Variaveis aleatorias esperanca variancia binomial poisson distribuicao normal

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAI´BA
Ca´lculo das Probabilidades e Estat´ıstica I
Professora: Juliana Freitas Pires
Terceira Lista de Exerc´ıcios
Parte I: Varia´veis aleato´rias, Esperanc¸a e Variaˆncia
Questa˜o 1. Considere uma varia´vel aleato´ria X com a seguinte func¸a˜o de probabilidade:
p(x) =
{
c, para i = 1, 3, 5
2c, para i = 2, 4
a) Determine o valor da constante c que torna leg´ıtima a func¸a˜o de probabilidade acima.
b) Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada.
c) Encontre a Esperanc¸a e a Variaˆncia de X.
Questa˜o 2. Um lojista mante´m extensos registros das vendas dia´rias de certo aparelho. Com os dados
coletados construiu a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidade da varia´vel aleato´ria X = nu´mero de aparelhos
vendidos por semana:
xi 0 1 2 3 4 5
P(X = xi) 0, 05 0, 05 0, 25 0, 30 0, 20 0, 15
a) Calcule o nu´mero esperado de aparelhos vendidos por semana.
b) Calcule o desvio padra˜o nu´mero de aparelhos vendidos por semana.
Questa˜o 3. Uma ma´quina de apostas tem dois discos que funcionam independentemente um do outro. Cada
disco tem 10 figuras: 4 M, 3 B, 2 P, 1 L. Uma pessoa paga R$90, 00 e aciona a ma´quina. Se aparecerem
dois M ganha R$50, 00; se aparecerem dois B ganha R$90, 00; se aparecerem dois P ganha R$150, 00; se
aparecerem dois L ganha R$190, 00; se aparecer uma configurac¸a˜o diferente a pessoa perde R$20, 00. Seja
Y a varia´vel aleato´ria lucro:
a) Encontre a func¸a˜o de probabilidade de Y;
b) Calcule o lucro esperado. Voceˆ apostaria neste jogo?
Questa˜o 4. O tempo T em minutos necessa´rio para um opera´rio processar certa pec¸a, e´ uma v.a. com a
seguinte distribuic¸a˜o de probabilidade:
ti 2 3 4 5 6 7
P(T = ti) 0, 1 0, 1 0, 3 0, 2 0, 2 0, 1
a) Calcule o tempo me´dio de processamento e a variaˆncia.
b) Para cada pec¸a processada o opera´rio ganhara´ um fixo de R$ 2, 00, mas se ele processa a pec¸a em
menos de 6 minutos, ganha a mais 0, 50 por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a
pec¸a em 4 minutos recebe a quantia adicional de R$ 1, 00. Encontre a distribuic¸a˜o de probabilidade,
a esperanc¸a e a variaˆncia da quantia ganha por pec¸a.
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Questa˜o 5. Suponha que a varia´vel aleato´ria X tenha a seguinte func¸a˜o de densidade:
f(x) =

1 + x, se − 1 < x < 0
1− x, se 0 < x < 1
0, se x < −1 ou x > 1
a) Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
b) Calcular E(X) e Var(X).
Questa˜o 6. Seja X uma varia´vel aleato´ria com densidade
f(x) =
{
cx2, se − 1 ≤ x ≤ 1
0, caso contra´rio
a) Determine c para que f(x) seja uma funcao densidade.
b) Encontre P(X > 0).
c) Encontre o valor de x tal que F (x) = 1/4 onde F e´ a distribuic¸a˜o acumulada.
d) Determine E(X) e Var(X).
Questa˜o 7. Seja a varia´vel aleato´ria cont´ınuaX = quantidade mensal ofertada (em ton.) para um particular
produto, com func¸a˜o densidade de probabilidade dada por:
f(x) =
{
x−1/2
2 , se 0 ≤ x ≤ 1
0, caso contra´rio
a) Calcule P(X > E(X)), onde E(X) e´ o nu´mero esperado de quantidade ofertada do produto.
Questa˜o 8. Seja X uma varia´vel aleato´ria denotando o tempo (em horas) necessa´rio para produzir um
determinado artigo, com func¸a˜o densidade de probabilidade dada por:
f(x) =
{
0, 4(x+ 1), se 1 ≤ x ≤ 2
0, caso contra´rio
a) Calcule o tempo esperado na produc¸a˜o do artigo.
b) O lucro (em R$) que o produtor tem sobre um artigo e dado por Y = 3−X2. Calcule o lucro esperado
por artigo.
Questa˜o 9. Seja X a varia´vel aleato´ria denotando o tempo semanal necessa´rio para completar um pequeno
contrato. A fdp de X e´ dada por:
f(x) =

x− 2
16
, se 2 ≤ x ≤ 6
10− x
16
, se 6 < x ≤ 10
0, caso contra´rio
Calcule:
a) P(5 ≤ X ≤ 7).
b) E(X).
c) O lucro do contrato depende do tempo necessario para completa-lo, atraves da func¸a˜o: Lucro =
100− 10X (em R$). Determine o lucro esperado.
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Parte II: Binomial e Poisson
Questa˜o 10. Estat´ısticas de tra´fego revelam que 30% dos ve´ıculos interceptados numa autoestrada na˜o
passam no teste de seguranc¸a. De 4 ve´ıculos interceptados aleatoriamente, calcule a probabilidade de que
na˜o passe no teste de seguranc¸a:
a) nenhum deles.
b) todos eles.
c) exatamente um.
d) pelo menos um.
e) se forem interceptados aleatoriamente 40 ve´ıculos, qual o nu´mero esperado dos que na˜o passam no
teste de seguranc¸a?
Questa˜o 11. Um levantamento efetuado na carteira de uma ageˆncia banca´ria indicou 20% dos t´ıtulos eram
pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20 t´ıtulos da carteira, determine a probabilidade de
que sejam pagos com atraso:
a) no ma´ximo dois t´ıtulos.
b) no mı´nimo um t´ıtulo.
c) Qual o nu´mero esperado de t´ıtulos pagos com atraso?
Questa˜o 12. Um levantamento efetuado em um prega˜o de bolsa de valores mostrou que naquele dia 40%
das empresas tiveram aumento do valor de suas ac¸o˜es, enquanto que as ac¸o˜es das empresas restantes ficaram
esta´veis ou perderam valor. Um fundo negocia com ac¸o˜es de 10 destas empresas. Calcule a probabilidade
de que neste dia:
a) Todas as ac¸o˜es do fundo tenham se valorizado;
b) Todas as ac¸o˜es do fundo tenham se desvalorizado ou ficaram esta´veis?
Questa˜o 13. Um inspetor de qualidade sabe que a porcentagem de laˆmpadas defeituosas no lote e´ 20%.
Em uma amostra de 5 laˆmpadas ele deseja saber:
a) a probabilidade de obter pelo menos uma laˆmpada defeituosa;
b) o nu´mero esperado de laˆmpadas defeituosas e a probabilidade de E(X).
Questa˜o 14. A probabilidade de um atirador acertar o alvo e´ 1/3. Se ele atirar 6 vezes qual a probabilidade
de:
a) acertar exatamente 2 vezes?
b) na˜o acertar nunhum tiro?
Questa˜o 15. Se 5% das laˆmpadas de certa marca sa˜o defeituosas, achar a probabilidade de que, numa
amostra de 10 laˆmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos:
a) nenhuma defeituosa.
b) 3 defeituosas.
c) mais do que uma boa.
Questa˜o 16. Em cada dois dias, em me´dia, chegam um navio em um determinado porto.
a) Qual a probabilidade de que dois ou mais navios chegara˜o em um dia qualquer?
b) Qual a probabilidade de chegarem pelo menos treˆs navios em dois dias.
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Questa˜o 17. Em me´dia, quatro pessoas por hora utilizam o servic¸o de caixa-automa´tico de um banco.
Qual a probabilidade de que:
a) Exatamente treˆs usaram o servic¸o em uma hora qualquer?
b) Exatamente duas usaram o servic¸o em 15 minutos?
c) Pelo menos treˆs usara´ o servic¸o em uma hora qualquer?
Questa˜o 18. Suponha que um manuscrito de um livro texto tenha um total de 50 erros nas 500 pa´ginas de
material. Se os textos sa˜o distribu´ıdos aleatoriamente ao longo do texto, qual a probabilidade de encontrar
dois erros em uma pa´gina qualquer?
Questa˜o 19. Placas de metal sa˜o inspecionadas regularmente quanto ao nu´mero de fendas encontrando-se
em me´dia 2, 2 fendas por 2m2. Supondo que o nu´mero de fendas se distribuem segundo uma distribuic¸a˜o
de Poisson, calcule a probabilidade de se obter:
a) nenhuma fenda em 2m2 do material.
b) No mı´nimo uma placa, em um lote de 5 placas, com nenhuma fenda por 2m2.
Questa˜o 20. Em uma empresa de ceraˆmica sabe-se que existe em me´dia 0, 1 defeito por m2. Um comprador
analisa uma a´rea de 5m× 4m de piso e decide comprar dessa marca se encontrar no ma´ximo 1 defeito nesta
a´rea. Qual a probabilidade do comprador comprar desta marca de ceraˆmica?
Questa˜o 21. O nu´mero me´dio de componentes defeituosos por certo tipo de aparelho eletroˆnico e´ de 1, 8.
Admitindo-se poder ser empregada a distribuic¸a˜o de Poisson:
a) Calcule a me´dia e o desvio padra˜o dessa distribuic¸a˜o.
b) Calcular a probabilidade de um aparelho apresentar no ma´ximo 2 componentes defeituosos.
Questa˜o 22. Uma fa´brica de pneus verificou que ao testar seus pneus na pista, havia em me´dia um estouro
de pneu a cada 5000 km.
a) Qual a probabilidade que num teste de 3000 km haja noma´ximo um pneu estourado?
b) Qual a probabilidade de que um carro ande 8000 km sem estourar nenhum pneu?
Parte III: Distribuic¸a˜o Normal
Questa˜o 23. Em uma pronta entrega, durante uma etapa do ciclo de produc¸a˜o, e´ medido o comprimento
(X) do corpo de ternos de tamanho 2 que sa˜o confeccionados pela empresa. Sabendo que X segue uma
distribuic¸a˜o normal com me´dia igual a 90, 0 cm e desvio padra˜o de 0, 9 cm, calcule as seguintes probabilidades:
a) de encontrar ternos com comprimento entre 89 e 91 cm.
b) de encontrar ternos com comprimento menor que 88 cm.
c) de encontrar ternos com comprimento maior que 91, 5 cm.
Questa˜o 24. Estudos anteriores mostram que a temperatura de um pasteurizador segue uma distribuic¸a˜o
normal com me´dia 75, 4◦C e desvio padra˜o 2, 2◦C. Sabe-se que se a temperatura ficar inferior a 70◦C, o leite
podera´ ficar com bacte´rias male´ficas.
a) Qual a probabilidade do leite ficar com bacte´rias male´ficas?
b) Considerando 1000 utilizac¸o˜es de um pasteurizador, em me´dia, quantas a temperatura deve ser inferior
a 70◦C podendo prejudicar o leite?
c) Qual a probabilidade de que em 10 utilizac¸o˜es do pasteurizador em nenhuma o leite fique com bacte´rias
male´ficas?
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Questa˜o 25. Uma ma´quina de ensacar determinado produto apresenta variac¸o˜es de peso (distribu´ıdo
normalmente) com desvio padra˜o de 3 kg.
a) Se a ma´quina for regulada com um peso me´dio de 64 kg, qual e´ a probabilidade de se obter sacos com
menos de 55 kg?
b) Se a ma´quina for regulada com um peso me´dio de 64 kg, qual e´ a probabilidade de se obter sacos com
mais de 66 kg?
c) Em quanto deve ser regulado o peso me´dio do saco para que apenas 10% tenham menos de 60 kg?
Questa˜o 26. Um estudo das modificac¸o˜es percentuais dos prec¸os, no atacado, de produtos industrializados,
mostrou que ha´ distribuic¸a˜o normal com me´dia de 50% e desvio padra˜o de 10%. Qual a porcentagem dos
artigos que sofreram aumentos:
a) superiores a 75%?
b) entre 30% e 80%?
Questa˜o 27. A resisteˆncia de determinadas pec¸as individuais feitas por um certo processo de manufatura
e´ conhecida ser normalmente distribu´ıda com media µ = 24 e desvio padrao σ = 3. Toda pec¸a produzida e´
testada, sendo aceita pelo controle de qualidade se as suas especificac¸o˜es quanto a` resistencia estiver entre
µ− 2σ e µ+ 2σ (caso contra´rio e´ rejeitada).
a) Calcule a probabilidade de uma peca ser rejeitada.
b) Um consumidor exige que pelo menos 95% das pec¸as tenha resisteˆncia superior a 20; tal especificac¸a˜o
e´ atendida? Justificar a resposta.
Questa˜o 28. Uma empresa produz um equipamento cuja vida u´til admite distribuic¸a˜o normal com me´dia
300 h e desvio padra˜o 20 h. Se a empresa garantiu uma vida u´til de pelo menos 280 h para uma das unidades
vendidas, qual a probabilidade de ela ter que repor essa unidade?
Questa˜o 29. Uma varia´vel aleato´ria X distribui-se normalmente com me´dia 80 e variaˆncia 9. Calcule o
intervalo central que conte´m:
a) 50% dos valores da varia´vel;
b) 95% dos valores da varia´vel.
c) 99% dos valores da varia´vel.
Questa˜o 30. Atrave´s de documentac¸a˜o e observac¸a˜o cuidadosas, constatou-se que o tempo para fazer
um teste padra˜o de matema´tica e´ aproximadamente uma normal com µ = 80 min e σ = 20 min. Que
percentagem de candidatos:
a) Levara´ menos de 80 min para concluir o teste?
b) Nao terminara´ o teste se o tempo ma´ximo concedido e´ de 2 horas?
c) Se 100 pessoas fazem o teste, quantas podemos esperar que o terminem na primeira hora?
Questa˜o 31. O Departamento de Marketing da empresa resolve premiar 5% dos seus vendedores mais efi-
cientes. Um levantamento das vendas individuais por semana mostrou que elas se distribu´ıam normalmente
com me´dia 240.000 u.m. e desvio padra˜o 30.000 u.m. Qual o volume de vendas mı´nimo que um vendedor
deve realizar para ser premiado?
Questa˜o 32.Em uma populac¸a˜o de escores cujo valor me´dio e´ µ = 60 e desvio padra˜o e´ σ = 12, desejamos
dividi-la em quatro classes. A classe “A” e´ formada por 16, 6% dos menores escores; a classe “B” por 24, 3%
dos escores seguintes a “A”; a classe “C” por 38, 2% dos escores seguintes a “B” e a classe “D” pelos maiores
escores restantes. Admitindo distribuic¸a˜o normal para os escores:
a) quais os limites de cada classe?
b) Em que classe estara´ um escore de 75? E um escore de 30?
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