Analise de Sistemas 1o Sem 2016 2a aula

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Análise de Sistemas – Capítulo 1
Introdução aos sistemas algébricos e 
Prof. Dr. José Plácidojplacido2014@gmail.comLaboratório de Matéria e Energia – LMEUnidade José Alencar - Prédio de Vidro 3º Andar
Introdução aos sistemas algébricos e diferenciais, baseada em aplicações em Engenharia Química
Tópicos abordados
 1.4- EXEMPLOS DE MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS
 1.4.1- Equações algébricas lineares
Exemplo 1. Recuperação de acetona, sistema absorvedor/ separador flash
 1.4.2- Equações algébricas não lineares1.4.2- Equações algébricas não lineares
Exemplo 2. Unidade de vaporização flash
 1.4.3- Formulações baseadas em otimização
Exemplo 3. Ajuste de parâmetros cinéticos
 1.4.4- Equações diferenciais ordinárias lineares, problema de valor inicial (EDO-PVI, ou ODE-IVP)
Exemplo 4. Sistema de dois tanques agitados contendo sal
Tópicos abordados
SISTEMAS A PARÂMETROS CONCENTRADOS: BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA
 1.4.5- Equações diferenciais ordinárias não lineares, problema de valor inicial (EDO-PVI, ou ODE-IVP)
Exemplo 5. Sistema aquecedor/tanque agitadoExemplo 5. Sistema aquecedor/tanque agitado
1.4- EXEMPLOS DE MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS
1.4.1- Equações algébricas lineares
 Exemplo 1: recuperação de acetona.
Ar tratado F2 , w1,2 , w2 ,2 , w3 ,2 
Entrada de água F3 
Acetona recuperada F4 , w1,4 
wacetona,2 = 0wágua,2= 0,03
wacetona,4 = 20,5wacetona,5
y, acetona vapor
F3 = 500 Kg/h
Wacetona,4 = ?F2 = ?
F4 = ?
Separador flash Absorvedor 
Entrada de ar F1 , w1 ,1 , w2 ,1 , w3,1 
w2 ,2 , w3 ,2 
Resíduo aquoso F5 , w1 ,5 
I II 
wágua,1 = 0
1 = acetona; 2 = água; 3 = ar
= 0,03
y = 20,5x
x, acetona líquida
y, acetona vapor
wacetona,1= 0,08F1 = 600 Kg/h
wacetona,5 = 0,03
Especificação: F5 = ?
1.4- EXEMPLOS DE MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS
Exemplo 1: recuperação de acetona.
 Balanço para o ar:
0,97 * F2
wacetona,4 = 20,5wacetona,5
Wacetona,4 = 20,5 x 0,03= 0,615
0 0
1 = acetona; 2 = água; 3 = ar
0,92 * 600
wacetona,5 = 0,03
(1) Balanço de ar: 0,97 * F2 = 0,92 * 600 
0
1.4- EXEMPLOS DE MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS
Exemplo 1: recuperação de acetona.
 Balanço para a acetona:
0 0,615 * F40
1 = acetona; 2 = água; 3 = ar
0,08 * 600 0,03 * F5
(2) Balanço de acetona: 0,03*F5 + 0,615*F4 = 0,08*600
1.4- EXEMPLOS DE MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS
Exemplo 1: recuperação de acetona.
 Balanço para a água:
0,385 * F45000,03 * F2
1 = acetona; 2 = água; 3 = ar
0 0,97 * F5
(3) Balanço de água: 0,03*F2 + 0,385*F4 + 0,97*F5= 500
1.4- EXEMPLOS DE MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS
Exemplo 1: recuperação de acetona.
 Sistema de equações algébricas lineares resultante:
0 ,97*F2 + 0 *F5 + 0 *F4 = 0,92 * 6000 *F2 + 0,03*F5 + 0,615*F4 = 0,08 * 6000,03 *F2 + 0,97*F5 + 0,385*F4 = 500
 Ou:
0,03 *F2 + 0,97*F5 + 0,385*F4 = 500
 







 


















500
60008,0
60092,0
385,097,003,0
615,003,00
0097,0
4
5
2
F
F
F
bxA 
1.4- EXEMPLOS DE MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS
1.4.2- Equações algébricas não lineares
 Exemplo 2: unidade de vaporização flash.
V, yi 
F, z Vaporizador 
V = ?
L, xi 
F, z i Vaporizador flash 
T = 270ºF P = 10 atm
F = 270 lbmol/h 
Componente iz iii xyk  n-butano 0,25 2,13 n-pentano 0,45 1,10 n-hexano 0,30 0,59 
x1 = ?x2 = ?x3 = ?
L = ?
1.4- EXEMPLOS DE MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS
1.4.2- Equações algébricas não lineares
 Exemplo 2: unidade de vaporização flash.
5 incógnitas
3 balanços de componente  3,2,1 iVyLxFz iii3 balanços de componente
1 balanço global
1 relação constitutiva
 3,2,1 iVyLxFz iii
VLF 
1i ix
1.4- EXEMPLOS DE MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS
1.4.2- Equações algébricas não lineares
 Exemplo 2: unidade de vaporização flash.  0,,,, 3211 VLxxxf   0,,,, VLxxxf   0,,,, 3212 VLxxxf 0  0,,,, 3215 VLxxxf
 TVLxxx 321xSOLUÇÃO
  0xf 
1.4- EXEMPLOS DE MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS
1.4.2- Equações algébricas não lineares
 Exemplo 2: unidade de vaporização flash.
MODIFICAÇÃO DO SISTEMA PARA UMA ÚNICA EQUAÇÃO:
1 ixI) 1i ix
     01113 1  i ii kFV zFVf
           01159,01 30,0110,11 45,0113,21 25,0  FVFVFVFVf
I) 
 ?0FVSOLUÇÃO TRIVIAL: 
1.4- EXEMPLOS DE MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS
1.4.2- Equações algébricas não lineares
 Exemplo 2: unidade de vaporização flash.
MODIFICAÇÃO DO SISTEMA PARA UMA ÚNICA EQUAÇÃO:
1 yII) 1i iyII) 
     01113 1  i iii kFV kzFVf
SOLUÇÃO TRIVIAL:  ?1FV
1.4- EXEMPLOS DE MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS
1.4.3- Formulações baseadas em otimização
 Exemplo 3: ajuste de parâmetros cinéticos.
BA     RTECkdtdCr naoaa exp
1ar 1aC 1ar 1aC 1ar
?
Taxa de reação experimental
Taxa de reação Concentração Temperatura 
1ar 1aC T1 
2ar 2aC T2 .... .... .... 
aNr aNC TN 
1.4- EXEMPLOS DE MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS
1.4.3- Formulações baseadas em otimização
 Exemplo 3: ajuste de parâmetros cinéticos.
1ar 1aC 1ar 1aC 1ar 1aC
    iniaoeia RTECkr exp  iRT
    21,, ,,    Ni eiaiaonEk rrnEkMino
Taxa de reação “estimada”
Para funções não lineares, a metodologia de resolução é estudada em “Simulação de Processos” (Prof. Wilson)
Para uma função linear nos parâmetros, ou linearizada, podemos utilizar métodos matriciais (Capítulo 2 das Notas de Aula).
1.4- EXEMPLOS DE MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS.
1.4.4- Equações diferenciais ordinárias lineares, problema do valor inicial (EDO-PVI ou, em inglês, ODE-IVP).
 Exemplo 4: sistema de dois tanques agitados contendo sal.
Água pura 
F1 = 3 
Mistura 
F3 = 1 
Balanço dinâmico de sal no 
 
F1 = 3 F3 = 1 
Mistura, F2 = 4 
Mistura 
 F4 = 3 
A B 
F1, F2 , F3 , F4: m3/h
t = 0 :mo,A = 25 kg
t = 0 , mo,B= 0 kg
Balanço dinâmico de sal no tanque A
de sal no tanque B
VA = 50 m3 VB = 50 m3
1.4- EXEMPLOS DE MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS.
 O Exemplo 4 resulta em um sistema de EDOs lineares de primeira ordem com coeficientes constantes, o qual pode ser representado por: (1.18)Axx dtd
 Mais genericamente, podemos escrever:
(1.21)onde:    ttdt
d fxAx 
 Tnxxx 21x
        Tn tftftft 21f
 
          
     








tatata
tatata
tatata
t
nnnn
n
n




21
22221
11211
A
Água e sal 
F1 = 3 
Mistura 
F3 = 1 
1.4- EXEMPLOS DE MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS. Exercício Ex-1.
1.4.4- Equações diferenciais ordinárias lineares, problema do valor inicial (EDO-PVI ou, em inglês, ODE-IVP).
 Ex-1: sistema de dois tanques agitados com entrada de sal.
Balanço dinâmico de sal no 
 
F1 = 3 F3 = 1 
Mistura, F2 = 4 
Mistura 
 F4 = 3 
A B 
C1 = 0,08 
F1, F2 , F3 , F4: m3/h
t = 0 :mo,A = 25 kg
t = 0 , mo,B= 0 kg
Balanço dinâmico de sal no tanque A
de sal no tanque B
VA = 50 m3 VB = 50 m3
X1 (t) = ? X2 (t) = ? X1 (t), X2 (t):- massas nos tanques A e B
BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA. Sistemas a parâmetros concentrados.
 Exemplo de aplicação: reator de mistura perfeita. 
FT LC LT 
CV-1 CV-3 
FC 
Vazão de água fria Vazão de água quente F1, T1 F2, T2 
A 
 
Vazão de vapor 
TT 
Setpoint de nível 
CV-2 
Setpoint de vazão 
Posição da válvula h 
F, T 
T 
Fvap , Tvap 
BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA
 Balanço de energia, equação geral.
































sistema pelo
 realizado
 Trabalho
VC opara 
sistema do fronteiras
nascalor de
ciaTransferên
VC do
escoamentodeenergia 
 deSaída 
VC no
 escoamento
 deenergia 
 deEntrada 
VC no
energia de
Acúmulo
(S-1) Acúmulo de energia no VC no intervalo de tempo :
[Joules] (1)
onde: é a energia interna total, [J];é a energia interna total do sistema por mol de constituintes, [J/mol];é o número total de moles de constituintes do sistema, [kg].
t
Uu~n
        tttttt ununUU ~~  
Observação: desprezam-se as energias potencial e cinética.
(S-1)
BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA
 Entrada e saída de energia de escoamento no VC no intervalo de tempo :
onde:
t
tuCFtuCF saídasentradas N
j jsjsjs
N
k kekeke
   1 ,,,1 ,,, ~~ [Joules] (S-3)onde:: é a energia interna da corrente de entrada k, [J/mol];: é a vazão volumétrica da corrente de entrada k, [m3/s];: é a concentração molar total da corrente de entrada k, [mol/m3];: idem, para a corrente de saída j;: é o intervalo de tempo transcorrido, [s].
keF ,
keC ,
keu ,~
jsjsjs CFu ,,, ;;~t
BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA
 Trabalho realizado pelo sistema no intervalo de tempo (Joules):t
(S-6)tVPtVPCFtVPCFtW sissisNj jsjsjsjs
N
k kekekekeeixo
saídasentradas     1 ,,,,1 ,,,, ~~
Com sinal: Com sinal: trabalho realizado pelo sistema
:0eixoW
:0eixoW
Bombas
Turbinas
Trabalho de expansão das fronteiras do VC
Trabalho de escoamento
dt
dVV sissis 
BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA
 Transferência de calor no intervalo de tempo (Joules):
onde: : é a taxa de transferência de calor, [J/s];
t
(S-8)  tTAUtQ trocaglobal  
 : é a taxa de transferência de calor, [J/s];: é o coeficiente global de transferência de calor, [J/(s.m2.ºC)];: é a área de transferência de calor, [m2].
 Exemplo. Para um tanque com aquecimento por serpentina:
Q
globalU
trocaA
 TTAUQ serpserpserp  T : temperatura no interior do tanque;Tserp : temperatura do vapor na serpentina
BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA
 Substituindo as parcelas na Equação (S-1), segue que:
 Pode-se usar a entalpia no lugar da energia interna, substituindo na Equação (S-10), a relação:
(S-10)  TAUdtdVPWhCFhCFdtund trocaglobalsissiseixoNj jsjsjs
N
k kekeke
saídasentradas    1 ,,,1 ,,, ~~~
na Equação (S-10), a relação:
 Assim, após a substituição, tem-se que:
     
dt
dVPdt
dPVdt
hnd
dt
VPhnd
dt
und sissississississis 
~~~
 
dt
dPVTAUWhCFhCFdt
hnd sissistrocaglobaleixoNj jsjsjs
N
k kekeke
saídasentradas    1 ,,,1 ,,, ~~
~
[J/s] (S-12)(S-12) pode ser resolvida por simuladores contendo um pacotede propriedades termodinâmicas!  h = h(P,T,composição)
BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA
 A entalpia do sistema pode ser substituída em função de T, P e nipor meio da seguinte relação (PERRY, GREEN, 2008):
(S-18)     compNi iisissisp dtdnhdtdPTVdtdTcndthnd 11~~  Para água
?
onde: é o calor específico molar da mistura no sistema, [J/ºC.mol];é a entalpia parcial molar de i no sistema, [ J/mol de i];é o coeficiente de expansão volumétrica, [ K-1].
= o (zero) para um gás ideal T1 = próximo de 1,0 para líquidos
pc~
ih
 T1 061,0T
Para águaà 273 K:
xP
sis
sis T
V
V ,
1 

 
BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA
 O termo pode ser obtido a partir do balanço molar por componentes, dado por: dtdnh ii
   reaçõessaídasentradas N iNj ijsjsN k ikekei RVCFCFdtdn 1 ,1 ,,,1 ,,,   (S-20)
 Após multiplicar a Equação (S-20) por e somar o resultado para todos os componentes, obtém-se:
 A Equação (S-24) pode ser substituída na (S-16), e esta na (S-12):
       reaçõessaídas compentradas compcomp N rNj Ni iijsjsN k Ni iikekeNi ii HRVhCFhCFdtdnh 1 ,1 1 ,,,1 1 ,,,1  
ih
(S-24)
BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA
 Equação do balanço de energia, válida para qualquer sistema contínuo multicomponente e multifásico:  
     



saídas coompentradas coomp
reações
N NN N
N
rsississistrocaglobaleixop
hhCFhhCF
HRVdt
dPTVTAUWdt
dTcn
1 ,
~


 
?
 Simplificações:
O efeito do trabalho de eixo sobre a temperatura do sistema normalmente é pequeno e pode ser desprezado.
Para líquidos, o termo envolvendo a expansão volumétrica normalmente pode ser desprezado.
          j i iijsijsjsk i iikeikeke hhCFhhCF 1 1 ,,,,,1 1 ,,,,, [Watt] (S-27)

eixoW
?
BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA
 Simplificações, continuação:
As correntes de entrada estão na mesma fase existente no interior do reator/tanque. Para a fase líquida, a dependência das entalpias dos componentes em relação à pressão pode ser desprezada. Assim:        TTcCThThChhC 
As correntes de saída estão na mesma fase existente no interior do reator/tanque e o equipamento é de mistura perfeita (modelo a parâmetros concentrados). Assim, e segue que:
(S-29)        TTcCThThChhC keikepikeikeiikeiikeike  ,,,,,,,,,,,,,    keTT ikepkeikep dTcTTc , ,,,,,,,
iisijs hhh  ,,,     0,,,,  iiiiijsijs hhChhC iisijs CCC  ,,,
BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA
Aplicando as simplificações, chega-se à Equação (S-34b), idêntica à (S-34) porém sem o trabalho de eixo e sem o trabalho de expansão volumétrica:
    TAUHRVTTcCFdtdTcn trocaglobalN rN k kekepkekep reaçõesentradas    1 ,1 ,,,,, ~~   [Watt] (S-34b)
 Esta mesma equação também pode ser convertida para utilização com concentrações mássicas ao invés de molares, resultando em:
dt k  11 
    TAUHRVTTcFdtdTcV trocaglobalN rN k kekepkekep reaçõesentradas    1 ,1 ,,,,, ˆˆ  
[Watt] (S-34b)
[Watt] (S-38)
 compNi ikepikekepke cCcC 1 ,,,,,,,, ~onde usou-se a relação:
BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA
 Notação utilizada para as reações químicas:
: é a taxa de reação da reação , [mol/(m3s)];: é a entalpia da reação , positiva (J/mol).
R ,rH 
Observação: reações exotérmicas possuem entalpia de reação negativa, de modo que é positivo e há geração de energia (aquecimento do meio reacional). Para reações endotérmicas o contrário é verdadeiro, esse termo é negativo e o meio é resfriado.
 ,rH
BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA
 Restrições da Equação (S-38):
 reator de mistura perfeita, ou seja, as propriedades do meio reacional são uniformes (independem da posição espacial no interior do reator), iguais às propriedades das correntes de saída; 
 as correntes de entrada e de saída estão todas em uma mesma fase líquida, igual à fase do meio reacional; líquida, igual à fase do meio reacional; 
 a variação da entalpia dos componentes com a pressão, nas correntes de entrada, é pequena e pode ser desprezada.
 Outros modelos. 
 Modificando a quantidade e ou o tipo de simplificações efetuadas, pode-se obter diferentes modelos para diferentes aplicações, ou para uma mesma aplicação porém com um rigor intermediário entre o modelo dado pela Equação (S-27), mais rigoroso, e o modelo simplificado dado pela Equação (S-34b) ou (S-38).
BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA –Exemplo 5
1.4.5- Equações diferenciais ordinárias não lineares, problema de valor inicial (EDO-PVI, ou ODE-IVP)
Exemplo 5. Sistema aquecedor/tanque agitado: simplificar a Equação (S-38) e obter os demais balanços para este exemplo. Resolução na lousa.
 
Vazão de vapor 
FT LC 
TT 
LT 
Setpoint de nível 
CV-1 
CV-2 
CV-3 
FC 
Setpoint de vazão 
Posição da válvula 
Vazão de água fria 
h 
Vazão de água quente F1, T1 F2, T2 
F, T 
T 
A 
Fvap , Tvap 
Comentários Exemplo 5 (seção 1.4.5)
 O Exemplo 5 constitui um sistema de EDO’s do tipo 
 Podemos classificar as variáveis envolvidas em três grupos principais:
 (1) Variáveis de estado (state variables): são aquelas que aparecem nas     otdtd xxuxfx  0;,
 (1) Variáveis de estado (state variables): são aquelas que aparecem nas derivadas - no caso, é o vetor x dado por .
 (2) Entradas (input variables): são aquelas que podem ser alteradas livremente em função das condições operacionais (são também conhecidas como funções forçantes) – no caso, é o vetor u dado por
 (3) Parâmetros do sistema (system parameters): definem a geometria, o fluido envolvido etc. No caso: .
 TTh,x
 TQFFTT ,,,, 2121u
kgAcA orifp ,,,,,
  vapvapvapvapserp FTTUAQ ?
Simulação dinâmica e em R.P.
 Podemos analisar o comportamento de regime permanente (R.P.) desse tipo de sistema zerando as derivadas e resolvendo o sistema de equações algébricas (lineares ou não lineares) resultante.
 Para isto, adotamos um conjunto de valores para as “entradas” (vetor u):
QQTTTTFFFF  ,,,, 22112211
onde a barra acima das variáveis indica a condição de R.P..
 Assim, obtermos no Regime Permanente o vetor solução:
 Em geral, iniciamos uma simulação dinâmica no R.P. e aplicamos uma perturbação em uma variável de entrada para analisar o comportamento do sistema (no caso, de h e T) em função do tempo.
QQTTTTFFFF  ,,,, 22112211
 TTh ,x
Simulação com modelos de controladores de processo
 Em sistemas reais, os controladores do processo podem entrar em ação, se necessário, de modo a restabelecer as condições de R.P. para a variáveis controlada após a ocorrência da perturbação, ou de modo a atingir um novo patamar de operação desejado (novo set-point das variáveis de estado).
 A ação dos controladores do processo é feita por meio das variáveis manipuladas (uma vazão, por exemplo), o que envolve elementos sensores(exemplo: um medidor de vazão), transmissores (exemplo: transmissor de (exemplo: um medidor de vazão), transmissores (exemplo: transmissor de vazão, transmissor de sinais elétricos do controlador para os dispositivos atuadores etc), e atuadores (exemplo: servomecanismo de posicionamento do pistão de uma válvula de controle).
 Modelos de controladores podem ser adicionados ao sistema de equações de modo a termos uma representação mais realista da dinâmica de operação do sistema sob estudo. Isto será visto na Unidade Curricular “Análise e Controle de Processos”, mas também vamos ver alguns exemplos de aplicação em Análise de Sistema.
 Exemplo de simulação: comentários na 3ª aula.