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A Cartilha da Lógica, Maria Nicoletti - Lista2 respostas

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2ª LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Verifique, usando a definição de consequência lógica, se pode ser escrito:
Definição de consequência lógica:
“Uma fórmula α é consequência lógica de um conjunto de fórmulas Τ se toda interpretação
que satisfaz todas as fórmulas de Τ também satisfaz α.
a) ((¬p→q ), (r∧¬q) )╞ p→r
p q r ¬p ¬q ¬p→q r∧¬q p→r
v v v f f v f v
v v f f f v f f
v f v f v v v v
v f f f v v f f
f v v v f v f v
f v f v f v f v
f f v v v f v v
f f f v v f f v
Segundo a definição p→r é consequência lógica de ((¬p→q ), (r∧¬q) )
b) ((¬p→q )∨(r∧¬q ) )╞ p→¬r
p q r ¬p ¬q ¬r ¬p→q r∧¬q (¬p→q )∨(r∧¬q) p→¬r
v v v f f f v f v f
v v f f f v v f v v
v f v f v f v v v f
v f f f v v v f v v
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f f f v v v f f f v
Segundo a definição p→¬r não é consequência lógica de ((¬p→q )∨(r∧¬q )) , pois as
interpretações I [1] e I [3] não satisfazem.
c) (( p→q) ,(r∧¬q ) )╞ p→r
p q r ¬q p→q r∧¬q p→r
v v v f v f v
v v f f v f f
v f v v f v v
v f f v f f f
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f v f f v f v
f f v v v v v
f f f v v f v
Segundo a definição p→r é consequência lógica de ((¬p→q ), (r∧¬q)) .
d) (¬( p∨q ))↔(¬r→¬q) ,¬q╞ (( p∧¬q)∨r )
p q r ¬q ¬r p∨q ¬(p∨q ) ¬r→¬q (¬(p∨q ))↔(¬r→¬q) p∧¬q ( p∧¬q)∨r
v v v f f v f v f f v
v v f f v v f f v f f
v f v v f v f v f v v
v f f v v v f v f v v
f v v f f v f v f f v
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f f v v f f v v v f v
f f f v v f v v v f f
Segundo a definição ( p∧¬q)∨r não é consequência lógica de (¬( p∨q ))↔(¬r→¬q) ,¬q , pois a
interpretação I [8 ] não satisfaz.
 e) ( p∧q∧r)→(¬r↔¬q) ,¬r╞ p→r
p q r ¬q ¬r p∧q∧r ¬r↔¬q ( p∧q∧r)→(¬r↔¬q) p→r
v v v f f v v v v
v v f f v f f v f
v f v v f f f v v
v f f v v f v v f
f v v f f f v v v
f v f f v f f v v
f f v v f f f v v
f f f v v f v v v
Segundo a definição p→r não é consequência lógica de ( p∧q∧r)→(¬r↔¬q) ,¬r , pois as
interpretações I [2] e I [4] não satisfazem.
f) p→ (q∨r ), p╞ p∧q
p q r q∨r p→ (q∨r ) p∧q
v v v v v v
v v f v v v
v f v v v f
v f f f f f
f v v v v f
f v f v v f
f f v v v f
f f f f v f
Segundo a definição p∧q não é consequência lógica de p→ (q∨r ) e p , pois as
interpretações I [2] e I [4] não satisfazem.
g) ¬p→¬¬q ,¬¬¬p╞ q
p q ¬p ¬¬p ¬¬¬p ¬q ¬¬q ¬p→¬¬q
v v f v f f v v
v f f v f v f v
f v v f v f v v
f f v f v v f f
Segundo a definição q é consequência lógica de ¬p→¬¬q e ¬¬¬p .
h) ( p∧q)→(r∧s),¬¬p ,q╞ s
p q r s ¬p ¬¬p p∧q r∧s ( p∧q)→(r∧s)
v v v v f v v v v
v v v f f v v f f
v v f v f v v f f
v v f f f v v f f
v f v v f v f v v
v f v f f v f f v
v f f v f v f f v
v f f f f v f f v
f v v v v f f v v
f v v f v f f f v
f v f v v f f f v
f v f f v f f f v
f f v v v f f v v
f f v f v f f f v
f f f v v f f f v
f f f f v f f f v
Segundo a definição s é consequência lógica de ( p∧q)→(r∧s) , ¬¬p e q .
i) p╞ ( p∨q)∧( p∨r )
p q r p∨q p∨r ( p∨q)∧( p∨r )
v v v v v v
v v f v v v
v f v v v v
v f f v v v
f v v v v v
f v f v f f
f f v f v f
f f f f f f
Segundo a definição ( p∨q)∧( p∨r ) é consequência lógica de p .
j) p ,¬¬( p→q)╞q∨¬q
p q ¬q p→q ¬(p→q) ¬¬( p→q) q∨¬q
v v f v f v v
v f v f v f v
f v f v f v v
f f v v f v v
Segundo a definição q∨¬q é consequência lógica de p e ¬¬( p→q) .
k) p↔(q∨r ) , q╞ p
p q r q∨r p↔(q∨r )
v v v v v
v v f v v
v f v v v
v f f f f
f v v v f
f v f v f
f f v v f
f f f f v
Segundo a definição p é consequência lógica de p↔(q∨r ) e q .
l) p ,( p∧q)→¬r ,¬r→¬s╞ q→¬s
p q r s ¬r ¬s p∧q ( p∧q)→¬r ¬r→¬s q→¬s
v v v v f f v f v f
v v v f f v v f v v
v v f v v f v v f f
v v f f v v v v v v
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f v f f v v f v v v
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f f v f f v f v v v
f f f v v f f v f v
f f f f v v f v v v
Segundo a definição q→¬s é consequência lógica de p , ( p∧q)→¬r e ¬r→¬s .
m) ¬p→ p╞ p
p ¬p ¬p→ p
v f v
f v f
Segundo a definição p é consequência lógica de ¬p→ p .
n) p→¬¬q╞¬q→¬p
p q ¬p ¬q ¬¬q p→¬¬q ¬q→¬p
v v f f v v v
v f f v f f f
f v v f v v v
f f v v f v v
Segundo a definição ¬q→¬p é consequência lógica de p→¬¬q .
o) ¬p↔(¬q∨¬r ) , r∧p╞ p
p q r ¬p ¬q ¬r ¬q∨¬r ¬p↔(¬q∨¬r ) r∧p
v v v f f f f v v
v v f f f v v f f
v f v f v f v f v
v f f f v v v f f
f v v v f f f f f
f v f v f v v v f
f f v v v f v v f
f f f v v v v v f
Segundo a definição p é consequência lógica de ¬p↔(¬q∨¬r ) e r∧p .
2) Repita o exercício (1), mas agora usando o resultado estabelecido no Teorema 1.1.
Definição:
Dadas as fórmulas β1 , β2 , β3 ..., βn e uma fórmula α , diz- se que α é consequência 
lógica de β1 , β2 , β3 ..., βn se, e somente se, a fórmula β1∧β2∧β3∧...∧βn→α a for uma 
tautologia.
a) ((¬p→q ), (r∧¬q) )╞ p→r
p q r ¬p ¬q ¬p→q r∧¬q p→r (¬p→q)∧(r∧¬q) ((¬p→q)∧(r∧¬q))→( p→r )
v v v f f v f v f v
v v f f f v f f f v
v f v f v v v v v v
v f f f v v f f f v
f v v v f v f v f v
f v f v f v f v f v
f f v v v f v v f v
f f f v v f f v f v
b) ((¬p→q )∨(r∧¬q ) )╞ p→¬r
p q r ¬p ¬q ¬r ¬p→q r∧¬q (¬p→q )∨(r∧¬q) p→¬r ((¬p→q)∨(r∧¬q))→( p→¬r )
v v v f f f v f v f f
v v f f f v v f v v v
v f v f v f v v v f f
v f f f v v v f v v v
f v v v f f v f v v v
f v f v f v v f v v v
f f v v v f f v v v v
f f f v v v f f f v v
c) (( p→q) ,(r∧¬q ) )╞ p→r
p q r ¬q p→q r∧¬q p→r ( p→q)∧(r∧¬q ) (( p→q)∧(r∧¬q))→( p→r)
v v v f v f v f v
v v f f v f f f v
v f v v f v v f v
v f f v f f f f v
f v v f v f v f v
f v f f v f v f v
f f v v v v v v v
f f f v v f v f v
d) (¬( p∨q ))↔(¬r→¬q) ,¬q╞ (( p∧¬q)∨r )
p q r ¬q ¬r p∨q ¬(p∨q ) ¬r→¬q (¬(p∨q ))↔(¬r→¬q) p∧¬q ( p∧¬q)∨r
v v v f f v f v f f v
v v f f v v f f v f f
v f v v f v f v f v v
v f f v v v f v f v v
f v v f f v f v f f v
f v f f v v f f v f f
f f v v f f v v v f v
f f f v v f v v v f f
Cont…
((¬( p∨q))↔(¬r→¬q))∧¬q (((¬( p∨q))↔(¬r→¬q))∧¬q)→(( p∧¬q )∨r )
f v
f v
f v
f v
f v
f v
v v
v f
 e) ( p∧q∧r)→(¬r↔¬q) ,¬r╞ p→r
p q r ¬q ¬r p∧q∧r ¬r↔¬q ( p∧q∧r)→(¬r↔¬q) p→r
v v v f f v v v v
v v f f v f f v f
v f v v f f f v v
v f f v v f v v f
f v v f f f v v v
f v f f v f f v v
f f v v f f f v v
f f f v v f v v v
(( p∧q∧r )→(¬r↔¬q))∧¬r ((( p∧q∧r)→(¬r↔¬q))∧¬r )→(p→r )
f v
v f
f v
v f
f v
v v
f v
v v
f) p→ (q∨r ), p╞ p∧q
p q r q∨r p→ (q∨r ) p∧q ( p→(q∨r ))∧p (( p→(q∨r ))∧p)→( p∧q)
v v v v v v v v
v v f v v v v v
v f v v v f v f
v f f f f f f v
f v v v v f f v
f v f v v f f v
f f v v v f f v
f f f f v f f v
g) ¬p→¬¬q ,¬¬¬p╞ q
p q ¬p ¬¬p ¬¬¬p ¬q ¬¬q ¬p→¬¬q (¬p→¬¬q)∧(¬¬¬p) ((¬p→¬¬q)∧(¬¬¬p))→(q)
v v f v f f v v f v
v f f v f v f v f v
f v v f v f v v v v
f f v f v v f f f v
h) ( p∧q)→(r∧s),¬¬p ,q╞ s
p q r s ¬p ¬¬p p∧q r∧s
v v v v f v v v
v v v f f v v f
v v f v f v v f
v v f f f v v f
v f v v f v f v
v f v f f v f f
v f f v f v f f
v f f f f v f f
f v v v v f f v
f v v f v f f f
f v f v v f f f
f v f f v f f f
f f v v v f f v
f f v f v f f f
f f f v v f f f
f f f f v f f f
Cont...
(( p∧q)→(r∧s))∧(¬¬p)∧q ((( p∧q)→(r∧s))∧(¬¬ p)∧q)→s
v v
f v
f v
f v
f v
f v
f v
f v
f v
f v
f v
f v
f v
f v
f v
f v
i) p╞ ( p∨q)∧( p∨r )
p q r p∨q p∨r ( p∨q)∧( p∨r ) p→ (( p∨q)∧( p∨r ))
v v v v v v v
v v f v v v v
v f v v v v v
v f f v v v v
f v v v v v v
f v f v f f v
f f v f v f v
f f f f f f v
j) p ,¬¬( p→q)╞q∨¬q
p q ¬q p→q ¬(p→q) ¬¬( p→q) q∨¬q p∧(¬¬( p→q )) ( p ,¬¬( p→q))→(q∨¬q)v v f v f v v v v
v f v f v f v f v
f v f v f v v f v
f f v v f v v f v
k) p↔(q∨r ) , q╞ p
p q r q∨r p↔(q∨r ) ( p↔(q∨r))∧q (( p↔(q∨r ))∧q)→p
v v v v v v v
v v f v v v v
v f v v v f v
v f f f f f v
f v v v f f v
f v f v f f v
f f v v f f v
f f f f v f v
l) p ,( p∧q)→¬r ,¬r→¬s╞ q→¬s
p q r s ¬r ¬s p∧q ( p∧q)→¬r ¬r→¬s q→¬s
v v v v f f v f v f
v v v f f v v f v v
v v f v v f v v f f
v v f f v v v v v v
v f v v f f f v v v
v f v f f v f v v v
v f f v v f f v f v
v f f f v v f v v v
f v v v f f f v v f
f v v f f v f v v v
f v f v v f f v f f
f v f f v v f v v v
f f v v f f f v v v
f f v f f v f v v v
f f f v v f f v f v
f f f f v v f v v v
Cont...
( p∧(( p∧q)→¬r)∧(¬r→¬s)) ( p∧(( p∧q)→¬r)∧(¬r→¬s))→(q→¬s)
f v
f v
f v
v v
v v
v v
f v
v v
f v
f v
f v
f v
f v
f v
f v
f v
m) ¬p→ p╞ p
p ¬p ¬p→p (¬p→p)→p
v f v v
f v f v
n) p→¬¬q╞¬q→¬p
p q ¬p ¬q ¬¬q p→¬¬q ¬q→¬p ( p→¬¬q)→(¬q→¬p)
v v f f v v v v
v f f v f f f v
f v v f v v v v
f f v v f v v v
o) ¬p↔(¬q∨¬r ) , r∧p╞ p
p q r ¬p ¬q ¬r ¬q∨¬r ¬p↔(¬q∨¬r ) r∧p
v v v f f f f v v
v v f f f v v f f
v f v f v f v f v
v f f f v v v f f
f v v v f f f f f
f v f v f v v v f
f f v v v f v v f
f f f v v v v v f
Cont...
(¬p↔(¬q∨¬r ))∧(r∧p) ((¬p↔(¬q∨¬r ))∧(r∧p))→ p
v v
f v
f v
f v
f v
f v
f v
f v
3) Considere que:
Se o universo é finito, então a vida é curta.
Se a vida vale a pena, então a vida é complexa.
Se a vida é curta ou complexa, então a vida tem sentido.
A vida não tem sentido.
p : o universo é finito
q : a vida é curta
r : a vida vale a pena
s : a vida é complexa
t : a vida tem sentido
Verifique, usando regras de inferência e equivalências lógicas:
a) Se o universo é finito e a vida vale a pena, então a vida tem sentido.
( p∧r )→t
Tem-se: C1 p→q premissa
C2 r→s premissa
C3 (q∨s)→t premissa
C4 ¬t premissa
Deduz-se: C5 p∧r hipótese condicional
C6 p (C5 + simplificação)
C7 q (C1 + C6 + modus ponens)
C8 q∨s (C7 + adição)
C9 t (C3 + C8 + modus ponens)
C10 ( p∧r )→t (C5 - C9 + introdução da condicional)
b) A vida não é curta.
¬q
Tem-se: C1 p→q premissa
C2 r→s premissa
C3 (q∨s)→t premissa
C4 ¬t premissa
Deduz-se: C5 ¬(q∨s ) (C3 + C4 + modus tollens)
C6 ¬q∧¬s (C5 + De Morgan)
C7 ¬s (C6 + Simplificação)
C8 ¬q (C6 + Simplificação)
c) A vida não é complexa ou o universo não é finito.
¬s∨¬p
Tem-se: C1 p→q premissa
C2 r→s premissa
C3 (q∨s)→t premissa
C4 ¬t premissa
Deduz-se: C5 ¬(q∨s ) (C3 + C4 + modus tollens)
C6 ¬q∧¬s (C5 + De Morgan)
C7 ¬s (C6 + Simplificação)
C8 ¬s∨¬p (C7 + adição)
d) A vida vale a pena se e somente se a vida tem sentido.
r↔ t
Tem-se: C1 p→q premissa
C2 r→s premissa
C3 (q∨s)→t premissa
C4 ¬t premissa
Deduz-se: C5 ¬(r↔ t) hipótese absurdo
C6 ¬(q∨s ) (C3 + C4 + modus tollens)
C7 (q∨s)→t (C6 + De Morgan)
C8 ¬s (C7 + simplificação)
C9 ¬((r→t)∧(t→r )) (C5 + equivalência da bicondicional)
C10 ¬((¬r∨t)∧(¬t∨r)) (C9 + equivalência da condicional)
C11 ¬(¬r∨t)∨¬(¬t∨r ) (C10 + De Morgan)
C12 (¬¬r∧¬t )∨(¬¬t∧¬r ) (C11 + De Morgan)
C13 (r∧¬t )∨(t∧¬r ) (C12 + dupla negação)
C14 ((r∧¬t )∨t)∧((r∧¬t )∨¬r ) (C13 + distributiva)
C15 (r∨t)∧(¬t∨t)∧(r∨¬r )∧(¬t∨¬r ) (C14 + distributiva)
C16 r∨t (C15 + simplificação)
C17 r (C4 + C16 + silogismo disjuntivo)
C18 s (C2 + C17 + modus ponens)
C19 s∧¬s (C8 + C18 + conjunção)
C20 r↔ t (C5 + C19 + redução ao absurdo)
4) Dado que:
Eu não como muito ou eu engordo.
Se chove, então a temperatura cai.
Se eu engordo ou a temperatura cai, então assisto TV.
Não assisto TV.
p : eu como muito
q : eu engordo
r : chove
s : a temperatura cai
t : assisto TV
Verifique, usando regras de inferência, consequências e equivalências lógicas, se as assertivas a
seguir são válidas:
a) Se eu não como muito e chove, então assisto TV.
(¬p∧r)→t
Tem-se: C1 ¬p∨q premissa
C2 r→s premissa
C3 (q∨s)→t premissa
C4 ¬t premissa
Deduz-se: C5 ¬p∧r hipótese condicional
C6 r (C5 + simplificação)
C7 s (C2 + C6 + modus ponens)
C8 ¬(q∨s ) (C3 + C4 + modus tollens)
C9 ¬q∧¬s (C8 + De Morgan)
C10 ¬s (C9 + simplificação)
C11 s∧¬s (C7 + C10 + conjunção)
R: A sequência C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C10, C11 é uma prova da conclusão (¬p∧r)→t e o
argumento (¬p∨q) ,(r→s) ,((q∨s)→t ) ,(¬t) ∣− ((¬p∧r )→t) é inválido.
b) Se a temperatura cai ou eu engordo, então eu não como muito.
(s∨q)→¬p
Tem-se: C1 ¬p∨q premissa
C2 r→s premissa
C3 (q∨s)→t premissa
C4 ¬t premissa
Deduz-se: C5 s∨q hipótese condicional
C6 ¬(q∨s ) (C3 + C4 + modus tollens)
C7 ¬q∧¬s (C6 + De Morgan)
C8 ¬q (C7 + simplificação)
C9 ¬p (C1 + C8 + silogismo disjuntivo)
C10 (s∨q)→¬p (C5 - C9 + introdução da condicional)
R: A sequência C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9 é uma prova da conclusão (s∨q)→¬p e o
argumento (¬p∨q) ,(r→s) ,((q∨s)→t) ,(¬t) ∣− ((s∨q)→¬p) é válido.
5) Identifique os átomos, construa o argumento e verifique a validade para as situações:
a) Se Deus existe, então a vida tem significado.
Deus existe.
Portanto,
A vida tem significado.
p : Deus existe
q : a vida tem significado
Argumento: p→q , p ∣− q
Tem-se: C1 p→q premissa
C2 p premissa
Deduz-se: C3 ¬p∨q (C1 + De Morgan)
C4 q (C2 + C3 + silogismo disjuntivo)
R: A sequência C1, C2, C3, C4 é uma prova da conclusão q e o argumento p→q , p ∣− q é válido.
b) Deus não existe.
Se Deus existisse, a vida teria significado.
Portanto, a vida não tem significado.
p : Deus existe
q : a vida tem significado
Argumento: ¬p ,¬p→¬q ∣− ¬q
Tem-se: C1 ¬p premissa
C2 ¬p→¬q premissa
Deduz-se: C3 ¬¬p∨¬q (C2 + De Morgan)
C4 p∨¬q (C3 + dupla negação)
C5 ¬q (C1 + C4 + silogismo disjuntivo)
R: A sequência C1, C2, C3, C4, C5 é uma prova da conclusão ¬q e o argumento ¬p ,¬p→¬q ∣− ¬q
é válido.
c) Como hoje não é quinta-feira, deve ser sexta-feira.
Logo, hoje é quinta-feira ou sexta-feira.
p : hoje é quinta-feira
q : hoje é sexta-feira
Argumento: ¬p ,q ∣− p∨q
Tem-se: C1 ¬p premissa
C2 q premissa
Deduz-se: C3 p∨q (C2 + adição)
R: A sequência C1, C2, C3 é uma prova da conclusão p∨q e o argumento ¬p ,q ∣− p∨q é válido.
d) Se hoje for quinta-feira, então amanhã será sexta-feira.
Se amanhã for sexta-feira, então depois de amanhã será sábado.
Consequentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.
p : hoje é quinta-feira
q : amanhã será sexta-feira
r : depois de amanhã será sábado
Argumento: p→q ,q→r ∣− p→r
Tem-se: C1 p→q premissa
C2 q→r premissa
Deduz-se: C3 p hipótese condicional
C4 q (C1 + C3 + modus ponens)
C5 r (C2 + C4 + modus ponens)
C6 p→r (C3 + C5 + introdução da condicional)
R: A sequência C1, C2, C3, C4, C5, C6 é uma prova da conclusão p→r e o argumento
p→q ,q→r ∣− p→r é válido.
e) Hoje é um fim de semana se e somente se hoje for sábado ou domingo.
Portanto, hoje é um fim de semana, desde que hoje seja sábado.
p : hoje é fim de semana
q : hoje é sábado
r : hoje é domingo
Argumento: p↔(q∨r ) ∣− p→q
Tem-se: C1 p↔(q∨r ) premissa
Deduz-se: C2 q hipótese condicional
C3 ( p→(q∨r ))∧(q∨r )→ p (C1 + equivalência da bicondicional)
C4 (q∨r )→ p (C3 + simplificação)
C5 q∨r (C2 + adição)
C6 p (C4 + C5 + modus ponens)
C7 p→q (C6 - C2 + introdução da condicional)
R: A sequência C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7 é uma prova da conclusão p→q e o argumento
p↔(q∨r ) ∣− p→q é válido.
f) Hoje é um fim de semana se e somente se hoje for sábado ou domingo.
Hoje não é sábado. Hoje não é domingo.
Portanto, hoje não é um fim de semana.
p : hoje é fim de semana
q : hoje é sábado
r : hoje é domingo
Argumento: p↔(q∨r ) ,¬q ,¬r ∣− ¬ p
Tem-se: C1 p↔(q∨r) premissa
C2 ¬q premissa
C3 ¬r premissa
Deduz-se: C4 ¬p∨q (C2 + C3 + conjunção)
C5 ¬(q∨r ) (C4 + De Morgan)
C6 ( p→(q∨r ))∧(q∨r )→ p (C1 + equivalência da bicondicional)
C7 p→ (q∨r ) (C6 + simplificação)
C8 ¬p (C7 + modus tollens)
R: A sequência C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8 é uma prova da conclusão ¬p e o argumento
p↔(q∨r ) ,¬q ,¬r ∣− ¬ p é válido.
g) Ela não está em casa ou não está atendendo ao telefone.
Mas se ela não está em casa, então ela foi sequestrada. Se ela não está atendendo ao telefone, ela
está correndo algum outro perigo.
Portanto, ou ela foi sequestrada ou ela está correndo um outro perigo.
p : ela está em casa
q : ela está atendendo o telefone
r : ela foi sequestrada
s : ela está correndo perigo
Argumento: ¬p∨¬q ,¬p→r ,¬q→s ∣− r∨s
Tem-se: C1 ¬p∨¬q premissa
C2 ¬p→r premissa
C3 ¬q→ s premissa
Deduz-se: C4 ¬(r∨s) hipótese absurdo
C5 ¬r∧¬s (C4 + De Morgan)
C6 p→¬q (C1 + equivalência da condicional)
C7 ¬r (C5 + simplificação)
C8 ¬s (C5 + simplificação)
C9 p (C2 + C3 + modus tollens)
C10 ¬q (C6 + C9 + modus ponens)
C11 s (C3 + C10 + modus ponens)
C12 ¬s∧s (C8 + C11 + conjunção)
C13 r∨s (C4 + C12 + redução ao absurdo)
R: A sequência C1 à C13 é uma prova da conclusão r∨s e o argumento
¬p∨¬q ,¬p→r ,¬q→s ∣− r∨s é válido.
6) Prove, usando as regras de inferência e o princípio da substituição, que os argumentos a seguir
são válidos.
a) α ∣− β→α
Tem-se: C1 α premissa
Deduz-se: C2 β hipótese condicional
C3 β→α (C2 + C3 + introdução da condicional)
b) ¬α→ (β→δ) ,¬α ,β ∣− δ
Tem-se: C1 ¬α→ (β→δ) premissa
C2 ¬α premissa
C3 β premissa
Deduz-se: C4 β→δ (C1 + C2 + modus ponens)
C5 δ (C3 + C4 + modus ponens)
c) ¬α→¬¬β ,¬¬¬α ∣− β
Tem-se: C1 ¬α→¬¬β premissa
C2 ¬¬¬α premissa
Deduz-se: C3 ¬α (C2 + dupla negação)
C4 ¬¬β (C1 + C3 + modus ponens)
C4 β (C4 + dupla negação)
d) α ∣− α∨α
Tem-se: C1 α premissa
Deduz-se: C2 α∨α (C1 + adição)
e) α ∣− (α∨β)∧(α∨δ)
Tem-se: C1 α premissa
Deduz-se: C2 α∨β (C1 + adição)
C3 α∨δ (C1 + adição)
C4 (α∨β)∧(α∨δ) (C2 + C3 + conjunção)
f) α→β ,(α→β)→(β→α) ∣− (α↔β)
Tem-se: C1 α→β premissa
C2 (α→β)→(β→α) premissa
Deduz-se: C3 β→α (C1 + C2 + modus ponens)
C4 (α→β)∧(β→α) (C1 + C3 + conjunção)
α↔β C4 + equivalência da bicondicional)
7) Encontre uma fórmula equivalente à fórmula ¬(p∧q )∨r , em que só ocorra →.
¬(p∧q )∨r
(¬p∨¬q)∨r De Morgan
( p→¬q)∨r Equivalência da condicional
¬(p→¬q)→r Equivalência da condicional
p q r ¬q p∧q ¬(p∧q ) ¬(p∧q )∨r p→¬q ¬(p→¬q) ¬(p→¬q)→r
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8) Verifique, justificando quais dos enunciados a seguir são verdadeiros.
a) ¬(p∧q )∨q é uma contradição.
p q p∧q ¬(p∧q ) ¬(p∧q )∨q
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f v f v v
f f f v v
R: ¬(p∧q )∨q não é uma contradição, pois pela tabela verdade é possível ver que todas as
interpretações I são iguais a v , sendo assim ¬(p∧q )∨q é uma tautologia.
b) ( p↔q∧¬p)↔¬q é uma contradição.
p q ¬p ¬q q∧¬p p↔q∧¬p ( p↔q∧¬p)↔¬q
v v f f f f v
v f f v f f f
f v v f v f v
f f v v f v v
R: ¬(p∧q )∨q não é uma contradição, pois pela tabela verdade é possível ver que as interpretações I1, I3
e I4 são iguais a v , sendo assim ( p↔q∧¬p)↔¬q é contigente, satisfatível e inválida.
c) Se p for avaliado f então q≡¬ p∨q .
p q ¬p ¬p∨q
v v f v
v f f f
f v v v
f f v v
R: q não é equivalente a ¬p∨q , pois pela tabela verdade é possível ver que a interpretação I4 tem
valor igual a f em q e valor igual a v em ¬p∨q .
d) p∧p é insatisfatível.
p p∧p
v v
f f
R: p∧p não é insatisfatível, pois pela tabela verdade é possível ver que a interpretação I1 tem valor igual
a v .
e) p→ p é satisfatível.
p p→ p
v v
f v
R: p→ p é satisfatível, pois pela tabela verdade é possível ver que a interpretação I1 e I2 tem valor igual a
v .
f) p→ p é válida.
p p→ p
v v
f v
R: p→ p é válida, pois pela tabela verdade é possível ver que as interpretações I1 e I2 tem valor igual a
v .
g) p∨¬p é válida.
p ¬p p∨¬p
v f v
f v v
R: p∨¬p é válida, pois pela tabela verdade é possível ver que as interpretações I1 e I2 tem valor igual a
v .
9) Usando tanto o método da tabela-verdade quanto o de manipulação algébrica de fórmulas via equivalência
lógica, determine a FNC equivalente a:
a) p→¬q
Manipulação Algébrica
p→¬q Equivalência da implicação
¬p∨¬q FNC
Tabela-verdade
p q ¬q p→¬q
v v f f
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f v f v
f f v v
Focalizando as interpretações cujos valores-verdade de α são f , segundo o Procedimento,
FNC( α ): ¬p∨¬q
b) ¬(p∧q )
Manipulação Algébrica
¬(p∧q ) De Morgan
¬p∨¬q FNC
Tabela-verdade
p q p∧q ¬(p∧q )
v v v f
v f f v
f v f v
f f f v
Focalizando as interpretações cujos valores-verdade de α são f , segundo o Procedimento,
FNC( α ): ¬p∨¬q
c) ( p∧q)∨q
Manipulação Algébrica
( p∧q)∨q Equivalência da implicação
( p∨q)∧(q∨q) Idempotentes
( p∨q)∧q FNC
Tabela-verdade
p q p∧q ( p∧q)∨q
v v v v
v f f f
f v f v
f f f f
Focalizando as interpretações cujos valores-verdade de α são f , segundo o Procedimento,
FNC( α ): (¬p∨q)∧( p∨q )
d) p∧¬(q∨r )
Manipulação Algébrica
p∧¬(q∨r ) De Morgan
p∧(¬q∧¬r) Associativa
p∧¬q∧¬r FNC
Tabela-verdade
p q r q∨r ¬(q∨r ) p∧¬(q∨r )
v v v v f f
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f v v v f f
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f f v v f f
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Focalizando as interpretações cujos valores-verdade de α são f , segundo o Procedimento,
FNC( α ):
(¬p∨¬q∨¬r )∧(¬p∨¬q∨r )∧(¬p∨q∨¬r )∧( p∨¬q∨¬r)∧( p∨¬q∨r )∧(p∨q∨¬r)∧( p∨q∨r )
e) ¬(p∧(q∨r ))
Manipulação Algébrica
¬(p∧(q∨r )) De Morgan
¬p∨¬(q∨r) De Morgan
¬p∨(¬q∧¬r ) Distributiva
(¬p∨¬q)∧(¬p∨¬r ) FNC
Tabela-verdade
p q r q∨r p∧(q∨r ) ¬(p∧(q∨r ))
v v v v v f
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f v v v f v
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Focalizando as interpretações cujos valores-verdade de α são f , segundo o Procedimento,
FNC( α ): (¬p∨¬q∨¬r )∧(¬p∨¬q∨r )∧(¬p∨q∨¬r )
f) p∨(¬p∧q∧r)
Manipulação Algébrica
p∨(¬p∧q∧r) Distributiva
( p∨¬p)∧( p∨q)∧(p∨r )
p∧( p∨q )∧( p∨r ) FNC
Tabela-verdade
p q r ¬p ¬p∧q∧r p∨(¬p∧q∧r)
v v v f f v
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f v v v v v
f v f v f f
f f v v f f
f f f v f f
Focalizando as interpretações cujos valores-verdade de α são f , segundo o Procedimento,
FNC( α ): ( p∨¬q∨r )∧( p∨q∨¬r )∧( p∨q∨r)
g) ¬(p→q)∨( p∨q)
Manipulação Algébrica
¬(p→q)∨( p∨q) Equivalência da implicação
¬(¬p∨q)∨(p∨q) De Morgan
(¬¬p∧¬q )∨( p∨q) Dupla Negação
( p∧¬q)∨( p∨q ) Distributiva
( p∨( p∨q))∧(¬q∨( p∨q)) Associativa
( p∨p∨q)∧(¬q∨p∨q) Idempotentes e identidade
( p∨q)∧p FNC
Tabela-verdade
p q p∨q p→q ¬(p→q) ¬(p→q)∨( p∨q)
v v v v f v
v f v f v v
f v v v f v
f f f v f f
Focalizando as interpretações cujos valores-verdade de α são f , segundo o Procedimento,
FNC( α ): p∨q
h) ¬(p→¬q)∧( p∧q)
Manipulação Algébrica
¬(p→¬q)∧( p∧q) Equivalência da implicação
¬(¬p∨¬q)∧( p∧q) De Morgan
(¬¬p∧¬¬q)∧(p∧q) Dupla Negação
( p∧q)∧( p∧q) Associativa e 
p∧q FNC
Tabela-verdade
p q ¬q p→¬q ¬(p→¬q) p∧q ¬(p→¬q)∧( p∧q)
v v f f v v v
v f v v f f f
f v f v f f f
f f v v f f f
Focalizando as interpretações cujos valores-verdade de α são f , segundo o Procedimento,
FNC( α ): (¬p∨q)∧( p∨¬q)∧(p∨q)
10) Usando tanto o método da tabela-verdade quanto o de manipulação algébrica de fórmula via
equivalência lógica, determine a FND equivalente a:
a) ¬p→(q∧r )
Manipulação Algébrica
¬p→(q∧r ) Equivalência da Implicação
¬¬p∨(q∧r) Dupla Negação
p∨(q∧r ) FNDTabela-verdade
p q r ¬p q∧r ¬p→(q∧r )
v v v f v v
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f v v v v v
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f f v v f f
f f f v f f
Focalizando as interpretações cujos valores-verdade de α são v , segundo o Procedimento 1.2,
FND( α ): ( p∧q∧r)∨( p∧q∧¬r )∨( p∧¬q∧r)∨( p∧¬q∧¬r )∨(¬p∧q∧r )
b) ¬q∧(q→r )
Manipulação Algébrica
¬q∧(q→r ) Equivalência da Implicação
¬q∧(¬q∨r ) Distributiva
(¬q∧¬q)∨(¬q∧r ) Idempotentes
¬q∨(¬q∧r ) FND
Tabela-verdade
q r ¬q q→r ¬q∧(q→r )
v v f v f
v f f f f
f v v v v
f f v v v
Focalizando as interpretações cujos valores-verdade de α são v , segundo o Procedimento 1.2,
FND( α ): (¬q∧r )∨(¬q∧¬r)
c) ( p→q)∨¬p
Manipulação Algébrica
( p→q)∨¬p Equivalência da Implicação
(¬p∨q)∨¬p Associativa
¬p∨q∨¬p Idempotentes
¬p∨q FND
Tabela-verdade
p q ¬p p→q ( p→q)∨¬p
v v f v v
v f f f f
f v v v v
f f v v v
Focalizando as interpretações cujos valores-verdade de α são v , segundo o Procedimento 1.2,
FND( α ): ( p∧q)∨(¬ p∧q )∨(¬p∧¬q)
d) (¬p∧q)∨q
Manipulação Algébrica
(¬p∧q)∨q Lei da absorção
q FND
Tabela-verdade
p q ¬p ¬p∧q (¬p∧q)∨q
v v f f v
v f f f f
f v v v v
f f v f f
Focalizando as interpretações cujos valores-verdade de α são v , segundo o Procedimento 1.2,
FND( α ): ( p∧q)∨(¬ p∧q )
e) ¬(p∧(q∨r ))
Manipulação Algébrica
¬(p∧(q∨r )) De Morgan
¬p∨(q∨r ) Associativa
¬p∨q∨r FND
Tabela-verdade
p q r q∨r p∧(q∨r ) ¬(p∧(q∨r ))
v v v v v f
v v f v v f
v f v v v f
v f f f f v
f v v v f v
f v f v f v
f f v v f v
f f f f f v
Focalizando as interpretações cujos valores-verdade de α são v , segundo o Procedimento 1.2,
FND( α ): ( p∧¬q∧¬r )∨(¬p∧q∧r)∨(¬p∧q∧¬r )∨(¬p∧¬q∧r )∨(¬p∧¬q∧¬r )
f) p∨(q→r )→s
Manipulação Algébrica
p∨(q→r )→s Equivalência da Implicação
p∨(¬q∨r )→s Equivalência da Implicação
p∨¬(¬q∨r)∨s De Morgan
p∨(¬¬q∧¬r )∨s Dupla Negação
p∨(q∧¬r )∨s FND
Tabela-verdade
p q r s q→r p∨(q→r ) p∨(q→r )→s
v v v v v v v
v v v f v v f
v v f v f v v
v v f f f v f
v f v v v v v
v f v f v v f
v f f v v v v
v f f f v v f
f v v v v v v
f v v f v v f
f v f v f f v
f v f f f f v
f f v v v v v
f f v f v v f
f f f v v v v
f f f f v v f
Focalizando as interpretações cujos valores-verdade de α são v , segundo o Procedimento 1.2,
FND( α ):
 ( p∧q∧r∧s)∨(p∧q∧¬r∧s)∨(p∧¬q∧r∧s)∨(p∧¬q∧¬r∧s)∨(¬p∧q∧r∧s)∨(¬p∧q∧¬r∧s)∨...
 ...(¬p∧q∧¬r∧¬s )∨(¬ p∧¬q∧r∧s)∨(¬p∧¬q∧¬r∧s )
g) ¬(p∨q )∧(s→t )
Manipulação Algébrica
¬(p∨q )∧(s→t) Equivalência da Implicação
¬(p∨q )∧(¬s∨t) Equivalência da Implicação
(¬p∧¬q)∧(¬s∨t) De Morgan
(¬p∧¬q)∧(¬s∨t) Distributiva
(¬s∧(¬p∧¬q ))∨(t∧(¬ p∧¬q)) Associativa
(¬s∧¬p∧¬q)∨(t∧¬p∧¬q) FND
Tabela-verdade
p q s t p∨q ¬(p∨q ) s→t ¬(p∨q )∧(s→t)
v v v v v f v f
v v v f v f f f
v v f v v f v f
v v f f v f v f
v f v v v f v f
v f v f v f f f
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f v v f v f f f
f v f v v f v f
f v f f v f v f
f f v v f v v v
f f v f f v f f
f f f v f v v v
f f f f f v v v
Focalizando as interpretações cujos valores-verdade de α são v , segundo o Procedimento 1.2,
FND( α ): (¬p∧¬q∧s∧t)∨(¬ p∧¬q∧¬s∧t)∨(¬ p∧¬q∧¬s∧¬t)
h) ¬(p∧q )∧( p∨q)
Manipulação Algébrica
¬(p∧q )∧( p∨q) De Morgan
(¬p∨¬q)∧( p∨q) Distributiva
( p∧(¬p∨¬q))∨(q∧(¬p∨¬q )) Distributiva
(( p∧¬p)∨(p∧¬q))∨((q∧¬p)∨(q∧¬q)) Associativa
( p∧¬q)∨(q∧¬p) FND
Tabela-verdade
p q p∧q ¬(p∧q ) p∨q ¬(p∧q )∧( p∨q)
v v v f v f
v f f v v v
f v f v v v
f f f v f f
Focalizando as interpretações cujos valores-verdade de α são v , segundo o Procedimento 1.2,
FND( α ): ( p∧¬q)∨(¬p∧q)

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