver contido inteiramente no polígono. Caso contrário, ele será côncavo.
Diagonal de um polígono
A diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos desse polígono:
Na figura acima, os segmentos AC  e BD  são diagonais.
Número de diagonais de um polígono
É possível determinar a quantidade de diagonais que um polígono qualquer de lado n pode ter. Existe uma fórmula matemática que nos dá essa quantidade de diagonais, considerando a quantidade de lados do polígono.
Considere o seguinte polígono, um hexágono regular ABCDEF:
Para cada vértice deste polígono, por exemplo, o vértice A, podemos contar, inicialmente 6 diagonais:
Uma delas é AA (sai de A e vai para ele mesmo), AB, AC, AD, AE, AF.
Mas, pela definição de diagonal, os segmentos AA, AB e AF não são diagonais, pois AA é, em si o próprio vértice A e AB e AF são lados do polígono.
Assim, dos 6 segmentos, apenas 3 são realmente diagonais. Como temos um total de 6 vértices, de cada um deles sairão 3 diagonais, totalizando 6 . 3 = 18 diagonais (observe que estaremos contando, por exemplo, AC e CA como duas diagonais diferentes, por isso sempre devemos dividir esse valor por 2, como veremos, totalizando 9 diagonais para um hexágono).
Isso sempre acontecerá em qualquer polígono. Por exemplo, se um polígono tem 8 lados, de cada vértice contamos 8 segmentos, dos quais 3 deles não são considerados diagonais, ou seja, teremos 8 – 3 diagonais, ou seja, apenas 5.
	Número de lados:
	4
	5
	6
	7
	8
	n
	Número de diagonais de um vértice:
	1
	2
	3
	4
	5
	n-3
Nesse sentido, para um polígono de n lados, teremos, saindo de cada vértice, n – 3 diagonais. Como temos n vértices, a quantidade de diagonais será n (n - 3).
Note que, como dito antes, estamos contando cada diagonal duas vezes. Tomando a figura acima como exemplo, estamos contando que AD e DA são duas diagonais diferentes, quando na verdade é a mesma. Assim, do total de diagonais que calculamos em um polígono, temos que dividir esse valor por 2.
Assim, para um polígono de n lados, teremos uma quantidade de diagonais dada por:
d=n⋅(n−3)2
Vale ressaltar que n sempre deve ser maior que 3, pois um polígono de exatamente 3 lados (um triângulo) não possui nenhuma diagonal.
Ilustrando:
Exemplo
Qual a quantidade de diagonais de um polígono de 12 lados?
n=12
d=n(n−3)2
d=12⋅(12−3)2
d=12⋅92
d=1082
d=54
Logo, esse polígono tem 54 diagonais.
Cálculo do perímetro e área de polígonos
Superfícies como uma mesa e sólidos geométricos como o dado, estão presentes no espaço que nos cerca. Realizar a medição dessas regiões pode ser necessário, para isso utilizamos o cálculo do perímetro e da área.
Perímetro
Definimos perímetro como sendo a soma das medidas dos lados de um polígono. Considere polígono como sendo uma figura fechada plana constituída por segmento de reta. Veja um exemplo:
Calcule o perímetro do polígono:
Pontos: A, B, C, D, E, F, G
Segmentos de reta: AB, BC, CD, DE, EF, FG, GA.
Perímetro do polígono ABCDEFG:
P = 5 cm + 8 cm + 6 cm + 7 cm + 10 cm + 8 cm + 8 cm
P = 52 cm
Área de polígonos
Utilizamos o cálculo de área para dimensionar as superfícies planas. Para cado polígono é utilizado uma fórmula, a unidade de medida resultante do cálculo da área é sempre elevada ao quadrado. As figuras geométricas planas que apresentam fórmula definida para o cálculo de área são: Retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, trapézio, losangolo e círculo. Observe como calculamos a área do: retângulo, quadrado, paralelogramo e triângulo:
Retângulo
Área do retângulo = medida da base x medida da altura
Ar=b⋅h
Elementos do retângulo:
Pontos: A, B, C, D
Segmentos de reta: AB, BC, CD, CA
Segmentos paralelos: AB\\CD e AC\\BD
Obs. Segmentos paralelos são congruentes, possuindo a mesma medida
Base do retângulo: BD = 10 cm
Altura do retângulo: CD = 5 cm
Área do retângulo = medida da base x medida da altura
Ar=b⋅h
Ar=10cm⋅5cm
Ar=50cm2
Quadrado
Área do quadrado = medida do lado x medida do lado
Aq=l⋅l
Aq=l2
Exemplo
Elementos do quadrado
Pontos: A, B, C, B
Segmentos de reta: AB, BC, CD, CA
Segmentos paralelos: AB\\CD e AC\\BD
Lados do quadrado: AB = 5 cm, BC = 5 cm, CD = 5 cm, CA = 5 cm
Área do quadrado = medida do lado x medida do lado
Aq=l⋅l
Aq=l2
Aq=(5cm)2
Aq=25cm2
Paralelogramo
Área do paralelogramo = medida da base x medida da altura
Ap=b⋅h
Exemplo
Elementos do paralelogramo
Pontos: B, C, D, E, F
Segmentos paralelos: BC\\DE e CD\\BE
Base do paralelogramo: BE = 6 cm
Altura do paralelogramo: EF = 7 cm
Área do paralelogramo = medida da base x medida da altura
Ap=b⋅h
Ap=6cm⋅7cm
Ap=42cm2
Triângulo
Área do triângulo = base⋅altura2
At=b⋅h2
Exemplo
Elementos do triângulo
Pontos: A, B, C, D
Base do triângulo: BC = 8 cm
Altura do triângulo: AD = 5 cm
Área do triângulo = At=b⋅h2
At=8cm⋅5cm2
At=40cm22
At=20cm2
Outra definição: Polígono é uma figura geométrica plana, limitada por uma linha poligonal fechada. 
Classificação dos polígonos quanto ao número de lados
	Nomen-
clatura
	Triângulo
	Quadrilátero
	Pentágono
	Hexágono
	Heptágono
	Octógono
	Eneágono
	Decágono
	Undecágono
	Polígono 
de 13 lados
	Polígono
 de 14 lados
	Nº  de lados
	 3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	14
Polígono Eqüiângulo- Tem todos os ângulos congruentes, ou seja,  de mesma medida
Polígono Eqüilátero- Tem todos os lados congruentes, ou seja,  de mesma medida
Polígono Regular- Tem todos os  ângulos com  medidas iguais  e todos os lados com  medidas iguais.
	Polígono Eqüiângulo
	Polígono EqüiláteroPolígono Regular=>
 Eqüiângulo e Eqüilátero
	
	
	
	
	
	
Polígonos Congruentes - Dois  polígonos são congruentes se têm ângulos e lados congruentes.
Polígonos Equivalentes - Dois  polígonos são equivalentes se têm a mesma área.
Polígonos Semelhantes - Dois  polígonos são semelhantes se têm ângulos congruentes e lados correspondentes
proporcionais.
	Polígonos Congruentes
	Polígonos Equivalentes
	Polígonos Semelhantes
	
	
	
	
	
	
Soma dos ângulos internos e externos de um polígono convexo
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo depende das diagonais que partem de um mesmo vértice. A soma dos externos é sempre 360°.
Ângulos internos e externos de um polígono convexo e regular
Em um polígono, quanto maior é o número de lados, maior é a medida dos ângulos internos.
Considerando as diagonais traçadas por apenas um dos vértices de um polígono, é possível perceber que elas formam triângulos. Conforme aumentamos os lados de um polígono, a quantidade de triângulos também aumenta. Veja:
Em um quadrilátero, conseguimos formar dois triângulos.
Considerando que, em cada triângulo, a soma dos ângulos internos iguais é 180°, a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 2·180º = 360º.
Em um polígono de cinco lados (pentágono), formamos três triângulos.
Dessa forma, temos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é 180º·3 = 540º
Em um polígono de seis lados (hexágono), formamos quatro triângulos.
Portanto, a soma dos ângulos internos é 4·180º = 720º.
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
Percebemos que a diferença do número de triângulos formados e o número de lados dos polígonos é sempre 2, então, concluímos que:
n = 3
Si = (3 – 2)·180º = 1·180° = 180°
n = 4
Si = (4 – 2)·180° = 2·180° = 360°
n = 5
Si = (5 – 2)·180° = 3·180° = 540°
n = 6
Si = (6 – 2)·180° = 4·180° = 720°
n = n
Si = (n – 2)·180°
Portanto, a soma dos ângulos internos de qualquer polígono é calculada pela expressão:
Si = (n – 2)·180°
Caso queira calcular o valor de cada ângulo interno, basta dividir a soma dos ângulos internospelo número de lados do polígono. Vale lembrar que essa fórmula só deve ser utilizada em polígonos regulares, pois eles possuem os ângulos internos iguais.
ai = Si 
     n
Soma dos ângulos externos de um polígono regular
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é igual a 360°.
Obs.: A soma de um ângulo interno com o seu respectivo externo é igual a 180º, isto é, eles são suplementares.