MF_-_Juros_Compostos_1

Prévia do material em texto

1 
Profa. Fabrícia de Farias 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
Os juros compostos são aqueles calculados sobre a soma do 
capital inicial mais os juros dos períodos anteriores. 
Neste regime, os juros gerados nos períodos anteriores passam 
a render juros, dizendo assim que os juros são capitalizados, 
isto é, passam a se comportar como principal da dívida: são 
incorporados à dívida, passando a render juros de acordo com 
as condições contratuais estabelecidas. 
2 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
• Mecanismo de remuneração que computa juros sobre o capital 
inicial e sobre os juros previamente auferidos; 
• Há o cálculo de “juros sobre juros”; 
• Capital cresce exponencialmente em progressão geométrica; 
• Regime mais comum no dia-a-dia, no sistema financeiro e no 
cálculo econômico. 
Profa. Fabrícia de Farias 
Diferença entre os Regimes de Capitalização 
• Ex.: Seja um capital de R$ 1.000 aplicado à taxa de 20% a.a. 
por um período de 4 anos a juros simples e compostos. 
 C0 = 1.000 i = 20% a.a. n = 4 anos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Juros simples Juros compostos 
N Juro por período Montante Juro por período Montante 
1 1.000 x 0,2 = 200 1.200 1.000 x 0,2 = 200 1.200 
2 1.000 x 0,2 = 200 1.400 1.200 x 0,2 = 240 1.440 
3 1.000 x 0,2 = 200 1.600 1.440 x 0,2 = 288 1.728 
4 1.000 x 0,2 = 200 1.800 1.728 x 0,2 = 346 2.074 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
3 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
Montante 
O montante de um principal "P", colocado a render juros à taxa 
"i" de juros compostos durante "n" períodos de capitalização, é a 
soma desse principal com os juros que lhe são devidos no fim 
do prazo de aplicação. 
Seja "P" o capital (ou principal) no começo do primeiro período 
de juros e "i" a taxa de juros por período de capitalização, o 
valor acumulado em cada período nada mais é do o valor 
acumulado do período anterior, portanto os valores acumulados 
nos finais dos períodos sucessivos de juros são: 
 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
No final do 1º período: 
P1 = P + J - > P1 = P + P i 
colocando P em evidência fica: P1 = P (1 + i) 
 
No final do 2º período: 
P2 = P1 + J - > P2 = P1 + P1 i = P1 (1 + i) 
P2 = P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i)
2 
 
No final do 3º período: 
P3 = P2 (1 + i) = P1 (1 + i)(1 + i) 
P (1 + i) (1 + i) (1 + i) = P (1 + i)3 
 
4 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
Assim sendo, vemos que os valores sucessivos são 
acumulados, 
 
S = P (1 + i)n 
 
Onde: 
n: Número de Períodos de Capitalização. 
i: Taxa Efetiva de Juros (Taxa por Período de Capitalização). 
S: Montante, Valor Acumulado, Valor Futuro 
P: Principal, Capital, Valor Descontado, Valor Atual 
(1 + i)n: Fator de Acumulação a Juros Compostos ou Valor 
Acumulado de $ 1,00. 
 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
Exemplo: 
1. Sabendo que o principal é $ 1.500,00, o prazo de aplicação 3 
anos e a taxa de juros compostos de 10% a.a, qual é o valor do 
montante? 
 
P = $ 1.500,00 prazo = n = 3 anos i = 10% a.a. S = ? 
 
Solução: 
S = P (1 + i)n "i ": taxa efetiva e unitária 
S = 1.500,00 (1 + 0,1)3 
S = $ 1.996,50 
 
 
5 
Profa. Fabrícia de Farias 
Juros Compostos – Exercícios 
1. Calcular o fator de acumulação a juros compostos sendo que o 
prazo é 12 trimestres e a taxa 4% a.t. 
i = 4% a.t n = 12 trim. (1 + i)n = ? 
 
Solução: fator = (1 + i)n 
fator = (1 + 0,04)12 
fator = 1,6010 
 
2. Um comerciante toma emprestado $ 3.500,00 a juros de 3,5% a.m. 
pelo prazo de 18 meses com capitalização composta. Qual o montante 
a ser devolvido? 
i = 3,5% a.m. P = $ 3.500,00 n = 18 m. S = ? 
 
Solução: S = P (1 + i)n 
S = 3.500,00 (1 + 0,035)18 
S = $ 6.501,21 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
Considerações sobre as Taxas de Juros 
 
1. Taxa Nominal e Taxa Efetiva 
 
Os conceitos de taxa nominal e taxa efetiva de juros no regime 
de juros compostos são os mesmos que os do sistema de juros 
simples. 
 
Além das taxas, comissões, juros antecipados, artifícios nos 
cálculos de juros, costuma-se utilizar taxas para um período e 
capitalização em período distinto. 
6 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
Como geralmente a taxa de juros contratada numa operação 
financeira é fornecida em termos anuais, e os períodos de 
capitalização são diários, mensais, trimestrais ou semestrais, 
portanto, essa forma de expressar a taxa, faz com que a taxa 
nominal seja divergente da taxa efetiva. 
 
Por convenção, como a taxa declarada será sempre a taxa 
nominal e a taxa efetiva é a taxa de rendimento que a operação 
financeira proporciona efetivamente, então a taxa efetiva 
geralmente não é igual a taxa nominal. Exemplos: 
1) 90% ao ano, capitalizados diariamente; 
2) 18% ao ano, capitalizados mensalmente; 
3) 36% ao ano, capitalizados semestralmente. 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
A taxa nominal, embora muito utilizada no mercado, não poderá 
ser usada nos cálculos financeiros, (por não proporcionar 
efetivamente o rendimento), e sim a taxa efetiva que está 
embutida na taxa nominal, pois é esta que é efetivamente 
aplicada em cada período de capitalização. 
 
A taxa efetiva é aquela em que a unidade de referência de seu 
tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de 
capitalização, isto é, é a taxa por período de juros (ou período 
de capitalização). Exemplos: 
1) 12% ao trimestre, capitalizados trimestralmente 
2) 24% ao ano, capitalizados anualmente 
3) 10% ao mês, capitalizados mensalmente. 
Deverson
Highlight
Deverson
Highlight
Deverson
Highlight
Deverson
Highlight
7 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
Devido a coincidência de medida dos tempos, simplesmente 
costuma-se dizer: 12% ao trimestre, 24% ao ano e 10% ao mês, 
omitindo-se o período de capitalização. 
Então, as taxas efetivas decorrentes das taxa nominais citadas 
anteriormente no exemplo: 
 
1) 90% a.a., capitalizados diariamente, significa uma taxa efetiva de: 
(90% / ano) (1 ano / 360 dias) = 0,25% a.d. - > taxa efetiva 
 
2) 18% ao ano, capitalizados mensalmente, significa uma taxa de: 
(18% / ano) (1 ano / 12 meses) = 1,5% a.m. - > taxa efetiva 
 
3) 36% ao ano, capitalizados semestralmente, significa uma taxa de: 
(36% / ano) (1 ano / 2 sem) = 18% a.s. - > taxa efetiva 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
Observações: 
a) A Taxa Nominal por convenção será sempre proporcional a Taxa 
Efetiva. 
b) Todos os cálculos financeiros devem ser realizados com as taxas 
efetivas correspondentes as taxas nominais de juro. 
 
Exemplo: 
Sabendo-se que o principal é $ 2.500,00, o prazo de aplicação 6 
semestres e a taxa de juros de 10% a.a. capitalizados 
semestralmente, determinar o valor acumulado no final do prazo. 
P = $ 2.500,00 S = ? taxa nominal = 10% a.a. capit. semestralmente 
i = (10%/ano) (1 ano / 2 sem) - > i = 5% a.s. prazo = 6 sem = n 
 
Solução: S = P (1 + i)n 
 S = 2.500,00 (1 + 0,05)6 - > S = $ 3.350,24 
Deverson
Highlight
8 
Profa. Fabrícia de Farias 
Juros Compostos – Exercícios 
3. Qual será o valor de resgate de uma aplicaçãode $ 19.200,00 em 
um fundo de investimento se a rentabilidade do fundo for de 3,75% a.t. 
compostos anualmente e o prazo de 3 anos? 
S = $ 29.200,80 
 
4. Um investidor aplica $ 13.250,00 por 2 anos e 4 meses a uma taxa 
de juros de 48% a.a. capitalizados mensalmente. Determinar o 
montante. 
S = $ 39.732,82 
 
5. Um investidor aplicou $ 10.500,00 em um fundo de investimento por 
3 meses em um banco a uma taxa de 5% a.m. Do montante recebido 
no final da aplicação, ele aplicou 2/5 em uma poupança por um ano 
que pagava taxa de 16% a.t. Quanto receberá pela 2ª. aplicação? 
S1 = $ 12.155,06 / S2= $ 8.803,38 
Profa. Fabrícia de Farias 
Juros Compostos – Exercícios 
6. Calcule a taxa quadrimestral proporcional a taxa anual de 18% no 
regime de capitalização composto. 
Taxa = 6% a.q. capitalizado anualmente 
Deverson
Sticky Note
perguntar a professora, não encontrei este valor 
Deverson
Highlight
9 
Profa. Fabrícia de Farias 
Dúvidas?