07 Nocoes de Estatistica 4 1 (1)

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PM/MG 
Curso de Formação de Soldados 
 
 
1. Visão Conceitual Básica (1.01. População ou Universo; 1.02. Amostragem x Amostra; 1.03. 
Experimento Aleatório; 1.04. Amostragem Aleatória; 1.05. Método Estatístico). 2. Variáveis Aleatórias 
(2.01. A Variável Aleatória Discreta, 2.02. A Variável Aleatória Contínua, 2.03. A Variável Qualitativa). . 1 
 
3.Normas de Apresentação Tabular (3.01. Modelo de uma Tabela; 3.02. Séries/Tabelas Estatísticas; 
3.03. Tipos de Séries Estatísticas; 3.04. Estudo elementar de uma série temporal; 3.05. As variações 
percentuais). ............................................................................................................................................ 7 
 
4. Medidas de Tendência Central (4.01. Média Aritmética, simples e ponderada; 4.02. Propriedades da 
Média Aritmética; 4.03. Vantagens da Média Aritmética; 4.04. Desvantagens da Média Aritmética; 4.05. 
Média Típica; 4.06. Média Atípica; 4.07. Mediana; 4.08. Moda. ............................................................. 16 
 
5.Análise e Interpretação Matemática de Gráficos Estatísticos (5.01. Gráfico de Colunas; 5.02. Gráfico 
Pictórico; 5.03. Gráfico de Setores; 5.04. Gráfico de Linhas). ................................................................. 33 
 
 
 
 
 
 
Candidatos ao Concurso Público, 
O Instituto Maximize Educação disponibiliza o e-mail professores@maxieduca.com.br para dúvidas 
relacionadas ao conteúdo desta apostila como forma de auxiliá-los nos estudos para um bom 
desempenho na prova. 
As dúvidas serão encaminhadas para os professores responsáveis pela matéria, portanto, ao entrar 
em contato, informe: 
- Apostila (concurso e cargo); 
- Disciplina (matéria); 
- Número da página onde se encontra a dúvida; e 
- Qual a dúvida. 
Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhá-las em e-mails separados. O 
professor terá até cinco dias úteis para respondê-la. 
Bons estudos! 
 
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Caro(a) candidato(a), antes de iniciar nosso estudo, queremos nos colocar à sua disposição, durante 
todo o prazo do concurso para auxiliá-lo em suas dúvidas e receber suas sugestões. Muito zelo e técnica 
foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação ou dúvida 
conceitual. Em qualquer situação, solicitamos a comunicação ao nosso serviço de atendimento ao cliente 
para que possamos esclarecê-lo. Entre em contato conosco pelo e-mail: professores @maxieduca.com.br 
 
 
 
CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA 
 
Panorama Histórico 
Todas as ciências têm suas raízes na história do homem. 
Desde a Antiguidade muitos povos já faziam uso dos recursos da Estatística, através de registro de 
número de óbitos, nascimentos, número de habitantes, além das estimativas das riquezas individuais e 
sociais, entre muitas outras. 
Na Idade Média as informações colhidas tinham como finalidade tributária e bélica. 
Somente a partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de fatos sócias, 
originando as primeiras tábuas e tabelas e os primeiros números relativos. 
No século XVII o estudo de tais fatos foi adquirido, aos poucos, feição verdadeiramente científica. 
Godofredo Achenwall batizou a nova ciência (ou método) com o nome de Estatística, determinando o seu 
objetivo e suas relações com as ciências. 
A estatística é, hoje em dia, um instrumento útil e, em alguns casos, indispensável para tomadas de 
decisão em diversos campos: científico, econômico, social, político… 
Todavia, antes de chegarmos à parte de interpretação para tomadas de decisão, há que proceder a 
um indispensável trabalho de recolha e organização de dados, sendo a recolha feita através de 
recenseamentos (ou censos ou levantamentos estatísticos) ou sondagens. 
Estatística pode ser pensada como a ciência de aprendizagem a partir de dados. No nosso cotidiano, 
precisamos tomar decisões, muitas vezes decisões rápidas. 
 
 
Em linhas gerais a Estatística fornece métodos que auxiliam o processo de tomada de decisão através 
da análise dos dados que possuímos. 
Podemos ainda dizer que a Estatística é: 
 
 
 
Divisão da estatística 
 
- Estatística Descritiva: coleta, organização e descrição dos dados. 
 
- Estatística Indutiva ou Inferencial: análise e a interpretação desses dados. 
1. Visão Conceitual Básica (1.01. População ou Universo; 1.02. 
Amostragem x Amostra; 1.03. Experimento Aleatório; 1.04. 
Amostragem Aleatória; 1.05. Método Estatístico). 
2. Variáveis Aleatórias (2.01. A Variável Aleatória Discreta, 2.02. A 
Variável Aleatória Contínua, 2.03. A Variável Qualitativa). 
 
É a ciência que se ocupa de coletar, 
organizar, analisar e interpretar dados para 
que se tomem decisões. 
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Método Estatístico 
Atualmente quase todo acréscimo de conhecimento resulta da observação e do estudo. A verdade é 
que desenvolvemos processos científicos para seu estudo e para adquirirmos tais conhecimentos, ou 
seja desenvolvemos maneiras ou métodos para tais fins. 
 
 
 
- Método experimental: consiste em manter constantes todas as causas (fatores), menos uma, e 
variar esta causa de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos, caso existam. 
Muito utilizado no estudo da Física, da Química etc 
 
- Método estatístico: diante da impossibilidade de manter as causas constantes, admite todas essas 
causas presentes variando-as, registrando essas variações e procurando determinar, no resultado final, 
que influências cabem a cada uma delas. 
 
Fases do método estatístico 
- Coleta de dados: após cuidadoso planejamento e a devida determinação das características 
mensuráveis do fenômeno que se quer pesquisar, damos início à coleta de dados numéricos necessários 
à sua descrição. 
 
A coleta 
pode ser 
 
 
Direta: quando é feita sobre elementos informativos de registro obrigatório 
(nascimento, casamentos e óbitos, importação e exportação de mercadorias), 
dados coletados pelo próprio pesquisador através de inquéritos e 
questionários, como por exemplo o censo demográfico. A coleta direta de 
dados pode ser classificada em fator do tempo: 
(i) contínua (registro) – quando feita continuamente. 
(ii) periódica – quando feita em intervalos constantes de tempo (exemplo o 
censo de 10 em 10 anos, etc) 
(iii) ocasional – quando feita extemporaneamente, a fim de atender uma 
conjuntura ou a uma emergência (caso de epidemias) 
 
Indireta: quando é indeferida de elementos conhecidos (coleta direta) e/ou de 
conhecimento de outros fenômenos relacionados com o fenômeno estudado. 
Exemplo: pesquisas de mortalidade infantil, que é feita através de dados 
colhidos por uma coleta direta (número de nascimentos versus números de 
obtidos de crianças) 
 
- Crítica dos dados: depois de obtidos os dados, os mesmos devem ser cuidadosamente criticados, 
à procura de possível falhas e imperfeições, a fim de não incorrermos em erros grosseiros ou de certo 
vulto, que possam influir sensivelmente nos resultados. 
A crítica é externa quando visa às causas dos erros por parte do informante, por distração ou má 
interpretação das perguntas que lhe foram feitas. 
A crítica é interna quando visa observar os elementos originais dos dados da coleta. 
 
- Apuração dos dados: soma e processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios 
de classificação, que pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica. 
- Exposição ou apresentação de dados: os dados devem ser apresentados sob forma adequada 
(tabelas ou gráficos), tornando mais fácil o exame daquilo que está sendo objeto de tratamento estatístico. 
 
Métodoé um conjunto de meios dispostos 
convenientemente para se chegar a um fim que se deseja. 
 
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- Análise dos resultados: realizadas anteriores (Estatística Descritiva), fazemos uma análise dos 
resultados obtidos, através dos métodos da Estatística Indutiva ou Inferencial, que tem por base a indução 
ou inferência, e tiramos desses resultados conclusões e previsões. 
 
Mais alguns conceitos devem ser aprendidos para darmos continuidade ao nosso entendimento sobre 
Estatística. 
 
- Variáveis: conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. 
As variáveis podem ser: 
1) Qualitativas – quando seus valores são expressos por atributos: sexo (masculino ou feminino), cor 
da pele, entre outros. Dizemos que estamos qualificando. 
2) Quantitativas – quando seus valores são expressos em números (salários dos operários, idade dos 
alunos, etc). Uma variável quantitativa que pode assumir qualquer valor entre dois limites recebe o nome 
de variável contínua; e uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto 
enumerável recebe o nome de variável discreta. 
 
- População estatística ou universo estatístico: conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma 
característica comum. 
Exemplos: estudantes (os que estudam), concurseiros (os que prestam concursos), ... 
Podemos ainda pesquisar uma ou mais características dos elementos de alguma população, as quais 
devem ser perfeitamente definidas. É necessário existir um critério de constituição da população, válido 
para qualquer pessoa, no tempo ou no espaço. 
 
- Amostra: é um subconjunto finito de uma população. 
 
 
 
A Estatística Indutiva tem por objetivo tirar conclusões sobre as populações, com base em resultados 
verificados em amostras retiradas dessa população. É preciso garantir que a amostra possua as mesmas 
características da população, no que diz respeito ao fenômeno que desejamos pesquisar. 
 
Censo: é uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos os componentes da população. 
Principais propriedades: 
- Admite erros processual zero e tem 100% de confiabilidade; 
- É caro; 
- É lento; 
- É quase sempre desatualizado (visto que se realizam em períodos de anos 10 em 10 anos); 
- Nem sempre é viável. 
 
Dados brutos: quando observamos ou fazemos n perguntas as quais nos dão n dados ou respostas, 
obtemos uma sequência de n valores numéricos. A toda sequência denominamos dados brutos. 
 
 
 
Rol: é uma sequência ordenada dos dados brutos. 
Exemplo: Um aluno obteve as seguintes notas no ano letivo em Matemática: 5,5 ; 7 ; 6,5 ; 9 
Os dados brutos é a sequência descrita acima 
Rol: 5,5 – 6,5 – 7 – 9 (ordenação crescente das notas). 
 
Dados brutos é uma sequência de valores numéricos não 
organizados, obtidos diretamente da observação de um 
fenômeno coletivo. 
 
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AMOSTRAGEM 
 
Amostragem é um técnica especial para recolher amostras, que garante, tanto quanto possível, o 
acaso na escolha. 
 
Probabilística (aleatória): A probabilidade de um elemento da população ser escolhido é conhecida. 
Cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser escolhido. 
Não-probabilística (não aleatória): Não se conhece a probabilidade de um elemento ser escolhido 
para participar da amostra. 
 
No quadro abaixo está descrita os métodos de amostragem: 
 
 
 
- Amostragem probabilística 
 
Amostragem casual ou aleatória simples: este tipo de amostragem se assemelha ao sorteio lotérico. 
Ela pode ser realizada numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um 
dispositivo aleatório qualquer, k números dessa sequência, os quais serão pertentes à amostra. 
Exemplo: 15% dos alunos de uma população de notas entre 8 e 10, serão sorteados para receber uma 
bolsa de estudos de inglês. 
 
Vantagens: 
- Facilidade de cálculo estatístico; 
- Probabilidade elevada de compatibilidade dos dados da 
amostra e da população. 
 
 
Desvantagens: 
- Requer listagem da população; 
- Trabalhosa em populações elevadas; 
- Custos elevados se a dispersão da amostra for elevada. 
 
Amostragem sistemática: escolher cada elemento de ordem k. Assemelha-se à amostragem 
aleatória simples, porque inicialmente enumeram-se as unidades da população. Mas difere da aleatória 
porque a seleção da amostra é feita por um processo periódico pré-ordenado. Os elementos da população 
já se acham ordenados, não havendo necessidade de construir um sistema de referência. 
Exemplo: Amostra de 15% dos alunos com déficit de atenção diagnosticado. Sorteia-se um valor de 1 
a 5. Se o sorteado for o 2, incluem-se na amostra o aluno 2, o 7, o 12 e assim por diante de cinco em 
cinco. 
 
 
 
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Amostragem proporcional estratificada: muitas vezes a população se divide em subpopulações – 
estratos, então classificamos a população em, ao menos dois estratos, e extraímos uma amostra de cada 
um. Podemos determinar características como sexo, cor da pele, faixa etária, entre outros. 
Exemplo: Supondo que dos noventa alunos de uma escola, 54 sejam meninos e 36 sejam meninas 
vamos obter a amostra proporcional estratificada de 10% desta população. 
Temos dois estratos: sexo masculino e feminino. 
 
Sexo População 10% Amostra 
M 54 
10𝑥54
100
= 5,4 5 
F 36 
10𝑥36
100
= 3,6 4 
Total 90 
10𝑥90
100
= 9,0 9 
 
Numeramos os alunos de 01 a 90, sendo que de 01 a 54 correspondem aos meninos e de 55 a 90, as 
meninas. 
Para amostragem muito grande também fazemos o uso da Tabela de Números Aleatórios, elaborada 
a fim de facilitar os cálculos, que foi construída de modo que os dez algarismos (0 a 9) são distribuídos 
ao acaso nas linhas e colunas, conforme pode ser visto abaixo: 
 
 
 
Para obtermos os elementos da amostra usando a tabela, sorteamos um algarismo qualquer da 
mesma, a partir do qual iremos considerar números de dois, três ou mais algarismos, conforme nossa 
necessidade. Os números obtidos irão indicar os elementos da amostra. 
 
No nosso exemplo vamos definir como critérios a primeira e a segunda colunas da esquerda, de cima 
para baixo (constituídos de 2 algarismos), obtermos os seguintes números. 
A leitura da tabela pode ser feita horizontalmente (da direita para esquerda ou vice versa), 
verticalmente (de cima para baixo ou vice versa), diagonalmente (no sentido ascendente ou 
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descendente), formando desenho de alguma letra e até mesmo escolhendo uma única linha ou coluna. 
O critério adotado deve ser definido antes do início do processo. 
 
57 28 92 90 80 22 56 79 53 18 53 03 27 05 40 
Eliminamos os números maiores que 90 e os números repetidos. 
 
Assim temos: 
28 22 53 18 03 – para os meninos; 
57 90 80 56 – para as meninas. 
 
Vantagens: 
- Pressupõe um erro de amostragem menor; 
- Assegura uma boa representatividade das variáveis 
estratificadas; 
- Podem empregar-se metodologias diferentes para cada 
estrato; 
- Fácil organização do trabalho de campo. 
 
 
 
Desvantagens: 
- Necessita de maior informação sobre a população; 
- Cálculo estatístico mais complexo. 
 
Amostragem por conglomerado: é uma amostra aleatória de agrupamentos naturais de indivíduos 
(conglomerados) na população. Dividimos em seções a área populacional, selecionamos aleatoriamente 
algumas dessas seções e tomamos todos os elementos das mesmas. 
Exemplo: 
 
O mapa mostra os conglomerados selecionados (neste caso os municípios), que apresentaram a maior 
proporção de casos de dengue confirmados no Estado de São Paulo até março de 2015.Vantagens: 
- Não existem listagem de toda a população; 
- Concentra os trabalhos de campo num número 
limitado de elementos da população. 
 
 
Desvantagens: 
- Maior erro de amostragem; 
- Cálculo estatístico mais complexo na estimação do erro de amostragem. 
 
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. 7 
- Amostragem não-probabilística 
 
Amostragem por cotas: consiste em uma amostragem por julgamento que ocorre em suas etapas. 
Em um primeiro momento, são criadas categorias de controle dos elementos da população e, a seguir, 
selecionam-se os elementos da amostra com base em um julgamento. 
 
Amostragem por julgamento: quando o pesquisador seleciona os elementos mais representativos 
da amostra de acordo com seu julgamento pessoal. Essa amostragem é ideal quando o tamanho da 
população é pequeno e suas características, bem conhecidas. 
 
Amostragem por conveniência: é uma amostra composta de indivíduos que atendem os critérios de 
entrada e que são de fácil acesso do investigador. Para o critério de seleção arrolamos uma amostra 
consecutiva. 
Exemplo: Em uma pesquisa sobre dengue, arrolar os 200 pacientes que receberam diagnostico em 
um hospital. 
 
Vantagens Desvantagens 
- Mais econômica; 
- Fácil administração; 
- Não necessita de 
listagem da população. 
 
- Maior erro de amostragem que 
em amostras aleatórias; 
- Não existem metodologias válidas 
para o cálculo do erro de 
amostragem; 
- Limitação representativa; 
- Maior dificuldade de controle de 
trabalho de campo 
 
- Tamanho da Amostra 
O tamanho da amostra deve ser determinado antes de se iniciar a pesquisa. 
Deve-se usar a maior amostra possível, pois quanto maior a amostra, maior a representatividade da 
população. Amostras menores possuem resultados menos precisos. 
É muito importante usarmos amostras de tamanhos adequados, para que os dados tenham maior 
confiabilidade e precisão. 
Consideramos: 
Amostras grandes: n > 100 
Amostras médias: n > 30 
Amostras pequenas: n < 30 
Amostras muito pequenas: n < 12 
 
- Erros de amostragem 
Diferença randômica(aleatória) entre a amostra e população da qual a amostra foi retirada. O tamanho 
do erro pode ser medido em amostras probabilísticas, expressa como “erro padrão” (ou precisão) de 
média, proporção entre outros. 
Erro padrão da média: é usado para estimar o desvio padrão da distribuição das médias amostrais, 
tanto para populações finitas ou infinitas (será abordado em medidas de dispersão). 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA 
 
Distribuição de Frequência: Quando da análise de dados, é comum procurar conferir certa ordem 
aos números tornando-os visualmente mais amigáveis. O procedimento mais comum é o de divisão por 
classes ou categorias, verificando-se o número de indivíduos pertencentes a cada classe. 
3.Normas de Apresentação Tabular (3.01. Modelo de uma Tabela; 
3.02. Séries/Tabelas Estatísticas; 3.03. Tipos de Séries Estatísticas; 
3.04. Estudo elementar de uma série temporal; 3.05. As variações 
percentuais). 
 
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. 8 
- Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto. 
- Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao menor 
valor das observações: 
- Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao maior 
valor das observações. 
- Definir o número de classes (K), que será calculado usando . Obrigatoriamente deve estar 
compreendido entre 5 a 20. 
- Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe: 
- Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para cada classe (inferior e 
superior) 
 
Exemplo: 
 
 
Regras para elaboração de uma distribuição de frequências: 
 
- Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto: 
Valor mínimo: 5,1 
Valor máximo: 14,9 
 
- Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao menor 
valor das observações: LI: 5,1 
 
- Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao maior 
valor das observações: LS:15 
- Definir o número de classes (K), que será calculado usando . Obrigatoriamente deve estar 
compreendido entre 5 a 20. Neste caso, K é igual a 8,94, aproximadamente, 8. 
 
- Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe: 
No exemplo, será igual a: 1,23. 
 
- Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para cada classe (inferior e 
superior), onde limite Inferior será 5,1 e o limite superior será 15 + 1,23. 
 
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. 9 
Distribuições Simétricas: A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente simétrica, 
relativamente a uma classe média. 
 
 
 
Caso especial de uma distribuição simétrica: Quando dizemos que os dados obedecem a uma 
distribuição normal, estamos tratando de dados que distribuem-se em forma de sino. 
 
Distribuições Assimétricas: A distribuição das frequências apresenta valores menores num dos 
lados: 
 
 
Distribuições com "caudas" longas: Observamos que nas extremidades há uma grande 
concentração de dados em relação aos concentrados na região central da distribuição. 
 
 
 
 
Distribuição Normal: A distribuição normal é a mais importante distribuição estatística, 
considerando a questão prática e teórica. Já vimos que esse tipo de distribuição apresenta-se em formato 
de sino, unimodal, simétrica em relação a sua média. Considerando a probabilidade de ocorrência, a área 
sob sua curva soma 100%. Isso quer dizer que a probabilidade de uma observação assumir um valor 
entre dois pontos quaisquer é igual à área compreendida entre esses dois pontos. 
 
 
68,26% => 1 desvio 
95,44% => 2 desvios 
99,73% => 3 desvios 
 
Na figura acima, tem as barras na vertical representando os desvios padrões. Quanto mais afastado 
do centro da curva normal, mais área compreendida abaixo da curva haverá. A um desvio padrão, temos 
68,26% das observações contidas. A dois desvios padrões, possuímos 95,44% dos dados compreendidos 
e finalmente a três desvios, temos 99,73%. Podemos concluir que quanto maior a variabilidade dos dados 
em relação à média, maior a probabilidade de encontrarmos o valor que buscamos embaixo da normal. 
Propriedade 1: "f(x) é simétrica em relação à origem, x = média = 0; 
Propriedade 2: "f(x) possui um máximo para z=0, e nesse caso sua ordenada vale 0,39; 
Propriedade3: "f(x) tende a zero quando x tende para + infinito ou - infinito; 
Propriedade4: "f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem média + DP e média - DP, ou 
quando z tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem +1 e -1. 
Para se obter a probabilidade sob a curva normal, utilizamos a tabela de faixa central. Exemplo: 
 
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As alturas de grupo de crianças são tidas como normais em sua distribuição, com desvio padrão em 
0,30m e média em 1,60. Qual a probabilidade de um aluno medir (1) entre 1,50 e 1,80, (2) mais de 1,75 
e menos de 1,48? 
 
(1) 
z1= (1,50-1,60)/0,30=-0,33 
z2= (1,80-1,60)/0,30= 0,67 
Então, z1 (0,1293) + z2 (0,2486) = 37,79% 
 
(2) 
z1= (1,75-1,60)/0,30=0,30 
0,500-0,1915 = 30,85% 
 
(3) 
Z1= (1,48-1,50)/0,30 =-0,4 
0,500-0,1554 = 34,46% 
 
Questões 
 
01. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – 
EXÉRCITO BRASILEIRO/2013) Identifique a alternativa que apresenta a frequência absoluta (fi) de um 
elemento (xi) cuja frequência relativa (fr) é igual a 25 % e cujo total de elementos (N) da amostra é igual 
a 72.(A) 18. 
(B) 36. 
(C) 9. 
(D) 54. 
(E) 45. 
 
02. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2013) Em uma faculdade, uma amostra 
de 120 alunos foi coletada, tendo-se verificado a idade e o sexo desses alunos. Na amostra, apurou-se 
que 45 estão na faixa de 16 a 20 anos, 60, na faixa de 21 a 25 anos, e 15 na faixa de 26 a 30 anos. Os 
resultados obtidos encontram-se na Tabela abaixo. 
 
Quais são, respectivamente, os valores indicados pelas letras P, Q, R e S? 
(A) 40 ; 28 ; 64 E 0 
(B) 50 ; 28 ; 64 E 7 
(C) 50 ; 40 ; 53,3 E 7 
(D) 77,8 ; 28 ; 53,3 E 7 
(E) 77,8 ; 40 ; 64 E 0 
 
03. (IMESC – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VUNESP/2013) Na tabela a seguir, constam informações 
sobre o número de filhos dos 25 funcionários de uma pequena empresa. 
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Com base nas informações contidas na tabela, é correto afirmar que o número total de filhos dos 
funcionários dessa pequena empresa é necessariamente 
(A) menor que 41. 
(B) igual a 41. 
(C) maior que 41 e menor que 46. 
(D) igual a 46. 
(E) maior ou igual a 46. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
f_r=f_i/N 
f_i=0,25∙72=18 
 
02. Resposta: B. 
Pela pesquisa 45 alunos estão na faixa de 16 a 20 
São 10 do sexo masculino, portanto são 45-10=35 do sexo feminino. 
70---100% 
35----P 
P=50% 
70---100% 
Q---40% 
Q=28 
35+28+S=70 
S=7 
Pela última coluna(% de sexo masculino): 
20+R+16=100 
R=64 
P=50; Q=28; R=64; S=7 
 
03. Resposta: E. 
1 filho: 7 pessoas -7 filhos 
2 filhos: 5 pessoas – 5.2=10 filhos 
3 filhos: 3 pessoas – 3.3=9 
Já são 26 filhos. 
Temos mais 5 pessoas que tem mais de 3 filhos, o número mínimo são 4 filhos. 
5.4=20 
26+20=46 filhos no mínimo. 
 
 
SERIES ESTATÍSTICAS 
 
A Estatística tem objetivo sintetizar os valores que uma ou mais variáveis possam assumir, para que 
tenhamos uma visão global da variação dessa ou dessas variáveis. Esses valores irão fornecer 
informações rápidas e seguras. 
 
 Tabela: é um quadro que resume um conjunto de observações. Uma tabela compõe-se de: 
 
1) Corpo – conjunto de linhas e colunas que contém informações sobre a variável em estudo; 
 
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. 12 
2) Cabeçalho – parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas; 
 
3) Coluna indicadora – parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas; 
 
4) Linhas – retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal; 
 
5) Casa ou célula – espaço destinado a um só número; 
 
6) Título – Conjunto de informações, as mais completas possíveis, que satisfazem as seguintes 
perguntas: O quê? Quando? Onde? localizando-se no topo da tabela. 
 
Elementos complementares: de preferência colocados no rodapé. 
- Fonte; 
- Notas; 
- Chamadas. 
 
 
 
 
 Séries Estatísticas: toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos 
em função da época, do local ou da espécie. 
 
Observamos três elementos: 
- tempo; 
- espaço; 
- espécie. 
 
Conforme varie um dos elementos da série, podemos classifica-la em: 
- Histórica; 
- Geográfica; 
- Específica. 
 
- Séries históricas, cronológicas, temporais ou marchas: Os valores da variável são descritos em, 
determinado local, em intervalos de tempo. 
 
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. 13 
 
 
- Séries geográficas, espaciais, territoriais ou de localização: valores da variável, em determinado 
instante, discriminados segundo regiões. 
 
 
 
- Séries específicas ou categóricas: aquelas que descrevem valores da variável, em determinado 
tempo e local, segundo especificações ou categorias. 
 
 
 
 
- Séries conjugadas – Tabela de dupla entrada: utilizamos quando temos a necessidade de 
apresentar, em uma única tabela, variações de mais de uma variável. Com isso conjugamos duas séries 
em uma única tabela, obtendo uma tabela de dupla entrada, na qual ficam criadas duas ordens de 
classificação: uma horizontal e uma vertical. 
 
Na tabela abaixo vamos a variável região e tempo. 
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. 14 
 
 
 Dados absolutos e dados relativos 
 
Aos dados resultantes da coleta direta da fonte, sem manuseio senão contagem ou medida, são 
chamados dados absolutos. Não é dado muito importância a estes dados, utilizando-se de os dados 
relativos. 
Dados relativos são o resultado de comparações por quociente (razões) que estabelecem entre dados 
absolutos e têm por finalidade facilitar as comparações entre quantidades. Os mesmos podem ser 
traduzidos por meio de percentagens, índices, coeficientes e taxas. 
 
- Percentagens: 
Considerando a série: 
 
MATRÍCULAS NAS ESCOLAS DA 
CIDADE A - 1995 
CATEGORIAS 
NÚMERO DE 
ALUNOS 
1º grau 19.286 
2º grau 1.681 
3º grau 234 
Total 21.201 
Dados fictícios. 
 
 
Calculando os percentagens dos alunos de cada grau: 
 
1º 𝑔𝑟𝑎𝑢 →
19.286𝑥100
21.201
= 90,96 = 91,0 
 
2º 𝑔𝑟𝑎𝑢 →
1.681𝑥100
21.201
= 7,92 = 7,9 
 
3º 𝑔𝑟𝑎𝑢 →
234𝑥100
21.201
= 1,10 = 1,1 
 
Formamos com os dados uma nova coluna na série em estudo: 
 
 
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. 15 
MATRÍCULAS NAS ESCOLAS DA CIDADE A - 1995 
CATEGORIAS 
NÚMERO DE 
ALUNOS 
% 
1º grau 19.286 91,0 
2º grau 1.681 7,9 
3º grau 234 1,1 
Total 21.201 100,0 
 
Esses novos valores nos dizem que, de cada 100 alunos da cidade A, 91 estão matriculados no 1º 
grau, 8 (aproximadamente) no 2º grau e 1 no 3º grau. 
 
- Índices: razões entre duas grandezas tais que uma não inclui a outra. 
 
Exemplos: 
 
𝑄𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑙𝑒𝑡𝑢𝑎𝑙 = 
𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑜𝑛𝑜𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎
𝑥100 
 
 
𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 = 
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜
𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒
 
 
 
Econômicos: 
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑝𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎 = 
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜
 
 
𝑅𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎 = 
𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜
 
 
 
- Coeficientes: razões entre o número de ocorrências e o número total (ocorrências e não 
ocorrências). 
 
Exemplos: 
 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑡𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑟𝑡𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ó𝑏𝑖𝑡𝑜𝑠
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
Educacionais: 
 
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑎𝑠ã𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟 = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑢𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑣𝑎𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠
 
 
 
- Taxas: coeficientes multiplicados por um potência de 10 (10,100, 1000, ...) para tornar o resultado 
mais inteligível. 
 
Exemplos: 
 
Taxa de mortalidade = coeficiente de mortalidade x 1000. 
Taxa de natalidade = coeficiente de natalidade x 1000. 
 
1) Em cada 200 celulares vendidos, 4 apresentam defeito. 
Coeficiente de defeitos: 4/200 = 0,02 
1242457 E-book gerado especialmente para JOSE CHARLIS ALVES ANDRADE
 
. 16 
Taxa de defeitos = 2% (0,02 x 100) 
 
Questão 
 
01. O estado A apresentou 733.986 matriculas no 1º ano no início de 2009 e 683.816 no final do ano. 
O estado B apresentou, respectivamente, 436.127 e 412.457 matriculas. Qual estado apresentou maior 
evasão escolar? 
 
 
Resposta 
 
01. Resposta: Evasão estado A: 6,8% e Evasão estado B: 5,5%. 
 
𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝑨: 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑎𝑠ã𝑜: 
683816
733986
= 0,931647𝑥100 = 93,16472 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 100 = 6,8% 
 
𝑬𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝑩: 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑎𝑠ã𝑜: 
412457
436127
= 0,945727𝑥100 = 94,57268 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 100 = 5,4% 
 
 
 
 
 
MEDIA ARITMÉTICA SIMPLESE PONDERADA 
 
Considere um conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} e efetue uma certa operação com todos os 
elementos de A. 
Se for possível substituir cada um dos elementos do conjunto A por um número x de modo que o 
resultado da operação citada seja o mesmo diz – se, por definição, que x será a média dos elementos de 
A relativa a essa operação. 
 
 Média Aritmética Simples 
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição é chamada média aritmética. 
 
- Cálculo da média aritmética 
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn}, então, por 
definição: 
 
 
A média aritmética(x) dos n elementos do conjunto 
numérico A é a soma de todos os seus elementos, 
dividida pelo número de elementos n. 
 
 
Exemplos: 
1) Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9, e 13. 
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3, 4, 6, 9, 13), então x será a soma dos 5 
elementos, dividida por 5. Assim: 
 
𝑥 = 
3 + 4 + 6 + 9 + 13
5
↔ 𝑥 = 
35
5
↔ 𝑥 = 7 
4. Medidas de Tendência Central (4.01. Média Aritmética, simples e 
ponderada; 4.02. Propriedades da Média Aritmética; 4.03. Vantagens 
da Média Aritmética; 4.04. Desvantagens da Média Aritmética; 4.05. 
Média Típica; 4.06. Média Atípica; 4.07. Mediana; 4.08. Moda. 
 
1242457 E-book gerado especialmente para JOSE CHARLIS ALVES ANDRADE
 
. 17 
A média aritmética é 7. 
 
2) Os gastos (em reais) de 15 turistas em Porto Seguro estão indicados a seguir: 
65 – 80 – 45 – 40 – 65 – 80 – 85 – 90 
75 – 75 – 70 – 75 – 75 – 90 – 65 
 
Se somarmos todos os valores teremos: 
 
𝑥 =
65 + 80 + 45 + 40 + 65+, , , +90 + 65
15
=
1075
15
= 71,70 
 
Assim podemos concluir que o gasto médio do grupo de turistas foi de R$ 71,70. 
 
 Média aritmética ponderada 
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada elemento tem um 
“determinado peso” é chamada média aritmética ponderada. 
 
- Cálculo da média aritmética ponderada 
Se x for a média aritmética ponderada dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} com 
“pesos” P1; P2; P3; ...; Pn, respectivamente, então, por definição: 
 
P1 . x + P2 . x + P3 . x + ... + Pn . x = 
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn ↔ (P1 + P2 + P3 + ... + Pn) . x = 
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn e, portanto, 
 
 
Observe que se P1 = P2 = P3 = ... = Pn = 1, então 𝑥 =
𝑥1; 𝑥2; 𝑥3; …; 𝑥𝑛
𝑛
: que é a média aritmética simples. 
 
A média aritmética ponderada dos n elementos do 
conjunto numérico A é a soma dos produtos de cada 
elemento multiplicado pelo respectivo peso, dividida 
pela soma dos pesos. 
 
Exemplos: 
1) Calcular a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10 com pesos 2, 3, e 5, 
respectivamente. 
 
Se x for a média aritmética ponderada, então: 
 
𝑥 = 
2 .35 + 3 .20 + 5 .10
2 + 3 + 5
↔ 𝑥 = 
70 + 60 + 50
10
 ↔ 𝑥 = 
180
10
 ↔ 𝑥 = 18 
 
A média aritmética ponderada é 18. 
 
2) Em um dia de pesca nos rios do pantanal, uma equipe de pescadores anotou a quantidade de peixes 
capturada de cada espécie e o preço pelo qual eram vendidos a um supermercado em Campo Grande. 
 
Tipo de peixe Quilo de peixe pescado Preço por quilo 
Peixe A 18 R$ 3,00 
Peixe B 10 R$ 5,00 
Peixe C 6 R$ 9,00 
 
Vamos determinar o preço médio do quilograma do peixe vendido pelos pescadores ao supermercado. 
1242457 E-book gerado especialmente para JOSE CHARLIS ALVES ANDRADE
 
. 18 
Considerando que a variável em estudo é o preço do quilo do peixe e fazendo a leitura da tabela, 
concluímos que foram pescados 18 kg de peixe ao valor unitário de R$ 3,00, 10 kg de peixe ao valor 
unitário de R$ 5,00 e 6 kg de peixe ao valor de R$ 9,00. 
Vamos chamar o preço médio de p: 
 
𝑝 =
18𝑥3,00 + 10𝑥5,00 + 6𝑥9,00
18 + 10 + 6
=
54 + 50 + 54
34
=
158
34
= 4,65 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
 
Neste caso o fator de ponderação foi a quantidade de peixes capturadas de cada espécie. 
 
A palavra média, sem especificações (aritmética ou 
ponderada), deve ser entendida como média aritmética. 
 
Questões 
 
01. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer 
Gráfico – VUNESP/2014) Na festa de seu aniversário em 2014, todos os sete filhos de João estavam 
presentes. A idade de João nessa ocasião representava 2 vezes a média aritmética da idade de seus 
filhos, e a razão entre a soma das idades deles e a idade de João valia 
(A) 1,5. 
(B) 2,0. 
(C) 2,5. 
(D) 3,0. 
(E) 3,5. 
 
02. (TJ/SC - Técnico Judiciário - Auxiliar TJ-SC) Os censos populacionais produzem informações 
que permitem conhecer a distribuição territorial e as principais características das pessoas e dos 
domicílios, acompanhar sua evolução ao longo do tempo, e planejar adequadamente o uso sustentável 
dos recursos, sendo imprescindíveis para a definição de políticas públicas e a tomada de decisões de 
investimento. Constituem a única fonte de referência sobre a situação de vida da população nos 
municípios e em seus recortes internos – distritos, bairros e localidades, rurais ou urbanos – cujas 
realidades socioeconômicas dependem dos resultados censitários para serem conhecidas. 
http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/censo2010/default.shtm 
(Acesso dia 29/08/2011) 
Um dos resultados possíveis de se conhecer, é a distribuição entre homens e mulheres no território 
brasileiro. A seguir parte da pirâmide etária da população brasileira disponibilizada pelo IBGE. 
 
http://www.ibge.gov.br/censo2010/piramide_etaria/index.php 
(Acesso dia 29/08/2011) 
O quadro abaixo, mostra a distribuição da quantidade de homens e mulheres, por faixa etária de uma 
determinada cidade. (Dados aproximados) 
Considerando somente a população masculina dos 20 aos 44 anos e com base no quadro abaixo a 
frequência relativa, dos homens, da classe [30, 34] é: 
 
1242457 E-book gerado especialmente para JOSE CHARLIS ALVES ANDRADE
 
. 19 
(A) 64%. 
(B) 35%. 
(C) 25%. 
(D) 29%. 
(E) 30%. 
 
03. (EPCAR – Cadete – EPCAR) Um líquido L1 de densidade 800 g/l será misturado a um líquido L2 
de densidade 900 g/l Tal mistura será homogênea e terá a proporção de 3 partes de L1 para cada 5 partes 
de L2 A densidade da mistura final, em g/l, será 
(A) 861,5. 
(B) 862. 
(C) 862,5. 
(D) 863. 
 
04. (EsSA - Sargento - Conhecimentos Gerais - Todas as Áreas – EB) Em uma turma a média 
aritmética das notas é 7,5. Sabe-se que a média aritmética das notas das mulheres é 8 e das notas dos 
homens é 6. Se o número de mulheres excede o de homens em 8, pode-se afirmar que o número total 
de alunos da turma é 
(A) 4. 
(B) 8. 
(C) 12. 
(D) 16. 
(E) 20. 
 
05. (SAP/SP - Oficial Administrativo – VUNESP) A altura média, em metros, dos cinco ocupantes de 
um carro era y. Quando dois deles, cujas alturas somavam 3,45 m, saíram do carro, a altura média dos 
que permaneceram passou a ser 1,8 m que, em relação à média original y, é 
(A) 3 cm maior. 
(B) 2 cm maior. 
(C) igual. 
(D) 2 cm menor. 
(E) 3 cm menor. 
 
06. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Em uma empresa com 5 funcionários, a soma 
dos dois menores salários é R$ 4.000,00, e a soma dos três maiores salários é R$ 12.000,00. Excluindo-
se o menor e o maior desses cinco salários, a média dos 3 restantes é R$ 3.000,00, podendo-se concluir 
que a média aritmética entre o menor e o maior desses salários é igual a 
(A) R$ 3.500,00. 
(B) R$ 3.400,00. 
(C) R$ 3.050,00. 
(D) R$ 2.800,00. 
(E) R$ 2.500,00. 
 
07. (TJM-SP – Oficial de Justiça – VUNESP) Ao encerrar o movimento diário, um atacadista, que 
vende à vista e a prazo, montou uma tabela relacionando a porcentagem do seu faturamento no dia com 
o respectivo prazo, em dias, para queo pagamento seja efetuado. 
 
PORCENTUAL DO 
FATURAMENTO 
PRAZO PARA 
PAGAMENTO (DIAS) 
15% À vista 
20% 30 
35% 60 
20% 90 
10% 120 
 
O prazo médio, em dias, para pagamento das vendas efetuadas nesse dia, é igual a 
(A) 75. 
(B) 67. 
(C) 60. 
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. 20 
(D) 57. 
(E) 55. 
 
08. (SEDUC/RJ - Professor – Matemática – CEPERJ) Uma loja de roupas de malha vende camisetas 
com malha de três qualidades. Cada camiseta de malha comum custa R$15,00, de malha superior custa 
R$24,00 e de malha especial custa R$30,00. Certo mês, a loja vendeu 180 camisetas de malha comum, 
150 de malha superior e 70 de malha especial. O preço médio, em reais, da venda de uma camiseta foi 
de: 
(A) 20. 
(B) 20,5. 
(C) 21. 
(D) 21,5. 
(E) 11. 
 
09. (CÂMARA MUNICIPAL DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SP – Programador de Computador – 
FIP) A média semestral de um curso é dada pela média ponderada de três provas com peso igual a 1 
na primeira prova, peso 2 na segunda prova e peso 3 na terceira. Qual a média de um aluno que tirou 
8,0 na primeira, 6,5 na segunda e 9,0 na terceira? 
(A) 7,0 
(B) 8,0 
(C) 7,8 
(D) 8,4 
(E) 7,2 
 
10. (SESP/MT – Perito Oficial Criminal - Engenharia Civil/Engenharia Elétrica/Física/Matemática 
– FUNCAB/2014) A tabela abaixo mostra os valores mensais do Imposto Predial e Territorial Urbano 
(IPTU) pagos pelos apartamentos de um condomínio. Determine a média aritmética desses valores. 
 
Número de Apartamentos Valor de IPTU Pago 
5 R$ 180,00 
5 R$ 200,00 
10 R$ 220,00 
10 R$ 240,00 
4 R$ 300,00 
6 R$ 400,00 
 
(A) R$ 248,50 
(B) R$ 252,50 
(C) R$ 255,50 
(D) R$ 205,50 
(E) R$ 202,50 
 
11. (SAP/SP - AGENTE DE SEGURANÇA PENITENCIÁRIA DE CLASSE I – VUNESP/2013) Em uma 
seção de uma empresa com 20 funcionários, a distribuição dos salários mensais, segundo os cargos 
que ocupam, é a seguinte: 
 
Sabendo-se que o salário médio desses funcionários é de R$ 1.490,00, pode-se concluir que o salário 
de cada um dos dois gerentes é de 
(A) R$ 2.900,00. 
(B) R$ 4.200,00. 
(C) R$ 2.100,00. 
(D) R$ 1.900,00. 
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. 21 
(E) R$ 3.400,00. 
 
12. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST/2014) Em um concurso existem provas de 
Português, Matemática, Informática e Conhecimentos Específicos, com pesos respectivos 2, 3, 1 e 4. Um 
candidato obteve as seguintes notas nas provas de Português, Matemática e Informática: 
 
Disciplina Nota 
Português 77 
Matemática 62 
Informática 72 
 
Se a nota do candidato no concurso foi 80, qual foi a sua nota na prova de Conhecimentos Específicos? 
(A) 95 
(B) 96 
(C) 97 
(D) 98 
(E) 99 
 
13. (VUNESP – 2014 – FUNDUNESP – Assistente Administrativo) Um concurso teve duas fases, e, 
em cada uma delas, os candidatos foram avaliados com notas que variaram de zero a dez. Para efeito 
de classificação, foram consideradas as médias ponderadas de cada candidato, uma vez que os pesos 
da 1.ª e da 2.ª fases foram 2 e 3, respectivamente. Se um candidato tirou 8 na 1.ª fase e 5 na 2.ª, então 
é verdade que sua média ponderada foi 
(A) 6,2. 
(B) 6,5. 
(C) 6,8. 
(D) 7,1. 
(E) 7,4. 
 
14. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP/2014) A tabela mostra os valores de algumas latinhas 
de bebidas vendidas em um clube e a quantidade consumida por uma família, em certo dia. 
 
Bebidas (latinha) Valor unitário Quantidade Consumida 
Refrigerante R$ 4,00 8 
Suco R$ 5,00 6 
Cerveja X 4 
 
Considerando-se o número total de latinhas consumidas por essa família nesse dia, na média, o preço 
de uma latinha saiu por R$ 5,00. Então, o preço de uma latinha de cerveja era 
(A) R$ 5,00. 
(B) R$ 5,50. 
(C) R$ 6,00. 
(D) R$ 6,50. 
(E) R$ 7,00. 
 
15. (Instituto de Pesquisas Tecnológicas – Secretária – VUNESP/2014) Em um edifício residencial, 
14 unidades pagam uma taxa mensal de condomínio no valor de 930 reais. Para as 28 unidades restantes, 
que são menores, a taxa mensal de condomínio também é menor. Sabendo-se que o valor médio da taxa 
mensal de condomínio, nesse edifício, é de 750 reais, é correto afirmar que o valor em reais que cada 
unidade menor paga mensalmente de condomínio é igual a 
(A) 600. 
(B) 620. 
(C) 660. 
(D) 700. 
(E) 710. 
 
 
 
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. 22 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
Foi dado que: J = 2.M 
 
𝐽 = 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
7
= 2. 𝑀 ( I ) 
 
Foi pedido: 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝐽
= ? 
 
Na equação ( I ), temos que: 
 
7 = 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝐽
 
 
7
2
= 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝑀
 
 
𝑎 + 𝑏 + ⋯ + 𝑔
𝑀
= 3,5 
 
02. Resposta: E. 
 [30, 34] = 600, somatória de todos os homens é: 300+400+600+500+200= 2000 
 
600
300+400+600+500+200
=
600
2000
= 0,3 . (100) = 30% 
 
 
03. Resposta: C. 
 
3.800+5.900
3+5
=
2400+4500
8
=
6900
8
= 862,5 
 
04. Resposta: D. 
Do enunciado temos m = h + 8 (sendo m = mulheres e h = homens). 
 
A média da turma é 7,5, sendo S a soma das notas: 
𝑆
𝑚+ℎ
= 7,5  𝑆 = 7,5(𝑚 + ℎ) 
 
A média das mulheres é 8, sendo S1 a soma das notas: 
𝑆1
𝑚
= 8  𝑆1 = 8𝑚 
 
A média dos homens é 6, sendo S2 a soma das notas: 
𝑆2
ℎ
= 6  𝑆2 = 6ℎ 
 
Somando as notas dos homens e das mulheres: 
S1 + S2 = S 
8m + 6h = 7,5(m + h) 
8m + 6h = 7,5m + 7,5h 
8m – 7,5m = 7,5h – 6h 
0,5m =1,5h 
𝑚 =
1,5ℎ
0,5
 
𝑚 = 3ℎ 
h + 8 = 3h 
8 = 3h – h 
8 = 2h  h = 4 
m = 4 + 8 = 12 
Total de alunos = 12 + 4 = 16 
 
05. Resposta: A. 
Sendo S a soma das alturas e y a média, temos: 
 
1242457 E-book gerado especialmente para JOSE CHARLIS ALVES ANDRADE
 
. 23 
𝑆
5
= 𝑦  S = 5y 
 
𝑆−3,45
3
= 1,8  S – 3,45 = 1,8.3 
S – 3,45 = 5,4 
S = 5,4 + 3,45 
S = 8,85, então: 
5y = 8,85 
y = 8,85 : 5 = 1,77 
1,80 – 1,77 = 0,03 m = 3 cm a mais. 
 
06. Resposta: A. 
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 
x1 + x2 = 4000 
x3 + x4 + x5 = 12000 
 
 
𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4
3
= 3000 
 
x2 + x3 + x4 = 9000 
 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 4000 + 12000 = 16000 
 
Sendo 𝑥1 𝑒 𝑥5 o menor e o maior salário, respectivamente: 
 𝑥1 + 9000 + 𝑥5 = 16000 
 
 𝑥1 + 𝑥5 = 16000 − 9000 = 7000 
 
Então, a média aritmética: 
𝑥1 + 𝑥2
2
=
7000
2
= 3500 
 
 
07. Resposta: D. 
Média aritmética ponderada: multiplicamos o porcentual pelo prazo e dividimos pela soma dos 
porcentuais. 
 
15.0+20.30+35.60+20.90+10.120
15+20+35+20+10
= 
 
=
600+2100+1800+1200
100
= 
 
=
5700
100
= 57 
 
08. Resposta: C. 
 Também média aritmética ponderada. 
 
180.15+150.24+70.30
180+150+70
= 
 
=
2700+3600+2100
400
= 
 
=
8400
400
= 21 
 
09. Resposta: B. 
Na média ponderada multiplicamos o peso da prova pela sua nota e dividimos pela soma de todos os 
pesos, assim temos: 
𝑀𝑃 = 
8.1 + 6,5.2 + 9.3
1 + 2 + 3
=
8 + 13 + 27
6
=
48
6
= 8,0 
1242457 E-book gerado especialmente para JOSE CHARLIS ALVES ANDRADE
 
. 24 
10. Resposta: B. 
 
𝑀 =
5.180 + 5.200 + 10.220 + 10.240 + 4.300 + 6.400
5 + 5 + 10 + 10 + 4 + 6
=
10100
40
= 252,50 
 
11. Resposta: C. 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
2𝑥 + 8 ∙ 1700 + 10 ∙ 1200
20
 
 
1490 =
2𝑥 + 8 ∙ 1700 + 10 ∙ 1200
20
 
 
2𝑥 + 13600 + 12000 = 29800 
2𝑥 = 4200 
𝑥 = 2100 
Cada um dos gerentes recebem R$ 2100,00 
 
12. Resposta: C. 
 
2.77 + 3.62 + 1.72 + 4. 𝑥
2 + 3 + 1 + 4
= 80 
 
412 + 4. 𝑥
10
= 80 
 
4x + 412 = 80 . 10 
4x = 800 – 412 
x = 388 / 4 
x = 97 
 
13. Resposta: A. 
𝑀𝑝 = 
2.8 + 3.5
2 + 3
 = 
16 + 15
5
 = 
31
5
 = 6,2 
 
 
14. Resposta: E. 
 
8.4 + 6.5 + 4. 𝑥
8 + 6 + 4
= 5 
 
 
62+ 4. 𝑥
18
= 5 
 
4.x = 90 – 62 
x = 28 / 4 
x = R$ 7,00 
 
15. Resposta: C. 
 
𝟏𝟒 . 𝟗𝟑𝟎 + 𝟐𝟖 . 𝒙
𝟏𝟒 + 2𝟖
= 𝟕𝟓𝟎 
 
𝟏𝟑𝟎𝟐𝟎 + 𝟐𝟖 . 𝒙
𝟒𝟐
= 𝟕𝟓𝟎 
 
13020 + 28.x = 42 . 750 
28.x = 31500 – 13020 
1242457 E-book gerado especialmente para JOSE CHARLIS ALVES ANDRADE
 
. 25 
x = 18480 / 28 
x = R$ 660,00 
 
 
MEDIANA, MODA E QUARTIS 
 
Mediana: é o valor que tem tantos dados antes dele, como depois dele. Para se medir a mediana, os 
valores devem estar por ordem crescente ou decrescente. No caso do número de dados ser ímpar, existe 
um e só um valor central que é a mediana. Se o número de dados é par, toma-se a média aritmética dos 
dois valores centrais para a mediana. 
É uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte 
modo: Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a 
divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% 
são maiores ou iguais à mediana. 
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos: Se 
n é ímpar, a mediana é o elemento médio. Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos 
médios. 
A mediana, m, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte 
modo: 
Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide 
ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são 
maiores ou iguais à mediana. 
 Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos: 
- Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. 
- Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios. 
 
Se se representarem os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n, X2:n, ..., Xn:n; 
então uma expressão para o cálculo da mediana será: 
 
 
 
Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos 
dados. Consideremos o seguinte exemplo: um aluno do 10º ano obteve as seguintes notas: 10, 10, 10, 
11, 11, 11, 11, 12. A média e a mediana da amostra anterior são respectivamente. 
 
 
 
 
Admitamos que uma das notas de 10 foi substituída por uma de 18. Neste caso a mediana continuaria 
a ser igual a 11, enquanto que a média subiria para 11.75. 
 
 
 
Média e Mediana: Se se representarmos os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: 
X1:n, X2:n, ..., Xn: “n” então uma expressão para o cálculo da mediana será: 
Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos 
dados. 
- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem. 
- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito 
menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações. 
1242457 E-book gerado especialmente para JOSE CHARLIS ALVES ANDRADE
 
. 26 
A média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada por valores "muito grandes" ou 
"muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes valores são 
os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a 
mediana. 
A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados: 
- for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana. 
- for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a média tende a ser maior que 
a mediana. 
- for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende a ser inferior 
à mediana. 
 
 
Dado um histograma é fácil obter a posição da mediana, pois esta está na posição em que passando 
uma linha vertical por esse ponto o histograma fica dividido em duas partes com áreas iguais. 
 
 
Como medida de localização, a mediana é mais resistente do que a média, pois não é tão sensível 
aos dados. 
- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem. 
- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito 
menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações. 
 
Assim, não se pode dizer em termos absolutos qual destas medidas de localização é preferível, 
dependendo do contexto em que estão a ser utilizadas. 
Exemplo: Os salários dos 160 empregados de uma determinada empresa, distribuem-se de acordo 
com a seguinte tabela de frequências: 
 
 
Calcular a média e a mediana e comentar os resultados obtidos. 
Resolução: = (75.23 + 100.58 +...+ 400.7 + 1700.2)/160 = 156,10 
Resolução: euros. m = semi-soma dos elementos de ordem 80 e 81 = 100 euros. 
Comentário: O fato de termos obtido uma média de 156,10 e uma mediana de 100, é reflexo do fato 
de existirem alguns, embora poucos, salários muito altos, relativamente aos restantes. Repare-se que, 
numa perspectiva social, a mediana é uma característica mais importante do que a média. Na realidade 
50% dos trabalhadores têm salário menor ou igual a 100 €, embora a média de 156,10 € não transmita 
essa ideia. 
 
Vejamos de uma outra forma: Sabes, quando a distribuição dos dados é simétrica ou aproximadamente 
simétrica, as medidas de localização do centro da amostra (média e mediana) coincidem ou são muito 
1242457 E-book gerado especialmente para JOSE CHARLIS ALVES ANDRADE
 
. 27 
semelhantes. O mesmo não se passa quando a distribuição dos dados é assimétrica, fato que se prende 
com a pouca resistência da média. 
 
Representando as distribuições dos dados (esta observação é válida para as representações gráficas 
na forma de diagramas de barras ou de histograma) na forma de uma mancha, temos, de um modo geral: 
 
 
 
Moda: é o valor que ocorre mais vezes numa distribuição, ou seja, é o de maior efetivo e, portanto, de 
maior frequência. Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se os dados são 
discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. Assim, da 
representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe 
modal. Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, 
apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por 
vezes a mediana. 
Para um conjunto de dados, define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se 
os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. Assim, 
da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe 
modal. 
 
 
 
Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, 
apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por 
vezes a mediana (se não forem susceptíveis de ordenação). 
 
 
 
Quartis: Generalizando a noção de mediana m, que como vimos anteriormente é a medida de 
localização, tal que 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais a m, e os outros 50% são 
maiores ou iguais a m, temos a noção de quartil de ordem p, com 0<p<1, como sendo o valor Qp tal que 
100p% dos elementos da amostra são menores ou iguais a Qp e os restantes 100 (1-p)% dos elementos 
da amostra são maiores ou iguais a Qp. 
Tal como a mediana, é uma medida que se calcula a partir da amostra ordenada. 
Um processo de obter os quartis é utilizando a Função Distribuição Empírica. 
Generalizando ainda a expressão para o cálculo da mediana, temos uma expressão análoga para o 
cálculo dos quartis: 
 
Qp = 
 
onde representamos por [a],o maior inteiro contido em a. 
1242457 E-book gerado especialmente para JOSE CHARLIS ALVES ANDRADE
 
. 28 
Aos quartis de ordem 1/4 e 3/4 , damos respectivamente o nome de 1º quartil e 3º quartil. Exemplo: 
Tendo-se decidido registrar os pesos dos alunos de uma determinada turma prática do 10º ano, 
obtiveram-se os seguintes valores (em kg): 
 
52 56 62 54 52 51 60 61 56 55 56 54 57 67 61 49 
 
a) Determine os quartis de ordem 1/7, 1/2 e os 1º e 3º quartis. 
b) Um aluno com o peso de 61 kg, pode ser considerado "normal", isto é nem demasiado magro, nem 
demasiado gordo? 
 
Resolução: Ordenando a amostra anterior, cuja dimensão é 16, temos: 
 
49 51 52 52 54 54 55 56 56 56 57 60 61 61 62 67 
 
a) 16 . 1/7 = 16/7, onde [16/7] = 2 e Q1/7 = x3 : 16 = 52 
 16 . 1/4 = 4, onde Q1/2 = [x8 : 16 + x9 : 16]/2 = 56 
 16 . 1/2 = 8, onde Q1/4 = [x4 : 16 + x5 : 16]/2 = 53 
 16 . 3/4 = 12, onde Q3/4 = [x12 : 16 + x13 : 16]/2 = 60.5 
 
b) Um aluno com 61 kg pode ser considerado um pouco "forte", pois naquela turma só 25% dos alunos 
é que têm peso maior ou igual a 60.5 kg. 
 
Questões 
01. (SESP/MT – Perito Oficial Criminal - Engenharia Civil/Engenharia Elétrica/Física/Matemática 
– FUNCAB/2014) Determine a mediana do conjunto de valores (10, 11, 12, 11, 9, 8, 10, 11, 10, 12). 
(A) 8,5 
(B) 9 
(C) 10,5 
(D) 11,5 
(E) 10 
 
02. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES/2014) As massas de 5 
amigos são 63,5; 70,3; 82,2; 59 e 71,5 quilogramas. A média e a mediana das massas são, 
respectivamente: 
(A) 69,3 e 70,3 quilogramas. 
(B) 172,25 e 82,2 quilogramas. 
(C) 69,3 e 82,2 quilogramas. 
(D) 172, 70,3 quilogramas. 
 
03. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP/2014) O gráfico apresenta informações 
sobre o número médio de anos de estudo da população brasileira, com base na Pesquisa Nacional por 
Amostra de Domicílios de 2011, publicado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). 
 
 
1242457 E-book gerado especialmente para JOSE CHARLIS ALVES ANDRADE
 
. 29 
Com base nas informações do gráfico, é verdade que 
(A) o número de homens com estudo é menor que o número de mulheres com estudo, nos anos de 
2009 e 2011. 
(B) de 2009 para 2011 houve um aumento no número de homens com estudo. 
(C) em 2010, a média de anos de estudo das mulheres era de 7,4 anos. 
(D) em 2009, a média de anos de estudos das mulheres era de exatos 7 anos e 3 meses. 
(E) a média de anos de estudo das mulheres não ultrapassou a 5 meses a dos homens, nos anos de 
2009 e 2011. 
 
04. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP/2014) Um concurso é composto por três 
fases, com pesos 1, 2 e 3, respectivamente. Pedro ficou sabendo que na 1.ª fase desse concurso sua 
nota foi 7,0 e que na 2.ª fase sua nota foi 4,0. 
Sabendo-se que para ser aprovado a média aritmética ponderada final tem que ser, no mínimo, 5, que 
as notas apresentadas ainda não estão multiplicadas pelos respectivos fatores, e que em cada fase as 
notas variam de zero a dez, pode-se afirmar corretamente que 
(A) não há como Pedro ser aprovado no concurso. 
(B) Pedro já está aprovado no concurso, independentemente da nota que tirar na 3.ª fase. 
(C) se Pedro tirar 5,0 ou mais na 3.ª fase, então ele estará aprovado no concurso. 
(D) Pedro precisa tirar, no mínimo, 7,0 na 3.ª fase, para ser aprovado no concurso. 
(E) tirando 4,0, Pedro estará aprovado no concurso. 
 
05. (IF/GO – Assistente de Alunos – UFG/2014) A tabela a seguir apresenta o índice de 
desenvolvimento humano (IDH) de alguns países da América Latina referente ao ano 2012. 
 
Países IDH 
Argentina 0,811 
Bolívia 0,645 
Brasil 0,730 
Chile 0,819 
Colômbia 0,719 
Cuba 0,780 
México 0,775 
Uruguai 0,792 
Venezuela 0,758 
Disponível em: <http://www.abinee.org.br/abinee/decon/decon55a.htm>. Acesso em: 24 fev. 2014. (Adaptado). 
 
Dentre os países listados, aquele cujo IDH representa a mediana dos dados apresentados é: 
(A) Brasil 
(B) Colômbia 
(C) México 
(D) Venezuela 
 
06. (QC – Segundo Tenente – Ciências Contábeis – MB/2014) Analise a tabela a seguir. 
 Classe Velocidade (em nós) Tempo(h) 
 1 0 |------- 5 1 
 2 5 |------ 10 7 
 3 10 |------ 15 15 
 4 15 |------ 20 9 
 5 20 |------ 25 3 
 6 25 |------ 30 2 
 
Dos registros de navegação de um determinado navio, foi obtido o quadro acima. 
Após análise dos registros, determine a média das velocidades do navio na série observada e assinale 
a opção correta. 
(A) 13,43 nós 
(B) 13,92 nós 
(C) 14,12 nós 
(D) 14,69 nós 
(E) 15,26 nós 
1242457 E-book gerado especialmente para JOSE CHARLIS ALVES ANDRADE
 
. 30 
07. (Pref. Paulistana/PI – Professor de Matemática – IMA/2014) Considere o conjunto de dados 
abaixo, referente ao salário médio dos funcionários de uma empresa. 
 
 
 
O valor da Mediana é: 
 
(A) 1240 
(B) 1500 
(C) 1360 
(D) 1600 
(E) 1420 
 
08. (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – VUNESP/2014) Na tabela, as letras q, p e m substituem as 
alturas, relacionadas em ordem crescente, de seis alunos do Curso de Formação de Oficiais da Polícia 
Militar avaliados em um exame biométrico, sendo que, nessa tabela, letras iguais correspondem a alturas 
iguais. 
 
Nome Altura (em centímetros) 
Gonçalves q 
Camargo q 
Pacheco q 
Mendes p 
Santos m 
Ferreira m 
 
Sabendo-se que a moda, a mediana e a média aritmética das alturas desses alunos são, 
respectivamente, 173 cm, 174,5 cm e 175,5 cm, pode-se concluir que a altura do aluno Ferreira é igual, 
em centímetros, a 
(A) 177. 
(B) 178. 
(C) 179. 
(D) 180. 
(E) 182. 
 
09. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2013) Considere o seguinte conjunto: 
{15; 17; 21; 25; 25; 29; 33; 35} 
A média, a mediana e a moda desse conjunto de dados são, respectivamente, 
(A) 1, 2 e 3 
(B) 5, 7 e 9 
(C) 7, 9 e 5 
(D) 25, 25 e 25 
(E) 25, 27 e 29 
 
(SEFAZ/RJ – ANALISTA DE CONTROLE INTERNO – CEPERJ/2013) Observe os números 
relacionados a seguir, e responda às questões de números 10 e 11. 
 
1242457 E-book gerado especialmente para JOSE CHARLIS ALVES ANDRADE
 
. 31 
 
 
10. A mediana desses valores vale: 
(A) 6 
(B) 6,5 
(C) 7 
(D) 7,5 
(E) 8 
 
11. A moda desses valores vale: 
(A) 8 
(B) 7 
(C) 6 
(D) 5 
(E) 4 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Coloquemos os valores em ordem crescente: 
8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12 
 
Como a Mediana é o elemento que se encontra no meio dos valores colocados em ordem crescente, 
temos que: 
𝑀 =
10 + 11
2
=
21
2
= 10,5 
 
02. Resposta: A. 
A média é: 𝑀 =
63,5+70,3+82,2 + 59+71,5
5
 = 
346,5
5
= 69,3 
Para verificar a mediana, basta colocar os valores em ordem crescente e verificar o elemento que se 
encontra no meio deles: 
59 63,5 70,3 71,5 82,2 
 
03. Resposta: E. 
Média das mulheres: 
7,3+7,5
2
= 
14,8
2
= 7,4 anos = 7,4 . 12 = 88,8 meses 
 
Média dos homens: 
7+7,1
2
= 
14,1
2
= 7,05 anos = 7,05 . 12 = 84,6 meses 
Assim, 88,8 – 84,6 = 4,2 meses 
 
04. Resposta: C. 
Pesos 1, 2 e 3, respectivamente. Pedro ficou sabendo que na 1.ª fase desse concurso sua nota foi 7,0 
e que na 2.ª fase sua nota foi 4,0. 
Sabendo-se que para ser aprovado a média aritmética ponderada final tem que ser, no mínimo, 5 
 
𝑀 = 
1.7 + 2.4 + 3. 𝑥
1 + 2 + 3
= 5 
 
 
15 + 3. 𝑥
6
= 5 
 
15 + 3𝑥 = 6 . 5 
3𝑥 = 30 − 15 
 
𝑥 =
15
3
= 5 
1242457 E-book gerado especialmente para JOSE CHARLIS ALVES ANDRADE
 
. 32 
05. Resposta: C. 
Vamos colocaros números em ordem crescente: 
0,645 0,719 0,730 0,758 0,775 0,780 0,792 0,811 0,819 
O número que se encontra no meio é 0,775 (México). 
 
06. Resposta: C. 
Vamos calcular a média de cada classe: 
* Classe 1: (0 + 5) / 2 = 5 / 2 = 2,5 
2,5 . 1 = 2,5 
* Classe 2: (5 + 10) / 2 = 15 / 2 = 7,5 
7,5 . 7 = 52,5 
* Classe 3: (10 + 15) / 2 = 25 / 2 = 12,5 
12,5 . 15 = 187,5 
* Classe 4: (15 + 20) / 2 = 35 / 2 = 17,5 
 
17,5 . 9 = 157,5 
* Classe 5: (20 + 25) / 2 = 45 / 2 = 22,5 
22,5 . 3 = 67,5 
* Classe 6: (25 + 30) / 2 = 55 / 2 = 27,5 
27,5 . 2 = 55 
* Soma das médias = 522,5 
* Total de horas = 37h 
Por final: 522,5 / 37 = 14,12 
 
07. Resposta: C. 
Colocando na ordem crescente: 
1100;1200;1210;1250;1300;1420;1450;1500;1600;1980 
A mediana é o número que se encontra no meio. Nesse caso que tem 10 números(par) é a média do 
5º e 6º números: 
 
1300 + 1420
2
=
2720
2
= 1360 
 
08. Resposta: C. 
* Se a moda é 173 cm, então q = 173 cm (Gonçalves, Camargo e Pacheco). 
* Se a mediana é 174,5 cm, então (q + p) / 2 = 174,5. 
q + p = 174,5 . 2 
q + p = 349 cm 
* Se a média aritmética é 175,5 cm, então: 
 
𝑀 = 
3.𝑞+𝑝+2.𝑚 
6
= 175,5 
 
2.𝑞+𝑞 + 𝑝 +2.𝑚 
6
= 175,5 
 
2.173 + 349 + 2.m = 175,5 . 6 
346 + 349 + 2.m = 1053 
2.m = 1053 – 695 
m = 358 / 2 
m = 179 cm 
 
09. Resposta: D. 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
15 + 17 + 21 + 25 + 25 + 29 + 33 + 35
8
= 25 
 
A mediana é a média entre o 4º e 5º termo: 
 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 =
25 + 25
2
= 25 
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. 33 
Moda é o número que mais aparece: 25 
 
10. Resposta: C. 
Colocando em ordem crescente: 
3; 4; 6; 7; 7; 8; 8; 8; 9 
 
São 9 elementos, então a mediana é o quinto elemento(9+1/2) 
Mediana 7 
 
11. Resposta: A. 
Moda é o elemento que aparece com mais frequência: 8 
 
 
 
TABELAS E GRÁFICOS 
 
O nosso cotidiano é permeado das mais diversas informações, sendo muito delas expressas em 
formas de tabelas e gráficos, as quais constatamos através do noticiários televisivos, jornais, revistas, 
entre outros. Os gráficos e tabelas fazem parte da linguagem universal da Matemática, e compreensão 
desses elementos é fundamental para a leitura de informações e análise de dados. 
A parte da Matemática que organiza e apresenta dados numéricos e a partir deles fornecer conclusões 
é chamada de Estatística. 
 
Tabelas: as informações nela são apresentadas em linhas e colunas, possibilitando uma melhor 
leitura e interpretação. Exemplo: 
 
Fonte: SEBRAE 
 
Observação: nas tabelas e nos gráficos podemos notar que a um título e uma fonte. O título é utilizado 
para evidenciar a principal informação apresentada, e a fonte identifica de onde os dados foram obtidos. 
 
Tipos de Gráficos 
 
Gráfico de linhas: são utilizados, em geral, para representar a variação de uma grandeza em certo 
período de tempo. 
Marcamos os pontos determinados pelos pares ordenados (classe, frequência) e os ligados por 
segmentos de reta. Nesse tipo de gráfico, apenas os extremos dos segmentos de reta que compõem a 
linha oferecem informações sobre o comportamento da amostra. Exemplo: 
 
5.Análise e Interpretação Matemática de Gráficos Estatísticos (5.01. 
Gráfico de Colunas; 5.02. Gráfico Pictórico; 5.03. Gráfico de Setores; 
5.04. Gráfico de Linhas). 
1242457 E-book gerado especialmente para JOSE CHARLIS ALVES ANDRADE
 
. 34 
 
 
Gráfico de barras: também conhecido como gráficos de colunas, são utilizados, em geral, quando há 
uma grande quantidade de dados. Para facilitar a leitura, em alguns casos, os dados numéricos podem 
ser colocados acima das colunas correspondentes. Eles podem ser de dois tipos: barras verticais e 
horizontais. 
- Gráfico de barras verticais: as frequências são indicadas em um eixo vertical. Marcamos os pontos 
determinados pelos pares ordenados (classe, frequência) e os ligamos ao eixo das classes por meio de 
barras verticais. Exemplo: 
 
 
 
- Gráfico de barras horizontais: as frequências são indicadas em um eixo horizontal. Marcamos os 
pontos determinados pelo pares ordenados (frequência, classe) e os ligamos ao eixo das classes por 
meio de barras horizontais. Exemplo: 
 
 
1242457 E-book gerado especialmente para JOSE CHARLIS ALVES ANDRADE
 
. 35 
Observação: em um gráfico de colunas, cada barra deve ser proporcional à informação por ela 
representada. 
 
Gráfico de setores: são utilizados, em geral, para visualizar a relação entre as partes e o todo. 
Dividimos um círculo em setores, com ângulos de medidas diretamente proporcionais às frequências 
de classes. A medida α, em grau, do ângulo central que corresponde a uma classe de frequência F é 
dada por: 
𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 
Onde: 
Ft = frequência total 
 
Exemplo: 
 
Preferência por modalidades esportivas 
Esportes 
Número de 
praticantes (F) 
Frequência 
relativa 
Futebol 160 40% 
Vôlei 120 30% 
Basquete 60 15% 
Natação 40 10% 
Outros 20 5% 
Total (Ft) 400 100% 
Dados fictícios 
 
Para acharmos a frequência relativa, podemos fazer uma regra de três simples: 
400 --- 100% 
160 --- x 
x = 160 .100/ 400 = 40% , e assim sucessivamente. 
 
Aplicando a fórmula teremos: 
 
−𝐹𝑢𝑡𝑒𝑏𝑜𝑙: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 160 → 𝛼 = 144° 
 
−𝑉ô𝑙𝑒𝑖: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 120 → 𝛼 = 108° 
 
−𝐵𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 60 → 𝛼 = 54° 
 
 
−𝑁𝑎𝑡𝑎çã𝑜: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 20 → 𝛼 = 18° 
 
Como o gráfico é de setores, os dados percentuais serão distribuídos levando-se em conta a proporção 
da área a ser representada relacionada aos valores das porcentagens. A área representativa no gráfico 
será demarcada da seguinte maneira: 
 
 
 
Com as informações, traçamos os ângulos da circunferência e assim montamos o gráfico: 
 
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. 36 
 
 
Pictograma ou gráficos pictóricos: em alguns casos, certos gráficos, encontrados em jornais, 
revistas e outros meios de comunicação, apresentam imagens relacionadas ao contexto. Eles são 
desenhos ilustrativos. Exemplo: 
 
 
Histograma: o consiste em retângulos contíguos com base nas faixas de valores da variável e com 
área igual à frequência relativa da respectiva faixa. Desta forma, a altura de cada retângulo é denominada 
densidade de frequência ou simplesmente densidade definida pelo quociente da área pela amplitude da 
faixa. Alguns autores utilizam a frequência absoluta ou a porcentagem na construção do histograma, o 
que pode ocasionar distorções (e, consequentemente, más interpretações) quando amplitudes diferentes 
são utilizadas nas faixas. Exemplo: 
 
 
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. 37 
Polígono de Frequência: semelhante ao histograma, mas construído a partir dos pontos médios das 
classes. Exemplo: 
 
 
 
Gráfico de Ogiva: apresenta uma distribuição de frequências acumuladas, utiliza uma poligonal 
ascendente utilizando os pontos extremos. 
 
 
 
Cartograma: é uma representação sobre uma carta geográfica. Este gráfico é empregado quando o 
objetivo é de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas. 
 
 
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. 38 
Interpretação de tabelas e gráficos 
Para uma melhor interpretação de tabelas e gráficos devemos ter em mente algumas considerações: 
- Observar primeiramente quais informações/dados estão presentes nos eixos vertical e horizontal, 
para então fazer a leitura adequada do gráfico; 
- Fazer a leitura isolada dos pontos.- Leia com atenção o enunciado e esteja atento ao que pede o enunciado. 
 
Exemplos: 
(Enem 2011) O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as 
atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, 
industrialização e comercialização dos produtos. 
O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro: 
 
Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA). 
Almanaque abril 2010. São Paulo: Abril, ano 36 (adaptado) 
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do 
agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais. 
Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de 
A) 1998 e 2001. 
B) 2001 e 2003. 
C) 2003 e 2006. 
D) 2003 e 2007. 
E) 2003 e 2008. 
 
Resolução: 
Segundo o gráfico apresentado na questão, o período de queda da participação do agronegócio no 
PIB brasileiro se deu no período entre 2003 e 2006. Esta informação é extraída através de leitura direta 
do gráfico: em 2003 a participação era de 28,28%, caiu para 27,79% em 2004, 25,83% em 2005, 
chegando a 23,92% em 2006 – depois deste período, a participação volta a aumentar. 
Resposta: C 
 
(Enem 2012) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de 
quilômetros quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados 
correspondem aos meses de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o 
verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo 
quase toda a luz solar de volta ao espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar 
e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do gelo. 
 
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. 39 
Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento global 
em 
A)1995. 
B)1998. 
C) 2000. 
D)2005. 
E)2007. 
 
Resolução: 
O enunciado nos traz uma informação bastante importante e interessante, sendo chave para a 
resolução da questão. Ele associa a camada de gelo marítimo com a reflexão da luz solar e 
consequentemente ao resfriamento da Terra. Logo, quanto menor for a extensão de gelo marítimo, menor 
será o resfriamento e portanto maior será o aquecimento global. 
O ano que, segundo o gráfico, apresenta a menor extensão de gelo marítimo, é 2007. 
 
Resposta: E 
 
Mais alguns exemplos: 
1) Todos os objetos estão cheios de água. 
 
 
 
Qual deles pode conter exatamente 1 litro de água? 
(A) A caneca 
(B) A jarra 
(C) O garrafão 
(D) O tambor 
 
O caminho é identificar grandezas que fazem parte do dia a dia e conhecer unidades de medida, no 
caso, o litro. Preste atenção na palavra exatamente, logo a resposta está na alternativa B. 
 
2) No gráfico abaixo, encontra-se representada, em bilhões de reais, a arrecadação de impostos 
federais no período de 2003 a 2006. Nesse período, a arrecadação anual de impostos federais: 
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. 40 
 
 
(A) nunca ultrapassou os 400 bilhões de reais. 
(B) sempre foi superior a 300 bilhões de reais. 
(C) manteve-se constante nos quatro anos. 
(D) foi maior em 2006 que nos outros anos. 
(E) chegou a ser inferior a 200 bilhões de reais. 
Analisando cada alternativa temos que a única resposta correta é a D. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Fortaleza/CE – Pedagogia – Pref. Fortaleza/2016) “Estar alfabetizado, neste final de 
século, supõe saber ler e interpretar dados apresentados de maneira organizada e construir 
representações, para formular e resolver problemas que impliquem o recolhimento de dados e a análise 
de informações. Essa característica da vida contemporânea traz ao currículo de Matemática uma 
demanda em abordar elementos da estatística, da combinatória e da probabilidade, desde os ciclos 
iniciais” (BRASIL, 1997). 
Observe os gráficos e analise as informações. 
 
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. 41 
 
 
A partir das informações contidas nos gráficos, é correto afirmar que: 
(A) nos dias 03 e 14 choveu a mesma quantidade em Fortaleza e Florianópolis. 
(B) a quantidade de chuva acumulada no mês de março foi maior em Fortaleza. 
(C) Fortaleza teve mais dias em que choveu do que Florianópolis. 
(D) choveu a mesma quantidade em Fortaleza e Florianópolis. 
 
02. (DEPEN – Agente Penitenciário Federal – CESPE/2015) 
 
Ministério da Justiça — Departamento Penitenciário Nacional 
— Sistema Integrado de Informações Penitenciárias – InfoPen, 
Relatório Estatístico Sintético do Sistema Prisional Brasileiro, 
dez./2013 Internet:<www.justica.gov.br> (com adaptações) 
 
A tabela mostrada apresenta a quantidade de detentos no sistema penitenciário brasileiro por 
região em 2013. Nesse ano, o déficit relativo de vagas — que se define pela razão entre o déficit de 
vagas no sistema penitenciário e a quantidade de detentos no sistema penitenciár io — registrado 
em todo o Brasil foi superior a 38,7%, e, na média nacional, havia 277,5 detentos por 100 mil 
habitantes. 
Com base nessas informações e na tabela apresentada, julgue o item a seguir. 
Em 2013, mais de 55% da população carcerária no Brasil se encontrava na região Sudeste. 
( )certo ( ) errado 
 
03. (TJ/SP – Estatístico Judiciário – VUNESP/2015) A distribuição de salários de uma empresa 
com 30 funcionários é dada na tabela seguinte. 
 
Salário (em salários mínimos) Funcionários 
1,8 10 
2,5 8 
3,0 5 
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. 42 
5,0 4 
8,0 2 
15,0 1 
 
Pode-se concluir que 
(A) o total da folha de pagamentos é de 35,3 salários. 
(B) 60% dos trabalhadores ganham mais ou igual a 3 salários. 
(C) 10% dos trabalhadores ganham mais de 10 salários. 
(D) 20% dos trabalhadores detêm mais de 40% da renda total. 
(E) 60% dos trabalhadores detêm menos de 30% da renda total. 
 
04. (TJ/SP – Estatístico Judiciário – VUNESP/2015) Considere a tabela de distribuição de 
frequência seguinte, em que xi é a variável estudada e fi é a frequência absoluta dos dados. 
 
xi fi 
30-35 4 
35-40 12 
40-45 10 
45-50 8 
50-55 6 
TOTAL 40 
 
Assinale a alternativa em que o histograma é o que melhor representa a distribuição de 
frequência da tabela. 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
05. (SEJUS/ES – Agente Penitenciário – VUNESP/2013) Observe os gráficos e analise as 
afirmações I, II e III. 
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. 43 
 
 I. Em 2010, o aumento percentual de matrículas em cursos tecnológicos, comparado com 2001, 
foi maior que 1000%. 
II. Em 2010, houve 100,9 mil matrículas a mais em cursos tecnológicos que no ano anterior. 
III. Em 2010, a razão entre a distribuição de matrículas no curso tecnológico presencial e à 
distância foi de 2 para 5. 
É correto o que se afirma em 
(A) I e II, apenas. 
(B) II, apenas. 
(C) I, apenas. 
(D) II e III, apenas. 
(E) I, II e III. 
 
06. (DEPEN – Agente Penitenciário Federal – CESPE/2015) 
 
 
 
A partir das informações e do gráfico apresentados, julgue o item que se segue. 
Se os percentuais forem representados por barras verticais, conforme o gráfico a seguir, então 
o resultado será denominado histograma. 
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. 44 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
A única alternativa que contém a informação correta com ao gráficos é a C. 
 
02. Resposta: CERTO. 
555----100% 
306----x 
X=55,13%