Teoria de Números

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iiiI.Resumo
Ampliando então o conjunto dos inteiros para que fosse possível a resolução de equações do tipo 3x = 4, por exemplo, surgiram os números racionais. Por números reais entendemos a colecção de todos os números associados a todos os pontos da recta. A recta, ou eixo, com um número associado a cada um dos seus pontos é chamada de recta real. Qualquer número real que não é racional diz-se irracional, ou seja, não pode ser escrito como a razão entre dois inteiros. Usaremos Q' para representar o conjunto dos números irracionais. A representação dos números complexos através do tipo , com a e b sendo números reais e i imaginário, como por exemplo, , que tinha como solução um número i tal que . Sendo a maneira de abordar os números matemáticos através de formulas de onde surgi de inspiração para algumas pessoas chegar a tais conceitos.
1.0Introdução
O presente trabalho surge no âmbito da cadeira de teoria de números que tem como foco debruçar sobre os três conjuntos numéricos: Conjunto dos números racionais, reais complexos. Neste âmbito, numa primeira fase faz-se a abordagem da origem histórica de cada conjunto numérico. O trabalho apresenta a Introdução, Desenvolvimento, Conclusão e finalmente as referencias Bibliográficas das obras consultadas.
Uma exposição sistemática dos conjuntos numéricos, utilizados na Matemática, pode ser feita a partir dos números usados para contar, chamados de números naturais. Estes números são conhecidos há tantos milénios que o famoso matemático Kronecker disse: “Deus criou os números naturais, todo o resto é obra do homem.” A ideia do número zero só apareceu mais tarde, tendo sido introduzido pelos hindus. Uma notação para o mesmo surgiu a partir do século XI quando foi difundido e adoptado o sistema de numeração decimal hindu. Ampliando então o conjunto dos inteiros para que fosse possível a resolução de equações do tipo 3x = 4, por exemplo, surgiram os números racionais.
1.1.Objectivos
1.1.1Objectivo Geral
Conhecer os Conjuntos Numéricos
1.1.2.Objectivos Específicos
Definir o conjunto dos números Racionais;
Indicar as Propriedades de conjunto dos números reais
Definir o conjunto dos números complexos
1.1.3.Metodologias
Para a realização deste trabalho recorreu-se á consulta bibliográficas, que constam da última página.
2.0.Conjunto dos números racionais
2.1.Historial
Sempre que a divisão de um inteiro por outro não era exacta, os egípcios antigos, já por volta de 2000 a.C., usavam fracções para exprimir o resultado, e usavam também fracções para operar com seu sistema de peso e medidas. Contudo, por razoes difíceis de explicar, com excepção das fracções e , ás vezes, os egípcios usavam apenas fracções unitárias, ou seja, fracções cujo numerador é 1. Fibonacci no sec. XIII d.C., na sua obra Liberabaci, fornecia tabelas de conversão das fracções comuns para unitárias. 
Os babilônios há 2000 anos a.C, apesar de algumas ambiguidades, decorrentes de não contarem com um símbolo para o zero e outro para o separa triz, conseguiram estabelecer o princípio proposicional ás fracções no seu sistema de base 60.
Em torno disto, o uso da forma decimal para representar fracções tal como em somente começaria após a publicação, em 1585, de um pequeno texto de Simon Steven(1548-1620) intitulado De thiende( O decimo). Embora a essa altura a forma decimal já não constituísse uma novidade para os especialistas, esse trabalho de Steven alcançou grande popularidade e consegui seu intento, que era ensinar “como efectuar, com facilidade nunca vista todos os cálculos necessários entre os homens, por meios de inteiros sem fracções”. A notação inicialmente utilizada por Stevin acabou sendo melhorada com o emprego da virgula ou do ponto como separa triz decimal, conforme sugestão de John Napier(1550-1617).
2.2.Definição
A relação R no conjunto definida por:
, é uma relação de equivalência. 
Sendo assim, o conjunto quociente Q=( é chamado de O conjunto dos números racionais, e seus elementos de números raciocinais. Os números racionais representam se pelos símbolos (0,1) e pelas letras latinas minúsculas r,s,t,... Ou seja, podemos definir números racionais da seguinte forma .
Exemplos: 
O conjunto dos números racionais é formado por classes de equivalência de pares de números inteiros, isto é, Q={ }.
O conjunto 0={: é um elemento de Q, pois,
0={:
={
={
={
= Q
Também o conjunto 1= {( é um elemento de Q, porque
1={(
={
={
={
= Q.
2.3.Operações com números racionais
Adição em Q
Sejam elementos de Q. Chama-se soma de a com b e indica-se por a+b o elemeto de Q definido da seguinte maneira: 
Para a adição em Q valem as seguintes propriedades:
(a+b)+c=a+(b+c), (associativa)
(a+b)=(b+a), (comutativa)
Existe elemento neutro: é a classe de equivalência que indicamos por 0 apenas. Portanto: , para todo ;
Todo aadmite simétrico aditivo ( oposto) em Q tal que se , então pois: 
Usamos a natação Q*={a
Subtracção em Q
Se a, bdenomina-se diferença entre a e b,e indica-se por , o seguinte elemento de Q : a-b=a+(-b), como o (-b), para todo o bentão (a,b)a-b. é uma operação sobre Q, à qual chamamos subtracção em Q.
Tal como ocorre em , valem em Q as seguintes propriedades, envolvendo a ideia de oposto e de subtracção:
*-(a+b)=- a-b
*(a-b)+b=a
*a=x=bx=b-a
*a+b=a+cb=c
Multiplicação em Q
Chamamos produto de a =Q por b = Q o elemento ab = a . b = Q o qual, pode-se mostrar( tal como foi feito na soma), não depende das particulares representações tomadas para a e b. A multiplicação em Q é uma operação definida por (a,b)para quaisquer a, b .
Propriedades:
 (associativa)
 (coutativa)
Existe elemento neutro: é a classe , que indicamos simplesmente por 1. Portanto: , para todo Q.
Todo , admite simetrico multiplicativo(inverso): se entao e dai , e portanto, . Indicando por a-1, como é praxe, o inverso de a, então 
A multiplicação é distributiva em relação a adição a(b+c)=ab+ac 
Divisão em Q
Entendemos por divisão em Q,, a operação de em Q definida por (a,b). O elemento é chamado quociente de a por b e pode ser indicado por a:b.
Exemplo: Se , então 
Para a diviao em Q vale a seguinte propriedade: se Q e entao (a+b):c=a:c+b:c. por tanto, se entao:
(a+b):c=(a+b).
2.4.Representação de um número racional positivo
Os números racionais podem ser classificados como positivos quando esses números são quocientes de dois números inteiros com sinais iguais, por exemplo:
(+10) : (+2) =  +10/+2   = +10/2
(-3) : (-5) =  -3/-5  = +3/5
2.5.Transformação decimal para fraccionaria
Se por exemplo pegarmos o número 0,2 (a leitura dele é dois décimos ou zero virgula dois), é preciso lembrar que décimo vêm de dez, assim como centésimos vêm de cem e milésimo vem de mil, então para transformar 0,2 em fracção basta eliminar a vírgula ficando o número 2, assim o denominador será o número que representa a casa decimal, então teremos:
2.6.Dizimas periódicas em fracções
Dízima periódica é a parte decimal infinita ou seja, não tem fim, pois repete igualmente. Por exemplo: 0,22222.... ; 2,5656565656.... ; 0,2555... . 
Esses números podem ser escritos em forma de fracção, mas apesar de serem números decimais na sua transformação utilizaremos um processo diferente. Por exemplo,:
Vamos transformar 0,2222... em fracção:
Para isso, consideremos a nossa dizima: , devemos eliminar as classes decimais. Sendo assim, mantemos a virgula á direita uma casa decimal, pois o 2 apenas que repete. Isto é, mesmo que multiplicar o por temos que:
Finalmente podemos escrever .
2.7.Relação de Ordem em 
Seja a =. Como . Pois m(-n) = n(-m), então sempre podemos considera, para todo a , uma representacao em que o denominador seja maior que zero (em ).
Exemplo:
Sejam a e b elementos de e tomemos, para cada um deles, uma representação em que o denominador seja estritamente positivo. Nessas condições, diz-se que a é menor que ou igual a b, e escreve-se a, se ms(obviamente esta ultima relação é considerada em ). Equivalentemente pode-se dizerque b é maior que ou igual a a e anotar b. Com as mesmas hipóteses, se m , diz-se que a é menor que b (notação: a) ou que b é maior que a (notação: b a) ou que b é maior que a (notação: b a).
Exemplo:
.
2.8.Modulo de números racionais 
Damos o nome de valora absoluto de um elemento a pertencente a ao próprio a se e ao oposto de a, se . O valor absoluto de a é indicado por . Assim:
É obvio, então, para todo a pertencente a . 
Exemplo:
2.9.Propriedades do valor absoluto ou módulo em Q
Para quaisquer a, b pertencente a valem as seguintes relações:
Se b,então =e
A propriedade de i a iv podem ser provadas da mesma maneira que suas similares em .
De onde decorre que é o inverso de e portanto .Por ultimo 
3.0.Conjunto dos números Reais 
3.1.Historial
A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objectos e ter registos numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a natureza por meio de processos de determinação de quantidades. E essa procura pela abstracção da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos. E é sobre eles que passamos a dissertar. Como decorrência da necessidade de contar objectos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, ….
A partir da metade do século XVII, a partir do rápido desenvolvimento da Álgebra, da Teoria das Equações em particular, e do Cálculo, os matemáticos perceberam que se podia calcular com os números relativos usando a regra usual de sinais. Mas dificuldades teóricas vão gradativamente surgindo. Os matemáticos não conseguiam uma prova para as regras dissonais que obtivesse uma aceitação universal. Eles procuravam mesmo diferenciar sinal de número de sinal de operação através, por exemplo, das expressões negativas/subtractivo positivo/aditivo, ou pelo uso de símbolos diferentes como 7−3+ ou 7+3-.
3.2.Conceito dos números Reais 
O conjunto dos números reais pode ser definido como: = QQ’. A concepção de que = QQ’ e que números reais podem ser colocados em correspondência biunívoca com os pontos de uma recta considerada recta real é que nos vai levar a estudar no final deste capítulo os Cortes de Dedekind, que é uma forma bastante interessante de criar o conjunto dos números reais.
De uma outra fora, se unirmos todos os números racionais () e todos os números irracionais (I), o resultado será o conjunto dos números reais (). Usando a terminologia de conjuntos, isso é o mesmo que: =I, que quer dizer que o conjunto dos números reais, simbolizado pela letra v, é o formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais:
 = {x | x é racional ou x é irracional}
Desse modo todos os conjuntos numéricos N, Z e Q, bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de .
Da mesma forma destacamos três outros subconjuntos de: 
 * = conjunto dos reais não nulos,
 = conjunto dos reais não negativos e
 - = conjunto dos reais não positivos.
3.3.Corte de Dedeking
Em matemática,  cortes de Dedekind, nome em homenagem a Richard Dedekind, são subconjuntos especiais do corpo ordenado  {\displaystyle \mathbb {Q} }, os números racionais, que são usados para construir um corpo ordenado completo arquimediano.
Um subconjunto {\displaystyle A\subset \mathbb {Q} }é um corte se satisfaz às seguintes propriedades:
{\displaystyle \emptyset \not =A\not =\mathbb {Q} }
Se {\displaystyle q\in A} e é tal que q<p, então temos que 
Se {\displaystyle q\in A}, então com p<q.
Intuitivamente um corte é uma semi-recta racional que não tem maior elemento.
Exemplo:
O conjunto dos números racionais menores que 2;
 3.4.Cardinalidade do Conjunto dos Números Reais
Podemos verificar em N que o conjunto dos números naturais, o conjunto dos números naturais pares e o conjunto dos números naturais ímpares são equipotentes. Vimos também que é bem simples mostrar que a cardinalidade de N é a mesma que a de Z.
Cantor Mostrou que a cardinalidade de Q é a mesma de Z, mas a cardinalidade de R, não é mesma de N. Cantor utilizou a letra (aleph – que é a primeira letra do alfabeto hebreu) para representar os diversos graus de cardinalidade de conjuntos infinitos. A cardinalidade de N é definida como sendo 0 (aleph zero), isto é, #(N) = 0. Assim, podemos dizer, agora que a cardinalidade dos números naturais pares, dos números naturais ímpares e dos números inteiros é igual a 0.
 3.5.Modo de Mostrar a cardinalidade dos números racionais
Vamos mostrar agora que o conjunto dos números racionais tem a mesma cardinalidade de N, ou seja N ~ Q, ou mais, #(Q) = 0. Os conjuntos infinitos, decardinalidade0 , são denominados enumeráveis.
Para isto iremos utilizar uma malha para distribuir os números racionais não negativos (o zero e os números positivos) e os números racionais negativos de forma bastante esquemática (confira na tabela a seguir).
Ficará evidente que será possível estabelecer-se uma correspondência biunívoca entre osnúmeros racionais não negativos e os números naturais pares (siga as setas mais escuras, associando a cada elemento: 0, 2, 4, 6, 2n, ..., para nÎN) bem como, o mesmo poderá ser feito para os números racionais negativos e os números naturais ímpares (siga as setas mais claras, associando a cada elemento: 1, 3, 5, 7,..., 2n+1..., para nÎN). Assim pode-se concluir que a cardinalidade de N é a mesma de Q.
Outra forma de estabelecer esta correspondência seria fazer corresponder ao aos números racionais não negativos, os números inteiros não negativos, e aos números racionais negativos, os números inteiros negativos, o que nos mostraria ainda a possibilidade de enumeração dos elementos do conjunto Q através dos elementos de Z e, obtendo-se como consequência, o seguinte: #(Q) = #(Z), como #(Z) = #(N), temos então, que #(Q) = #(N).
3.6.Cardinalidade do segmento de recta ]-1,1[
Sabe-se que o conjunto dos números reais pode ser representado sob a forma de uma recta, normalmente denominada recta real. Seja tomar, sobre esta recta, um segmento sem
extremidades, cuja representação seja o intervalo aberto: ]-1, 1[, como mostrado na figura abaixo.
3.7.Propriedades dos números reais
Para todo a; b; c números reais têm que as operações satisfazem as seguintes propriedades:
a + b = b + a (propriedade comutativa da soma)
a + (b + c) = (a + b) + c (propriedade associativa da soma)
a + 0 = 0 + a = a (elemento neutro da soma)
-a + a = a + (-a) = 0 (inverso aditivo da soma)
a .b = b.a (propriedade Comutativa do produto)
a .(b.c) = (a.b).c ( propriedade Associativa do produto)
a.1 = 1.a = a (elemento identidade (ou neutro) do produto)
a.= ( Inverso multiplicativo)
a.(b + c) = a.b + a.c (propriedade distributiva)
3.8.Propriedades da Relação de Igualdade
A relação de igualdade pode relacionar conjuntos, elementos de conjuntos, funções, matrizes, e isto, somente para citar alguns exemplos. Por isto é muitíssimo importante compreender e utilizar sempre que possível as propriedades da igualdade, que são as seguintes:
Propriedade reflexiva da igualdade: 
Propriedade simétrica da igualdade: 
Propriedade transitiva da igualdade: 
3.9.Propriedades das Relações de Desigualdade
abR [ (a = b) (a > b) (b > a)], a > b a < b ]
abR [ (ab) (b a) (a = b) ]
ab, c R [ (a> b) (b > c) (a > c) ]
abcR [ (a> b) (a + c > b + c ) ]
ab, c R [ (a> b) (c > 0) (ac > bc)
De facto, estas propriedades de <podem ser tomadas como definidoras de corpo ordenado, deduzindo-se delas que o conjunto {xK : 0 < x} verifica as propriedades tomadas inicialmente como características de K+, de tal modo que a relação de ordem obtida a partir de K+ é precisamente < . De modo um pouco informal: há uma correspondência bijectiva natural entre ordens compatíveis com as operações do corpoe conjuntos de positivos.
Vamos ver que, a menos de um isomorfismo, todos os corpos ordenados, contêm o corpo dos números racionais, ou seja Q é o menor corpo ordenado. Seja então K um corpo ordenado com relação de ordem <. Para qualquer a K,
i. a < 0 se e só se 0 < −a
ii. −a < 0 se e só se 0 < a 
iii. Se a 6= 0 então 0 < a 
iv. 0 < 1
3.10.Axioma de ordem em R
Os axiomas que iremos apresentar a seguir mostram as propriedades de uma relação de ordem estrita ou total “maior do que” ( > ) e de uma relação de ordem parcial ( ) que são aplicáveis aos números reais. A relação de igualdade, cujas propriedades também serão apresentadas, são uma relação de equivalência.
4.0.Conjunto dos números complexos 
O fato da equação x2+ 1 = 0: não ser satisfeita por nenhum número real levou à denoção dos números complexos. No conjunto dos números complexos a equação já passam a ter solução, portanto o conjunto dos números complexos veio para ajudar esse tipo de equações.
4.1.Definição
Um número complexo é um número que pode ser escrito na forma z = a+bi onde a e b são números reais e i é a unidade imaginaria. O número real a ´e a parte real do número complexo z e o número real b ´e a parte imaginária do número complexo z, denotadas por: a = Re(z) e b = Im(z)
Exemplo 
Parte real é 2 e a parte imaginária é 3;
Parte real é 2 e a parte imaginária é –3;
Parte real é 2 e a parte imaginária é 0;
Parte real é 0 e a parte imaginária é 3
4.2.Conjugado de um número complexo
O conjugado de um número complexo u= a + bi, denotado por ū, é obtido invertendo-se o sinal do coeficiente imaginário de u, isto é ū = a– bi. Ou seja, o número complexo R e z − i Imz é designado por conjugado de z e é denotado por . No plano complexo, z coincide com a reflexao de z no eixo real e é evidente que = z, z ∈ C. a figura ilustra isso.
 
4.3.Operações no conjunto dos números
Igualdade 
Os números complexos (x1,y1) e (x2,y2) são iguais se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2.
Adição 
A adição e a subtracção de números complexos (x1,y1) e (x2,y2) é definida como: 
(x1,y1) + (x2,y2) = (x1 + x2,y1 + y2) 
(x1,y1) - (x2,y2) = (x1 - x2,y1 - y2)
Multiplicação 
O produto de dois números complexos (x1,y1) e (x2,y2) é definida como:
 (x1, y1)*(x2, y2) = (x1*x2 – y1*y2 , x1*y2 + y1*x2) 
Divisão 
A razão é obtida multiplicando-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador5, isto é:
Exemplos: dados z1 = 3 + 2i e z2 = 4 − i, temos:
4.4.Propriedades dos números complexos 
Dados z1, z2 e z3, temos
 Comutatividade: z1 + z2 = z2 + z1, z1z2 = z2z1
 Associatividade: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3), (z1z2) z3 = z1(z2z3)
 Distributividade: z1 (z2 + z3) = z1z2 + z1z3
4.5.Representação geométrica dos números complexos (no plano Gausiano) 
Um complexo da forma z = a+bi, pode ser representado no plano cartesiano, como um ponto (par ordenado) tomando-se a abcissa deste ponto como a parte real do número complexo a no eixo OX e a ordenada b como a parte imaginária do número complexo z no eixo OY, sendo que o número complexo 0 = 0 + 0i é representado pela própria origem (0, 0) do sistema.
4.6.Modulo ou valor absoluto de um número complexo 
Dado o número complexo z = x + iy, seu valor absoluto (ou módulo), denotado |z| ou r, é dado por |z| = r = 
Geometricamente o valor absoluto de um número complexo nos dá a distância do ponto que o representa à origem do plano complexo.
4.6.1.Propriedades do módulo dos números complexos 
As propriedades dos números complexos são as mesmas do conjunto dos números reais.
|z| > 0 se z0;
|z1−z2| = |z2−z1|. Geometricamente, |z1 −z2| representa a distância entre os pontos z1 e z2 no plano complexo;
|z1 + z2| |z1| + |z2|. Desigualdade triangular;
|z1z2| = |z1||z2|;
||= se z2 
4.7.Representação trigonométrica do conjugado, do simétrico e inverso de um número complexo
Seja o número complexo z = a+bi associado a um ponto P=(a,b), do ponto P à origem e Ө o argumento de z, temos:
Se substituirmos os “novos” valores de a e b na forma algébrica, teremos:
z = a+bi = ρ*cosӨ + ρ*sin Өi = ρ(cosӨ + isinӨ)
Portanto: z = ρ(cos Ө + isinӨ ) → Forma trigonométrica (ou polar) de z.
Exemplo: Vamos escrever o número complexo z = 1 + i na forma trigonométrica 
(ou polar). 
Primeiramente calculamos a distância do ponto P associado a z à origem do plano, ou seja, vamos calcular o valor de ρ.
Assim 
Agora vamos determinar o valor de Ө
4.8.Inverso dos números complexos
Dado o numero complexo z = a+bi0 (a 0 ou b 0) definimos o inverso de z como o numero z−1 = u + iv, tal que,
4.9.Multiplicação na forma trigonométrica dos números complexos 
A forma polar é particularmente útil para a multiplicação e divisão dos números complexos.
Consideremos os números
E finalmente utilizando a identidade s trigonométricas
Divisão 
A divisão z1÷z2 é dada por
4.10.Forma de Moivre 
Esta igualdade, escrita na forma: (cos µ + i sin µ) n = cos nµ + i sin nµ (n = 0,1;2; …) é conhecida por forma de Moivre.
4.11.Potência 
Seja z = ρ*(cosӨ + isinӨ) um número complexo, a potência zn é dada por 
zn= ρn*[cos(n*Ө) ) + isin(n*Ө)]
Esse resultado é facilmente demonstrado através da multiplicação de dois números complexos em suas formas trigonométricas.
4.12.Potências de i 
Já sabemos que i2 = -1, observemos o que acontece caso aumentemos o índice de potência de i: 
Observamos que os valores das potências de i se repetem a cada 4 números, por exemplo i7 = i3 = -i. Isso nós dá um método para simplificarmos potências muito grandes de i. Se quisermos calcular in, como os padrões se repetem de 4 em 4, conhecendo as potências de i de 0 a 4 basta dividir n por 4, vamos obter n = 4*q + r, com 0≤r<4. Então teremos que in = ir, mas como r pertence ao intervalo [0,4) fica fácil calcular ir.
5.0.Conclusão
Podemos concluir que cada conjunto numero tem uma origem histórica. Não só, se concluiu também que caso um número complexo for raiz de uma equação, então o seu conjugado também o é um numero complexo. O conjunto dos números complexos, representado por C é o maior conjunto numérico existente, compreendendo todos os outros conjuntos conhecidos, ou seja, a união dos conjuntos dos números Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais está compreendida dentro do conjunto dos números complexos. 
6.0.Referencias Bibliográficas
CANTONI, A. C. L. Números Complexos e Alguns Resultados Clássicos da Geometria Plana. Especialização em Matemática. UFMG/ICE – 2008.
DOMINGUES Higino, IEZZI Gelson. Álgebra Moderna. São Paulo, Atual, 1979.
JR. Frank Ayres. Álgebra Moderna. Colecção Schaum, Brasil, McGraw-Hill, 1979.
MONTEIRO, António J. e outros. Álgebra. Um primeiro curso. 2ª ed. Escolar Editora. Lisboa, 2001.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cortes_de_Dedekind. [Online] Acesso as 12:30 minutos