P1 Geometria Analítica

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Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
P1
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Matr´ıcula: Durac¸a˜o da prova: 2 horas
1. Considere o cubo ABCDEFGH, sendo que A = (1, 1, 0), B = (1, 1, 2), C = (3, 1, 2) e
E = (1,−1, 0).
(a) (1/2 ponto) Qual e´ o comprimento do lado do cubo?
(b) (1 ponto) Determine as coordenadas dos pontos D,F,G e H.
(c) (1/2 ponto) Fac¸a um esboc¸o do cubo em E
3 no qual conste os eixos coordenados indi-
cando a posic¸a˜o de cada ve´rtice.
(d) (1 ponto) Encontre as equac¸o˜es gerais dos planos BCE e ADF.
2. Considere os pontos A = (5,−1), B = (1, 1) e C = (3, 4).
(a) (1/2 ponto) Verifique que A, B e C sa˜o na˜o-colineares.
(b) (1 ponto) Determine as coordendas dos pontos M e T tais que M e´ ponto me´dio lado
AB e T e´ o ponto que satisfaz
# »
AT = 2
3
# »
AC.
(c) (1 ponto) Determine as coordenadas do ponto de intersec¸a˜o entre o segmento CM e
BT.
3. Considere os pontos A = (1, 1, 1), B = (2, 1, 0) e C = (0, 0, 1). Seja pi o plano determinado
pelos pontos A, B e C.
(a) (1 ponto) Encontre uma equac¸a˜o vetorial e uma equac¸a˜o geral para o plano pi.
(b) (1/2 ponto) Determine uma equac¸a˜o vetorial para a reta r perpendicular ao plano pi e
que passa pelo ponto B.
(c) (1/2 ponto) Determine a reta s obtida pela intersec¸a˜o entre o plano pi e o plano Πxy.
(d) (1/2 ponto) Determine o aˆngulo θ = ang(r, s) entre as retas r e s.
(e) (1 ponto) Determine uma equac¸a˜o geral para o plano p˜i que e´ perpendicular ao plano
pi e conte´m a reta s.
4. Seja pi o plano que passa pelo ponto A = (1, 2, 1) e e´ paralelo aos vetores #»u = (1, 1, 1) e
#»v = (0,−1, 1).
(a) (1 ponto) Seja r : X = A + t #»u . Encontre os pontos sobre a reta r que distam 2 do
ponto A.
(b) (1/2 ponto) Determine a equac¸a˜o vetorial da reta s perpendicular ao plano pi que passa
pelo ponto A.
(c) (1 ponto) Seja B o ponto sobre a reta r correspondente ao valor de t positivo obtido
no item a). Determine o ponto C sobre a reta s tais que o triaˆngulo ABC e´ iso´sceles.