LISTA PARA 3 PROVA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAI´BA
Ca´lculo das Probabilidades e Estat´ıstica I
Professora: Juliana Freitas Pires
Lista de Exerc´ıcios Terceira Prova
Parte I: Distribuic¸a˜o Amostral
Questa˜o 1. Seja X ∼ N(90; 26). Dessa populac¸a˜o retiramos uma amostra de tamanho n = 25. Calcular:
a) P(X > 93) b) P(X < 92)
Questa˜o 2. Em uma empresa com 2.000 funciona´rios o sala´rio me´dio e´ de R$600, 00 com desvio padra˜o de
R$115, 00. Para amostras de 22 funciona´rios, qual a me´dia e o desvio padra˜o da distribuic¸a˜o amostral das
me´dias?
Questa˜o 3. Um produto tem garantia me´dia de 60 dias com desvio padra˜o de 40 dias. Um fornecedor
vende para uma loja um lote de 100 unidades do produto e garante que a durac¸a˜o me´dia desse lote sera´
superior a 61 dias.
a) Qual a probabilidade do fabricante estar certo?
b) O fabricante decide modificar seu discurso e afirma agora que a me´dia amostral do lote na˜o se distan-
ciara´ da verdadeira me´dia populacional em mais do que 20% do desvio padra˜o populacional. Qual a
probabilidade do fabricante estar certo?
Questa˜o 4. A capacidade ma´xima de um avia˜o particular 500 kg. A distribuic¸a˜o X dos pesos dos tripulantes
e´ aproximadamente normal com me´dia 70 e variaˆncia 100. Qual a probabilidade de 7 pessoas ultrapassarem
este limite?
Questa˜o 5. A altura dos estudantes da turma de Ca´lculo das Probabilidades e Estat´ıstica tem distribuic¸a˜o
normal com me´dia 172cm e desvio padra˜o 49cm. Uma amostra de 36 estudantes e´ retirada.
a) Qual a probabilidade de que a me´dia amostral seja acima de 180cm?
b) Se forem obtidas 150 amostras de 36 estudantes cada, em quantas amostras se espera que a me´dia
esteja entre 169 cm e 174 cm?
Questa˜o 6. Um processo de fabricac¸a˜o produz uma grande quantidade de artigos onde 10% dos artigos
esta˜o fora das especificac¸o˜es exigidas. Extra´ıda uma amostra de 225 artigos:
a) Determine a me´dia e o desvio padra˜o da proporc¸a˜o amostra de artigos fora das especificac¸o˜es.
b) Qual e´ a probabilidade de que a proporc¸a˜o amostral de artigos fora da especificac¸a˜o esteja entre 9% e
11%?
Questa˜o 7. Uma empresa fabricante de pastilhas para freio efetua um teste para controle de qualidade de
seus produtos. Sabe-se que 1% das pastilhas fabricadas apresenta desempenho deficiente quanto ao n´ıvel de
desgaste.
a) Qual a probabilidade de que em uma amostra aleato´ria simples de 1000 pastilhas a proporc¸a˜o de
pastilhas defeituosas seja superior a 0, 009?
b) Qual a probabilidade de que sejam encontradas 8 ou menos pastilhas com problemas na amostra de
tamanho 1000?
Questa˜o 8. Em um grande lote de pec¸as produzidas, 8% sa˜o defeituosas. Verifique se e´ mais prova´vel
ocorrer um percentual de pec¸as defeituosas acima de 10% em uma amostra de 100 pec¸as, ou um percentual
de pec¸as defeituosas acima de 9% em uma amostra aleato´ria de 324 pec¸as.
Parte II: Intervalo de confianc¸a
Questa˜o 9. As medidas dos diaˆmetros de uma amostra aleato´ria de 200 rolamentos esfe´ricos produzidos
por uma certa ma´quina, durante uma semana, apresentaram a me´dia 20, 93 mil´ımetros e o desvio padra˜o
populacional de 1, 07 mil´ımetros. Determine os intervalos, para o diaˆmetro me´dio de todos os rolamentos
esfe´ricos, com 98% de confianc¸a.
Questa˜o 10. Em uma fa´brica, foi selecionada uma amostra com 30 unidades de certa pec¸a, obtiveram-se
as seguintes medidas para os pesos; me´dia amostral de 13, 13 kg e um desvio padra˜o amostral de S = 1, 43
Kg. Construa um intervalo de confianc¸a para a me´dia dos pesos com 90% de confianc¸a.
Questa˜o 11. Um certo teste de atitude e´ conhecido produzir escores que sa˜o normalmente distribu´ıdos. O
teste e´ administrado a uma amostra de 26 estudantes, selecionados aleatoriamente, obtendo-se os resultados:
me´dia amostral = 982 e desvio padra˜o amostral = 213. Construa um intervalo de 95% de confianc¸a para o
escore me´dio das atitudes para todos os estudantes da populac¸a˜o.
Questa˜o 12. Um empresa´rio esta´ estudando os custos de produc¸a˜o de um determinado produto sob
determinadas condic¸o˜es. Ele admite que essa varia´vel e´ normalmente distribu´ıda com desvio padra˜o σ = 2
UM (Unidades Moneta´rias).
a) Determine um IC de 90% para o custo me´dio verdadeiro do produto utilizando os valores da seguinte
amostra aleato´ria obtida: 4, 8 7, 1 8, 1 4, 5 5, 6 6, 8 7, 2 5, 7 UM.
b) Suponha que no item a) o desvio padra˜o na˜o fosse conhecido. Como ficaria seus ca´lculos para deter-
minar um IC para ?
Questa˜o 13 De um grande lote de chaves no15, tipo fixa, usada em mecaˆnica de automo´veis, retira-se
ao acaso uma amostra de 40 chaves. Sabendo-se que a resisteˆncia me´dia dessa amostra e´ 30 kg, e que a
distribuic¸a˜o das resisteˆncias e´ normal com um desvio padra˜o de 2,5kg, determinar:
a) Um intervalo de 90% de confianc¸a para a resisteˆncia me´dia do lote.
b) O n´ıvel de confianc¸a da estimativa intervalar se admitirmos que a resisteˆncia me´dia esta´ no intervalo
[30± 0, 7748kg].
c) Qual o erro de precisa˜o associado a um n´ıvel de confianc¸a de 99%?
Questa˜o 14. A Rodona produz um parafuso especial encomendado pela indu´stria automobil´ıstica. Uma
amostra aleato´ria de 121 itens sistematicamente extra´ıda da linha de produc¸a˜o indicou um comprimento
me´dio amostral de 20 cm e uma variaˆncia amostral de 0, 064 cm2. Com base nessas informac¸o˜es construa
os intervalos correspondentes a 99% de confianc¸a para a verdadeira me´dia desses parafusos.
Questa˜o 15. O diretor de recursos humanos da Verottoni deseja estimar o nu´mero me´dio de horas de
treinamento para seus vendedores.
a) Determine o tamanho mı´nimo da amostra necessa´ria para tanto, admitindo um fator de erro de ±4
horas a um n´ıvel de confianc¸a da estimativa de 95% e um desvio padra˜o populacional de 12 horas.
b) Admitindo o tamanho de amostra encontrado em a), calcule os erros de precisa˜o associados aos n´ıveis
de confianc¸a de 90% e 99%?
Questa˜o 16. Um prefeito de certa cidade tur´ıstica deseja estimar a me´dia de gastos para os turistas
que visitarem a cidade. Com este propo´sito, uma amostra aleato´ria de 120 turistas foi selecionada para a
investigac¸a˜o e encontrou-se que a me´dia foi igual a 800 u.m.(unidades de medidas) com desvio padra˜o de
200 u.m.
a) Achar o intervalo de confianc¸a, a 99% para a me´dia de todos os gastos de turistas com a cidade.
b) Qual deve ser o tamanho mı´nimo da amostra para que ao n´ıvel de confianc¸a de 95% o erro de estimac¸a˜o
seja 20 u.m.
Questa˜o 17. De 50000 componentes eletroˆnicos fabricados por uma companhia retira-se uma amostra
aleato´ria de 400 componentes e obte´m-se vida me´dia de 800 horas e desvio padra˜o de 100 horas. Qual o
intervalo de 99% de confianc¸a para a verdadeira me´dia de todos os componentes da populac¸a˜o?
Questa˜o 18. Numa amostra aleato´ria de 300 universita´rios, 180 tinham algum tipo de preconceito. Obter
os intervalos de 90% de confianc¸a para a proporc¸a˜o verdadeira, p, de universita´rios que tem algum tipo de
preconceito.
Questa˜o 19. Perguntou-se a 1000 jovens, entre 16 e 19 anos, quais os principais problemas que enfrenta a
juventude atual. Os principais problemas apontados, com o nu´mero correspondente de respostas, foram:
• o uso e o abuso de to´xicos 270
• a falta de comunicac¸a˜o com os pais 220
• o uso e o abuso do a´lcool 85
• o desemprego 68.
a) Considerando os 1000 jovens como uma amostra aleato´ria, estime atrave´s de um intervalo de 99% de
confianc¸a, a proporc¸a˜o de jovens da populac¸a˜o considerada que cita cada um dos problemas como o
principal.
b) A partir dos intervalos e confianc¸a, voceˆ teria condic¸o˜es de afirmar o principal problema apontado
pelos jovens na populac¸a˜o? Justifique sua resposta.
Questa˜o 20. Antes de uma eleic¸a˜o, um determinado partido esta´ interessado em estimar a proporc¸a˜o p de
eleitores favora´veis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelouque 60% dos eleitores
eram favora´veis ao candidato em questa˜o.
a) Determine o tamanho da amostra necessa´rio para que o erro cometido na estimac¸a˜o seja de, no ma´ximo,
0, 02 com probabilidade de 95%.
b) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido em a), observou-se que 55% dos eleitores eram
favora´veis ao candidato em questa˜o, construa um IC para a proporc¸a˜o p com 90% de confianc¸a.
Questa˜o 21. O DETRAN deseja estimar a proporc¸a˜o de motoristas de idades entre 18 e 20 anos que
dirigem carros enquanto afetados pelo consumo de a´lcool. Em um grande estudo, 42.772 homens entre 18 e
20 anos foram entrevistados e 5, 1% deles disseram que no meˆs anterior haviam dirigido enquanto estavam
sob o efeito do a´lcool. Usando o dados amostrais e um n´ıvel de confianc¸a de 90%, construa um intervalo de
confianc¸a para a proporc¸a˜o de motoristas de idades entre 18 e 20 anos que dirigem carros enquanto afetados
pelo consumo de a´lcool.
Questa˜o 22. Uma fa´brica produziu 500000 chips Pentium IV em certo per´ıodo. Sa˜o selecionados aleatori-
amente 400 chips para testes. Suponha que 20 chips na˜o tenham a velocidade de processamento adequada,
construa um intervalo para a proporc¸a˜o de chips adequados com 95% de confianc¸a.
Parte III: Testes de hipo´teses
Questa˜o 23. Os novos opera´rios de uma empresa sa˜o treinados a realizarem uma nova tarefa, cujo tempo
X (em horas) de aprendizado e´ anotado. Observou-se que X tem distribuic¸a˜o normal com me´dia µ = 25
hs. Uma nova te´cnica de ensino, que deve melhorar o tempo de aprendizado, foi testada em uma amostra
aleato´ria de 16 novos empregados, os quais apresentaram 23 hs como tempo me´dio de aprendizado, e um
desvio padra˜o s = 10 hs. Voceˆ diria, ao n´ıvel de 5% de significaˆncia, que a nova te´cnica e´ melhor que a
anterior?
Questa˜o 24. Foi admitido que o prec¸o me´dio de livros em Cieˆncias Sociais e´ de R$18, 00. Mas descobriu-se
que o prec¸o me´dio de uma amostra aleato´ria de 16 livros, adquiridos em um ano financeiro ( no campo
das Cieˆncias Sociais) e´ de R$ 21, 60, com um desvio padra˜o S = R$ 2, 70. Baseado nos dados amostrais
podemos aceitar a afirmac¸a˜o de que o prec¸o me´dio dos livros em questa˜o seja de R$ 18, 00? Use um n´ıvel
de significaˆncia de 5%.
Questa˜o 25. Uma cadeia de lanchonetes instalara´ um novo estabelecimento em um local proposto, se pas-
sarem pelo local mais do que 200 carros por hora durante certos per´ıodos do dia. Para 20 horas selecionadas
aleatoriamente durante tais per´ıodos, o nu´mero me´dio de carros que passaram pelo local foi de 208, 5, com
desvio padra˜o 30, 0. O gerente da cadeia de lanchonetes adota, conservadoramente, a hipo´tese nula de que
o volume de tra´fego na˜o satisfaz a exigeˆncia, ou seja, H0 : µ ≤ 200, 0 contra H1 : µ > 200, 0. Pode esta
hipo´tese ser rejeitada a um n´ıvel de significaˆncia de 5%?
Questa˜o 26. Uma fa´brica de automo´veis anuncia que seus carros consomem, em me´dia 10, 7 litros por
100 km, com desvio padra˜o de 0, 79 litros. Uma revista com base em resultados preliminares desconfia da
afirmac¸a˜o acima do fabricante e resolve testar tal hipo´tese analisando 32 automo´veis dessa marca, obtendo
11, 1 litros por 100 km como consumo me´dio (considerar como tendo distribuic¸a˜o normal o nu´mero de litros
consumidos por carro). O que a revista pode concluir sobre o anu´ncio da fa´brica ao n´ıvel de significaˆncia
de 5%?
Questa˜o 27. Suponhamos que o tempo que qualquer estudante gasta para se deslocar de casa para a
Universidade e´ distribu´ıdo normalmente com me´dia 45 minutos. Preocupado com o aumento do desinteresse
dos estudantes em participar das atividades, o diretor anotou aleatoriamente o tempo gasto por estudantes
ao se deslocar a` Universidade. Obteve me´dia de 50 min e desvio padra˜o de 12 min ao abordar 36 alunos.
Teste se fica confirmado o aumento do tempo em chegar a Universidade. Use n´ıvel de significaˆncia de 5%.
Questa˜o 28. A nota me´dia em matema´tica no vestibular, dos alunos que fazem cursinho e´ 5, 9. Desconfiando-
se de um baixo rendimento nos u´ltimos anos em matema´tica, dos pre´-vestibulandos, resolveu-se retirar uma
amostra de 35 alunos que fizeram vestibular, computando-se uma me´dia de 4, 5 e desvio padra˜o 1, 3 na
disciplina aludida. Ao n´ıvel de 5% de significaˆncia voceˆ aceitaria a hipo´tese de que os alunos sa˜o de fato
inferiores com o aprendizado da mate´ria em questa˜o?
Questa˜o 29. O valor me´dio das vendas por estabelecimento varejista, durante o u´ltimo ano, de um
particular produto, foi de R$ 3425, 00 para uma amostra de 25 estabelecimentos. Com base em dados de
vendas de outros produtos similares, supo˜e-se que a distribuic¸a˜o das vendas seja normal com desvio padra˜o
de R$200, 00. Suponha que tenha sido afirmado que o verdadeiro valor de vendas por estabelecimento e´ no
mı´nimo de R$ 3500, 00. Testar esta afirmac¸a˜o ao n´ıvel de significaˆncia de 1%.
Questa˜o 30. A tensa˜o de ruptura dos cabos produzidos por um fabricante apresenta a me´dia de 1.800
Kg e o desvio padra˜o populacional de 100 kg. Mediante nova te´cnica no processo de fabricac¸a˜o, notou-se
que a tensa˜o de ruptura pode ter aumentado. Para testar esta declarac¸a˜o, selecionou-se uma amostra de 50
cabos, tendo-se determinado a tensa˜o me´dia de ruptura de 1.850 kg. Pode-se confirmar a declarac¸a˜o de que
a tensa˜o de ruptura aumentou? Use um n´ıvel de significaˆncia de 1%.
Questa˜o 31. Retirada uma amostra de 15 parafusos, obteve-se uma me´dia de 11, 33 mm de diaˆmetro e um
desvio padra˜o amostral de 3, 24 mm. Teste se a me´dia do diaˆmetro dos parafusos e´ menor do que 12, 5 mm,
com n´ıvel de significaˆncia de 5%.
Questa˜o 32. As ve´speras de um pleito eleitoral majorita´ria, uma pesquisa de opinia˜o pu´blica revelou
que, de 500 eleitores escolhidos aleatoriamente, 286 indicavam como prefereˆncia o candidato A. E´ poss´ıvel
assegurar, usando um n´ıvel de 5% de significaˆncia, que esse candidato vencera´ o pleito em questa˜o?
Questa˜o 33. Ate´ o ano passado, apenas 20% dos estudantes de uma certa cantina universita´ria aprovaram
a qualidade das refeic¸o˜es servidas no seu refeito´rio. Apo´s uma se´rie de medidas corretivas, 40 estudantes,
foram escolhidos ao acaso, entrevistados, e o nu´mero daqueles que aprovaram a qualidade das refeic¸o˜es,
usado para verificar se as medidas corretivas surtiram efeito. O nu´mero dos que ficaram satisfeitos foi 28.
Realize o teste de hipo´teses apropriado usando o n´ıvel de significaˆncia de 5%.
Questa˜o 34. Ate´ o ano passado, apenas 26% dos estudantes de uma certa cantina universita´ria aprovaram
a qualidade das refeic¸o˜es servidas no seu refeito´rio. Apo´s uma se´rie de medidas corretivas, 40 estudantes,
escolhidos ao acaso, sera˜o entrevistados, e o nu´mero daqueles que aprovarem a qualidade das refeic¸o˜es,
usado para verificar se as medidas corretivas surtiram efeitos. Formule a hipo´tese em termos da proporc¸a˜o
de estudantes satisfeitos com a comida oferecida e teste a sua hipo´tese ao n´ıvel de significaˆncia de 0, 05.
Feito a entrevista com os estudantes 28% aprovaram a qualidade das novas refeic¸o˜es.
Questa˜o 35. Supo˜e-se que 5% das pec¸as produzidas em um certo processo de fabricac¸a˜o sejam defeituosas.
Para uma amostra aleato´ria de n=100 pec¸as. 10 foram achadas defeituosas. Testar a hipo´tese a um n´ıvel
de significaˆncia de: a) 5%. b) 1%.
Questa˜o 36. O patrocinador de um programa especial de TV supo˜e que pelo menos 40% de todos os
telespectadores de um determinado setor metropolitano veria tal programa. De uma amostra aleato´ria de
100 famı´lias, com televisores ligados, somente 30 assistem ao programa. Com base nesta amostra pode-se
rejeitar a suposic¸a˜o do patrocinador de que pelo menos 40% das famı´lias esta´ vendo o especial a um n´ıvel
de significaˆncia de: a) 10%? b) 5%?
Questa˜o 37. Um fabricante garante que, pelo menos 95% do equipamento que forneceu a uma fa´brica esta´
de acordocom as especificac¸o˜es. O exame de uma amostra de 200 pec¸as desse equipamento revelou que 18
estavam defeituosas. Teste a afirmac¸a˜o do fabricante com um n´ıvel de significaˆncia de 5%.
Questa˜o 38. Devido ao baixo rendimento em Matema´tica dos alunos da terceira se´rie dos cole´gios de uma
cidade, resolveu-se testar uma nova te´cnica de ensino, objetivando aumentar esse rendimento. Depois que
os alunos foram treinados com a nova te´cnica, selecionou-se uma amostra de 49 alunos, e aplicou-se um
teste de Matema´tica de n´ıvel equivalente a um outro que havia sido aplicado no per´ıodo em que foi usada a
te´cnica anterior. O teste aplicado aos 49 alunos forneceu que 70% deles tiveram um rendimento considerado
satisfato´rio. Realize um teste de proporc¸o˜es para testar as hipo´teses
H0 : p = 0, 65
H1 : p > 0, 65
Use o n´ıvel de significaˆncia de 1%.