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GEOMETRIA ANALÍTICA CONCEITOS BÁSICOS

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Conversa inicial 
Olá, aluno! Seja bem-vindo a nossa primeira aula de Geometria 
Analítica! 
Nesta primeira aula serão apresentados os vetores, muito utilizados 
para a modelagem de problemas envolvendo fenômenos físicos, por 
meio de dois pontos de vista: estudo geométrico e estudo analítico dos 
vetores. Serão abordadas também as operações mais usuais 
envolvendo vetores. 
Os vetores são uma ferramenta matemática de grande importância 
para o estudo da física, para a compreensão do cálculo diferencial e 
integral e para diversos problemas modernos em áreas muito diversas 
como computação, estatística, logística etc. 
Por meio dos conceitos apreendidos no estudo dos vetores será 
realizado o estudo vetorial de retas e planos, com o que se pretende 
ampliar a capacidade de modelagem de problemas e situações 
práticas. Em consonância com este objetivo, a partir dos conceitos 
relativos a vetores, retas e planos, será realizado em seguida o estudo 
de ângulos e distâncias. 
A nossa disciplina terminará com a apresentação das cônicas: 
parábola, circunferência, elipse e hipérbole e quádricas: parabolóides, 
esferas, elipsóides, hiperbolóides, etc. Essão são conceitos de grande 
importância para o cálculo vetorial e outras aplicações práticas. 
NÍVEL Graduação 
CURSO Engenharia de Produção 
DISCIPLINA Geometria Analítica 
MÓDULO A1 2016 
AULA 1 
PROFESSOR Nacib Mattar Jr 
 
 
Confira no material on-line o vídeo do professor Nacib Mattar Jr, no 
qual ele apresentará os temas a serem trabalhados nesta disciplina. 
Bons estudos! 
Contextualizando 
A geometria é um ramo da matemática que está presente no nosso 
cotidiano de uma forma tão natural que muitas vezes não percebemos 
essa proximidade. Mas basta pararmos um pouco e olharmos ou 
tocarmos objetos que estão ao nosso redor. 
 A superfície da mesa equivale a uma parte de um plano. 
 Os cantos das paredes são segmentos de retas. 
 A borda de um copo tradicional é uma circunferência, uma 
moeda é um círculo. 
 Armários, pratos, garrafas, antenas parabólicas, portas, 
janelas, casas, prédios... a quantidade de elementos 
geométricos existentes é extremamente grande. 
Mas a geometria não está presente apenas em objetos reais. No 
mundo virtual essa presença é muito evidente também. A tela de um 
computador, celular ou tablet tem um formato retangular. Cada ponto 
dessa tela está localizado em uma determinada coordenada do tipo (x, 
y) que define qual é a distância na horizontal e na vertical desses 
pontos em relação ao canto superior esquerdo da tela. 
Muitos elementos que aparecem na tela desses dispositivos são 
entidades geométricas. Os aparelhos de televisão também possuem 
um formato retangular e os conteúdos transmitidos também são 
baseados em geometria. E nesses últimos anos, a computação 
gráfica, também baseada em geometria, está tomando cada vez 
proporções cada vez maiores. 
Vamos assistir a um vídeo no qual é possível perceber as formas 
geométricas em um ambiente e um que mostra a importância do 
triângulo na construção e estruturas estáveis: 
https://www.youtube.com/watch?v=y5kTMaV_Xfw 
https://www.youtube.com/watch?v=_7yXoZnSTBM 
Em particular, quando falamos em Geometria Analítica, estamos nos 
referindo a uma forma algébrica de resolvermos problemas de 
geometria, ou seja, em uma forma de resolver esses problemas 
utilizando fórmulas específicas e cálculos matemáticos, na maioria das 
vezes elementares. 
Inicialmente, problemas de geometria eram resolvidos com o uso de 
instrumentos tais como régua e compasso. Com o passar do tempo, 
esses problemas passaram a ser resolvidos com o uso da álgebra. 
Essa relação entre geometria e álgebra teve início no século XVII com 
René Descartes, que formalizou os princípios matemáticos 
necessários para que fosse possível analisar as propriedades de 
ponto, reta e circunferência. 
Descartes utilizava um sistema de coordenadas e com isso era 
possível localizar pontos em um plano e também pontos no espaço. 
Esses sistemas de coordenadas permitem que, nos dias de hoje, 
possamos, por exemplo, localizar objetos em um plano ou em um 
sistema tridimensional, utilizar um dispositivo eletrônico e muitas 
outras aplicações. 
Por meio da geometria analítica também foi possível ampliar todo esse 
estudo para contextos que não possuem uma representação 
geométrica. Podemos, por exemplo, estudar situações que com 
quatro, cinco, seis, ou “n” dimensões bem como suas aplicações 
práticas tais como a computação, robótica etc., mas que não há 
representação geométrica nestes casos. 
 
 
Os vídeos a seguir nos mostram de maneira interessante temas 
relacionados ao plano cartesiano: 
https://www.youtube.com/watch?v=5g451_pFqRU 
https://www.youtube.com/watch?v=v8z3TNaD1yk 
Com tanto potencial, a geometria analítica deu suporte ao 
desenvolvimento do cálculo diferencial e integral como é conhecido 
nos dias de hoje, ocorrido a partir do século XVII, e que promoveu 
diversos avanços científicos e tecnológicos. 
A partir do sistema de coordenadas cartesianas, denominado dessa 
maneira em homenagem a René Descartes, surgiram também as 
primeiras abordagens envolvendo vetores que são o tema dessa aula. 
Falaremos sobre vetores mais detalhadamente a seguir, mas, 
antecipando algumas explicações, os vetores são amplamente 
utilizados na física e em outras áreas do conhecimento. 
Em diversas situações do cotidiano nos deparamos com problemas 
que envolvem vetores. Muitos filmes utilizam a computação gráfica 
como recurso para a criação de cenas. Um desses filmes é o Mar em 
Fúria que teve muitas cenas feitas com o uso do software Maya. 
Uma das tarefas da equipe era simular os diferentes movimentos das 
ondas do oceano. Para isso, as diversas forças que atuam sobre as 
águas são representadas na figura a seguir. 
 
Em um outro modelo, temos a soma dos vetores associados à 
turbulência, ao vento e à gravidade que resultam na força total das 
águas. 
 
Pensando nisso, é gerada uma malha que serve de estrutura para as 
águas do oceano. O movimento dessa malha implica no respectivo 
movimento do oceano criado computacionalmente. 
 
Vamos ver a seguir um quadro do resultado final: 
 
 
 
Vetores: Perspectiva Geométrica, Conceitos 
Iniciais e Módulo de Vetores 
Vetores 
A distinção entre grandezas escalares e grandezas vetoriais é 
fundamental para a compreensão do conceito de vetor. Temperatura, 
massa e tempo são três exemplos de grandezas escalares: estão bem 
definidas apenas pela sua intensidade. 
Velocidade e aceleração são exemplos de grandezas vetoriais, isto é, 
para estarem bem definidas, além da intensidade são necessários a 
direção e o sentido. Os veículos representados na figura possuem 
velocidades com a mesma intensidade, 30 km/h, mas direções e 
sentidos diferentes. 
 
As setas, segmentos de reta orientados, são usadas para representar 
a intensidade da velocidade (quanto maior a seta, maior a intensidade 
do vetor), a direção e o sentido. As setas representam o vetor 
velocidade de cada veículo e podem ser usadas para uma possível 
modelagem desta situação prática, como a seguir: 
 
Módulo de um vetor 
A seta representa o vetor; seu comprimento indica a intensidade, 
também chamada de módulo do vetor. Este comprimento pode ser 
determinado como a seguir, sendo o nome do vetor representado pela 
seta e o seu comprimento: 
 
Se as medidas e forem conhecidas, o valor de pode ser 
determinado pela aplicação do Teorema de Pitágoras: 
 
 
 
 
Exemplo 1: Determine o 
módulo do vetor indicado 
na figura a seguir.Pode-se calcular o módulo do vetor fazendo-se: 
O módulo de um vetor é obtido a partir da fórmula: 
 
 
Como e , vamos substituir esses valores nas 
respectivas posições de e : 
 
O que resulta em: 
 
 
Em seguida devemos elevar 5 ao quadrado e 12 ao quadrado, o que 
resulta em 25 e 144, respectivamente: 
 
 
Somando 25 e 144, temos 25+144=169: 
 
Para encontrarmos o valor do módulo do vetor , vamos calcular a 
raiz quadrada de 169, o que é igual a 13: 
 
Logo, o módulo de , representado por , é igual a 13. 
 
Exemplo 2: Determine o módulo do vetor indicado na figura a 
seguir. 
 
Pode-se calcular o módulo do vetor fazendo-se: 
Vamos calcular o módulo de utilizando a fórmula: 
 
 
Substituindo por 3 e por 2, temos: 
 
 
Elevando 3 ao quadrado e 2 ao quadrado, temos: 
 
 
Donde: 
 
 
 
O próximo passo é calcularmos a raiz quadrada de 13: 
 
Portanto o módulo de , corresponde a aproximadamente 3,6. 
 
Exemplo 3: Determine o módulo do vetor indicado na figura a seguir. 
 
Pode-se calcular o módulo do vetor fazendo-se: 
Para calcularmos o módulo de vamos utilizar a fórmula: 
 
 
Substituindo por 3 e por 3, temos: 
 
 
Elevando 3 ao quadrado, temos: 
 
 
Que corresponde a: 
 
 
Calculando a raiz quadrada de 18, temos: 
 
 
Logo, o módulo de corresponde a aproximadamente 4,24. 
Exemplo 4: Determine o módulo do vetor indicado na figura abaixo. 
 
Pode-se calcular o módulo do vetor fazendo-se: 
Sabemos que o módulo consiste no comprimento do vetor . Para 
calcularmos esse comprimento, podemos utilizar a fórmula: 
 
Como = 4 e = 3, vamos substituir esses valores na expressão: 
 
Fazendo essa substituição, temos: 
 
O próximo passo é elevarmos 4 ao quadrado e também 3 ao quadrado 
que resultam, respectivamente, em 16 e 9: 
 
Somando 16 e 9, temos 16+9=25: 
 
 
 
Para, finalmente, encontrarmos o valor do módulo do vetor , 
precisamos calcular a raiz quadrada de 25, o que é igual a 5 
 
Portanto o módulo de , representado por , é igual a 5. 
Quer rever o conteúdo desta parte da aula com as explicações que o 
professor Nacib Mattar Jr. preparou? Para isso, consulte o material on-
line! 
 
Vetores: Perspectiva Geométrica, Direção, 
Sentido e Vetores Equipolentes 
Inclinação e sentido de um vetor 
A inclinação do vetor, em geral, é medida em relação à horizontal, ou 
seja, determina-se a inclinação do vetor pela mensuração do ângulo 
 , indicado na figura a seguir, considerando-se positivo o sentido 
anti-horário: 
 
Novamente, sendo conhecidas as medidas e , o valor do 
ângulo , também chamado de argumento do vetor, pode ser 
determinado pelas relações trigonométricas do triângulo retângulo: 
 
O sentido do vetor é indicado pela orientação da seta. Observe os dois 
vetores a seguir com mesmo módulo e direção, mas sentidos 
contrários: 
 
 
Exemplo 1: Determine o módulo e a inclinação do vetor 
indicado a seguir. 
 
Pode-se calcular o módulo do vetor fazendo-se: 
 
Como = 5 e = 5, temos: 
 
Elevando 5 ao quadrado, temos 25: 
 
 
 
Donde: 
 
Calculando a raiz quadrada de 50 e considerando duas casas 
decimais após a vírgula, temos: 
 
Pode-se determinar a inclinação do vetor (ângulo ) fazendo-se: 
Para determinarmos a inclinação do vetor , podemos utilizar a 
relação trigonométrica: 
 
Como = 5 e = 5, vamos substituir esses valores na fórmula: 
 
O que resulta em: 
 
Dividindo 5 por 5, o resultado é igual a 1. Sendo assim, podemos 
escrever: 
 
Considerando a tabela dos arcos notáveis: 
 
 
Podemos concluir que = 45°, o que corresponde à inclinação do 
vetor . 
 
Exemplo 2: Determine o módulo e a direção do vetor 
representado a seguir. 
 
O valor de pode ser determinado como a seguir: 
 
Como = e = 1, temos: 
 
Elevando ao quadrado, temos 3 e 1 ao quadrado é igual a 1: 
 
 
 
Que resulta em: 
 
Calculando a raiz quadrada de 4, temos: 
 
 
O ângulo pode ser determinado pelas relações trigonométricas no 
triângulo retângulo, por exemplo: 
 
 
Exemplo 3: Determine o módulo e a inclinação do vetor indicado 
na figura a seguir. 
 
 
Pode-se calcular o módulo do vetor fazendo-se: 
 
 
Como = e = 1, temos: 
 
 
Elevando ao quadrado, temos 3 e 1 ao quadrado é igual a 1: 
 
 
Que resulta em: 
 
 
Calculando a raiz quadrada de 4, temos: 
 
 
A inclinação do vetor (ângulo ) pode ser obtida a partir da 
determinação do ângulo indicado na figura a seguir, já que é 
ângulo interno do triângulo retângulo: 
 
Observe que + = 180º , ou ainda: = 180º - . 
Cálculo de : 
 
 
 
Assim: 
 = 180º - 
 = 180º - 30º 
 = 150º 
 
Exemplo 4: Determine o módulo do vetor indicado na figura a 
seguir. 
 
Pode-se calcular o módulo do vetor fazendo: 
 
 
Como = 1 e = , temos: 
 
Elevando 1 ao quadrado, temos 1 e ao quadrado é igual a 3: 
 
 
Que resulta em: 
 
 
Logo: 
 
 
A inclinação do vetor (ângulo ) pode ser obtida a partir da 
determinação do ângulo indicado na figura a seguir, já que é 
ângulo interno do triângulo retângulo: 
 
Observe que: 
 
 = 180º + , 
ou ainda: 
 = - 180º. 
Cálculo de : 
 
 
 
Assim: 
 = 180º + 
 = 180º + 60º 
 = 240º 
Exemplo 5: Determine a inclinação do vetor : 
 
 
Para determinarmos a inclinação do vetor , podemos utilizar a 
relação: 
 
Pois temos, nesse exercício, os valores de e . Sabemos que é 
o cateto oposto ao ângulo e que é o cateto adjacente a esse 
ângulo. Logo, = 4 e = 3. Substituindo esses valores na fórmula: 
 
Temos: 
 
Dividindo 3 por 4, o resultado é 0,75, ou seja: 
 
 
Precisamos agora determinar qual é o ângulo cuja tangente é igual a 
0,75. Para isso, vamos utilizar a função inversa , também 
conhecida como arco tangente e representada por . 
 
O cálculo do arco tangente é feito facilmente com o uso de uma 
calculadora científica. Para isso, o valor de é dado por: 
 
 = 0,75 
Nesse caso, o valor de é 36,87°. Portanto: 
 = 36,87° 
Obs.: O valor de , com mais casas decimais, é 36,8698976... 
 
Exemplo 6: Sabendo que o módulo do vetor = (7, ) é igual a 
12,2066, determine o valor de . 
 
Sabemos que 
Substituindo por 7, por e por 12,2066, temos: 
 
Para obtermos o valor e vamos, inicialmente, calcular o valor de 72 
 
O próximo passo é elevarmos os dois membros ao quadrado para 
que possamos eliminar a raiz que está no segundo membro: 
 
 
 
Calculando 12,20662 e simplificando a raiz com a potência, temos: 
 
Como 149,0011 é igual a 49 + 2, podemos escrever, 
equivalentemente, que 49 + 2 é igual a 149,0011: 
 
Subtraindo 49 dos dois membros, temos: 
 
Que resulta em: 
 
Vamos agora extrair a raiz quadrada dos dois membros 
 
Isso nos leva a: 
 
Logo, = 10. Graficamente, o vetor é representado como segue 
 
Para calcularmos o arco tangente, podemos utilizar uma calculadora 
científica. 
Nesse caso, utilizaremos as teclas e . 
 
Dependendo do modelo da calculadora, primeiro iremos fazer a 
divisão de por . Depois deveremos pressionar a tecla [SHIFT] e 
em seguida a tecla [tan-1]. 
 
Em outros modelos, primeiro pressionamos a tecla [SHIFT], em 
seguida a tecla [tan-1] e depois digitamos, entre parênteses, a divisão 
de por . 
Veja como é simples: 
1° Caso: [ 3 ] [ ÷ ] [ 4 ] [ = ] [ SHIFT ] [ tan-1 ] 
2° Caso: [ SHIFT ] [ tan-1 ] [ ( ] [3 ] [ ÷ ] [ 4 ] [ ) ] [ = ] 
Obs.: Dependendo do modelo da calculadora, vamos encontrar a 
tecla [ 2ndf ] no lugar da tecla [ SHIFT ]. 
 
 
Exemplo 7: Determine o módulo e a inclinação do vetor : 
 
Nesse exercício temos dois itens a serem calculados: o módulo e a 
inclinação do vetor. Para calcularmos o módulo de , vamos utilizar 
a fórmula: 
 
É importante ressaltar que = 9 e = 5. Vamos agora substituir 
esses valores na fórmula: 
 
Substituindo por 9 e por 5, temos: 
 
Ao elevarmos 9 e 5 ao quadrado, temos, respectivamente, em 81 e 
25. Logo: 
 
Efetuando a soma, temos 81+25 que é igual a 106: 
 
O próximo passo é calcularmos a raiz quadrada de 106. Com o 
auxílio de uma calculadora, o resultado é 10,3: 
 
Sendo assim, o módulo de é igual a 10,3. Note que temos as 
componentes do vetor e também o módulo de . Por isso, para 
calcularmos a inclinação do vetor , podemos usar uma das 
seguintes relações: 
 
Vamos utilizar a relação 
 
Inicialmente vamos considerar o ângulo indicado na figura a 
seguir: 
 
Para que possamos calcular o valor de , precisaremos calcular o 
valor de . Como + = 180º , temos que = 180º - . Para 
calcularmos , basta utilizarmos a relação: 
 
Substituindo por 9 e por 5 na fórmula, temos: 
 
Efetuando a divisão de 5 por 9, temos 0,56. Portanto: 
 
Vamos determinar qual é o ângulo cuja tangente é igual a 0,56. 
Para isso, basta calcularmos o arco tangente de 0,56: 
 
 
 = 0,56 
Com o uso de uma calculadora científica, chegamos à conclusão 
que é igual a 29,25°. Portanto: 
 = 29,25° 
Vamos determinar agora o valor de . Como = 180° - = 29,25°, 
temos 
 = 180° - 29,25° 
Logo: 
 = 150,75° 
Ou seja, a inclinação do vetor é igual a 150,75°. 
 
Exemplo 8: Determine a inclinação do vetor : 
 
Como o vetor está sobre uma reta horizontal e seu sentido é da 
esquerda para a direita, a sua inclinação é igual a zero. Para 
comprovarmos isso, vamos fazer os cálculos necessários. Sabemos 
que: 
 
E que, nessa situação, = 7 e que = 0. 
Substituindo e por 7 e 0, respectivamente, temos: 
 
Dividindo 0 por 7, o resultado é igual a 0: 
 
Para encontrarmos o valor de , vamos calcular o arco tangente de 
0: 
 = 0 
Finalmente, o arco tangente de 0 é igual a 0. 
Logo, = 0. 
Portanto, a inclinação do vetor é igual a 0. 
 
Exemplo 9: Qual é a inclinação do vetor ? 
 
A inclinação do vetor é igual a 180°. Observe que está sobre uma 
reta horizontal e o sentido de é da direita para a esquerda. 
 
Exemplo 10: Determine as componentes do vetor , sabendo que 
seu módulo é igual a 17 e sua inclinação é igual a 60°. 
Se conhecemos o módulo do vetor e a sua inclinação, podemos 
utilizar as relações a seguir para encontrarmos as componentes 
 e do vetor . 
 
Sabemos que = 60° e que = 17. Inicialmente, vamos calcular o 
valor de : 
 
 
 
O primeiro passo é substituirmos os valores de e de por 60° e 
17, respectivamente: 
 
Como: 
 
Podemos escrever: 
 
Multiplicando por 2 e por 17, temos: 
 
Dividindo ambos os membros por 2, temos: 
 
Para obtermos o valor de b na forma decimal, basta calcularmos o 
valor da raiz quadrada de 3, multiplicarmos esse resultado por 17 e, 
depois, dividirmos esse valor por 2: 
 = 14,72 
O cálculo de pode ser feito de forma análoga ao cálculo de b. Para 
isso, vamos utilizar a relação: 
 
Substituindo por 60° e por 17 temos: 
 
Vamos agora substituir cos(60°) por : 
 
Multiplicaremos por 2 e 17 por 1: 
 
Donde: 
 
Dividindo ambos os membros por 2, temos: 
 
Finalmente, dividindo 17 por 2, temos o valor de : 
 = 8,5 
Sendo assim, as componentes do vetor são: 
 
 = 8,5 e = 14,72. 
 
A representação de é dada por: 
 
 
 
 
 
 
Colocando em Prática 
Que tal praticar um pouco o conteúdo que foi visto nestes exemplos? 
Prática 1 
Qual é o módulo e a inclinação do vetor indicado na figura a 
seguir? 
 
O módulo desse vetor é de 4 u.c. e sua inclinação é de 0º. 
Prática 2 
Qual é o módulo e a inclinação do vetor indicado na figura a 
seguir? 
 
Esse vetor possui módulo igual a 2 e inclinação de 270º. 
 
Prática 3 
Desenhe uma linha horizontal. Em seguida, marque um ponto 
qualquer desta linha e denomine este ponto de O. Construa um 
vetor 1 com ponto inicial em O que tenha módulo igual a 2 e 180º 
de inclinação. 
 
Prática 4 
Faça o mesmo procedimento do exemplo anterior, mas construa um 
vetor 2 com ponto inicial em O que tenha módulo igual a 2 e 90º de 
inclinação. 
 
Uma solução possível: 
 
Vetores equipolentes 
Vetores que possuem módulo, direção e sentido coincidentes são 
denominados de vetores equipolentes. Por exemplo, este é o caso 
dos três vetores na figura a seguir: 
 
 
As propriedades de um destes vetores são comuns a todos os 
outros. Pode-se dizer que cada vetor representa o conjunto de todos 
os vetores equipolentes a ele. 
 
 
 
Sugestões de Estudo 
Confira agora algumas sugestões para aprimorar ainda mais seus 
conhecimentos! 
Aulas on-line de Geometria Analítica: 
https://www.youtube.com/watch?v=pXtCSwIiRh4&list=PLB7242F99B
0310710 
Grandezas Escalares e Vetoriais: 
https://www.youtube.com/watch?v=J8PZvr_y02k 
Veja só este site sobre as Grandezas Vetoriais: 
http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/c
apitulos/cap91s3.html 
Para finalizar, acesse o material on-line e assista ao vídeo do 
professor para recapitular o conteúdo visto nessa parte da aula. 
Confira atentamente para não perder os detalhes! 
Vetores: Perspectiva Geométrica, Produto de 
um Vetor por um Escalar 
Produto de vetor por um número real (escalar) 
A partir de um vetor podem ser obtidos outros vetores pela 
multiplicação do primeiro por um número real: esta operação é 
denominada de produto de vetor por escalar. 
Por exemplo, se um vetor for multiplicado por 2, seu comprimento 
(módulo) duplicará, mas serão mantidos a direção e o sentido: 
 
Observe que, na situação a seguir, o vetor velocidade do segundo 
veículo é duas vezes maior do que do primeiro, mas ambos os 
vetores possuem mesma inclinação e sentido: 
 
O exemplo a seguir apresenta uma situação semelhante: um vetor 
e o vetor obtido ao se multiplicar por 3, isto é, o vetor 3. : 
 
Compare o módulo dos dois vetores: 
 
 
 
Ou seja, o módulo do vetor 3. é igual ao triplo do módulo do vetor 
: |3 . | = 3. . Observe ainda que, por semelhança de triângulos, 
a inclinação dos dois vetores é a mesma e que o sentido se manteve. 
Caso um vetor seja multiplicado por um escalar positivo e menor 
do que 1 o seu comprimento diminuirá. Observe: 
 
 
 
 
O vetor possui direção e sentido coincidentes com , mas 
seu módulo é igual a um terço do módulo de : | . | = . 
 
Exemplo 1: Vetores e 2. . 
 
 
Exemplo 2: Vetores e . . 
 
Ao se multiplicar um vetor por um escalar negativo o sentido do vetor 
resultante estará invertido em relação ao inicial. 
Observe o exemplo em que a partir do vetor obteve-se o vetor -2.
 ou apenas - : 
 
Dado um vetor , o vetor k. , para algum k ∈ , é sempre colinear 
(ou paralelo) ao vetor inicial . E ainda, é válida a relação: |k. | = 
|k|. . Os vetores k. são chamados de múltiplos de . 
 
Exemplo 3: vetor e vetores do tipo k. (múltiplos de ), todos 
sobre uma mesma reta (colineares): 
 
 
 
 
Exemplo 4: Desenhe uma linha horizontal, marque um ponto 
qualquer desta linha e denomine esse ponto de O. 
Construaum vetor com ponto inicial em O que tenha módulo igual 
a 2 e 30º de inclinação. Em seguida, baseando-se no vetor , 
construa também os vetores 3. e -2. . 
Uma resolução possível: 
A figura a seguir ilustra a conclusão da primeira etapa do 
procedimento descrito no enunciado (construção do vetor ): 
 
Com a construção dos vetores 3. e -2. tem-se: 
 
 
Obs.1: , 3. e -2. são vetores colineares (estão sobre uma 
mesma reta). Pode-se dizer também que esses três vetores são 
paralelos ou ainda múltiplos entre si. 
Obs.2: lembre-se que |k. | = |k|. . 
Por isso, o módulo de 3. é o triplo do módulo de , isto é: |3. | = 
3. . 
E também, o módulo de -2 é o dobro do módulo de 
: |-2 | = |-2|. . = 2. 
 
Chegamos ao final de mais uma parte desta aula! Que tal 
acompanhar as explicações do professor Nacib Mattar Jr.? Acesse o 
material on-line e confira o vídeo sobre esse tema! 
 
Vetores: Perspectiva Geométrica, Adição e 
Subtração entre Vetores 
Adição de vetores 
Dados dois vetores não-paralelos, denominados de 1 e 2, o 
resultado de 1 + 2 é também um vetor, denominado de vetor 
resultante. 
Por definição, para se obter o vetor resultante da soma 1 + 2, 
deve-se tomar o vetor equipolente a 2 cujo ponto inicial coincida 
com o ponto final de 1, e então, o vetor resultante será o de ponto 
inicial coincidente com o ponto inicial de 1 e ponto final coincidente 
com o ponto final de 2. Observe: 
 
 
 
Também é possível obter o vetor resultante da soma 1 + 2 por 
meio do vetor equipolente a 1 cujo ponto inicial coincida com o 
ponto final de 2. Neste caso, o vetor resultante será o de ponto 
inicial coincidente com o ponto inicial de 2 e ponto final coincidente 
com o ponto final de 1. Observe: 
 
Observe os dois casos representados em uma única figura: 
 
Os vetores iniciais formam as arestas de um paralelogramo enquanto 
que a uma das diagonais é formada pelo vetor resultante da soma. 
 
Exemplo 1: a partir de 1 e 2, determinar 1 + 2. 
 
Exemplo 2: a partir de 1 e 2, determinar 1 + 2. 
 
 
 
 
Caso sejam paralelos os vetores iniciais, 1 e 2, não se formará o 
paralelogramo e o vetor resultante da soma pode ser obtido como a 
seguir: 
Vetores 1 e 2 paralelos e de mesmo sentido: 
Vetores 1 e 2 paralelos de sentidos opostos: 
 
 
 
Exemplo 3: Determine + , dados os vetores e na figura a 
seguir. 
 
O vetor resultante + pode ser obtido fazendo-se: 
 
 
Exemplo 4: Dados os vetores e na figura a seguir, determine 
 + sabendo que são paralelas as retas r e s. 
 
 
O vetor resultante + pode ser obtido fazendo-se: 
 
Observe que a reta suporte do vetor resultante ( + ) é também 
paralela a r e s. 
 
1. O quadrado abaixo apresenta a posição dos pontos A a P. 
 
 
 
 
 
a) Na figura abaixo temos a representação dos vetores e . 
Como ambos têm a mesma origem, podemos utilizar a regra do 
paralelogramo para encontrarmos a soma. Logo, + = . 
 
b) Os vetores e estão representados na figura abaixo. 
 
Para podermos encontrar a soma desses vetores, vamos coincidir a 
origem do vetor com a extremidade do vetor . 
 
A soma + consiste no vetor . 
 
Uma outra alternativa é fazermos a origem do vetor coincidir 
com a extremidade do vetor . 
 
Nesse caso a soma + é representada pelo vetor . 
 
c) A soma + pode ser obtida pela regra do paralelogramo, 
pois e têm a mesma origem. 
 
 
Nesse caso, o resultado da soma é o vetor . 
 
 
 
d) A figura abaixo ilustra os vetores e . 
 
Vamos representar o vetor de modo que a sua origem coincida 
com a extremidade do vetor . 
 
 
Fazendo isso, temos que a soma + é igual a . 
 
e) Utilizando a regra do paralelogramo, o resultado de + 
é o vetor . 
 
2. Considere os vetores e representados a seguir. 
 
Determine a soma + . 
A soma + é obtida a partir das somas das componentes dos 
vetores e , ou seja, precisamos calcular 4 + 6 e 5 + 3, o que resulta 
em 10 e 8, respectivamente. 
 
A figura abaixo ilustra os vetores e e a soma + . 
 
 
 
Subtração de vetores 
A subtração (ou diferença) entre dois vetores: 1 - 2pode ser 
entendida como a adição de 1 com o vetor oposto de 2, isto é: 1 + 
(- 2): 
 
Observe que 1 - 2 também pode ser obtido pela Regra do 
Paralelogramo, mas, neste caso, a outra diagonal do paralelogramo 
será o vetor resultante: 
 
Pode-se resumir a Regra do Paralelogramo, para a adição e subtração 
de vetores, pelo desenho a seguir: 
 
1. O quadrado abaixo apresenta a posição dos pontos A a P. 
 
Determine o vetor associado a cada uma das seguintes operações. 
 
 
a) A figura a seguir apresenta os vetores e . 
 
Para calcularmos - vamos determinar o oposto do 
vetor , o que corresponde ao vetor - , representado na figura 
abaixo. 
 
 
 
 
A subtração - corresponde à soma + ( - ), o que 
resulta no vetor . Observe que a origem do vetor - coincide 
com a extremidade do vetor - . 
b) Inicialmente, vamos representar os vetores e . 
 
 
Como - corresponde a + (- ), basta representarmos a 
origem do vetor - coincidindo com a extremidade do vetor . 
 
Os dois vetores têm mesma direção e módulo, mas sentidos opostos. 
 
Logo, - = 
 
 
c) A representação dos vetores e está na figura a seguir. 
 
 
 
Fazendo - = + (- ), e representando o vetor - 
de modo que sua origem coincida com a extremidade de , temos 
que - = . 
 
2. Calcule a diferença - onde e são dados a seguir. 
 
 
O cálculo de - é dado pela soma de e - , ou seja, + (- ). 
Vamos calcular 4 - 6 e5 - 3. Logo, temos como resultado, um vetor 
cuja extremidade está em x = - 2 e y = 2. 
 
Propriedades da adição de vetores 
Dados três vetores, 1, 2 e 3 as seguintes propriedades são 
válidas: 
i) Elemento neutro: 1 + = 
ii) Elemento oposto: 1 + (- 1) = 
iii) Comutativa: 1 + 2 = 2 + 1 
iv) Associativa: 1 + ( 2 + 3) = ( 1 + 2) + 3 
 
Acessando o material on-line, assista ao vídeo do professor Nacib 
Mattar Jr. para apreender ainda mais o conteúdo visto nesta parte da 
aula! 
 
Perspectiva Geométrica, Combinação Linear de 
Vetores 
Combinação Linear de Vetores 
Quando um vetor pode ser obtido a partir da soma de outros vetores 
diz-se que este vetor é uma combinação linear dos demais. 
Formalmente, pode-se dizer que é uma combinação linear dos 
vetores 1, 2, 3, ..., n se = a1 . 1 + a2 . 2 + a3 . 3 + ... 
+ an . n onde a1, a2, a3 ... an ∈ e vice-versa. 
 
Exemplo 1: é uma combinação linear dos vetores: 
1, 2, 3, 4, 5, : = 1 . 1 + 2 . 2 + 4 . 3 + 1 . 4 + (- 3) 5 
 
 
 
Observe que dados dois vetores 1 e 2, o vetor resultante da 
soma, = 1 + 2, é uma combinação linear de 1 e 2, já que 1 . 
1 + 1 . 2 = : 
 
 
Exemplo 2: Dados os vetores e , representados a seguir, 
determine o resultado da combinação linear dada por 2 - 3 . 
 
O resultado da combinação linear 2 - 3 é um vetor: vetor 
resultante = 2 - 3 . 
A partir de e são obtidos os vetores 2 e - 3 : 
 
O vetor pode ser obtido fazendo-se = 2 + (- 3 ), como a seguir: 
 
 
Exemplo 3: Sejam = (1 , 1) e = (3 , 2). Calcule o módulo de 5 + 
4 . 
Para calcularmos o módulo de 5 + 4 , primeiro precisamos obter as 
componentes do vetor 5 + 4 . 
5 + 4 = 5(1,1) + 4(3,2) 
Vamos agora multiplicar cada componente do vetor (1, 1) por 5 e cada 
componente do vetor (3, 2) por 4: 
5 + 4 = (5, 5) + (12, 8) 
 
 
O próximo passo é somarmos as respectivas componentes, ou seja,5+12 e 5+8: 
5 + 4 = (17, 13) 
Agora que já sabemos quais são as componentes de 5 + 4 , 
vamos calcular o seu módulo: 
|5 + 4 | = 
Elevando 17 e 13 ao quadrado, temos: 
|5 + 4 | = 
Vamos agora somar 289 com 169: 
|5 + 4 | = 
Para obtermos o valor de |5 + 4 |, vamos calcular a raiz quadrada 
de 458: 
|5 + 4 | = 21,4 
Portanto, o módulo de |5 + 4 | é igual a 21,4. 
Sugestões de Estudo 
Confira agora algumas sugestões para aprimorar ainda mais seus 
conhecimentos! 
Operações com vetores: 
https://www.youtube.com/watch?v=qJ3lGeA3Ke8 
 
Muito bem! Chegamos ao final desta parte da aula, e também desta 
primeira aula sobre Geometria Analítica! Acessando o material on-line, 
assista ao vídeo do professor Nacib Mattar Jr. e relembre o que foi 
visto até agora. 
Na prática 
Chegou o momento de colocarmos em prática o que vimos até agora! 
Devido à disposição de peças e prateleiras em um armazém, para 
pegar um determinado produto, um operador de empilhadeira faz o 
seguinte trajeto: Desloca-se 20 metros para o norte, 10 metros para o 
leste, 5 metros para o sul e 8 metros para o leste. 
Qual é a distância que o operador de empilhadeira teria 
percorrido se o trajeto fosse em linha reta? 
A imagem a seguir ilustra o deslocamento desse operador: 
 
Para sabermos a distância entre o ponto final e o ponto inicial, basta 
calcularmos o módulo do vetor que aparece em vermelho na figura: 
22 1518|| d
 
225324|| d
 
549|| d 
43,23|| d
 
Logo, a distância entre o ponto final e o ponto inicial corresponde a 
23,43 metros. 
 
 
Síntese 
Chegamos ao final da aula! 
Após os estudos você será capaz de reconhecer o que são vetores, 
realizar algumas operações vetoriais, calcular o módulo e a inclinação 
de um vetor além de calcular o produto escalar, a soma e a subtração 
entre vetores e realizar o processo de combinação linear de vetores. 
 
Até a próxima! 
 
Referências 
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: 
Pearson, 2014.

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