A Cartilha da Lógica, Maria Nicoletti - Lista3 respostas

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3ª Lista de Exercícios
2) Considere as seguintes premissas:
Se o universo é finito, então a vida é curta.
Se a vida vale a pena, então a vida é complexa.
Se a vida é curta ou complexa, então a vida tem sentido.
A vida não tem sentido.
p : o universo é finito
q : a vida é curta
r : a vida vale a pena
s : a vida é complexa
t : a vida tem sentido
2.1) Prove usando o principio de resolução (negando a conclusão) se:
a) Se o universo é finito e a vida vale a pena, então a vida tem sentido.
Argumento: p→q ,r→s ,(q∨s )→t ,¬t ∣− ( p∧r )→t
FNC( p→q ) p→q ≡ ¬p∨q
FNC( r→s ) r→s ≡ ¬r∨s
FNC( (q∨s)→t ) (q∨s)→t ≡ ¬(q∨s)∨t ≡ (¬q∧¬s )∨t ≡ (¬q∨t)∧(¬s∨t)
FNC( ¬t ) ¬t
Conclusão Negada
FNC( ¬(( p∧r )→t ) )
¬(( p∧r )→t) ≡ ¬(¬( p∧r )∨t ) ≡ ¬((¬p∨¬r )∨t ) ≡ ¬(¬p∨¬r )∧¬t …
… ≡ p∧r∧¬t
Uso de resolução com a negação da conclusão
Cláusulas Comentário
C1: ¬p∨q Cláusula da 1ª premissa
C2: ¬r∨s Cláusula da 2ª premissa
C3: ¬q∨t Cláusula da 3ª premissa
C4: ¬s∨t Cláusula da 3ª premissa
C5: ¬t Cláusula da 4ª premissa
C6: p Cláusula da negação da conclusão
C7: r Cláusula da negação da conclusão
C8: ¬t Cláusula da negação da conclusão
C9: q Resolvente da resolução de C1 e C6
C10: t Resolvente da resolução de C3 e C9
C11: nil Resolvente da resolução de C5 e C10
b) A vida não é curta.
Argumento: p→q ,r→s ,(q∨s )→t ,¬t ∣− ¬q
FNC( p→q ) p→q ≡ ¬p∨q
FNC( r→s ) r→s ≡ ¬r∨s
FNC( (q∨s)→t ) (q∨s)→t ≡ ¬(q∨s)∨t ≡ (¬q∧¬s )∨t ≡ (¬q∨t)∧(¬s∨t)
FNC( ¬t ) ¬t
Conclusão Negada
FNC( ¬(¬q) )
¬(¬q) ≡ q
Uso de resolução com a negação da conclusão
Cláusulas Comentário
C1: ¬p∨q Cláusula da 1ª premissa
C2: ¬r∨s Cláusula da 2ª premissa
C3: ¬q∨t Cláusula da 3ª premissa
C4: ¬s∨t Cláusula da 3ª premissa
C5: ¬t Cláusula da 4ª premissa
C6: q Cláusula da negação da conclusão
C7: t Resolvente da resolução de C3 e C6
C8: nil Resolvente da resolução de C5 e C7
c) A vida não é complexa ou o universo não é finito.
Argumento: p→q ,r→s ,(q∨s )→t ,¬t ∣− ¬s∨¬ p
FNC( p→q ) p→q ≡ ¬p∨q
FNC( r→s ) r→s ≡ ¬r∨s
FNC( (q∨s)→t ) (q∨s)→t ≡ ¬(q∨s)∨t ≡ (¬q∧¬s )∨t ≡ (¬q∨t)∧(¬s∨t)
FNC( ¬t ) ¬t
Conclusão Negada
FNC( ¬(¬s∨¬ p) )
¬(¬s∨¬ p) ≡ ¬¬s∧¬¬p ≡ s∧p
Uso de resolução com a negação da conclusão
Cláusulas Comentário
C1: ¬p∨q Cláusula da 1ª premissa
C2: ¬r∨s Cláusula da 2ª premissa
C3: ¬q∨t Cláusula da 3ª premissa
C4: ¬s∨t Cláusula da 3ª premissa
C5: ¬t Cláusula da 4ª premissa
C6: p Cláusula da negação da conclusão
C7: s Cláusula da negação da conclusão
C8: t Resolvente da resolução de C4 e C7
C9: nil Resolvente da resolução de C5 e C8
d) A vida vale a pena se e somente se a vida tem sentido.
Argumento: p→q ,r→s ,(q∨s )→t ,¬t ∣− r↔ t
FNC( p→q ) p→q ≡ ¬p∨q
FNC( r→s ) r→s ≡ ¬r∨s
FNC( (q∨s)→t ) (q∨s)→t ≡ ¬(q∨s)∨t ≡ (¬q∧¬s )∨t ≡ (¬q∨t)∧(¬s∨t)
FNC( ¬t ) ¬t
Conclusão Negada
FNC( ¬(r↔ t) )
¬(r↔ t) ≡ ¬((r→t)∧(t→r )) ≡ ¬((¬r∨t)∧(¬t∨r )) ≡ ¬(¬r∨t)∨¬(¬t∨r )…
… ≡ (¬¬r∧¬t)∨(¬¬t∧¬r) ≡ (r∧¬t)∨(t∧¬r ) ≡ (r∨(t∧¬r ))∧(¬t∨( t∧¬r ))…
… ≡ (¬¬r∧¬t)∨(¬¬t∧¬r) ≡ (r∧¬t)∨(t∧¬r ) ≡ (r∨(t∧¬r ))∧(¬t∨( t∧¬r ))…
… ≡ (r∨t)∧(¬t∨¬r)
Uso de resolução com a negação da conclusão
Cláusulas Comentário
C1: ¬p∨q Cláusula da 1ª premissa
C2: ¬r∨s Cláusula da 2ª premissa
C3: ¬q∨t Cláusula da 3ª premissa
C4: ¬s∨t Cláusula da 3ª premissa
C5: ¬t Cláusula da 4ª premissa
C6: r∨t Cláusula da negação da conclusão
C7: ¬t∨¬r Cláusula da negação da conclusão
C8: ¬s Resolvente da resolução de C4 e C5
C9: ¬r Resolvente da resolução de C2 e C8
C10: t Resolvente da resolução de C6 e C9
C11: nil Resolvente da resolução de C5 e C10
2.2) Repita o exercício 2.1 usando a negação de toda expressão lógica.
a) Se o universo é finito e a vida vale a pena, então a vida tem sentido.
Argumento: p→q ,r→s ,(q∨s )→t ,¬t ∣− ( p∧r )→t
Prova do argumento usando o princípio da resolução (negando todo o teorema), ou seja, negando
p→q ,r→s ,(q∨s )→t ,¬t ∣− ( p∧r )→t e colocando a fórmula resultante na FNC. Tem-se, 
pois, que:
¬((( p→q)∧(r→s )∧((q∨s)→t)∧¬t)→(( p∧r )→t ))≡…
…¬(¬(( p→q)∧(r→ s)∧((q∨s)→t)∧¬t)∨((p∧r )→t))≡…
…((( p→q)∧(r→s)∧((q∨s)→t)∧¬t )∧¬(( p∧r )→t))≡…
…((¬p∨q)∧(¬r∨s )∧(¬(q∨s)∨t )∧¬t )∧¬(¬( p∧r )∨t)≡…
…((¬p∨q)∧(¬r∨s )∧((¬q∧¬s)∨t)∧¬t)∧(p∧r∧¬t)≡…
…(¬p∨q)∧(¬r∨s)∧(¬q∨t)∧(¬s∨t)∧¬t∧p∧r∧¬t
C1: ¬p∨q
C2: ¬r∨s
C3: ¬q∨t
C4: ¬s∨t
C5: ¬t
C6: p
C7: r
C8: ¬t
que são as mesmas obtidas quando da negação da conclusão.
b) A vida não é curta.
Argumento: p→q ,r→s ,(q∨s )→t ,¬t ∣− ¬q
Prova do argumento usando o princípio da resolução (negando todo o teorema), ou seja, negando
p→q ,r→s ,(q∨s )→t ,¬t ∣− ¬q e colocando a fórmula resultante na FNC. Tem-se, pois, que:
¬((( p→q)∧(r→s )∧((q∨s)→t)∧¬t)→(¬q))≡…
…¬(¬(( p→q)∧(r→ s)∧((q∨s)→t)∧¬t)∨(¬q))≡…
…((( p→q)∧(r→s)∧((q∨s)→t)∧¬t )∧¬(¬q))≡…
…(¬p∨q)∧(¬r∨s)∧(¬(q∨s )∨t)∧¬t∧q≡…
…(¬p∨q)∧(¬r∨s)∧((¬q∧¬s)∨t)∧¬t∧q≡…
…(¬p∨q)∧(¬r∨s)∧(¬q∨t)∧(¬s∨t)∧¬t∧q
C1: ¬p∨q
C2: ¬r∨s
C3: ¬q∨t
C4: ¬s∨t
C5: ¬t
C6: q
que são as mesmas obtidas quando da negação da conclusão.
c) A vida não é complexa ou o universo não é finito.
Argumento: p→q ,r→s ,(q∨s )→t ,¬t ∣− ¬s∨¬ p
Prova do argumento usando o princípio da resolução (negando todo o teorema), ou seja, negando
p→q ,r→s ,(q∨s )→t ,¬t ∣− ¬s∨¬ p e colocando a fórmula resultante na FNC. Tem-se, pois, 
que:
¬((( p→q)∧(r→s )∧((q∨s)→t)∧¬t)→(¬s∨¬p))≡…
…¬(¬(( p→q)∧(r→ s)∧((q∨s)→t)∧¬t)∨(¬s∨¬p))≡…
…((( p→q)∧(r→s)∧((q∨s)→t)∧¬t )∧¬(¬s∨¬ p))≡…
…(¬p∨q)∧(¬r∨s)∧(¬(q∨s )∨t)∧¬t∧s∧p≡…
…(¬p∨q)∧(¬r∨s)∧((¬q∧¬s)∨t)∧¬t∧s∧p≡…
…(¬p∨q)∧(¬r∨s)∧(¬q∨t)∧(¬s∨t)∧¬t∧s∧p
C1: ¬p∨q
C2: ¬r∨s
C3: ¬q∨t
C4: ¬s∨t
C5: ¬t
C6: s
C7: p
que são as mesmas obtidas quando da negação da conclusão.
d) A vida vale a pena se e somente se a vida tem sentido.
Argumento: p→q ,r→s ,(q∨s )→t ,¬t ∣− r↔ t
Prova do argumento usando o princípio da resolução (negando todo o teorema), ou seja, negando
p→q ,r→s ,(q∨s )→t ,¬t ∣− r↔ t e colocando a fórmula resultante na FNC. Tem-se, pois, que:
¬((( p→q)∧(r→s )∧((q∨s)→t)∧¬t)→(r↔ t))≡…
…¬(¬(( p→q)∧(r→ s)∧((q∨s)→t)∧¬t)∨((r→t)∧(t→r )))≡…
…((( p→q)∧(r→s)∧((q∨s)→t)∧¬t )∧¬((r→t)∧(t→r )))≡…
…(¬p∨q)∧(¬r∨s)∧(¬(q∨s )∨t)∧¬t∧(¬(r→t)∨¬(t→r ))≡…
…(¬p∨q)∧(¬r∨s)∧(¬(q∨s )∨t )∧¬t∧(¬(¬r∨t)∨¬(¬t∨r ))≡…
…(¬p∨q)∧(¬r∨s)∧((¬q∧¬s)∨t)∧¬t∧s∧p≡…
…(¬p∨q)∧(¬r∨s)∧(¬q∨t)∧(¬s∨t)∧¬t∧((r∨(t∧¬r))∧(¬t∨(t∧¬r )))
…(¬p∨q)∧(¬r∨s)∧(¬q∨t)∧(¬s∨t)∧¬t∧(r∨t)∧(r∨¬r )∧(¬t∨t)∧(¬t∨¬r )
…(¬p∨q)∧(¬r∨s)∧(¬q∨t)∧(¬s∨t)∧¬t∧(r∨t)∧(¬t∨¬r )
C1: ¬p∨q
C2: ¬r∨s
C3: ¬q∨t
C4: ¬s∨t
C5: ¬t
C6: r∨t
C7: ¬t∨¬r
que são as mesmas obtidas quando da negação da conclusão.
3) Considere as seguintes premissas:
Eu não como muito ou engordo.
Se chove, então a temperatura cai.
Se eu engordo e a temperatura cai, então assisto TV.
Assisto TV.
p : eu como muito
q : eu engordo
r : chove
s : a temperatura cai
t : eu assisto TV.
3.1) Prove usando o principio de resolução (negando a conclusão) se:
a) Se eu não como muito e chove, então assisto TV.
Argumento: ¬p∨q , r→s,(q∧s)→t , t ∣− (¬ p∧r )→t
FNC( ¬p∨q ) ¬p∨q
FNC( r→s ) r→s ≡ ¬r∨s
FNC( (q∧s)→t ) (q∧s)→t ≡ ¬(q∧s)∨t ≡ (¬q∨¬s )∨t ≡ ¬q∨¬s∨t
FNC( t ) t
Conclusão Negada
FNC( ¬((¬p∧r )→t) )
¬((¬p∧r )→t) ≡ ¬(¬(¬p∧r )∨t) ≡ ¬p∧r∧¬t
Uso de resolução com a negação da conclusão
Cláusulas Comentário
C1: ¬p∨q Cláusula da 1ª premissa
C2: ¬r∨s Cláusula da 2ª premissa
C3: ¬q∨¬s∨t Cláusula da 3ª premissa
C4: t Cláusula da 4ª premissa
C5: ¬p Cláusula da negação da conclusão
C6: r Cláusula da negação da conclusão
C7: ¬t Cláusula da negação da conclusão
C8: nil Resolvente da resolução de C4 e C7
b) Se a temperatura cai ou engordo, então eu não como muito.
Argumento: ¬p∨q , r→s,(q∧s)→t , t ∣− (s∨q)→¬ p
FNC( ¬p∨q ) ¬p∨q
FNC( r→s ) r→s ≡ ¬r∨s
FNC( (q∧s)→t ) (q∧s)→t ≡ ¬(q∧s)∨t ≡ (¬q∨¬s )∨t ≡ ¬q∨¬s∨t
FNC( t ) t
Conclusão Negada
FNC( ¬((s∨q)→¬p) )¬((s∨q)→¬p) ≡ ¬(¬(s∨q)∨¬p) ≡ (s∨q)∧p
Uso de resolução com a negação da conclusão
Cláusulas Comentário
C1: ¬p∨q Cláusula da 1ª premissa
C2: ¬r∨s Cláusula da 2ª premissa
C3: ¬q∨¬s∨t Cláusula da 3ª premissa
C4: t Cláusula da 4ª premissa
C5: s∨q Cláusula da negação da conclusão
C6: p Cláusula da negação da conclusão
C7:
C8:
3.2) Repita o exercício 3.1 usando a negação de toda expressão lógica.
a) Se eu não como muito e chove, então assisto TV.
Argumento: ¬p∨q , r→s,(q∧s)→t , t ∣− (¬ p∧r )→t
Prova do argumento usando o princípio da resolução (negando todo o teorema), ou seja, negando
¬p∨q , r→s,(q∧s)→t , t ∣− (¬ p∧r )→t e colocando a fórmula resultante na FNC. Tem-se, 
pois, que:
¬(((¬p∨q)∧(r→s)∧((q∧s)→t )∧t)→((¬p∧r )→t ))≡…
…¬(¬((¬p∨q)∧(r→s)∧((q∧s)→t)∧t)∨((¬p∧r)→t))≡…
…((¬p∨q)∧(r→s)∧((q∧s)→t )∧t)∧¬((¬p∧r )→t)≡…
…(¬p∨q)∧(¬r∨s)∧(¬(q∨s )∨t)∧¬t∧(¬(r→t)∨¬(t→r ))≡…
…(¬p∨q)∧(¬r∨s)∧(¬q∨¬s∨t)∧t∧¬ p∧r∧¬t
C1: ¬p∨q
C2: ¬r∨s
C3: ¬q∨¬s∨t
C4: t
C5: ¬p
C6: r
C7: ¬t
que são as mesmas obtidas quando da negação da conclusão.
b) Se a temperatura cai ou engordo, então eu não como muito.
Argumento: ¬p∨q , r→s,(q∧s)→t , t ∣− (s∨q)→¬ p
Prova do argumento usando o princípio da resolução (negando todo o teorema), ou seja, negando
¬p∨q , r→s,(q∧s)→t , t ∣− (s∨q)→¬ p e colocando a fórmula resultante na FNC. Tem-se, 
pois, que:
¬(((¬p∨q)∧(r→s)∧((q∧s)→t )∧t )→((¬p∧r )→t))≡…
…¬(¬((¬p∨q)∧(r→s)∧((q∧s)→t)∧t)∨((s∨q)→¬p))≡…
…((¬p∨q)∧(r→s)∧((q∧s)→t)∧t)∧¬((s∨q)→¬p)≡…
…((¬p∨q)∧(r→s)∧((q∧s)→t )∧t )∧¬((s∨q)→¬p)≡…
…(¬p∨q)∧(¬r∨s)∧(¬q∨¬s∨t)∧t∧(s∨q)∧p
C1: ¬p∨q
C2: ¬r∨s
C3: ¬q∨¬s∨t
C4: t
C5: s∨q
C6: p
que são as mesmas obtidas quando da negação da conclusão.