CAP 3 METODO DOS ELEMENTOS FINITOS

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CAPÍTULO 3 
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
 ENGENHARIA: estudar e solucionar problemas físicos reais. 
 
 Entretanto, a complexidade em se levar em conta todos os aspectos relevantes faz 
com que o engenheiro substitua o problema físico real por um problema 
equivalente mais simples, e que pode ser definido matematicamente. 
 
 
 
 
 
 
 Trata-se de encontrar um modelo matemático que represente, 
 aproximadamente, o comportamento do problema real. 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
problema físico real 
problema de engenharia 
(solução aproximada) 
simplificações 
? 
1.1 CONCEITOS BÁSICOS 
 
 A análise de um problema de engenharia requer: 
 
A. A idealização de um modelo que o represente 
B. A formulação das equações 
C. A solução das equações 
D. A interpretação dos resultados 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
A. IDEALIZAÇÃO DO MODELO 
 
 
 Sistemas discretos 
 Modelagem do comportamento 
 Sistemas contínuos 
 
1) SISTEMAS DISCRETOS: 
 O comportamento é perfeitamente definido em termos de um número finito pré-
determinado de variáveis (entre valores conhecidos e incógnitas). 
 O sistema é idealizado como um conjunto de elementos conectados perfeitamente 
definidos. 
 O comportamento do sistema como um todo é dado pela soma das contribuições de 
cada elemento (deslocamentos e forças nas extremidades) 
 As equações que governam o comportamento são algébricas. 
 
 Exemplos: Estruturas de barras: vigas, treliças, grelhas, etc. 
 Problemas de fluxo em uma dimensão: elétrico, hidráulico, de calor, etc. 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
 2) SISTEMAS CONTÍNUOS: 
 
São os problemas da mecânica dos meios contínuos: mecânica dos sólidos, dos fluidos, dos 
solos, das rochas, etc. 
 
• As equações que governam o comportamento são diferenciais. 
 
• As equações diferenciais devem ser válidas para todo o domínio do problema e devem ser 
suplementadas pelas condições de contorno no cálculo da resposta do sistema. No caso de 
análises no tempo, devem ser fornecidas as condições iniciais. 
 
 
 Duas formulações diferentes podem ser utilizadas na obtenção das equações diferenciais que 
governam o problema e das condições de contorno correspondentes: 
 
a) Formulação diferencial (método direto) 
b) Formulação variacional (métodos de energia) 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
a) FORMULAÇÃO DIFERENCIAL (método direto) 
 
 As relações de equilíbrio e constitutivas de um elemento diferencial típico são estabelecidas 
em termos da variável desconhecida. 
 
 Estas considerações levam a um sistema de equações diferenciais na variável desconhecida. 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Exemplo de formulação diferencial (método direto) 
 
 A barragem idealizada está assente em solo permeável. Estabelecer a equação diferencial que 
governa a percolação permanente (estacionária) da água através do solo e as condições de 
contorno correspondentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
rocha impermeável
barragem impermeável
solo permeável
h
2
h
1
L
h
fluxo
x
y
REF: Bathe, 1982, pg.92 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Considerando-se um elemento de solo típico dx dy (espessura unitária), o fluxo total que entra no 
elemento deve ser igual ao que sai: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
y
q
x
q yx 






dx 
dy 
qy+dy 
qx+dx 
qy 
qx 
dx
x
q
qq xxdxx



dy
y
q
qq
y
ydyy



0dxdy
y
q
qqdydx
x
q
qq
y
yy
x
xx 






























0dxdy
y
q
dxqdxqdydx
x
q
dyqdyq
y
yy
x
xx 






(1) 
 (2) 
(2) em (1): 
 (3) 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Equação da continuidade 
 Da Lei de Darcy (relações constitutivas), o fluxo dado em termos do potencial hidráulico, , é: 
 
 
 
 
 
 
 (4) em (3): 
 
 
 
 
 
 Equação diferencial do problema: 
 
 
 
 
 
OBS: assume-se que o solo tem o mesmo coeficiente de permeabilidade em x e em y - k uniforme 












y
kq
x
kq
y
x
0
yx
k
2
2
2
2













(4) 
0
yy
k
xx
k 




















k - coeficiente de permeabilidade 
 - potencial hidráulico = carga de elevação + carga de pressão 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 Condições de contorno no solo: 
 
 - em x = +/-   não há fluxo no solo: 
 
 
 
 - interface solo-rocha  impermeável: 
 
 
 
 - interface barragem-solo: 
 
 
 
 
 - potencial total prescrito na interface água-
solo: 
0|
x
;0|
x
xx 






0|
y
0y 



2
h
x
2
h
para0)L,x(
y



2)2/h(x
1)2/h(x
h|)L,x(
h|)L,x(




rocha impermeável
barragem impermeável
solo permeável
h
2
h
1
L
h
fluxo
x
y
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 












y
kq
x
kq
y
x
II - FORMULAÇÃO VARIACIONAL (métodos de energia) 
 
 Estes processos são baseados na idéia de se determinar estados de equilíbrio dos corpos, 
submetidos a carregamento, associados a valores estacionários de energia ou trabalho. 
 
 
 Calcula-se a energia potencial total  do sistema e determina-se a condição de 
estacionaridade de  com relação às variáveis desconhecidas que se quer determinar. 
 
 
 A principal razão para a eficiência da formulação variacional está no modo em que algumas 
condições de contorno podem ser encontradas. 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
Definição de valor estacionário 
 
 O termo estacionário pode significar um ponto de mínimo, máximo ou de inflexão de uma 
função F(x): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para se determinar o ponto de valor estacionário faz-se: 
 
 
 
 
 
0
dx
)x(dF

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Exemplo: 
 
Achar a condição de estacionaridade da função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - Valor da função no ponto de mínimoy = x2 - 6x - 3 
-30 
-10 
10 
30 
50 
70 
90 
110 
130 
150 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
F 
(x
) 
x 
F x = x2 − 6 x − 3 
dF x 
dx
= 2 x − 6 
dF x 
dx
= 0 
2 x − 6 = 0 
 x = 3 
d2F x 
dx2
= 2 
F x = 32 − 6 ∗ 3 − 3 
Valor positivo: ponto de mínimo 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
EM UMA ANÁLISE TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
 
 F  é definida como a energia potencial de um corpo submetido a carregamento, p. 
 
 A energia potencial total do corpo, que é função da configuração deformada é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
WUp 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
PRINCÍPIO DA ENERGIA POTENCIAL TOTAL 
 
 “Seja um corpo impedido de se deslocar 
como corpo rígido e submetido a forças 
externas. Dentre todas as configurações 
deformadas possíveis (que atendam às 
condições de contorno), aquela que 
corresponde à configuração de equilíbrio 
minimiza o funcional de energia potencial 
total”. 
 
 
 
 
 
 
 
 Isto significa que para a configuração de 
equilíbrio, a primeira variação do funcional 
de energia deve ser igual a zero: 
 
 
 
 
 A verificação de que o valor de p para 
corpos elásticos, lineares e em equilíbrio é 
um mínimo é feita mostrando-se que a 2a 
derivada ou variação de p é maior do que 
zero: 
0WU pp 
0WU p
22
p
2 
(demonstração por meio do cálculo variacional) 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 OBS: - interpretamos  simplesmente como um símbolo que denota derivadas de p em 
relação às coordenadas ou variáveis desconhecidas independentes que aparecem na 
expressão de p. 
 
 Por exemplo se: 
 
 
 
 
 em que u1, u2, ..., un são variáveis independentes então, minimizar o funcional (p = 0) 
significa que: 
 
 
 
 
 
 n - número de variáveis 
)u....,,u,u( n21pp 
0
u
..........0
u
;0
u n
p
2
p
1
p









MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Exemplo de formulação variacional 
 
 Considere uma mola de rigidez k e carga aplicada P. Se u é o deslocamento da mola sob a 
carga P, então: 
 
 
 
 
 
 
  energia interna de deformação: 
 
 
  trabalho da força P sobre o deslocamento u: 
 
 
  potencial total: 
 
 
 
k
P
u
2uK
2
1
U
uPW
uPuK2/1)u( 2pp 
K 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 Como u é a única variável, a condição de estacionaridade do potencial total (ou o princípio 
da energia potencial mínima) é dada por: 
 
 
 ou 
 
 
 que fornece a seguinte equação de equilíbrio do problema: 
 
 
 
 
 Ponto de mínimo ou de máximo?  da 2a derivada: 
 
 
 
 
 
WUp 
uKP
K
ud
d
2
p
2


Como K é sempre (+)  ponto de mínimo  equilíbrio 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
0PuK
ud
d p


 
NOS PROBLEMAS PRÁTICOS: as equações diferenciais são quase sempre difíceis de 
serem resolvidas. 
 
 Uma solução aproximada é obtida por meio de métodos numéricos 
computacionais: a solução exata é possível somente em alguns problemas 
relativamente simples; 
 
 Nos casos mais complexos devem ser empregados métodos numéricos para 
calcular a resposta do sistema. Estes métodos reduzem o sistema contínuo a uma 
idealização discreta que pode ser analisada do mesmo modo que um sistema 
físico discreto. 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Método das diferenças finitas 
Métodos numéricos computacionais: Método dos elementos finitos 
 Método dos elementos de contorno 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Procedimento geral da análise de problemas do contínuo por métodos numéricos 
 
 
 
Reduzir o sistema contínuo a um sistema discreto aproximado que possa ser 
analisado de modo semelhante ao sistema físico discreto 
 
1.2 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) 
 
 
 Definição: 
 
 Método numérico para a obtenção de soluções aproximadas de sistemas de 
equações diferenciais. 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
1.2.1 Histórico e aplicações 
 
 A maioria das aplicações que discute o MEF surgiu a partir de 1960 e se desenvolveu 
simultaneamente com o avanço dos computadores. 
 
 Método dos elementos finitos: 
 
– Foi um desenvolvimento natural da formulação em deslocamentos da análise matricial 
de estruturas reticuladas, mas pode ser aplicado a outros campos da engenharia devido 
à natureza geral da teoria na qual é baseado. 
 
– Pode ser usado para se formular tanto problemas de análise de estruturas reticuladas, 
como de estruturas contínuas bi e tridimensionais. 
 
– É um método poderoso e popular porque permite a solução de problemas com: 
 geometrias (contornos) irregulares 
 não homogeneidades do material 
 comportamento não linear 
 condições de contorno quaisquer 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 A idéia básica do método dos elementos finitos é a representação de um corpo ou estrutura 
por um conjunto de subdivisões denominadas elementos finitos. Ou seja, divide-se o domínio 
(meio contínuo) do problema em pequenas regiões com dimensões finitas e de geometria 
simples. 
 
 Os elementos se interconectam em pontos nodais. 
 
 Ao conjunto de elementos finitos e pontos nodais, dá-se, usualmente, o nome de malha de 
elementos finitos. 
 
 As grandezas de interesse são avaliadas em cada elemento a partir de seus valores 
localizados nos nós. 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Elementos finitos 
Contorno original 
Pontos nodais 
 Elemento finito é uma parte do contínuo: 
 
 Define-se seu comportamento em termos de sua geometria e das propriedades do 
 material que o constitui de modo que a formulação geral para este elemento possa 
 ser aplicada a qualquer elemento do conjunto. 
 
 
A escolha da forma ou configuração do elemento finito a ser utilizado na análise depende: 
 
 - da geometria da estrutura 
 - do número de coordenadas de espaço independentes (x,y,z) necessário 
 para descrever o problema: 1-D, 2-D, 3-D 
 
 
 REF: VAZ, Luiz Eloy. 2011. Introdução ao Método dos Elementos Finitos em Análise de Estruturas. Editora 
Elsevier. 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Elemento Denominação Tipo de análise 
 
Elemento de barra com dois nós 
 
1-D 
 
Elemento de barra com três nós 
 
1-D 
 
Elemento triangular com três nós 
 
2-D 
 
Elemento triangular com seis nós 
 
2-D 
 
Elemento quadrilateral com quatro nós 
 
2-D 
 
Elemento quadrilateral com nove nós 
 
2-D 
 
Elemento tetraédrico com quatro nós 
 
3-D 
 
Elemento hexaédrico com oito nós 
 
3-D 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
• Funções matemáticas simples (polinômios), denominadas funções deslocamentos ou modelos 
de deslocamentos, são escolhidas para aproximar a distribuição ou variação dosdeslocamentos reais dentro de cada elemento finito. As quantidades desconhecidas são os 
deslocamentos (ou derivadas dos deslocamentos) nos pontos nodais. 
 
• A precisão do método depende da quantidade de nós e elementos, e do tamanho e tipo dos 
elementos presentes na malha. 
 
• Um dos aspectos mais importantes do MEF diz respeito a sua convergência. Pode-se 
demonstrar que à medida que o tamanho dos elementos finitos tende a zero, e 
consequentemente, a quantidade de nós tende a infinito, a solução obtida converge para a 
solução exata do problema. Ou seja, quanto menor for o tamanho e maior for o número de 
elementos em uma determinada malha, mais precisos serão os resultados da análise. 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
1.2.3 Processo de solução de um problema em elementos finitos 
 
 A seguinte sequência de 8 passos (steps) descreve um processo real de solução que é seguido 
no estabelecimento e resolução de qualquer problema de equilíbrio (apesar de esta 
sequência ser baseada em um procedimento desenvolvido para aplicações em mecânica 
estrutural, ela pode ser generalizada para aplicações em outros campos). 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
STEP 1 - Discretização do contínuo e escolha da configuração do elemento 
 
 Aqui entra o julgamento do engenheiro. Ele é quem vai decidir qual o tipo, número, tamanho 
e arranjo dos elementos que vai representar o contínuo do problema a ser analisado. 
 
EXEMPLO DE UM PÓRTICO PLANO 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
STEP 2 - Seleção do modelo ou função de aproximação para a variável desconhecida 
 
Define-se uma função matemática (polinômios) para aproximar a distribuição dos 
deslocamentos no interior do elemento  a função deve satisfazer as condições de 
contorno do problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) 
     
1x6nós6x61x3
d)y,x(g)y,x(d 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
STEP 3 - Definir relações deformação-deslocamento e tensão-deformação (constitutiva) 
 
Em problemas de análise tensão-deformação, as ações ou causas são as forças e os efeitos 
ou respostas são as deformações e as tensões  A ligação entre ação e resposta é a lei 
constitutiva do material. 
 
 
 
 
(2) 
(3) 
      1x33x31x3 )y,x(C)y,x( 
      1x33x31x3 )y,x(d)y,x( 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
STEP4 - Determinação das equações de equilíbrio dos elementos 
 
 As equações de equilíbrio do elemento podem ser determinadas a partir de métodos 
variacionais ou dos métodos dos resíduos ponderados. 
 
 Para cada elemento (barra): 
 
 
 
 
 
 { f (x,y)} - vetor de forças externas nos nós: calculado a partir do carregamento externo 
 [s] - matriz de rigidez do elemento: calculada a partir da geometria e das propriedades do 
 material da barra 
 { dnós } - vetor dos deslocamentos dos nós 
 
(4) 
     
1x6nós6x61x6
)ds)y,x(f 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
STEP 5 - Montagem das equações algébricas globais e introdução das condições de contorno 
 
Determina-se a equação de equilíbrio de somente um elemento. Entretanto, o que interessa é 
o equilíbrio da estrutura como um todo. 
 
A partir das matrizes de rigidez de todos os elementos, [s]1, [s]2 e [s]3, calcula-se a matriz de 
rigidez da estrutura [S]. 
 
A partir dos vetores de forças externas nodais, {f}1, {f}2 e {f}3, calcula-se o vetor de forças 
nodais externas da estrutura {F} 
 
 
 
 
 
{ F } - vetor de forças externas nos nós 
[ s ] - matriz de rigidez do elemento 
{ Dnós } - vetor dos deslocamentos dos nós 
(5) 
     
1x12nós12x121x12
)dS)y,x(F 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
STEP 6: Resolução do sistema de equações. Cálculo dos deslocamentos nodais 
 
Conhecidas as matrizes {F} e [S], calcula-se o vetor de deslocamentos {D}: 
 
 
 
 
(6) 
     FSD 1nós


MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
STEP 7: Obtenção de grandezas secundárias: deslocamentos, deformações e tensões em 
qualquer ponto 
 
(1) 
(2) 
(3) 
    
1x6nós1x3
d)y,x(f)y,x(d 
      1x33x31x3 )y,x(C)y,x( 
      1x33x31x3 )y,x(d)y,x( 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
STEP 8: Interpretação dos resultados 
 
– gráficos: deslocamentos, tensões, deformações; 
 
– a precisão da aproximação vai depender do tipo de carregamento, da geometria e das 
propriedades do material e pode ser melhorada: (i) utilizando-se uma malha mais fina ou 
(ii) modelos de aproximação de ordens superiores. 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
1.2.4 Vantagens do MEF 
 
• Como as propriedades de cada elemento são avaliadas separadamente, podem ser 
incorporadas diferentes propriedades do material para cada elemento  a não 
homogeneidade pode ser incluída ; 
 
• Não há restrição quanto à geometria que pode ser qualquer; 
 
• Podem ser incorporadas quaisquer condições de contorno; 
 
• Pode levar em conta não linearidades, condições arbitrárias de carregamento e dependência 
do tempo (efeitos dinâmicos) 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
1.2.5 Principais aplicações em engenharia civil 
 
 
• Cálculo de tensões, deformações e deslocamentos em estruturas; 
 
 
• Cálculo de carga, velocidades, gradientes e vazões em problemas de fluxo transiente e 
permanente; 
 
 
• Cálculo de transporte de contaminantes em solos; 
 
 
• Cálculo do fluxo de calor em solos, etc. 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
EXEMPLOS DE UTILIZAÇÃO DO MEF 
TENSÕES, DEFORMAÇÕES E DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
BARRAGEM DE EMBORCAÇÃO, CEMIG-MG 
Mestrando: EDSON LUIS DE CARVALHO 
DEC - UFV 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
MATERIAIS NA SEÇÃO TRANSVERSAL TÍPICA DA 
BARRAGEM DE EMBORCAÇÃO 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
MALHA DE ELEMENTOS FINITOS 
1841 NÓS, 576 ELEMENTOS, 53 NÓS CONTORNOS PRESCRITOS 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Sigma_YY
-4.20E+002
-3.73E+002
-3.27E+002
-2.80E+002
-2.33E+002
-1.87E+002
-1.40E+002
-9.34E+001
-4.67E+001
+0.00E+000
Tensões verticais 
Sigma_XX
-2.24E+002
-1.99E+002
-1.74E+002
-1.49E+002
-1.25E+002
-9.96E+001
-7.47E+001
-4.98E+001
-2.49E+001
+0.00E+000
Tensões horizontais 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
BARRAGEM DE BELICHE (PORTUGAL) 
Mestrando: LUCAS MELO 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Fundação NúcleoFiltroEnroc. alteradoEnroc. são
10 0 20 m
MATERIAIS NA SEÇÃO TRANSVERSAL TÍPICA DA 
BARRAGEM DE BELICHE 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Fundação Enroc. são FiltroEnroc. alterado Núcleo
MALHA DE ELEMENTOS FINITOS 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
77 
67 
60 
50 
40 
35 
25 
17 
8 
+0 
Deslocamento vertical (cm) 
(positivo para baixo) 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
-12 
-8.0 
-5.0 
-3.0 
-0.2 
+2.5 
+5 
+8 
+10 
+14 
Deslocamento horizontal (cm) 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
+0+150 
+300 
+500 
+650 
+800 
+1000 
+1150 
+1300 
+1500 
SIGMA Y 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
+0 
+700 
+150 
+220 
+300 
+370 
+450 
+500 
+600 
+670 
SIGMA X 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
FLUXO PERMANENTE E TRANSPORTE DE 
CONTAMINANTES 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Mestrando: ALEX MAGNO GERMANO 
Orientadora: IZABEL AZEVEDO 
DEC - UFV 
ESTUDO NUMÉRICO DO TRANSPORTE DE POLUENTES DEVIDO AO 
LIXÃO DA CIDADE DE VIÇOSA - MG 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Escolha da seção transversal a ser estudada 
Levantamento topográfico da área do lixão 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
PROGRAMA GEO-SLOPE 
 
Módulo SEEP/W: 
 
• Definição da malha de elementos finitos 
• Dados: parâmetros dos solos e da região 
• Média da precipitação de chuva na região de viçosa: 1220 mm ao ano 
 
 
 
Seção transversal discretizada em elementos finitos. 
brejo 
estrada 
furo de sondagem 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Estrada
Furo 04
Furo 02
Brejo
Estrada
Furo 04
Furo 02
Brejo
Fluxo considerando a infiltração de chuva 
Resultados: velocidades de fluxo 
Fluxo sem considerar infiltração de chuva 
brejo 
estrada 
furo de sondagem 
furo de sondagem 
brejo 
estrada 
furo de sondagem 
furo de sondagem 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Módulo CTRAN/W: 
 
Dados: 
- velocidades de fluxo (do módulo SEEP) 
- parâmetros de transporte 
- tempo de evolução da pluma de contaminação a ser estudado 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Estrada
Furo 04
Furo 02
Brejo
Lixo
 33.
925 
 
 33.925 
 43.925
 
 43.925 
 53
.925
 
 63.925 
 83
.925
 
 93.925 
Estrada
Furo 04
Furo 02
Brejo
Lixo
 6.3409 
 16.341 
 26.341 
 36.341 
 96.3
41 
Cádmio 25 e 100 anos 
EVOLUÇÃO DAS PLUMAS DE CONTAMINAÇÃO 
brejo 
estrada 
furo 
furo 
resíduos 
brejo 
estrada 
furo 
furo 
resíduos 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Chumbo 25 e 100 anos 
Estrada
Furo 04
Furo 02
Brejo
Lixo
 6.3409 
 16.341 
 26.341 
 36.341 
 96.3
41 
Estrada
Furo 04
Furo 02
Brejo
Lixo
 26
.607
 
 26.607 
 36.607 
 46.607 
 56.607 
 96.607 
 
brejo 
estrada 
furo 
furo 
resíduos 
brejo 
estrada 
furo 
furo resíduos 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Estrada
Furo 04
Furo 02
Brejo
Lixo
 3.3291 
 13.329 
 23.329 
 33.329 
 43.329 
 93.32
9 
Estrada
Furo 04
Furo 02
Brejo
Lixo
 33.
925 
 
 33.925 
 43.925
 
 43.925 
 53
.925
 
 63.925 
 83
.925
 
 93.925 
Cobre 25 e 100 anos 
brejo 
estrada 
furo 
furo 
resíduos 
brejo 
estrada 
furo 
furo 
resíduos 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Estrada
Furo 04
Furo 02
Brejo
Lixo
 32
.34
7 
 32.347 
 42
.347
 
 42.347 
 52
.347
 
 72
.347
 
 92
.347
 
 92.
347 
 
Estrada
Furo 04
Furo 02
Brejo
Lixo
 26
.607
 
 26.607 
 36.607 
 46.607 
 56.607 
 96.607 
 
Estrada
Furo 04
Furo 02
Brejo
Lixo
 33.
925 
 
 33.925 
 43.925
 
 43.925 
 53
.925
 
 63.925 
 83
.925
 
 93.925 
brejo 
estrada 
furo 
furo 
resíduos 
brejo 
estrada 
furo 
furo 
resíduos 
brejo 
estrada 
furo 
furo 
resíduos 
Cádmio 100 anos 
Chumbo 100 anos 
Cobre 100 anos 
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