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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA APOSTILA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS I Professor Eduardo Rezende de Araújo Rio de Janeiro Dezembro/2015 “O primeiro procedimento que devemos tomar para atingirmos a realização de qualquer projeto pessoal, profissional ou acadêmico é começá-lo.” SUMÁRIO 1. CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS.............................................................06 1.1 DEFINIÇÕES DAS GRANDEZAS......................................................................06 1.2 FONTES DE TENSÃO E FONTES DE CORRENTE.........................................07 1.3 AS LEIS DE KIRCHHOFF...................................................................................07 1.3.1 Definições..........................................................................................................07 1.3.2 1ª Lei de Kirchhoff............................................................................................08 1.3.3 2ª Lei de Kirchhoff............................................................................................09 2. CIRCUITOS PURAMENTE RESISTIVOS.................................................................12 2.1 RESISTÊNCIA ELÉTRICA (LEI DE OHM)......................................................12 2.1.1 Resistência Elétrica...........................................................................................12 2.1.2 Lei de Ohm........................................................................................................12 2.2 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES.......................................................................13 2.2.1 Associação em série..........................................................................................13 2.2.2 Associação em paralelo.....................................................................................13 2.3 CIRCUITO DIVISOR DE TENSÃO E CIRCUITO DIVISOR DE CORRENTE... ................................................................................................................................14 2.3.1 Circuito Divisor de Tensão................................................................................14 2.3.2 Circuito Divisor de Corrente.............................................................................14 2.4 TEOREMAS DE RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS..............................................15 2.4.1 Teorema da Superposição..................................................................................15 2.4.2 Teorema de Thevenin........................................................................................17 2.4.3 Teorema de Norton............................................................................................18 2.4.4 Teorema dos Nós e Teorema das Malhas..........................................................21 2.4.4.1 Definições na Topologia dos Circuitos..................................................21 2.4.4.2 Teorema dos Nós...................................................................................22 2.4.4.3 Teorema das Malhas..............................................................................27 2.4.4.4 Transformações de fontes de corrente e de tensão................................32 3. COMPORTAMENTO PERMANENTE E TRANSITÓRIO DE CIRCUITOS RESISTIVOS, CAPACITIVOS E INDUTIVOS..........................................................35 3.1 CAPACITORES....................................................................................................35 3.1.1 Associação de Capacitores................................................................................36 3.2 INDUTORES.........................................................................................................37 3.2.1 Associação de Indutores....................................................................................37 3.3 FUNÇÕES SINGULARES...................................................................................38 3.4 REVISÃO DE SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM PELO MÉTODO DA DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA.......................................40 3.5 CIRCUITOS DE 1ª ORDEM (RESPOSTA AO DEGRAU)................................41 3.5.1 Circuitos Básicos de 1ª Ordem..........................................................................41 3.6 CIRCUITOS DE 1ª ORDEM (RESPOSTA AO IMPULSO)................................45 3.7 RESPOSTA NATURAL OU RESPOSTA LIVRE...............................................50 3.7.1 Resposta Natural de um Circuito RL.................................................................50 3.7.2 Resposta Natural de um Circuito RC................................................................53 3.8 CIRCUITOS DE 2ª ORDEM.................................................................................55 3.8.1 Solução de Equações Diferenciais de 2ª Ordem................................................55 3.8.2 Determinação das condições iniciais em circuitos de 2ª ordem........................59 3.8.3 Solução completa de circuitos de 2ª ordem.......................................................63 REFERÊNCIAS....................................................................................................................73 ANEXO A - EXPERIÊNCIA 01..........................................................................................74 ANEXO B - EXPERIÊNCIA 02..........................................................................................75 ANEXO C - EXPERIÊNCIA 03..........................................................................................76 ANEXO D - EXPERIÊNCIA 04..........................................................................................77 6 1. CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS 1.1 DEFINIÇÕES DAS GRANDEZAS Carga Elétrica (q) – “C” – É uma partícula que contem características próprias e efeitos próprios; Corrente Elétrica (i) – “A” – É a quantidade de carga elétrica que atravessa a seção reta de um condutor na unidade do tempo; i(t) = dq/dt Tensão Elétrica (e) – “V” – É a diferença de potencial elétrico que possibilita a circulação de carga pelo condutor; Energia Elétrica (w) – “J” – É o produto da carga transportada pela tensão; dw = e(t) dq ∫ dw = ∫e(t) dq w = ∫e(t) i(t) dt w = e(t) i(t) t Potência Elétrica (P) – “W” – É uma grandeza instantânea. É a variação da energia no tempo. É o produto da tensão pela corrente. P(t) = dw/dt = e(t) i(t) dt/dt P(t) = e(t) i(t) Analogia entre os sistemas elétrico e hidráulico: Sistema hidráulico Sistema elétrico H E R 7 1.2 FONTES DE TENSÃO E FONTES DE CORRENTE Todos os elementos dos circuitos elétricos foram divididos em dois grupos: a) Ativos (Fontes de tensão e Fontes de corrente); b) Passivos (Resistores, Capacitores e Indutores). As fontes podem ser: 1) Independentes: são as fontes de tensão ou de corrente que fornecem energia fixa ao resto do circuito. Ex: 30 V 10 V 8 A 2) Dependentes ou Controladas: São as fontes de tensão ou de corrente que dependemde valores característicos dentro do circuito, isto é, são funções de grandezas do sistema. Ex: 2ec V 10ib A 1.3 AS LEIS DE KIRCHHOFF 1.3.1 Definições: Nó – É a junção de dois ou mais elementos em um ponto elétrico; Malha – É um caminho fechado de circulação de grandeza. nós, malhas nós, malhas 8 nós, malhas nós, malhas 1.3.2 1ª Lei de Kirchhoff “A soma algébrica das correntes em um nó qualquer é igual à zero.” Por convenção, faremos: (corrente negativa) (corrente positiva) Exemplo: i1 i2 i3 A B C 4 nós, 7 malhas i4 i5 i6 D Nó A: -i4 - i2 + i1 = 0 Nó B: + i2 + i3 + i5 = 0 9 1.3.3 2ª Lei de Kirchhoff “A soma algébrica das tensões em uma malha qualquer é igual à zero.” Por convenção, faremos: + - Sentido Horário Sentido Anti-horário Exemplo: e1 e2 e3 A B C e4 e5 e6 D Malha ABDA: + e4 + e3 + e5 = 0 Malha ABCDA: + e2 + e3 - e6 + e4 = 0 Obs: 1. Dois ou mais elementos estão em série quando são atravessados pela mesma corrente; 2. Dois ou mais elementos estão em paralelo quando estão submetidos a mesma tensão; 3. Sempre que uma corrente atravessa um elemento passivo (R, L ou C) num sentido determinado, ocorre uma queda de tensão em sentido oposto. 10 Exemplo 1: Encontre o valor das tensões desconhecidas no circuito abaixo. Encontre primeiro V1. 10V V2 8V V1 V3 9V Resposta: V1 = 11 V; V2 = 2 V; V3 = -1 V Exemplo: 2: Encontre o valor das correntes desconhecidas. I2 5A I1 7A 1 2 3A 4A 3A Resposta: I1 = 2 A; I2 = -6 A 11 Exemplo 3: Encontre o valor da tensão e1 no circuito abaixo: 4Ω 1Ω 12V e1 1Ω 2Ω 1Ω Resposta: e1 = 10,8 V Exemplo 4: Encontre o valor da corrente I1 no circuito abaixo: 3Ω 10A I1 1Ω 4Ω 1Ω Resposta: I1 = 20/3 A 12 2. CIRCUITOS PURAMENTE RESISTIVOS São circuitos que contem, além das fontes, apenas os elementos passivos resistores. 2.1 RESISTÊNCIA ELÉTRICA (LEI DE OHM) 2.1.1 Resistência elétrica É a capacidade de um material de se opor à passagem do fluxo de corrente elétrica. Elemento usado: Resistor R Transforma energia elétrica em calor. É um dissipador de energia. Metais (cobre e alumínio, por exemplo) possuem resistência elétrica desprezível. São os condutores. Borracha, água, ar etc. – Possuem alta resistência elétrica. São os isolantes. Madeira, álcool etc. – Não são considerados isolantes nem condutores. São chamados de maus condutores ou maus isolantes. 2.1.2 Lei de ohm V = R . I onde: V = tensão em Volts R = resistência em Ohms ( Ω ) I = corrente em Ampères P(t) = V.I = RI 2 = V 2 /R (Watts) W(t) = ∫P(t) dt = ∫ V.I dt = R∫I2 dt = 1/R ∫V2 dt (Joules) Para tensões e correntes constantes: W = V.I.t = R.I 2 .t = V 2 .t/R 13 A condutância é o inverso da resistência: G = 1/R = I/V (Siemens ou Mho) (Ʊ) 2.2 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 2.2.1 Associação em Série e1(t) e2(t) e3(t) R1 R2 R3 e(t) ≡ e(t) i(t) Req i(t) Req = e(t)/i(t) e(t) = e1(t) + e2(t) + e3(t) e(t) = R1 i(t) + R2 i(t) + R3 i(t) = i(t) {R1 + R2 + R3} e(t)/i(t) = R1 + R2 + R3 Req = R1 + R2 + R3 2.2.2 Associação em Paralelo i(t) i1(t) i2(t) i3(t) e(t) R1 R2 R3 ≡ e(t) i(t) Req Req = e(t)/i(t) i(t) = i1(t) + i2(t) + i3(t) 14 i(t) = e(t)/R1 + e(t)/R2 + e(t)/R3 = e(t) {1/R1 + 1/R2 + 1/R3} i(t)/e(t) = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 Obs: Para dois únicos elementos Req = (R1.R2)/(R1+R2) 2.3 CIRCUITO DIVISOR DE TENSÃO E CIRCUITO DIVISOR DE CORRENTE 2.3.1 Circuito Divisor de Tensão R1 Req = R1 + R2 i(t) = V/R1 + R2 V e1(t) R2 e2(t) e2(t) = R2 . i(t) = R2 . V/R1 + R2 i(t) e2(t) = V . R2/R1 + R2 Consequentemente: e1(t) = V . R1/R1 + R2 2.3.2 Circuito Divisor de Corrente i1(t) = V/R1 i1(t) i2(t) V = I . Req R1 R2 i1(t) = I . Req/R1 = I . (R1.R2/R1+R2)/R1 I i1(t) = I . R2/R1 + R2 15 Consequentemente: i2(t) = I . R1/R1 + R2 2.4 TEOREMAS DE RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS 2.4.1 Teorema da Superposição Se o circuito é composto por mais de uma fonte, podemos calcular as grandezas deste circuito considerando cada uma das fontes separadamente e somando algebricamente os resultados parciais. Procedimento: 1. Calcular o valor desejado para cada uma única fonte, colocando as demais em repouso (mortas). Fonte de corrente em repouso: circuito aberto; Fonte de tensão em repouso: curto-circuito; 2. Somar algebricamente os resultados parciais. Exemplo 5: Calcule a tensão e0(t) no circuito abaixo: 4Ω 5V e0(t) 6Ω 2A 16 Resposta: e0 = 1,8 V Exemplo 6: Calcule a tensão e0(t) no circuito abaixo: 3Ω 4Ω 60V e0(t) 6Ω 24V 2Ω Resposta: e0(t) = 36 V 17 2.4.2 Teorema de Thevenin Consiste em transformar um circuito qualquer em um circuito divisor de tensão (Circuito Equivalente de Thevenin), onde a fonte possuirá o valor de eoc, o primeiro elemento valerá Req e o segundo elemento corresponderá ao retirado do circuito original. O valor das grandezas (tensão, corrente, potência e energia) no segundo resistor do circuito equivalente será o mesmo do circuito original. Circuito Equivalente de Thevenin Req Circuito Elemento Elemento Ativo eoc ≡ eoc onde: eoc = tensão com o circuito aberto (ou tensão de Thevenin eTH); Req = resistência equivalente com o circuito em repouso, vista através dos terminais do elemento (ou Resistencia de Thevenin RTH). Exemplo 7: Calcule a tensão e0(t) pelo Teorema de Thevenin 1Ω 12V 4Ω1Ω 3Ω e0(t) 18 Resposta: e0(t) = 7,8 V 2.4.3 Teorema de Norton Consiste em transformar um circuito qualquer em um circuito divisor de corrente (Circuito Equivalente de Norton), onde a fonte possuirá o valor de isc, o primeiro elemento valerá Req e o segundo elemento corresponderá ao retirado do circuito original. O valor das grandezas (tensão, corrente, potência e energia) no segundo resistor do circuito equivalente será o mesmo do circuito original. Circuito Equivalente de Norton Circuito Elemento Elemento Ativo isc ≡ isc Req Onde: isc = corrente de curto-circuito Req = resistência equivalente com o circuito em repouso, vista através dos terminais do elemento. 19 Exemplo 8: Calcule a tensão e0(t) pelo Teorema de Norton 1Ω 12V 4Ω 1Ω 3Ω e0(t) Resposta: e0(t) = 7,8 V Exemplo 9: Calcule a tensão e0(t) pelo Teorema de Thevenin 2Ω e0(t) 4Ω 6V 4Ω 5Ω 2Ω 20 Resposta: e0(t) = 30/23 V = 1,30 V Exemplo 10: Calcule a corrente i2(t) por Norton 4Ω 3V i2(t) 6Ω 2A Resposta: i2(t) = - 0,5 A 21 Exemplo 11: Calcule a corrente i2(t) por Thevenin 4Ω 3V i2(t) 6Ω 2A Resposta: i2(t) = - 0,5 A 2.4.4 Teorema dos Nós e Teorema das Malhas 2.4.4.1 Definições na Topologia dos Circuitos Ramo (b) – É qualquer segmento que contenha um único elemento elétrico. Logo, o número de ramos de um circuito é igual ao número de elementos deste circuito; Nó (n) – É a união de dois ou mais ramos de um circuito; Malha ou Laço (l) – É um caminho fechado de circulação de grandeza; Grafo ou Árvore (G) – É a representação dos ramos de um circuito. 22 A B C A B C D D 2.4.4.2 Teorema dos Nós “Há exatamente (n-1) equações nodais independentes definidas pela Lei de Kirchhoff para correntes (1ª Lei de Kirchhoff)”. Exemplo 12: Determine todas as correntes e tensões do circuito abaixo: A 2Ω B 5A 4Ω 3Ω 2A 6Ω C 23 Resposta: e (4Ω) = 8 V; e (3Ω) = 2 V; e (5A) = 8 V; e (2A) = 2 V; e (6Ω) = 2 V; e (2Ω) = 6 V I (4Ω) = 2 A; I (3Ω) = 2/3 A; I (6Ω) = 1/3 A; I (2Ω) = 3 A; 24 Exemplo 13: Calcule a tensão e0(t) pelo Teorema dos Nós A 2Ω e0(t) 4Ω 6V B C 4Ω 5Ω 2Ω D Resposta: e0(t) = 1,30 V Obs: Sempre que no circuito houver fonte de tensão, a tensão no nó “imediatamente após” a esta fonte deverá ser acrescida do seu próprio valor. Ex: A 2 V eA = eB + 2 B 25 Exemplo 14: Calcule o valor da corrente i0(t) no circuito abaixo pelo Teorema dos Nós A 4Ω B 2Ω C i0(t) 58V 3Ω 10V D Resposta: i0(t) = 10 A 26 Exemplo 15: Calcule a tensão no resistor de 6 Ω por Nós. A 2Ω B 5Ω C i0(t) 40V 6Ω 32A E 3Ω D Resposta: e (6Ω) = 78 V 27 Exemplo 16: Calcule a tensão no resistor de 5 Ohm por Nós. Resposta: e (5Ω) = 0,28 V 2.4.4.3 Teorema das Malhas “Há exatamente (b - n) +1 equações de malhas independentes definidas pela Lei de Kirchhoff para tensões (2ª Lei de Kirchhoff)”. D C B A 28 Exemplo 17: Calcule todas as tensões e correntes do circuito abaixo: A 3Ω B 4Ω C 60V 6Ω 24V E 2Ω D Resposta: i (3Ω) = 8A; i (60V) = 8A; i (4Ω) = - 2A; i (2Ω) = - 2A; i (24V) = - 2A; i (6Ω) = 6A; e (3Ω) = 24V; e (4Ω) = - 8V; e (2Ω) = 24V; e (6Ω) = 36V; 29 Obs: Sempre que no circuito houver fonte de corrente, a corrente de malha que passa por esta fonte terá o seu próprio valor. Ex: Exemplo 18: Calcule a tensão no resistor de 6 Ω por Malhas A 2Ω B 5Ω C 40V 6Ω 32A E 3Ω D Resposta: e (6Ω) = 78 Volts 30 Exemplo 19: Calcule a tensão no resistor de 5Ω por Malhas A 5Ω B 3Ω C 2A 1Ω 2Ω 4V D Resposta: e (5Ω) = 0,28 Volts 31 Exemplo 20: Determine todas as correntes e tensões do circuito abaixo pelo Teorema das Malhas: A 2Ω B 5A 4Ω 3Ω 2A 6Ω C 32 Resposta: e (4Ω) = 8 V; e (3Ω) = 2 V; e (5A) = 8 V; e (2A) = 2 V; e (6Ω) = 2 V; e (2Ω) = 6 V I (4Ω) = 2 A; I (3Ω) = 2/3 A; I (6Ω) = 1/3 A; I (2Ω) = 3 A; 2.4.4.4 Transformações de fontes de corrente e de tensão É uma ferramenta que pode ajudar na simplificação de circuitos. Nesta transformação, as características V-I são idênticas ao circuito original. 33 O processo consiste em substituir uma fonte de tensão com uma resistência em série por uma fonte de corrente com uma resistência em paralelo ou vice-versa: Analisando os circuitos, podemos concluir que: Os dois circuitos são equivalentes, pois ambos tem a mesma relação V-I nos terminais “a” e “b”; Se as fontes forem desligadas, a resistência equivalente entre “a” e “b” é a mesma: Is = Vs/R ou Vs = Is R; As polaridades da fonte de tensão e da fonte de corrente são as mesmas; A transformação de fontes não é possível quando o resistor em paralelo da fonte de corrente ou o resistor em série da fonte de tensão for nulo (Zero Ω). Exemplo 21: Determine o valor de Vo no circuito abaixo: a b b a 34Resposta: e (8Ω) = 3,2 Volts 35 3. COMPORTAMENTO PERMANENTE E TRANSITÓRIO DE CIRCUITOS RESISTIVOS, CAPACITIVOS E INDUTIVOS 3.1 CAPACITORES É um armazenador de energia em forma de campo elétrico. Armazena tensão. São medidos em Farad (F). i(t) C = q/e(t) q = C . e(t) dq/dt = C de(t)/dt e(t) C i(t) = C de(t)/dt t t ∫to de(t)/dt = 1/C ∫to i(t) dt t e(t) – e(to) = 1/C ∫to i(t) dt e(t) = e(to) + 1/C ∫ i(t) dt P(t) = e(t) . i(t) P(t) = e(t) . C de(t)/dt P(t) = C . e(t) . de(t)/dt dw(t)/dt = e(t) . dq t t ∫to dw(t) = ∫to e(t) . i(t) dt w(t) = w(to) + ∫ e(t) . i(t) dt 36 3.1.1 Associação de Capacitores: Série: C1 C2 e1(t) e2(t) e(t) i(t) ≡ e(t) i(t) Ceq e(t) = 1/Ceq ∫ i(t) dt equação (1); e(t) = e1(t) + e2(t) e(t) = 1/C1 ∫ i(t) dt + 1/C2 ∫ i(t) dt; e(t) = ∫ i(t) dt [ 1/C1 + 1/C2 ] equação (2); Substituindo (1) em (2), temos: 1/Ceq ∫ i(t) dt = ∫ i(t) dt [ 1/C1 + 1/C2 ] 1/Ceq = 1/C1 + 1/C2 + … Paralelo: i(t) i1(t) i2(t) e(t) C1 C2 ≡ e(t) i(t) Ceq i(t) = Ceq . de(t)/dt equação (1); i(t) = i1(t) + i2(t) i(t) = C1 . de(t)/dt + C2 . de(t)/dt i(t) = de(t)/dt [ C1 + C2 ] equação (2); Substituindo (1) em (2), temos: 37 Ceq . de(t)/dt = de(t)/dt [ C1 + C2 ] Ceq = C1 + C2 + ... 3.2 INDUTORES É um armazenador de energia em forma de campo magnético. Armazena corrente. São medidos em Henry (H). i(t) e(t) L e(t) = L . di(t)/dt i(t) = i(t0) + 1/L ∫e(t) dt P(t) = L . i(t) . di(t)/dt w(t) = w(to) + ∫ e(t) . i(t) dt 3.2.1 Associação de Indutores: Série: Leq = L1 + L2 + ... Paralelo: 1/Leq = 1/L1 + 1/L2 + … 38 3.3 FUNÇÕES SINGULARES São, genericamente, funções matemáticas que representam sinais de entrada de algum uso para a física. 0 t < 0 a) Função Degrau Unitário μ-1(t) 1 t > 0 μ-1(t) 1 t 0 t < 0 b) Função Rampa Unitária μ-2(t) t t > 0 μ-2(t) = ∫ μ-1(t) dt μ-2(t) t 39 0 t < 0 c) Função Impulso Unitário μ0(t) ∞ t = 0 0 t > 0 μ0(t) = d μ-1(t)/dt μ0(t) t Teorema 1 Se todas as tensões e correntes permanecem finitas, a tensão nos terminais de uma capacitância, assim como a corrente através de uma indutância, não poderão se alterar instantaneamente; Teorema 2 Um impulso unitário de corrente passando através de uma capacitância altera sua tensão de 1/C Volts, enquanto que um impulso unitário de tensão aplicado nos terminais de uma indutância altera a corrente que passa por ela de 1/L Àmperes. Observação 1 A resposta que o sistema fornece a uma função degrau unitário é chamada de “resposta ao degrau” e simbolizada por r(t); Observação 2 A resposta que o sistema fornece a uma função impulso unitário é chamada de “resposta ao impulso” e simbolizada por h(t); 40 Observação 3 h(t) = d r(t)/dt 3.4 REVISÃO DE SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM PELO MÉTODO DA DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA d v(t)/dt = d ln v(t) v(t) dt Exemplo 22: Resolva a equação diferencial: 2dy/dt + 6 = 4y Explicitando a derivada temos: dy/dt = 2y - 3 Tornando a variável „y‟ única e positiva: (1/2) dy/dt = 2y - 3 (1/2) (1/2) dy/dt = y - 3/2 dy/dt = (y - 3/2) . 2 dy/dt = 2 (y - 3/2) ∫ d ln y - 3/2 = ∫2 dt dt ln y - 3/2 = 2 t + ¢ e 2t + ¢ = y - 3/2 y - 3/2 = e ¢ . e 2t 41 y - 3/2 = ± e ¢ . e 2t y - 3/2 = K e 2t y = K e 2t + 3/2 3.5 CIRCUITOS DE 1ª ORDEM (RESPOSTA AO DEGRAU) São circuitos regidos por equações diferenciais de 1ª Ordem. São compostos por R e C ou R e L. 3.5.1 Circuitos Básicos de 1ª Ordem São circuitos de 1ª Ordem que podem ser reduzidos, por simples associações dos elementos, a dois únicos elementos passivos (R e C ou R e L). São os circuitos RC série, RC paralelo, RL série e RL paralelo. a) Circuito RC paralelo i(t) R C e(t)=? i(t) = iR(t) + iC(t) i(t) = e(t)/R + C de(t)/dt i(t) = μ-1(t) p/ t>0 , i(t) = 1A e(t)/R + C de(t)/dt = 1 , que é uma equação diferencial de 1ª Ordem Solução: 42 b) Circuito RL série R e(t) i(t)=? L e(t) = eR(t) + eL(t) e(t) = R i(t) + L di(t)/dt e(t) = μ-1(t) p/ t>0 , e(t) = 1V R i(t) + L di(t)/dt = 1 , que é uma equação diferencial de 1ª Ordem Solução: 43 c) Circuito RC série R e(t) i(t)=? C e(t) = eR(t) + eC(t) e(t) = R i(t) + 1/C ∫ i(t) dt e(t) = μ-1(t) p/ t>0 , e(t) = 1V R i(t) + 1/C ∫ i(t) dt = 1 , que é uma equação diferencial de 1ª Ordem Solução: 44 d) Circuito RL paralelo i(t) R L e(t)=? i(t) = iR(t) + iL(t) i(t) = e(t)/R + 1/L ∫ e(t)/dt i(t) = μ-1(t) p/ t>0 , i(t) = 1A e(t)/R + 1/L ∫ e(t)/dt = 1 , que é uma equação diferencial de 1ª Ordem Solução: 45 3.6 CIRCUITOS DE 1ª ORDEM (RESPOSTA AO IMPULSO) a) Circuito RC paralelo i(t) R C e(t)=? e(t) = 1 e -t/RC μ-1(t) C 46 b) Circuito RL série R e(t) i(t)=? L i(t) = 1 e -Rt/L μ-1(t) L c) Circuito RC série R e(t) i(t)=? C i(t) = μ0(t) - 1 e -t/RC μ-1(t) R CR 2 47 d) Circuito RL paralelo i(t) R L e(t)=? i(t) = μ0(t) R - R 2 e -Rt/L μ-1(t) LExemplo 23: Calcule r(t) no circuito abaixo R1 e(t) R2 C e(t)=? 48 Resposta: e (t) = Req ( 1 – e –t/Req.C) . µ -1 (t) R1 Exemplo 24: Calcule a corrente no capacitor do exemplo anterior, através da tensão encontrada. Resposta: ic (t) = e –t/RC . µ -1 (t) R1 Exemplo 25: Calcule a corrente no capacitor do exemplo anterior utilizando o Teorema de Thevenin e compare com a resposta anterior. 49 Resposta: ic (t) = e –t/RC . µ -1 (t) R1 Exemplo 26: Calcule r(t) no circuito abaixo 1Ω 2F e(t) 4F 3Ω e(t)=? 50 Resposta: e (t) = ( 3/4 - 5/12 e -2t/9 ) µ -1 (t) 3.7 RESPOSTA NATURAL OU RESPOSTA LIVRE 3.7.1 Resposta Natural de um Circuito RL Dado o circuito abaixo: A chave encontra-se fechada por um longo período de tempo e será aberta em t = 0. Assim, todas as tensões e correntes do circuito serão constantes e, quando a chave for aberta, o circuito se reduzirá à: De acordo com a 2ª Lei de Kirchhoff, L di/dt + R i = 0 Resolvendo a equação diferencial, temos: i V i V I(0) = Is 51 i(t) = i(0) e -(R/L) t A, p/ t ≥ 0 Assim, como V = R i V = R i(0) e -(R/L) t Volts A Constante de Tempo T É o inverso positivo do coeficiente de t. i(t) = i(0) e -(R/L) t T = L/R = constante de tempo Quanto maior for o T, mais rapidamente a corrente ou a tensão se aproxima de zero. Ex: i(t) i(t) T baixo T alto t t 52 Por questões práticas, afirmamos que as variáveis do circuito atingem seus valores finais quando o tempo for igual a 5T, ou seja, 5L/R. Neste momento, os valores da corrente e da tensão serão menores que 1% do seu valor inicial: i(t) = i(0) e -(R/L) t = i(0) e -(R/L) (5L/R) = i(0) e -5 = 0,00674 i(0) i(t) = 0,674% i(0) Exemplo 27: A chave no circuito abaixo esteve fechada por um longo período de tempo antes de ser aberta em t = 0. Determine: a) iL(t), p/ t ≥ 0; Resposta: 20 e -5t A b) i0(t), p/ t ≥ 0; Resposta: 4 e -5t A c) V0(t), p/ t ≥ 0; Resposta: 160 e -5t Volts d) P(10Ω), p/ t ≥ 0 . Resposta: 2560 e-10t W 53 3.7.2 Resposta Natural de um Circuito RC Analogamente: Dado o circuito abaixo: A chave encontra-se na posição “a” por um longo período de tempo e passará para a posição “b” em t = 0. Assim, todas as tensões e correntes do circuito serão constantes e, quando a chave passar para a posição “b”, o circuito se reduzirá à: De acordo com a 1ª Lei de Kirchhoff, Cdv/dt + V/R = 0 a b Vg i V 54 V = Vg e -t/RC Volts Assim, como i = V/R i = Vg/R x e -t/RC A Os conceitos da Constante de Tempo T neste circuito RC são os mesmos aplicados ao circuito RL. Desta forma: T = RC = constante de tempo Exemplo 28: A chave no circuito abaixo esteve na posição “a” por um longo período de tempo antes de passar para a posição “b” em t = 0. Determine: a) VC(t), p/ t ≥ 0; Resposta: 100 e -25t Volts b) V0(t), p/ t ≥ 0; Resposta: 60 e -25t Volts c) i0(t), p/ t ≥ 0; Resposta: e -25t mA d) P(60kΩ), p/ t ≥ 0 . Resposta: 60 e-50t mW a b Vc Vo io 55 3.8 CIRCUITOS DE 2ª ORDEM São os circuitos regidos por equações diferenciais de 2ª Ordem. São compostos pelos elementos R, L e C. Dado um circuito alimentado por uma entrada x(t), podemos calcular as saídas y(t) deste circuito (tensões e correntes, por exemplo) através dos seguintes procedimentos: 1. Relacionar entrada e saída (encontrar a equações diferenciais que representam o modelo matemático do circuito); 2. Resolver as equações diferenciais; 3. Determinais as constantes da solução das equações, através da análise das condições iniciais. 3.8.1 Solução de Equações Diferenciais de 2ª Ordem Seja a seguinte equação diferencial: A d 2 y(t) + B dy(t) + C y(t) = F(t) dt 2 dt 56 A solução total da equação diferencial será dada por: Solução Total {y(t)} = Solução homogênea {yh(t)} + Solução particular {yp(t)} Solução homogênea: Equação Característica: A s 2 + B s + C = 0 Hipóteses: S1 1ª) Raízes Reais e Diferentes S2 yh(t) = K1 . e S1 . t + K2 . e S2 . t S1 2ª) Raízes Reais e Iguais S S2 yh(t) = K1 . e S . t + K2 . t . e S . t S1 = α + jβ 3ª) Raízes Imaginárias S2 = α - jβ 57 yh(t) = e α . t {K1 cos βt + jK2 sen βt} Solução particular: F(t) yp(t) K A k t n A0 + A1 t + A2 t 2 +…+ An t n k cos ωt A1 cos ωt + A2 sen ωt k sem ωt A1 sen ωt + A2 cos ωt k e αt A e αt Exemplo 29: d 2 y(t) - 3 dy(t) + 2 y(t) = t 2 dt 2 dt 58 Resposta: y (t) = K1 e 2t + K2 e t + 7/4 + (3/2) t + (1/2) t 2 Exemplo 30: Supondo que as condições iniciais do exemplo anterior sejam as seguintes, encontre a solução completa da equação diferencial. y(0 + ) = 7/4 e dy(t) = 4 dt 0 + 59 Resposta: y (t) = 5/2 e 2t - 5/2 e t + 7/4 + (3/2) t + (1/2) t 2 Exemplo 31: d 2 y(t) - 4 dy(t) + 4 y(t) = t 2 + 3t + 2 dt 2 dt Resposta: y (t) = K1 e 2t + K2 t e 2t + 13/8 + (5/4) t + (1/4) t 2 3.8.2 Determinação das condições iniciais em circuitos de 2ª ordem A ordem da equação diferencial é igual ao número de constantes na solução e igual ao número de condições iniciais necessárias para a determinação da(s) constante(s) da solução. No nosso caso, 2ª ordem, teremos que encontrar: y(0 + ) e dy dt 0 + Obs: Se a resposta desejada for a tensão num capacitor ou a corrente num indutor, o valor inicial da derivada dy poderá ser obtido da própria lei do elemento. dt 0 + 60 Tensão no Capacitor: iC = C dec/dt dec = iC / Cdt dec = iC(0 + ) / C dt 0 + Corrente no Indutor: eL = L diL/dt diL = eL / L dt diL = eL(0 + ) / L dt 0 + Exemplo 32: Não há energia armazenada para t < 0. Determine e(t) e de(t)/dt em t=0 + . i(t) = µ-1 (t) e(t) 61 Resposta: e (0 + ) = 0 e de(t) = 1/C dt 0 + Exemplo 33: Idem ao anterior e1(t) = 6 cos 2t e(t) 62 Resposta: e (0 + ) = 6 e de(t) = - 9/4 dt 0 + Exemplo 34: Idem ao anterior Resposta: e (0 + ) = 0 e de(t) = 1/6 dt 0 + e(t) 63 3.8.3 Solução completa de circuitos de 2ª ordem A solução completa de um circuito de 2ª Ordem consiste em: Aplicar o Teorema das Malhas ou o Teorema dos Nós de forma a encontrar a(s) equação(ões) diferencial(is) das variáveis envolvidas no circuito; Resolver o sistema de equações diferenciais quando for o caso; Resolver a equação diferencial; Determinar as constantes. Exemplo 35: Calcule i0(t), e1(t) e iC(t) no circuito abaixo, sabendo-se que a entrada é uma função degrau unitário, que não há energia armazenada para t < 0 e que R 2 = L/C. e1(t) iC(t) i0(t) 64 65 Resposta: i0 (t) = ( 1 – e –Rt/L ) µ-1 (t); e1 (t) = R µ-1 (t); ic (t) = e –Rt/L µ-1 (t) Exemplo 36: Calcule e0(t) no circuito abaixo: A B 66 67 e0 (t) = - 0,73 e -0,4t - 0,27 e -2,6t + 1 Exemplo 37: Calcule e0(t) no circuito abaixo: A C B e0(t) D 68 69 70 e0 (t) = 1,43 e -0,7t - 1,43 e -2,8t Exemplo 38: Idem, pelo Teorema das Malhas. A C B e0(t) D 71 72 e0 (t) = 1,43 e -0,7t - 1,43 e -2,8t 73 REFERÊNCIAS BOYLESTAD, Robert L. Introdução à Análise de Circuitos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2013. CLOSE, Charles M. Circuitos lineares. Rio de Janeiro: LTC, 1999. DORF, Richard C.; SVOBODA, James A. Circuitos Elétricos, Rio de Janeiro: LTC, 2006. EDMNISTER, Joseph A.. Circuitos Elétricos. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2011 (Coleção Schaum). IRWIN, J. David. Introdução à Análise de Circuitos Elétricos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2011. MARIOTTO, Paulo Antônio. Análise de Circuitos Elétricos. São Paulo: Prentice Hall, 2013. NILSSON, James W.; RIEDEL, Susan A. Circuitos Elétricos. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. ROBBINS, Allan H. e MILLER, Wilhelm C. Análise de Circuitos Teoria e Prática. São Paulo: Cengage Learning Editora, 2010. 00 74 ANEXO A Experiência 01 2ª Lei de Kirchoff 1. Monte o circuito abaixo utilizando os resistores existentes na bancada. A disposição dos resistores bem como o valor da fonte de tensão fica a critério do aluno. R1 R3 V R2 R4 2. Com o auxílio do multímetro, meça a tensão nos elementos das três malhas do circuito e observe a validade da 2ª Lei de Kirchoff em cada uma das malhas, isto é, “a soma algébrica das tensões em uma malha é igual a zero”. 3. Retire o resistor R3 do circuito e mantenha o circuito aberto em seu lugar. Verifique se esta Lei se permanece verdadeira para a malha externa. 75 ANEXO B Experiência 02 Teorema de Thevenin 1. Calcule o valor da tensão no resistor de 330Ω do circuito abaixo pelo Teorema de Thevenin. 270Ω 10 V 820Ω 330Ω 2. Monte o circuito acima; 3. Meça a tensão no resistor de 330 Ω e compare o valor encontrado com o valor calculado no item 1; 4. Retire o resistor de 330 Ω do circuito e meça eoc; 5. Desconecte a fonte, coloque um curto-circuito em seu lugar e meça a Req; 6. Monte na bancada o Circuito Equivalente de Thevenin conforme abaixo: Utilize o potenciômetro como Req; Req eoc 330Ω 7. Com o auxílio de um multímetro, meça a tensão no resistor de 330Ω; 8. Encontre o erro percentual entre o valor calculado (item 1) e o valor medido no Circuito Equivalente de Thevenin (item 7): E% = (Item 1 - Item 7) x 100 / Item 1 76 ANEXO C Experiência 03 Teorema da Superposição 1. Calcule o valor da tensão no resistor de 4,7 kΩ do circuito abaixo pelo Teorema da Superposição. 4,7kΩ 15kΩ 5,17 V 8,2kΩ 10kΩ 3 V (Icel) Minipa (fonte fixa) 2. Monte o circuito acima na bancada; 3. Com o auxílio de um multímetro, meça a tensão no resistor de 4,7kΩ e compare o valor encontrado com o valor calculado no item 1; 4. Desconecte a fonte de 3 V, coloque um curto-circuito em seu lugar e meça a tensão no R=4,7kΩ (considerando somente a FT = 5,17 V); 5. Reconecte a fonte de 3 V; 6. Desconecte a fonte de 5,17 V, coloque um curto-circuito em seu lugar e meça a tensão no R=4,7kΩ (considerando somente a FT = 3 V); 7. Efetue a soma algébrica dos resultados parciais encontrados nos itens 4 e 6 para obter a resposta final. 8. Encontre o erro percentual entre o valor calculado no item 1 e o valor encontrado no item 7: E% = (Item 1 - Item 7) x 100 / Item 1 77 ANEXO D Experiência 04 Teorema dos Nós 1. Calcule o valor da tensão no resistor de 4,7 kΩ do circuito abaixo pelo Teorema dos Nós. 4,7kΩ 15kΩ 5,17 V 8,2kΩ 10kΩ 3 V (Icel) Minipa (fonte fixa) 2. Monte o circuito acima na bancada; 3. Com o auxílio de um multímetro, meçaa tensão no resistor de 4,7 kΩ e compare o valor encontrado com o valor calculado no item 1; 4. Encontre o erro percentual entre o valor calculado no item 1 e o valor encontrado no item 3. E% = (Item 1 - Item 3) x 100 / Item 1
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